Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 3 : Raven Saunders, la lanceuse de poids américaine

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

Raven Saunders, médaillée d'argent du lancer du poids aux Jeux olympiques de Tokyo 2021 s'est qualifiée pour la finale des JO 2024 au stade de France, grâce à un lancer qui fait l'objet de cet exercice.

Le « poids » est une sphère métallique lisse de masse $m$ . Le lanceur se trouve dans une aire de lancement délimitée par un cercle métallique et un butoir B. La portée du jet $D$ est mesurée du butoir B au point de chute M comme indiqué sur la figure 1.

À l'issue de la phase d'élan, la sphère métallique est abandonnée en A, à la hauteur $O A = h$ au-dessus du sol horizontal, à la distance $B O$ du butoir B, figure 2. Le bras qui lance fait alors un angle $α$ avec l'horizontale ; cet angle $α$ est considéré comme étant celui de la direction du vecteur vitesse initial $v_{0}$ avec l'horizontale.

Données :

masse de la sphère métallique : $m = 4, 00 kg$ ;
portée du jet : $D = 18, 62 m$ ;
hauteur $O A = h = 1, 80 m$ ;
distance $B O = 0, 30 m$ ;
angle entre l'horizontale et le bras de la lanceuse $α = 45, 0°$ ;
intensité de la pesanteur : $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ ;
la valeur de la force de frottements $f$ exercée par l'air est donnée par l'expression :

$f = \frac{1}{2} ρ \cdot C_{x} \cdot S \cdot v^{2} avec,$

$S$ l'aire de la section équatoriale de la sphère : $S = 7, 62 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ ; $ρ$ la masse volumique de l'air : $ρ = 1, 29 kg \cdot m^{- 3}$ ; $C_{x}$ un coefficient caractéristique de la forme de l'objet : $C_{x} = 0, 51$ ; $v$ la valeur de la vitesse maximale : $v = 14 m \cdot s^{- 1}$ .

Le référentiel d'étude est Galiléen.

Q1. Montrer que la valeur de la force de frottements $f$ est très petite devant la valeur du poids $P$ agissant sur la sphère métallique.

On négligera la force de frottements $f$ par rapport au poids $P$ dans la suite du problème.

Q2. Montrer que les équations horaires du mouvement de la sphère métallique dès l'instant où cette dernière est abandonnée en A sont :

$O G ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = (v_{0} \cdot cos α) \cdot t z (t) = - \frac{1}{2} g \cdot t^{2} + (v_{0} \cdot sin α) \cdot t + h$

Q3. Dans le repère $(O, i, k)$ , montrer que l'expression littérale de l'équation de la trajectoire du centre de masse de la sphère métallique est :

$z (x) = - \frac{1}{2} g \cdot \frac{x ^{2}}{v _{0}^{2} \cdot cos ^{2} ( α )} + x \cdot tan α + h$

Q4. Montrer, en utilisant les données et le schéma de la figure 2, que l'abscisse $x_{M}$ du point de chute M vaut $x_{M} = 18, 32 m$ .

Pour la suite de l'exercice, on admettra que la valeur de la vitesse initiale est égale à $v_{0} = 12, 8 m \cdot s^{- 1}$ .

Q5. Vérifier que la valeur de la durée $t_{M}$ du déplacement de la sphère métallique entre A et M est d'environ 2 s.

Q6. En déduire la valeur $v_{M}$ de la vitesse au moment du contact avec le sol.

Q7. L'origine des énergies potentielles étant fixée au niveau du sol horizontal, exprimer l'énergie mécanique $E_{m}$ de la sphère métallique au moment du lancer en fonction de sa masse $m$ , de la hauteur $h$ , de l'intensité de la pesanteur $g$ et de la vitesse initiale $v_{0}$ .

Q8. En déduire l'expression de la vitesse $v_{M}$ au point de chute M, à l'aide d'un raisonnement énergétique. Calculer sa valeur et vérifier la cohérence avec le résultat de la question Q6.

Corrigé

Q1. $P = m \cdot g$

$P = 4, 00 \times 9, 81 = 39, 2 N$

$f = \frac{1}{2} ρ \cdot C_{x} \cdot S \cdot v^{2}$

$f = \frac{1}{2} \times 1, 29 \times 0, 51 \times 7, 62 \times 1 0^{- 3} \times 1 4^{2} = 0, 49 N$

$\frac{P}{f} = 80 ou P = 80 f$

Ce qui confirme que la force de frottement de l'air est négligeable face au poids.

$f ≪ P$

Q2. Système {sphère métallique} de masse $m$ et de centre de masse M.

Référentiel terrestre supposé galiléen. Repère d'étude $(O x z)$ .

Dans le cas d'une chute libre, la sphère métallique n'est soumise qu'à son poids $P = m \cdot g$ .

Deuxième loi de Newton : $\sum F_{e x t} = P = m \cdot a$ soit $m \cdot g = m \cdot a$ donc $a = g$ .

En projection selon les axes Ox et Oz du repère choisi et compte tenu du sens du vecteur $g$ , il vient :

$a (t) {a_{x} (t) = g_{x} = 0 a_{z} (t) = g_{z} = - g$

$a = \frac{d v}{d t} donc a_{x} (t) = \frac{d v _{x} ( t )}{d t} et a_{z} (t) = \frac{d v _{z} ( t )}{d t}$

Ainsi en primitivant on obtient $v {v_{x} (t) = C t e_{1} v_{z} (t) = - g \cdot t + C t e_{2}$

On détermine les constantes avec les conditions initiales.

Coordonnées du vecteur vitesse initiale $v_{0} {v_{0 x} = v_{0} \cdot cos α v_{0 z} = v_{0} \cdot sin α$

Compte tenu du vecteur vitesse initiale $v_{0} = v (t = 0)$ on a :

$v_{0} cos α = C t e_{1}$ $v_{0} sin α = 0 + C t e_{2}$

Finalement : $v {v_{x} (t) = v_{0} \cdot cos α v_{z} (t) = - g \cdot t + v_{0} \cdot sin α$

À chaque instant $v = \frac{d O G}{d t}$ donc $v_{x} (t) = \frac{d x ( t )}{d t}$ et $v_{z} (t) = \frac{d z ( t )}{d t}$ .

En primitivant on obtient $O G ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = (v_{0} \cdot cos α) \cdot t + C t e_{3} z (t) = - \frac{1}{2} g \cdot t^{2} + (v_{0} \cdot sin α) \cdot t + C t e_{4}$

Conditions initiales, à $t = 0$ s, la sphère est au point A de coordonnées $(x (0) = 0; z (0) = h)$ donc :

$0 + C t e_{3} = 0$ $0 + 0 + C t e_{4} = h$

Finalement, on obtient les équations horaires :

$O G ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = (v_{0} \cdot cos α) \cdot t z (t) = - \frac{1}{2} g \cdot t^{2} + (v_{0} \cdot sin α) \cdot t + h$

Q3. De $x (t) = (v_{0} cos α) t$ on tire $t = \frac{x ( t )}{v _{0} \cdot cos ( α )}$

$z (x) = - \frac{1}{2} g \cdot (\frac{x}{v _{0} \cdot cos ( α )})^{2} + v_{0} \cdot sin α \cdot \frac{x}{v _{0} \cdot cos ( α )} + h$

$z (x) = - \frac{1}{2} g \cdot \frac{x ^{2}}{v _{0}^{2} \cdot cos ^{2} ( α )} + x \cdot tan α + h$

Q4. D'après la figure 2, $D = B O + O M$ où $O M = x_{M}$ donc $x_{M} = D - B O$ :

$x_{M} = 18, 62 - 0, 30 = 18, 32 m$

Q5. $x (t) = x_{M} = (v_{0} cos α) t$ donc $t_{M} = \frac{x _{M}}{v _{0} cos α}$

$t_{M} = \frac{18 , 32}{12 , 8 \times cos 45°} = 2, 02 s \approx 2 s$

On retrouve bien la durée de 2 s.

Q6. On a établi précédemment que $v {v_{x} (t) = v_{0} \cdot cos α v_{z} (t) = - g \cdot t + v_{0} \cdot sin α$

$v_{M} = v_{x}^{2} (t_{M}) + v_{z}^{2} (t_{M})$

$v_{M} = (12, 8 \times cos 45°)^{2} + (- 9, 81 \times 2 + 12, 8 \times sin 45°)^{2} = 14 m \cdot s^{- 1}$

La valeur de $t$ étant très arrondie, on ne peut pas donner une grande précision à $v_{M}$ .

Q7. $E_{m} = E_{C} + E_{P P}$

$E_{m} = \frac{1}{2} m \cdot v_{0}^{2} + m \cdot g \cdot h$

Q8. Au point de chute $E_{m} = \frac{1}{2} m \cdot v_{M}^{2}$ .

Si l'on néglige les frottements de l'air, alors il y a conservation de l'énergie mécanique.

$\frac{1}{2} m \cdot v_{0}^{2} + m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m \cdot v_{M}^{2}$

$v_{0}^{2} + 2 \cdot g \cdot h = v_{M}^{2}$

$v_{M} = v_{0}^{2} + 2 \cdot g \cdot h$

$v_{M} = 12, 8^{2} + 2 \times 9, 81 \times 1, 80 = 14 m \cdot s^{- 1}$

On retrouve la valeur obtenue en Q6.

Poser une question au tuteur sur ce sujet