Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 3 : Raven Saunders, la lanceuse de poids américaine

Raven Saunders, médaillée d'argent du lancer du poids aux Jeux olympiques de Tokyo 2021 s'est qualifiée pour la finale des JO 2024 au stade de France, grâce à un lancer qui fait l'objet de cet exercice.

Le « poids » est une sphère métallique lisse de masse $m$. Le lanceur se trouve dans une aire de lancement délimitée par un cercle métallique et un butoir B. La portée du jet $D$ est mesurée du butoir B au point de chute M comme indiqué sur la figure 1.

À l'issue de la phase d'élan, la sphère métallique est abandonnée en A, à la hauteur $OA=h$ au-dessus du sol horizontal, à la distance $BO$ du butoir B, figure 2. Le bras qui lance fait alors un angle $\alpha$ avec l'horizontale ; cet angle $\alpha$ est considéré comme étant celui de la direction du vecteur vitesse initial $\overrightarrow{v_0}$ avec l'horizontale.

Données :

• masse de la sphère métallique : $m=4,00\mathrm{kg}$ ;
• portée du jet : $D=18,62\mathrm{m}$ ;
• hauteur $OA=h=1,80\mathrm{m}$ ;
• distance $BO=0,30\mathrm{m}$ ;
• angle entre l'horizontale et le bras de la lanceuse $\alpha =45,0°$ ;
• intensité de la pesanteur : $g=9,81\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ ;
• la valeur de la force de frottements $\overrightarrow{f}$ exercée par l'air est donnée par l'expression :

$$f=\frac{1}{2}\rho \cdot C_x\cdot S\cdot v^2\text{avec,}$$

$S$ l'aire de la section équatoriale de la sphère : $S=7,62\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ ; $\rho$ la masse volumique de l'air : $\rho =1,29\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ ; $C_x$ un coefficient caractéristique de la forme de l'objet : $C_x=0,51$ ; $v$ la valeur de la vitesse maximale : $v=14\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Le référentiel d'étude est Galiléen.

Q1. Montrer que la valeur de la force de frottements $\overrightarrow{f}$ est très petite devant la valeur du poids $\overrightarrow{P}$ agissant sur la sphère métallique.

On négligera la force de frottements $\overrightarrow{f}$ par rapport au poids $\overrightarrow{P}$ dans la suite du problème.

Q2. Montrer que les équations horaires du mouvement de la sphère métallique dès l'instant où cette dernière est abandonnée en A sont :

$$\overrightarrow{OG}\{\begin{array}{l}x(t)=(v_0\cdot \cos \alpha )\cdot t\\ z(t)=-\frac{1}{2}g\cdot t^2+(v_0\cdot \sin \alpha )\cdot t+h\end{array}$$

Q3. Dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$, montrer que l'expression littérale de l'équation de la trajectoire du centre de masse de la sphère métallique est :

$$z(x)=-\frac{1}{2}g\cdot \frac{x^2}{v_0^2\cdot {\cos }^2(\alpha )}+x\cdot \tan \alpha +h$$

Q4. Montrer, en utilisant les données et le schéma de la figure 2, que l'abscisse $x_M$ du point de chute M vaut $x_M=18,32\mathrm{m}$.

Pour la suite de l'exercice, on admettra que la valeur de la vitesse initiale est égale à $v_0=12,8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Q5. Vérifier que la valeur de la durée $t_M$ du déplacement de la sphère métallique entre A et M est d'environ 2 s.

Q6. En déduire la valeur $v_M$ de la vitesse au moment du contact avec le sol.

Q7. L'origine des énergies potentielles étant fixée au niveau du sol horizontal, exprimer l'énergie mécanique $E_m$ de la sphère métallique au moment du lancer en fonction de sa masse $m$, de la hauteur $h$, de l'intensité de la pesanteur $g$ et de la vitesse initiale $v_0$.

Q8. En déduire l'expression de la vitesse $v_M$ au point de chute M, à l'aide d'un raisonnement énergétique. Calculer sa valeur et vérifier la cohérence avec le résultat de la question Q6.