Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 3 : La face cachée de la Lune

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La Lune est le satellite naturel de la Terre qui a été étudié, voire exploré, sous différents angles et qui continue de fasciner.

Données :

Constante de gravitation universelle : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ ;
Masse de la Lune : $M_{L} = 7, 34 \times 1 0^{22} kg$ ;
Masse de la Terre : $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ ;
Rayon de la Lune : $R_{L} = 1, 74 \times 1 0^{6} m$ ;
Distance moyenne du centre de la Terre à la Lune : $d_{T - L} = 384400 km$ ;
Distance moyenne du centre de la Lune au satellite relais Queqiao 2 : $d_{T - Q} = 449600 km$ ;
Distance moyenne satellite relais Queqiao 2 - Chang'e 6 : $d_{Q - C} = 65000 km$ ;
La célérité de la lumière dans le vide est supposée connue.

1. La Lune sous tous les angles

Dans cette partie, la Lune est modélisée par un point matériel L, de masse $M_{L}$ , en orbite supposée circulaire à la distance $d_{T - L}$ du centre de la Terre T, de masse $M_{T}$ . Le mouvement de la Lune est étudié dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. La seule interaction gravitationnelle prise en compte est celle entre la Lune et la Terre.

Q1. Schématiser, sans souci d'échelle, la Terre et la Lune. Placer le repère de Frenet centré sur la Lune $(u_{N}, u_{T})$ et représenter la force à laquelle est soumise la Lune.

Q2. Donner dans le repère de Frenet, l'expression vectorielle de la force à laquelle est soumise la Lune.

Q3. Déduire de la seconde loi de Newton appliquée à la Lune, l'expression de la période de révolution de la Lune autour de la Terre :

$T = 2 π \frac{d _{T - L}^{3}}{G \times M _{T}}$

Q4. Calculer la valeur de la période de révolution $T$ de la Lune autour de la Terre. Sachant que la Lune tourne sur elle-même en environ 28 jours, expliquer pourquoi on ne voit qu'une seule face de la Lune.

2. Comment bien communiquer ?

Après plusieurs explorations sur la face visible de la Lune, la Chine a mis en place une mission pour explorer la face cachée de la Lune. La mission utilise une sonde appelée Chang'e 6, du nom de la déesse de la Lune dans la mythologie chinoise.

Les services de communication ont besoin d'un satellite relais pour pouvoir interagir avec la sonde Chang'e 6 qui, du fait de sa position sur la face cachée ne peut pas interagir directement avec les instruments de communication sur Terre. Le 20 mars 2024, la Chine a donc envoyé en orbite lunaire le satellite relais Queqiao 2. Celui-ci a été placé sur une orbite optimisée (figure 2) pour assurer le relais depuis la face cachée.

La bande UHF est une bande de communication par signaux électromagnétiques de fréquences comprises entre $300 MHz$ et $3000 MHz$ .

Q5. Déterminer les longueurs d'onde associées à ces signaux électromagnétiques. En déduire le domaine spectral auxquelles ils appartiennent.

Q6. Estimer la durée nécessaire pour que l'information émise depuis la station terrienne parvienne à Chang'e 6. Commenter.

3. L'exploration lunaire

Chang'e 6 contient des appareillages permettant l'étude de différents paramètres de la face cachée de la Lune dont un instrument français nommé DORN développé à Toulouse.

DORN (Detection of Outgassing Radon) est un spectromètre alpha (ou à noyau d'hélium) constitué de détecteurs qui mesurent l'activité du radon en comptant les noyaux d'hélium créés lors de la désintégration du radon.

Les mesures effectuées lors de la mission Chang'e 6 montrent une activité du radon constante.

Le radon $_{86}^{222} Rn$ est un gaz rare inerte issu de la désintégration radioactive de l'uranium $_{92}^{238} U$ via le radium $_{88}^{226} Ra$ dans le sous-sol lunaire.

Données :

Demi-vies :
$4, 5$ milliards d'années pour $^{238} U$ ;
$1600$ ans pour $^{226} Ra$ ;
$4$ jours pour $^{222} Rn$ .

Q7. Écrire l'équation de désintégration nucléaire pour passer du radium 226 au radon 222. En déduire le type de radioactivité.

Le radon 222 est le traceur idéal du dégazage lunaire car il est libéré du sous-sol lunaire et diffuse jusqu'à sa surface où il se désintègre.

Q8. Définir la demi-vie d'un noyau radioactif.

Q9. Tracer l'allure de la courbe d'évolution de décroissance radioactive du radon 222, $N = f (t)$ , d'un échantillon ayant une population initiale $N_{0}$ de noyaux radioactifs. Représenter la demi-vie du radon 222 sur cette courbe.

Q10. Justifier à l'aide des données fournies pour les différents noyaux radioactifs pourquoi le radon 222 est un traceur adapté à l'étude du dégazage lunaire sur une durée d'une semaine.

Corrigé

1. La Lune sous tous les angles

Q1. (figure : schéma de la Terre et de la Lune, repère de Frenet $(u_{N}, u_{T})$ centré sur la Lune. La Lune est soumise à la force d'attraction gravitationnelle $F_{T - L}$ exercée par la Terre, dirigée de la Lune vers la Terre, selon $u_{N}$ .)

Remarque : l'énoncé « la Lune est modélisée par un point matériel », donc ne pas tenir compte du rayon de la Lune qui d'ailleurs n'apparaît pas en Q3 : donc $d_{T - L}$ = distance centre à centre.

Q2. Dans le repère de Frenet, l'expression vectorielle de la force à laquelle est soumise la Lune :

$F_{T - L} = G \cdot \frac{M _{T} \cdot M _{L}}{d _{T - L}^{2}} \cdot u_{N}$

Q3. Système (Lune) de masse $M_{L}$ et de centre L. Référentiel géocentrique supposé galiléen. Repère de Frenet $(u_{N}, u_{T})$ .

La Lune n'est soumise qu'à la force gravitationnelle exercée par la Terre :

$F_{T - L} = G \cdot \frac{M _{T} \cdot M _{L}}{d _{T - L}^{2}} \cdot u_{N}$

Deuxième loi de Newton appliquée à la Lune : $\sum F_{e x t} = F_{T - L} = M_{L} \cdot a_{L}$ .

Soit : $G \cdot \frac{M _{T} \cdot M _{L}}{d _{T - L}^{2}} \cdot u_{N} = M_{L} \cdot a_{L}$ donc $a_{L} = G \cdot \frac{M _{T}}{d _{T - L}^{2}} \cdot u_{N}$ .

Dans le repère de Frenet le vecteur accélération de la Lune s'écrit : $a_{L} = \frac{v _{L}^{2}}{d _{T - L}} \cdot u_{N} + \frac{d v _{L}}{d t} \cdot u_{T}$ .

Par identification entre les deux expressions du vecteur accélération, on obtient :

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{v _{L}^{2}}{d _{T - L}} = \frac{G \cdot M _{T}}{d _{T - L}^{2}} \frac{d v _{L}}{d t} = 0$

Comme $\frac{d v _{L}}{d t} = 0$ alors $v_{L} = Cte$ ; le mouvement de la Lune est uniforme.

La valeur de la vitesse est : $\frac{v _{L}^{2}}{d _{T - L}} = \frac{G \cdot M _{T}}{d _{T - L}^{2}} \Leftrightarrow v_{L}^{2} = \frac{G \cdot M _{T}}{d _{T - L}}$ soit $v_{L} = \frac{G \cdot M _{T}}{d _{T - L}}$ .

La Lune parcourt un cercle de périmètre $2 π d_{T - L}$ pendant la durée $T$ à la vitesse $v_{L}$ soit :

$\frac{2 π d _{T - L}}{T} = v_{L}$

Ainsi : $\frac{2 π d _{T - L}}{T} = \frac{G \cdot M _{T}}{d _{T - L}}$ .

En élevant au carré : $\frac{4 π ^{2} d _{T - L}^{2}}{T ^{2}} = \frac{G \cdot M _{T}}{d _{T - L}} \Rightarrow T^{2} = \frac{4 π ^{2} d _{T - L}^{3}}{G \cdot M _{T}}$ .

Soit finalement :

$T = 2 π \frac{d _{T - L}^{3}}{G \cdot M _{T}}$

Q4. En convertissant la distance Terre-Lune en mètres :

$T = 2 π \frac{( 384 400 \times 1 0 ^{3} ) ^{3}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 5 , 97 \times 1 0 ^{24}} = 2, 37 \times 1 0^{6} s = 27, 5 j (\approx 28 j)$

La période de révolution de la Lune autour de la Terre étant égale à sa période de rotation propre, la Lune montre toujours la même face à la Terre (rotation synchrone).

2. Comment bien communiquer ?

Q5. On a : $λ = \frac{c}{f}$ .

Pour $f = 300 MHz = 300 \times 1 0^{6} Hz$ : $λ = \frac{3 , 00 \times 1 0 ^{8} m \cdot s ^{- 1}}{300 \times 1 0 ^{6} s ^{- 1}} = 1, 00 m$ .

Pour $f = 3000 MHz = 3000 \times 1 0^{6} Hz$ : $λ = \frac{3 , 00 \times 1 0 ^{8} m \cdot s ^{- 1}}{3000 \times 1 0 ^{6} s ^{- 1}} = 1, 00 \times 1 0^{- 1} m$ .

Les longueurs d'ondes sont comprises entre $10, 0 cm$ et $1, 00 m$ : il s'agit donc de micro-ondes.

Q6. Le trajet de l'information est : Terre $\to$ Queqiao $\to$ Chang'e 6. La durée nécessaire est donc :

$Δ t = Δ t_{T - Q} + Δ t_{Q - C} soit Δ t = \frac{d _{T - Q} + d _{Q - C}}{c}$

$Δ t = \frac{449 600 \times 1 0 ^{3} m + 65 000 \times 1 0 ^{3} m}{3 , 00 \times 1 0 ^{8} m \cdot s ^{- 1}} = 1, 72 s$

L'information émise depuis la station terrienne ne parvient pas à Chang'e 6 en temps réel mais le décalage temporel est relativement court.

3. L'exploration lunaire

Q7. $_{88}^{226} Ra \to_{86}^{222} Rn +_{Z}^{A} X$

En appliquant les lois de conservation de Soddy :

conservation du nombre de nucléons : $226 = 222 + A$ donc $A = 4$ ,
conservation du nombre de charge : $88 = 86 + Z$ donc $Z = 2$ .

Le noyau $_{Z}^{A} X$ est donc un noyau $_{2}^{4} He$ : il s'agit d'une radioactivité $α$ .

$_{88}^{226} Ra \to_{86}^{222} Rn +_{2}^{4} He$

Q8. La demi-vie est égale à la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux initialement présents se soient désintégrés.

Q9. (figure : courbe de décroissance radioactive $N = f (t)$ — la valeur $N$ part de $N_{0}$ et décroît : $N_{0} /2$ à $t_{1/2}$ , $N_{0} /4$ à $2 t_{1/2}$ , $N_{0} /8$ à $3 t_{1/2}$ , $N_{0} /16$ à $4 t_{1/2}$ . La demi-vie $t_{1/2}$ du radon 222 vaut 4 jours.)

Remarque : une autre réponse est possible (en accord avec l'information « activité constante ») : $A = - \frac{d N}{d t} = k$ donne $N (t) = - k \cdot t + N_{0}$ , fonction affine décroissante représentée par une droite.

Q10. La demi-vie du radon 222 ( $4 j$ ) est courte par rapport à celles du radium 226 ( $1600$ ans) et de l'uranium 283 ( $4, 5$ milliards d'années). Le traceur est donc adapté à l'étude du dégazage lunaire sur une semaine, soit 7 j car qui correspond à une durée environ égale à 2 demi-vies du radon. Le radium et l'uranium ont des demi-vies bien trop grandes pour pouvoir observer les variations à l'échelle de la durée de la mission.

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