Corrigé bac physique-chimie 2026 Amérique du Nord jour 2 — Exercice 3 : La lessive de cendre (étude acido-basique et titrage)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La lessive de cendre est une lessive maison très simple à fabriquer. Il suffit de tamiser les cendres de bois produites par un feu de cheminée puis d'en mettre l'équivalent d'un verre par litre d'eau, de laisser reposer et de filtrer le tout. On obtient ainsi une lessive écologique.

L'objectif de cet exercice est d'étudier les caractéristiques chimiques de cette lessive pour déterminer la quantité à utiliser en machine à laver.

1. Étude de l'ion carbonate

Les cendres de bois contiennent de nombreuses espèces chimiques. Parmi elles, les ions carbonate $CO X_{3} X^{2 -}$ sont en quantité significative et possèdent des propriétés acido-basiques.

Données :

couples acide-base :

dihydrogénocarbonate / ion hydrogénocarbonate : $H X_{2} CO X_{3} (aq) / HCO X_{3} X^{-} (aq)$ ;
ion hydrogénocarbonate / ion carbonate : $HCO X_{3} X^{-} (aq) / CO X_{3} X^{2 -} (aq)$ ;
couples de l'eau : $H X_{3} O X^{+} (aq) / H X_{2} O (l)$ ; $H X_{2} O (l) / HO X^{-} (aq)$ ;

masse molaire du carbonate de potassium : $M (K X_{2} CO X_{3}) = 138, 0 g \cdot mo l^{- 1}$ ;
produit ionique de l'eau à 25 °C : $K_{e} = 1, 0 \times 1 0^{- 14}$ et $p K_{e} = 14, 0$ .

Q.1. Définir une espèce chimique basique selon Brönsted.

Pour étudier le comportement des ions carbonate de la lessive de cendre, on pèse au laboratoire une masse $m = 3, 0 g$ de carbonate de potassium $K X_{2} CO X_{3} (s)$ que l'on dissout dans une fiole jaugée de 100,0 mL. On obtient ainsi la solution aqueuse S.

Q.2. Calculer la concentration en quantité de matière des ions carbonate dans la solution S.

Q.3. Écrire et ajuster l'équation de la réaction acido-basique se produisant entre $CO X_{3} X^{2 -}$ et $H X_{2} O$ .

Le pH de la solution S est de 11,8.

Q.4. En déduire la concentration en ions hydroxyde $HO X^{-}$ dans la solution S.

Q.5. Comparer la concentration en ions hydroxyde à la concentration apportée en ions carbonate. En déduire que l'ion carbonate est une base faible, permettant d'assimiler la lessive de cendre à une solution d'ions carbonate.

2. Titrage des espèces basiques contenues dans la lessive de cendre

L'objectif de cette partie est de déterminer un encadrement du volume de lessive de cendre à introduire dans la machine à laver pour remplacer une lessive classique. Pour cela, on réalise un titrage des ions carbonate $CO X_{3} X^{2 -} (aq)$ présents dans la lessive de cendre.

Données : pour une machine contenant 5 kg de linge, l'étiquette d'une lessive commerciale préconise, selon la dureté de l'eau du robinet, les quantités en espèces chimiques basiques suivantes :

Dureté de l'eau du robinet	Très douce	Douce	Dure	Très dure
Quantité d'espèces chimiques basiques à introduire	Entre $4, 0 \times 1 0^{- 3}$ et $5, 0 \times 1 0^{- 3}$ mol	Entre $5, 0 \times 1 0^{- 3}$ et $6, 0 \times 1 0^{- 3}$ mol	Entre $6, 0 \times 1 0^{- 3}$ et $1, 0 \times 1 0^{- 2}$ mol	Entre $1, 0 \times 1 0^{- 2}$ et $1, 5 \times 1 0^{- 2}$ mol

D'après une étiquette d'une lessive commerciale.

Pour une lessive commerciale, cela correspond à un volume de lessive compris entre 50 et 150 mL.

Protocole : on dispose d'une solution de lessive de cendre notée $S_{0}$ . On réalise une solution $S_{1}$ à partir d'une dilution par 10 de la solution $S_{0}$ . Le titrage d'un volume $V_{1} = 10, 0 mL$ de solution $S_{1}$ est réalisé par pH-métrie. L'acide chlorhydrique $(H X_{3} O X^{+} (aq), Cl X^{-} (aq))$ de concentration $c_{A} = 5, 00 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1}$ est la solution titrante.

Q.6. Écrire les demi-équations des deux couples acide-base mettant en jeu les ions carbonate et du couple $H X_{2} O (aq) / HO X^{-} (aq)$ , et justifier que l'équation support de la réaction de titrage s'écrit :

$CO X_{3} X^{2 -} (aq) + 2 H X_{3} O X^{+} (aq) H X_{2} CO X_{3} (aq) + 2 H X_{2} O (l)$

Dans la pratique, la courbe de titrage fait apparaître deux sauts de pH. On admet que le volume équivalent correspondant à la réaction précédente vaut $V_{e ˊ q} = 17, 0 mL$ .

Q.7. Déterminer la valeur de la concentration en quantité de matière en ions carbonate de la lessive de cendre $S_{0}$ .

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Des mesures effectuées conduisent à qualifier l'eau de dure.

Q.8. Déterminer un encadrement du volume de lessive de cendre à introduire dans la machine à laver pour répondre aux préconisations de l'étiquette. Commenter le résultat obtenu.

Corrigé

1. Étude de l'ion carbonate

Q.1. Selon Brönsted, une base est une espèce chimique capable de capter (gagner) un ou plusieurs protons $H X^{+}$ au cours d'une transformation chimique. La base et l'acide qui lui correspond forment un couple acide-base $AH / A^{-}$ , reliés par la demi-équation $AH = A^{-} + H X^{+}$ .

Q.2. La quantité de carbonate de potassium dissous vaut :

$n (K X_{2} CO X_{3}) = \frac{m}{M ( K X _{2} CO X _{3} )} = \frac{3 , 0}{138 , 0} = 2, 17 \times 1 0^{- 2} mol .$

L'équation de dissolution s'écrit $K X_{2} CO X_{3} (s) 2 K X^{+} (aq) + CO X_{3} X^{2 -} (aq)$ : il se forme un ion carbonate par formule dissoute, donc $n (CO X_{3} X^{2 -}) = n (K X_{2} CO X_{3})$ . Avec $V = 100, 0 mL = 0, 1000 L$ :

$c = \frac{n ( CO X _{3} X ^{2 -} )}{V} = \frac{2 , 17 \times 1 0 ^{- 2}}{0 , 1000} = 0, 22 mol \cdot L^{- 1} .$

C'est la concentration apportée en ions carbonate : $c = 2, 2 \times 1 0^{- 1} mol \cdot L^{- 1}$ .

Q.3. L'ion carbonate est la base du couple $HCO X_{3} X^{-} (aq) / CO X_{3} X^{2 -} (aq)$ ; l'eau joue ici le rôle d'acide dans le couple $H X_{2} O (l) / HO X^{-} (aq)$ . Les deux demi-équations $CO X_{3} X^{2 -} + H X^{+} = HCO X_{3} X^{-}$ et $H X_{2} O = HO X^{-} + H X^{+}$ donnent, par addition :

$CO X_{3} X^{2 -} (aq) + H X_{2} O (l) HCO X_{3} X^{-} (aq) + HO X^{-} (aq) .$

La libération d'ions hydroxyde explique le caractère basique de la solution S (pH = 11,8) et le pouvoir détergent de la lessive de cendre.

Q.4. Le produit ionique de l'eau impose $[H X_{3} O X^{+}] \times [HO X^{-}] = K_{e}$ à 25 °C, avec $[H X_{3} O X^{+}] = 1 0^{- pH}$ . Donc :

$[HO X^{-}] = \frac{K _{e}}{[ H X _{3} O X ^{+} ]} = \frac{K _{e}}{1 0 ^{- pH}} = 1 0^{pH - p K_{e}} = 1 0^{11, 8 - 14, 0} = 1 0^{- 2, 2}$

$[HO X^{-}] = 6, 3 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1} .$

Ce que le correcteur attend : l'écriture $1 0^{pH - p K_{e}}$ (ou le quotient $K_{e} /1 0^{- pH}$ ), et deux chiffres significatifs cohérents avec le pH donné à 0,1 près.

Q.5. On compare les deux concentrations :

$\frac{[ HO X ^{-} ]}{c} = \frac{6 , 3 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 22} = 2, 9 \times 1 0^{- 2} \approx 3%.$

La concentration en ions hydroxyde est donc environ 35 fois plus petite que la concentration apportée en ions carbonate. Or, d'après l'équation de la question Q.3, si la réaction avec l'eau était totale, chaque ion carbonate aurait produit un ion hydroxyde et on aurait $[HO X^{-}] = c = 0, 22 mol \cdot L^{- 1}$ , c'est-à-dire un pH de 13,3. Ce n'est pas le cas : le taux d'avancement final vaut seulement $τ \approx 3%$ , la transformation est très limitée. L'ion carbonate est donc une base faible.

Conséquence pratique : environ 97 % des ions carbonate apportés restent sous la forme $CO X_{3} X^{2 -}$ en solution. On peut donc assimiler la lessive de cendre à une simple solution d'ions carbonate, et titrer ces ions pour connaître la quantité d'espèces basiques qu'elle contient.

2. Titrage des espèces basiques

Q.6. Les deux couples mettant en jeu les ions carbonate donnent les demi-équations acido-basiques :

$CO X_{3} X^{2 -} (aq) + H X^{+} (aq) = HCO X_{3} X^{-} (aq) et HCO X_{3} X^{-} (aq) + H X^{+} (aq) = H X_{2} CO X_{3} (aq) .$

La solution titrante est un acide fort : le proton est apporté par l'ion oxonium, du couple $H X_{3} O X^{+} (aq) / H X_{2} O (l)$ , de demi-équation

$H X_{3} O X^{+} (aq) = H X_{2} O (l) + H X^{+} (aq) .$

Remarque : l'énoncé demande le couple « $H X_{2} O (aq) / HO X^{-} (aq)$ », dont la demi-équation s'écrirait $HO X^{-} (aq) + H X^{+} (aq) = H X_{2} O (l)$ . C'est une coquille du sujet — l'eau y est de surcroît notée (aq) au lieu de (l), alors que la liste des données la note bien $H X_{2} O (l)$ . Le couple $H X_{2} O / HO X^{-}$ est celui de la question Q.3 ; celui qui intervient dans l'équation support proposée est $H X_{3} O X^{+} / H X_{2} O$ , puisque c'est l'ion $H X_{3} O X^{+}$ de l'acide chlorhydrique que l'on verse. On écrit donc la demi-équation de ce dernier, et le raisonnement demandé aboutit bien à l'équation annoncée.

L'ion carbonate capte successivement deux protons. En additionnant les deux demi-équations de l'acide carbonique et deux fois celle de l'ion oxonium :

$CO X_{3} X^{2 -} (aq) + H X_{3} O X^{+} (aq) HCO X_{3} X^{-} (aq) + H X_{2} O (l)$

$HCO X_{3} X^{-} (aq) + H X_{3} O X^{+} (aq) H X_{2} CO X_{3} (aq) + H X_{2} O (l)$

puis, en sommant ces deux étapes et en simplifiant $HCO X_{3} X^{-}$ qui apparaît des deux côtés :

$CO X_{3} X^{2 -} (aq) + 2 H X_{3} O X^{+} (aq) H X_{2} CO X_{3} (aq) + 2 H X_{2} O (l) .$

C'est bien l'équation support annoncée. Ces deux étapes successives sont précisément ce qui produit les deux sauts de pH de la courbe de titrage : le premier à la première équivalence, en $V_{e ˊ q} /2 = 8, 5 mL$ , quand tout l'ion carbonate a été converti en $HCO X_{3} X^{-}$ ; le second à la seconde équivalence, en $V_{e ˊ q} = 17, 0 mL$ , quand tout l'hydrogénocarbonate a été converti en $H X_{2} CO X_{3}$ . C'est cette seconde équivalence, seule, que l'énoncé demande d'exploiter.

Allure de la courbe pH-métrique : schéma reconstitué pour la discussion, la courbe n'étant pas fournie par le sujet.

Q.7. Démarche. On écrit la relation à l'équivalence pour la solution titrée $S_{1}$ , puis on remonte à $S_{0}$ en tenant compte de la dilution par 10.

À l'équivalence, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques de l'équation support : il faut deux ions oxonium par ion carbonate, donc

$\frac{n ( H X _{3} O X ^{+} ) _{vers e ˊ}}{2} = n (CO X_{3} X^{2 -})_{initial} soit \frac{c _{A} V _{e ˊ q}}{2} = c_{1} V_{1},$

d'où

$c_{1} = \frac{c _{A} V _{e ˊ q}}{2 V _{1}} = \frac{5 , 00 \times 1 0 ^{- 3} \times 17 , 0}{2 \times 10 , 0} = 4, 25 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1} .$

(Les volumes étant tous deux en mL, leur quotient est sans dimension : inutile de les convertir.)

La solution $S_{1}$ ayant été obtenue par dilution d'un facteur 10 de $S_{0}$ , la conservation de la quantité de matière lors d'une dilution donne $c_{0} = 10 c_{1}$ :

$c_{0} = 10 \times 4, 25 \times 1 0^{- 3} = 4, 25 \times 1 0^{- 2} mol \cdot L^{- 1} .$

Ce que le correcteur attend : le facteur 2 de la stœchiométrie (l'oublier double le résultat) et la multiplication — et non la division — par 10 pour revenir à la solution mère, plus concentrée.

Q.8. L'eau étant qualifiée de dure, l'étiquette préconise une quantité d'espèces basiques comprise entre $6, 0 \times 1 0^{- 3} mol$ et $1, 0 \times 1 0^{- 2} mol$ . Comme la lessive de cendre est assimilée à une solution d'ions carbonate (question Q.5), la quantité introduite est $n = c_{0} V$ , soit $V = \frac{n}{c _{0}}$ :

$\frac{6 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{4 , 25 \times 1 0 ^{- 2}} ⩽ V ⩽ \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{4 , 25 \times 1 0 ^{- 2}}$

$0, 14 L ⩽ V ⩽ 0, 24 L, soit 1, 4 \times 1 0^{2} mL ⩽ V ⩽ 2, 4 \times 1 0^{2} mL .$

Il faut donc verser entre 140 mL et 240 mL environ de lessive de cendre.

Commentaire. Pour la lessive commerciale, le volume préconisé est compris entre 50 et 150 mL : la lessive de cendre est donc nettement moins concentrée en espèces basiques, et il faut en verser environ 1,5 à 3 fois plus pour obtenir le même effet détergent. Le résultat reste néanmoins praticable : 140 à 240 mL, c'est de l'ordre d'un grand verre, ce qui correspond bien à l'usage domestique décrit en introduction. On notera enfin que ce résultat dépend de la cendre utilisée : sa teneur en carbonate varie avec l'essence de bois brûlée et le temps de repos, d'où l'intérêt de refaire le titrage pour chaque préparation.

Ce que le correcteur attend : le choix de la bonne colonne du tableau (eau dure) et un encadrement, pas une valeur unique. Les deux bornes n'ont que deux chiffres significatifs, comme les quantités de l'étiquette.

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