Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 2 : Slam dunk au golf

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Au golf, une slam dunk est un coup qui consiste à envoyer la balle directement dans le trou sans qu'elle ne roule. Ces conditions très spécifiques sont à rassembler pour que le golfeur puisse réaliser ce coup spectaculaire.

Dans la première partie de cet exercice, on s'intéresse à une méthode de mesure de la vitesse initiale d'une balle de golf. Puis, on identifie les conditions permettant de réaliser un slam dunk.

Partie 1 – Mesure de la vitesse initiale d'une balle de golf

Document – Radar de mesure

La valeur de la vitesse initiale d'une balle de golf peut être déterminée grâce à un radar placé derrière le joueur.

L'appareil utilise un émetteur qui génère une onde électromagnétique de fréquence $f_{E} = 21, 125 GHz$ ainsi qu'un récepteur qui capte l'onde après réflexion sur la balle.

La différence $Δ f$ entre la valeur de la fréquence de l'onde émise et celle de l'onde reçue permet d'accéder à la valeur de la vitesse $v$ de la balle qui s'affiche sur l'écran du radar grâce à la relation : $∣Δ f ∣ = \frac{2 \times v}{c} \times f_{E}$ .

Données :

Célérité d'une onde électromagnétique dans le vide ou dans l'air : $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$
Intensité de la pesanteur : $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$
$1 GHz = 1 0^{9} Hz$

À la suite de la frappe réalisée par une golfeuse, un radar mesure un décalage de fréquence dont la valeur absolue est $∣Δ f ∣ = 4225 Hz$ .

Q1- Nommer le phénomène physique lié au décalage de fréquence.

Q2- Calculer la valeur de la vitesse initiale $v_{0}$ de la balle frappée par la joueuse.

Partie 2 – Conditions de réalisation d'un slam dunk

On étudie le mouvement du centre de masse G d'une balle de golf de masse $m$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d'un repère $(O, i, j)$ .

À l'instant initial, le centre de masse G est positionné à une hauteur $h$ du sol et à une distance $d$ du trou. La balle est lancée dans le plan vertical repéré par les axes (Ox, Oy) avec un vecteur vitesse $v_{0}$ faisant un angle $α$ avec l'axe Ox (figure 1).

La balle évolue dans le champ de pesanteur terrestre $g$ . On néglige les forces de frottement dues à l'air et la rotation de la balle.

Données :

Masse de la balle de golf : $m = 46 g$
Hauteur initiale du centre de masse : $h = 3, 0 cm$
Distance entre le centre de masse G de la balle et le trou : $d = 1, 5 \times 1 0^{2} cm$

Q3- Déterminer les expressions littérales des coordonnées $a_{x}$ et $a_{y}$ du vecteur accélération $a$ du centre de masse G de la balle suivant les axes Ox et Oy.

Q4- Montrer que les équations horaires de son mouvement sont :

$O G (t) ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = (v_{0} \cdot cos (α)) \cdot t y (t) = - \frac{1}{2} g \cdot t^{2} + (v_{0} \cdot sin (α)) \cdot t + h$

Q5- En déduire que l'équation de la trajectoire du centre de masse G de la balle dans le repère d'espace (Ox, Oy) s'écrit :

$y (x) = - \frac{1}{2} \times g \times (\frac{x}{v _{0} \cdot cos ( α )})^{2} + x \cdot tan (α) + h$

Q6- Indiquer les paramètres initiaux de lancement sur lesquels la joueuse peut intervenir pour réussir le slam dunk.

Une joueuse amateur frappe la balle avec un angle $α = 39°$ et une vitesse initiale de valeur $v_{0} = 30 m \cdot s^{- 1}$ .

Q7- Indiquer si, dans ces conditions, la joueuse réussit un slam dunk.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Corrigé

Partie 1 – Mesure de la vitesse initiale d'une balle de golf

Q1- Le phénomène physique lié au décalage de fréquence est l'effet Doppler. L'effet Doppler est responsable de ce décalage de fréquence.

Q2- $∣Δ f ∣ = \frac{2 \times v}{c} \times f_{E}$ donc $v = \frac{∣Δ f ∣ \cdot c}{2 \cdot f _{E}}$

$v = \frac{4 225 \times 3 , 00 \times 1 0 ^{8}}{2 \times 21 , 125 \times 1 0 ^{9}} = 30, 0 m \cdot s^{- 1}$

Partie 2 – Conditions de réalisation d'un slam dunk

Q3- Système : la balle de golf de masse $m$ et de centre de masse G.

Référentiel terrestre supposé galiléen. Repère d'étude (Oxy).

Dans le cas d'une chute libre, la balle n'est soumise qu'à son poids $P = m \cdot g$ .

Deuxième loi de Newton : $\sum F_{ext} = P = m \cdot a$ soit $m \cdot g = m \cdot a$ donc $a = g$ .

En projection selon les axes Ox et Oy du repère choisi et compte tenu du sens du vecteur $g$ indiqué sur le schéma il vient :

$a {a_{x} = g_{x} = 0 a_{y} = g_{y} = - g$

Q4- $a = \frac{d v}{d t}$ donc $a_{x} = \frac{d v _{x} ( t )}{d t}$ et $a_{y} = \frac{d v _{y} ( t )}{d t}$

Ainsi en primitivant on obtient $v {v_{x} (t) = C t e_{1} v_{y} (t) = - g \cdot t + C t e_{2}$

On détermine les constantes avec les conditions initiales.

Coordonnées du vecteur vitesse initiale $v_{0} {v_{0 x} = v_{0} cos α v_{0 y} = v_{0} sin α$

Compte tenu du vecteur vitesse initiale $v_{0}$ ( $t = 0$ ) on a :

$v_{0} cos α = C t e_{1}$
$v_{0} sin α = 0 + C t e_{2}$

Finalement : $v {v_{x} (t) = v_{0} cos α v_{y} (t) = - g \cdot t + v_{0} sin α$

$v = \frac{d O G}{d t}$ donc $v_{x} (t) = \frac{d x ( t )}{d t}$ et $v_{y} (t) = \frac{d y ( t )}{d t}$

En primitivant on obtient $O G (t) ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = v_{0} cos α \cdot t + C t e_{3} y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α \cdot t + C t e_{4}$

Conditions initiales, à $t = 0$ s, la balle est au point $M_{0}$ de coordonnées ( $x (0) = 0$ ; $y (0) = H_{(h)}$ ) donc :

$0 + C t e_{3} = 0$
$0 + 0 + C t e_{4} = h$

Finalement, on obtient les équations horaires :

$O G (t) ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = (v_{0} cos (α)) \cdot t y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + (v_{0} sin (α)) \cdot t + h$

Q5- $t = \frac{x ( t )}{v _{0} cos ( α )}$

$y (x) = - \frac{1}{2} g (\frac{x}{v _{0} cos ( α )})^{2} + v_{0} sin α \cdot \frac{x}{v _{0} cos ( α )} + h$

$y (x) = - \frac{1}{2} g \times (\frac{x}{v _{0} cos ( α )})^{2} + x \cdot tan (α) + h$

Q6- La joueuse peut intervenir sur la vitesse initiale $v_{0}$ et sur l'angle $α$ du vecteur vitesse initial. La hauteur $h$ est imposée par l'utilisation d'un tee et est considérée fixe.

Q7- Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Pour réussir le slam dunk, il faut que lorsque $y (d) = 0$ , c'est-à-dire toucher le sol au niveau du trou circulaire.

$y (d) = - \frac{1}{2} g (\frac{d}{v _{0} cos ( α )})^{2} + d \cdot tan (α) + h$

$y (d) = - \frac{1}{2} \times 9, 81 \times (\frac{1 , 5 \times 1 0 ^{2}}{30 \times cos ( 39° )})^{2} + 1, 5 \times 1 0^{2} \times tan (39°) + 3, 0 \times 1 0^{- 2} = - 82 m \neq = 0.$

La balle a touché le sol bien avant d'atteindre les 150 m du trou. La joueuse n'a pas réussi son slam dunk.

Autre méthode : Déterminons pour quelle distance la balle touchera le sol.

$y (d) = - \frac{1}{2} g (\frac{d}{v _{0} cos ( α )})^{2} + d \cdot tan (α) + h = 0$

$- \frac{1}{2} \times 9, 81 \times (\frac{1}{30 \times cos ( 39° )})^{2} \times d^{2} + d \times tan (39°) + 3, 0 \times 1 0^{- 2} = 0$

On ne retient que la solution positive donnée par la calculatrice : $d \approx 90 m < 150 m$ . Le slam dunk est raté.

Résolution à la calculatrice : $x_{1} \approx - 0, 037$ ; $x_{2} \approx 89, 78$ . On retient $d \approx 90 m$ .

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