Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 3 : Mostiglass, le vitrage moustiquaire rafraichissant

EXERCICE 3 : Mostiglass, le vitrage moustiquaire rafraichissant (6 points)

La Mostiglass est un vitrage en polycarbonate qui s'installe facilement devant les ouvertures et permet de réguler la température de l'air entrant, tout en protégeant des nuisibles à la façon d'une moustiquaire.

Source : d'après mostiglass.fr

L'objectif de cet exercice est d'expliquer la baisse de la température de l'intérieur d'une habitation par effet Venturi.

1. À la découverte de la Mostiglass

La Mostiglass est un vitrage transparent, perforé d'une multitude de fentes, comme l'indique la figure 1.

Pour mesurer précisément les dimensions des fentes de la Mostiglass, on utilise la diffraction de la lumière.

Q.1. Donner une condition nécessaire à l'observation du phénomène de diffraction d'une onde lumineuse.

On réalise le montage suivant pour mesurer la largeur d'une fente de la Mostiglass : un faisceau de lumière issu d'un laser de longueur d'onde $\lambda$, traverse une perforation de la Mostiglass assimilable à une fente de largeur $\ell$.

Données :

• Distance entre la fente et l'écran : $D=3,00\mathrm{m}$ avec $u(D)=0,01\mathrm{m}$ ;
• Longueur d'onde du laser utilisé : $\lambda =650\mathrm{nm}$ ;
• La mesure de la largeur de la tache centrale sur la figure de diffraction obtenue en éclairant une perforation est $d=6,0\mathrm{mm}$ avec $u(d)=0,5\mathrm{mm}$.

Q.2. Donner la relation entre l'angle de diffraction $\theta$, la longueur d'onde $\lambda$, et la largeur de la fente $\ell$.

Q.3. Établir, en utilisant l'approximation des petits angles $\tan \theta \approx \theta$, la relation entre $\theta$, la distance $D$ entre la fente et l'écran, et $d$, la largeur de la tache centrale de diffraction. En déduire la relation suivante :

$$\frac{\lambda }{\ell }=\frac{d}{2D}$$

Q.4. En déduire la valeur de $\ell$, la largeur de la fente.

Données :

• Pour décider si le résultat d'une mesure est en accord avec une valeur de référence, on utilise le quotient $\left|\frac{x-x_{r\acute{e}f}}{u(x)}\right|$ avec $x$, la valeur mesurée ; $x_{r\acute{e}f}$ la valeur de référence et $u(x)$, l'incertitude-type associée à cette valeur ;
• L'incertitude-type sur la largeur $\ell$ peut être obtenue grâce à la relation :

$$u(\ell )=\ell \times \sqrt{{\left(\frac{u(d)}{d}\right)}^2+{\left(\frac{u(D)}{D}\right)}^2}$$

Q.5. Calculer l'incertitude-type $u(\ell )$. Vérifier que le résultat de la mesure est compatible avec la valeur de référence $\ell =0,55\mathrm{mm}$.

2. Étude de l'effet Venturi appliqué à la Mostiglass

Les fentes présentes sur la Mostiglass sont rétrécies : la surface d'entrée en contact avec l'air extérieur est supérieure à la surface de sortie en contact avec l'air intérieur. Ce rétrécissement est à l'origine de l'effet Venturi.

On réalise un montage (figure 3) dans lequel on injecte, à l'aide d'un sèche-cheveux, de l'air chaud dans un tunnel au centre duquel on place la Mostiglass. Ce montage est schématisé figure 4.

On suit l'évolution de la température en fonction du temps dans le tunnel avant et après la Mostiglass à l'aide de deux thermomètres reliés à une interface d'acquisition.

L'expérience est réalisée sans la Mostiglass. Les courbes obtenues sont représentées en figure 5a. $T_1$ est la température d'entrée dans le tunnel, $T_2$ est la température en sortie du tunnel. Puis la Mostiglass est insérée au centre du tunnel, les courbes obtenues sont représentées en figure 5b.

Q.6. Évaluer la valeur de la différence de température en régime permanent dans les deux études et confirmer l'intérêt de la Mostiglass.

Données :

• La vitesse de l'air chaud à l'entrée du tunnel avant la Mostiglass a pour valeur $v_1=2,0\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ;
• La masse volumique de l'air vaut $1,2\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ ;
• Le tunnel utilisé a une section carrée de surface $S_0=4,0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ ;
• Les fentes de la plaque de Mostiglass utilisée n'ont pas la même dimension en entrée et en sortie, donc :
• en entrée, en A : la surface ouverte est $S_A=1,8\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ ;
• en sortie, en B : la surface ouverte est $S_B=0,95\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ (il y a un rétrécissement).
• Expression du débit volumique $D_v$ : $D_v=v\times S$ avec $v$ la vitesse d'écoulement du fluide et $S$ la section traversée par le fluide ;
• Relation de Bernoulli pour l'écoulement d'un fluide parfait et incompressible en régime permanent entre deux points A et B situés sur une même ligne d'écoulement horizontale :

$$\frac{1}{2}\rho \times v_A{}^2+p_A=\frac{1}{2}\rho \times v_B{}^2+p_B$$

avec $\rho$ la masse volumique du fluide, $v_A$ et $v_B$ les vitesses d'écoulement en A et B et $p_A$ et $p_B$ les pressions en A et B ;

• $T$ (kelvin) $=273+T$ (°C) ;
• La relation entre la variation de pression (en Pa) et la variation de température (en K) est donnée par l'expression suivante :

$$\frac{\Delta T}{T}=\frac{\Delta P}{P}$$

• On prend comme référence la température à l'entrée de la Mostiglass exprimée en kelvin et la pression $p_A$ égale à $1,01\times 10^5\mathrm{Pa}$.

On considère l'air comme un fluide parfait et incompressible en écoulement permanent.

Q.7. Justifier, à l'aide de la conservation du débit volumique, que $v_1$, la vitesse de l'air à l'entrée du tunnel, a la même valeur que $v_2$, celle à la sortie du tunnel.

Q.8. Calculer, à l'aide de la conservation du débit volumique, les valeurs des vitesses $v_A$ et $v_B$ de l'air à l'entrée A et à la sortie B de la Mostiglass.

L'effet Venturi se produit lors du passage d'un fluide dans une conduite dont la section diminue. Il provoque une chute de pression.

Q.9. Montrer, en utilisant la relation de Bernoulli, que la Mostiglass provoque bien un effet Venturi et évaluer l'ordre de grandeur de la baisse de température pour la comparer à celle de l'expérience. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche. Toute démarche pertinente, même non aboutie, sera valorisée.