Corrigé bac physique-chimie 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 1 : Effusivité et transferts thermiques (carrelage/parquet)

1. Détermination de l'effusivité d'un matériau

Q.1. L'effusivité est définie par $E=\sqrt{\lambda \times c_v}=(\lambda \times c_v{)}^{1/2}$. On remplace chaque grandeur par son unité :

$$[E]=(\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\times \mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}{)}^{1/2}=({\mathrm{J}}^2\cdot {\mathrm{K}}^{-2}\cdot {\mathrm{m}}^{-4}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}{)}^{1/2}.$$

Élever à la puissance $1/2$ revient à diviser par 2 chaque exposant :

$$[E]={\mathrm{J}}^1\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{s}}^{-1/2}=\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{s}}^{-1/2}.$$

L'effusivité s'exprime bien en $\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{s}}^{-1/2}$.

Q.2. Le transfert thermique s'effectue spontanément du corps chaud vers le corps froid, c'est-à-dire ici du morceau de carrelage (39,7 °C) vers l'eau du calorimètre (25,4 °C), jusqu'à l'égalité des températures (équilibre thermique à 25,9 °C).

Q.3. Premier principe de la thermodynamique : pour un système fermé au repos, la variation de son énergie interne entre l'état initial et l'état final est égale à la somme du travail et du transfert thermique reçus :

$$\Delta U=W+Q,$$

où $\Delta U$ est la variation d'énergie interne (en J), $W$ le travail reçu par le système (en J) et $Q$ le transfert thermique reçu (en J) ; ces trois grandeurs sont comptées positivement lorsqu'elles sont reçues par le système.

Application au système \{eau + carrelage\} dans le calorimètre : l'énoncé précise que l'on néglige tout travail ($W=0$) et tout transfert thermique avec l'extérieur ($Q=0$). Donc

$$\Delta U_{\text{systeˋme}}=0\text{soit}\Delta U_{\text{eau}}+\Delta U_{\text{carrelage}}=0.$$

L'énergie cédée par le carrelage est intégralement reçue par l'eau.

Q.4. L'eau est un système incompressible de capacité thermique $C_{\text{eau}}=m_{\text{eau}}{c}_{\text{eau}}$ :

$$\Delta U_{\text{eau}}=m_{\text{eau}}{c}_{\text{eau}}({\theta }_f-{\theta }_i)=0,720\times 4,18\times 10^3\times (25,9-25,4)$$

$$\Delta U_{\text{eau}}=1,50\times 10^3\mathrm{J}.$$

Ce que le correcteur attend : la masse convertie en kilogrammes ($720\mathrm{g}=0,720\mathrm{kg}$) et le fait qu'un écart de température est le même en °C et en K, $\Delta T=\Delta \theta =0,5\mathrm{K}$ : nul besoin de convertir les températures. La valeur est positive : l'eau reçoit bien de l'énergie.

Q.5. D'après Q.3, $\Delta U_{\text{carrelage}}=-\Delta U_{\text{eau}}=-1,5048\times 10^3\mathrm{J}$, et $\Delta U_{\text{carrelage}}=C_{\text{carrelage}}({\theta }_f-{\theta }_{i\text{carrelage}})$, d'où

$$C_{\text{carrelage}}=\frac{-\Delta U_{\text{eau}}}{{\theta }_f-{\theta }_{i\text{carrelage}}}=\frac{-1,5048\times 10^3}{25,9-39,7}=\frac{-1,5048\times 10^3}{-13,8}$$

$$C_{\text{carrelage}}=109\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}.$$

Le signe est cohérent : le carrelage se refroidit ($\Delta \theta <0$) et cède de l'énergie ($\Delta U<0$), donc $C_{\text{carrelage}}>0$.

Q.6. Par définition de la capacité thermique volumique :

$$c_{v\text{carrelage}}=\frac{C_{\text{carrelage}}}{V}=\frac{109}{5,50\times 10^{-5}}=1,98\times 10^6\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}.$$

Q.7. En reportant dans la définition de l'effusivité :

$$E_{\text{carrelage}}=\sqrt{{\lambda }_{\text{carrelage}}\times c_{v\text{carrelage}}}=\sqrt{1,3\times 1,98\times 10^6}=\sqrt{2,58\times 10^6}$$

$$E_{\text{carrelage}}=1,60\times 10^3\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{s}}^{-1/2}.$$

(Le calcul mené avec les valeurs non arrondies donne $1,605\times 10^3$ : l'accord est parfait. La donnée ${\lambda }_{\text{carrelage}}$ n'ayant que deux chiffres significatifs, on ne revendiquerait en toute rigueur que $1,6\times 10^3$.)

Q.8. On compare les deux effusivités :

$$\frac{E_{\text{carrelage}}}{E_{\text{bois}}}=\frac{1,60\times 10^3}{0,476\times 10^3}=3,4.$$

L'effusivité du carrelage est environ 3,4 fois plus grande que celle du bois. C'est bien ce qu'annonce le texte : le carrelage, comme la pierre ou l'acier, a une forte effusivité et absorbe donc rapidement l'énergie thermique du pied sans que sa surface ne s'échauffe notablement ; le bois a une faible effusivité, l'énergie reçue reste en surface et celle-ci se réchauffe vite. Les valeurs mesurées sont donc cohérentes avec le texte d'introduction.

2. Mesure et calcul de la température de contact

Q.9. $T_{\text{mesure.SB}}={\theta }_{\text{mesure.SB}}+273=28,3+273=301,3\mathrm{K}$. L'incertitude type est inchangée par ce simple décalage d'origine : $u(T)=0,2\mathrm{K}$.

Q.10. Les températures initiales en kelvin valent $T_{\text{silicone}}=34,1+273=307,1\mathrm{K}$ et $T_{\text{bois}}=19,6+273=292,6\mathrm{K}$. La relation fournie donne :

$$T_{\text{calcul.SB}}=\frac{E_{\text{silicone}}{T}_{\text{silicone}}+E_{\text{bois}}{T}_{\text{bois}}}{E_{\text{silicone}}+E_{\text{bois}}}=\frac{0,756\times 10^3\times 307,1+0,476\times 10^3\times 292,6}{(0,756+0,476)\times 10^3}$$

$$T_{\text{calcul.SB}}=\frac{3,714\times 10^5}{1,232\times 10^3}=301,5\mathrm{K}(\text{soit }28,5^{\circ }\mathrm{C}).$$

La température de contact est une moyenne pondérée des deux températures initiales, les poids étant les effusivités : le silicone étant plus effusif que le bois, la température de contact est plus proche de celle du silicone que de celle du bois.

Q.11. On compare mesure et calcul dans les deux cas :

Dans les deux cas l'écart vaut 0,2 K, soit exactement une incertitude type de mesure ($u=0,2^{\circ }\mathrm{C}$). Le quotient

$$\frac{|T_{\text{mesure}}-T_{\text{calcul}}|}{u}=\frac{0,2}{0,2}=1<2$$

est inférieur à 2 : les valeurs mesurées et calculées sont compatibles. Le modèle de la moyenne pondérée par les effusivités décrit donc correctement la température de contact.

Q.12. Le pied est toujours à la même température (environ 34 °C) et les deux sols sont à la même température ; pourtant les températures de contact diffèrent :

$${\theta }_{\text{mesure.SB}}=28,3^{\circ }\mathrm{C}\text{contre}{\theta }_{\text{mesure.SC}}=297,2-273=24,2^{\circ }\mathrm{C}.$$

Sur le carrelage, la température de contact est plus basse de 4 °C environ. C'est la conséquence directe de la pondération par les effusivités : comme $E_{\text{carrelage}}>E_{\text{silicone}}$, la température de contact est tirée vers celle du carrelage (froid), tandis que $E_{\text{bois}}<E_{\text{silicone}}$ tire la température de contact vers celle du pied. Autrement dit, le carrelage absorbe très vite l'énergie thermique du pied sans s'échauffer en surface, alors que la surface du bois s'échauffe rapidement et cesse presque de prendre de l'énergie au pied. Les récepteurs thermiques de la peau étant sensibles à cette température de contact (et au flux qui la traverse), le carrelage est ressenti comme froid et le parquet comme tiède, bien que les deux sols soient à la même température.

3. Transfert conducto-convectif

Q.13. Aux trois modes de transfert (conduction, convection, rayonnement), l'eau liquide ajoute la convection : le liquide au contact de la poche se réchauffe, sa masse volumique diminue, il se met en mouvement et est remplacé par de l'eau plus froide. Ce déplacement d'ensemble de matière, impossible dans un solide (où seule la conduction opère), accélère fortement l'échange : on parle de transfert conducto-convectif.

Q.14. Le flux thermique est la puissance thermique échangée, c'est-à-dire l'énergie transférée par unité de temps : $\varphi =\frac{Q}{\Delta t}$. Pendant une durée très petite $\Delta t$, pendant laquelle $\varphi$ peut être considéré comme constant :

$$Q=\varphi \times \Delta t.$$

Q.15. Système : le silicone de la poche, de capacité thermique $C_{\text{silicone}}$, de température $\theta (t)$. Il est immobile et incompressible : il ne reçoit aucun travail, $W=0$. Le premier principe appliqué pendant la durée $\Delta t$ donne :

$$\Delta U=Q\text{avec}\Delta U=C_{\text{silicone}}\Delta \theta \text{et}Q=\varphi \Delta t.$$

Donc $C_{\text{silicone}}\Delta \theta =\varphi \Delta t$, soit $\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{\varphi }{C_{\text{silicone}}}$. En faisant tendre $\Delta t$ vers zéro :

$$\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\frac{\varphi }{C_{\text{silicone}}}=\frac{h_{\text{eau-silicone}}S({\theta }_T-\theta )}{C_{\text{silicone}}}$$

en utilisant la loi de Newton. Or $\tau =\frac{C_{\text{silicone}}}{h_{\text{eau-silicone}}S}$, donc $\frac{h_{\text{eau-silicone}}S}{C_{\text{silicone}}}=\frac{1}{\tau }$ et

$$\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\tau }({\theta }_T-\theta )⟹\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}+\frac{1}{\tau }\times \theta =\frac{1}{\tau }\times {\theta }_T.$$

C'est bien l'équation différentielle demandée. Ce que le correcteur attend : $Q$ est le transfert reçu par le silicone ; la loi de Newton est écrite avec $({\theta }_T-\theta )$, négatif ici puisque $\theta >{\theta }_T$, ce qui traduit un refroidissement.

Q.16. Les deux courbes ont la même allure : une décroissance exponentielle depuis $\theta (0)\approx 11,6^{\circ }\mathrm{C}$ vers une asymptote horizontale voisine de 0 °C, qui est bien la température ${\theta }_T$ du thermostat eau/glace (le modèle donne 16{,}3\times10^{-3} ^{\circ}\mathrm{C}, soit 0 °C aux erreurs de mesure près). Elles sont pratiquement superposées sur toute la durée de l'acquisition. Dans le détail, on relève trois différences : les tout premiers points mesurés (environ 15 °C, 14 °C puis 13 °C) sont nettement au-dessus du modèle, qui ne démarre qu'à 11,6 °C ; de $t\approx 0,2\times 10^3$ à $t\approx 2\times 10^3\mathrm{s}$ les points mesurés passent légèrement en dessous du modèle (écart maximal de l'ordre de 0,4 °C vers $t=0,7\times 10^3\mathrm{s}$) ; entre $2,5\times 10^3$ et $6\times 10^3\mathrm{s}$ ils repassent très légèrement au-dessus (de l'ordre de 0,1 °C), puis les deux séries se confondent sur l'asymptote. Commentaire : le modèle exponentiel issu de la loi de Newton rend donc bien compte de l'expérience, sauf aux tout premiers instants, où la mise en place du contact avec le thermostat n'est pas encore achevée ; les écarts résiduels s'expliquent par le fait que la poche n'est pas à température uniforme (le thermomètre est au centre et la surface se refroidit d'abord) et que $h$ n'est pas rigoureusement constant.

Q.17. Construction graphique. On trace la tangente à la courbe à l'instant $t=0$ : pour une décroissance exponentielle vers l'asymptote ${\theta }_T\approx 0$, cette tangente coupe l'asymptote à la date $t=\tau$. On peut aussi utiliser le fait qu'à $t=\tau$ l'écart initial a été réduit de 63 % : il reste $37\%$ de $\theta (0)-{\theta }_T$, soit $0,37\times 11,6=4,3^{\circ }\mathrm{C}$ ; l'abscisse du point d'ordonnée 4,3 °C donne $\tau$.

Les deux constructions donnent la même lecture : $\tau \approx 1,0\times 10^3\mathrm{s}$ (environ 17 min), en accord avec la valeur $1,04\times 10^3\mathrm{s}$ de l'équation du modèle. La lecture graphique étant peu précise, on ne garde que deux chiffres significatifs.

Q.18. De $\tau =\frac{C_{\text{silicone}}}{h_{\text{eau-silicone}}S}$ on tire :

$$h_{\text{eau-silicone}}=\frac{C_{\text{silicone}}}{\tau S}=\frac{179}{1,04\times 10^3\times 0,0172}=\frac{179}{17,9}=10,0\mathrm{J}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-2},$$

soit $h_{\text{eau-silicone}}=1,0\times 10^1\mathrm{J}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$ si l'on s'en tient aux deux chiffres significatifs que permet une lecture graphique. (Avec la valeur lue $\tau =1,0\times 10^3\mathrm{s}$ on obtient $10,4$ : même résultat à deux chiffres significatifs.) L'unité se vérifie : $\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$ divisé par $\mathrm{s}\cdot {\mathrm{m}}^2$ donne bien des $\mathrm{J}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$, c'est-à-dire des $\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$.

Q.19. On compare :

$$\frac{h_{\text{eau-silicone}}}{h_{\text{air-silicone}}}=\frac{10,0}{3,51}=2,8.$$

Le coefficient conducto-convectif entre l'eau et le silicone est environ trois fois plus grand que celui entre l'air et le silicone. Or, d'après la loi de Newton et l'indication de l'énoncé, plus $h$ est grand, plus le flux thermique est important à écart de température donné ; le temps caractéristique $\tau =C/(hS)$ est alors trois fois plus court. Le pied se refroidit donc plus vite dans l'eau que dans l'air. C'est l'expérience quotidienne : une eau à 20 °C paraît beaucoup plus froide que l'air à 20 °C.