Corrigé bac physique-chimie 2026 Asie jour 1 — Exercice 2 : Satellites de communication

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Il y a 70 ans, seule la Lune tournait autour de la Terre. Actuellement, près de 7 500 satellites survolent notre planète à différentes altitudes. Si certains ont été envoyés dans l'espace à des fins scientifiques ou militaires, la majorité est dédiée aux communications et à l'observation de la Terre.

L'objectif de cet exercice est d'étudier le mouvement des satellites autour de la Terre et d'exploiter leurs caractéristiques.

Document — Mission : communiquer. Internet, radio ou encore téléphonie mobile : ces missions sont assurées par des satellites de télécommunication. Certains, positionnés sur une orbite géostationnaire, survolent toujours la même zone. Conséquence : pas besoin de déplacer l'antenne pour capter les signaux. La couverture du signal est alors plus large. Depuis cette orbite, un petit nombre de satellites suffisent à couvrir l'intégralité du globe.

D'autres se situent sur une orbite terrestre basse entre 400 et 1 000 km d'altitude : ce sont les satellites LEO. Le délai de transmission des signaux y est beaucoup plus court, ce qui est très intéressant pour la rapidité d'échange. Mais pour garantir une bonne couverture de la Terre, plusieurs milliers de satellites, fonctionnant « en groupe », sont nécessaires, multipliant les risques d'encombrement, de pannes et de débris spatiaux : leur impact environnemental est donc pointé du doigt. (D'après cnes.fr)

On étudie le mouvement du centre de masse S d'un satellite par rapport à un référentiel supposé galiléen. Le satellite, de masse $m$ , gravite sur une orbite circulaire géostationnaire située à une altitude $h$ par rapport à la surface de la Terre.

On considère que le satellite n'est soumis qu'à l'unique action de la force d'interaction gravitationnelle $F_{O S}$ exercée par la Terre de centre O, de masse $M_{T}$ et de rayon $R_{T}$ . On associe au centre de masse S le repère de Frenet $(S, u_{N}, u_{T})$ .

Q1. Nommer le référentiel par rapport auquel le mouvement du centre de masse du satellite est étudié.

Q2. Compléter le schéma présent sur l'annexe à rendre avec la copie en représentant sans souci d'échelle la force d'interaction gravitationnelle $F_{O S}$ .

Q3. Donner l'expression vectorielle de la force $F_{O S}$ dans le repère de Frenet en fonction de $G$ , constante de gravitation universelle, $m$ , $M_{T}$ , $R_{T}$ et $h$ .

Q4. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que le mouvement circulaire de S est uniforme.

Q5. Définir la période de révolution $T$ du satellite de centre de masse S.

À partir des données des rayons $r$ des orbites et des périodes de révolution $T$ de différents satellites terrestres, un programme informatique a permis de tracer puis de modéliser l'évolution du carré des périodes en fonction du cube des rayons $r$ . La figure 1 ci-après fournit le graphe obtenu après exécution du programme. La modélisation par une droite indique un coefficient directeur $k = 9, 85 \times 1 0^{- 14} s^{2} \cdot m^{- 3}$ .

Figure 1. Évolution du carré de la période de révolution de satellites terrestres en fonction du cube du rayon de leur orbite

Données :

constante de gravitation universelle : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ ;
rayon de la Terre : $R_{T} = 6, 38 \times 1 0^{3} km$ ;
période de rotation de la Terre autour de l'axe des pôles : $T_{T} = 23 h 56 min 4 s$ ;
célérité d'une onde électromagnétique dans le vide : $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ .

Q6. Montrer que la valeur de l'altitude $h$ du satellite géostationnaire de centre de masse S est environ $h \approx 36000 km$ .

Q7. Comparer la valeur de la durée de transmission $Δ t_{1}$ d'un signal électromagnétique émis depuis la surface de la Terre vers un satellite géostationnaire à celle, notée $Δ t_{2}$ , vers un satellite LEO, en orbite à 1 000 km d'altitude.

Q8. En utilisant les calculs et les informations issues du document, donner les avantages et les inconvénients des satellites géostationnaire et LEO pour la transmission de données par le réseau internet.

Annexe à rendre avec la copie

Schéma représentant le mouvement du centre de masse du satellite S autour de la Terre.

Corrigé

Q1. Le satellite tourne autour de la Terre : le référentiel adapté est le référentiel géocentrique, dont l'origine est le centre O de la Terre et dont les trois axes pointent vers des étoiles lointaines supposées fixes. Il est supposé galiléen pendant la durée de l'étude (quelques révolutions du satellite).

Ce que le correcteur attend : le référentiel terrestre serait faux — il tourne avec la Terre, et dans ce référentiel un satellite géostationnaire serait immobile.

Q2. La force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est attractive : son point d'application est le centre de masse S, sa direction la droite (OS), son sens de S vers O. Elle est donc portée par le vecteur $u_{N}$ du schéma, qui est dirigé de S vers le centre O.

La force est portée par la droite (OS), dirigée de S vers O, dans le même sens que $u_{N}$ .

Q3. La loi de gravitation universelle donne la valeur de la force exercée par la Terre (masse $M_{T}$ ) sur le satellite (masse $m$ ), dont les centres sont distants de $r = R_{T} + h$ :

$F_{O S} = G \frac{m M _{T}}{( R _{T} + h ) ^{2}} .$

Le vecteur $u_{N}$ du repère de Frenet étant dirigé de S vers O, c'est-à-dire dans le sens de la force attractive, l'expression vectorielle s'écrit

$F_{O S} = G \frac{m M _{T}}{( R _{T} + h ) ^{2}} u_{N} .$

Ce que le correcteur attend : le signe. Il est positif ici parce que $u_{N}$ est centripète (figure de l'annexe). Avec un vecteur radial dirigé de O vers S (convention $u_{r}$ « sortante »), il faudrait écrire un signe moins. Le rayon de l'orbite est $R_{T} + h$ et non $h$ : c'est la distance entre les centres.

Remarque sur les données : le sujet officiel imprime $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{2} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ . C'est une coquille : la loi de gravitation $F = G m M_{T} / r^{2}$ impose $[G] = N \cdot m^{2} \cdot k g^{- 2} = m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ , unité rétablie plus haut dans les données. La valeur numérique, elle, est la bonne — et $G$ n'intervient dans aucune application numérique de l'exercice, la question 6 passant par le coefficient directeur $k$ lu sur la figure 1.

Q4. Système : le satellite, de masse $m$ , assimilé à son centre de masse S. Référentiel : géocentrique, supposé galiléen. Bilan des forces : l'énoncé précise que le satellite n'est soumis qu'à la force d'interaction gravitationnelle $F_{O S}$ .

La deuxième loi de Newton s'écrit $\sum F_{ext} = m a$ , soit

$G \frac{m M _{T}}{( R _{T} + h ) ^{2}} u_{N} = m a ⟹ a = G \frac{M _{T}}{( R _{T} + h ) ^{2}} u_{N} .$

L'accélération ne dépend pas de la masse du satellite ; elle est entièrement portée par $u_{N}$ , sa composante tangentielle est donc nulle.

Or, pour un mouvement circulaire de rayon $r = R_{T} + h$ , le vecteur accélération s'écrit dans la base de Frenet

$a = \frac{d v}{d t} u_{T} + \frac{v ^{2}}{R _{T} + h} u_{N} .$

En identifiant les composantes des deux expressions :

selon $u_{T}$ : $\frac{d v}{d t} = 0$ , donc $v = constante$ ;
selon $u_{N}$ : $\frac{v ^{2}}{R _{T} + h} = \frac{G M _{T}}{( R _{T} + h ) ^{2}}$ , d'où $v = \frac{G M _{T}}{R _{T} + h}$ .

La valeur de la vitesse étant constante, le mouvement circulaire de S est bien uniforme.

Q5. La période de révolution $T$ du satellite est la durée nécessaire au centre de masse S pour effectuer un tour complet de son orbite autour du centre O de la Terre. Le mouvement étant uniforme, elle vérifie $T = \frac{2 π ( R _{T} + h )}{v}$ .

Q6. La figure 1 montre que $T^{2}$ est une fonction linéaire de $r^{3}$ (droite modélisée passant par l'origine) : c'est la troisième loi de Kepler, $T^{2} = k r^{3}$ avec $k = 9, 85 \times 1 0^{- 14} s^{2} \cdot m^{- 3}$ .

Un satellite géostationnaire reste à la verticale du même point de la surface terrestre : sa période de révolution est donc égale à la période de rotation propre de la Terre (jour sidéral),

$T = T_{T} = 23 \times 3600 + 56 \times 60 + 4 = 86164 s .$

On en tire le rayon de l'orbite :

$r^{3} = \frac{T ^{2}}{k} = \frac{( 86 164 ) ^{2}}{9 , 85 \times 1 0 ^{- 14}} = 7, 54 \times 1 0^{22} m^{3}, r = 3 7, 54 \times 1 0^{22} = 4, 22 \times 1 0^{7} m .$

Comme $r = R_{T} + h$ , avec $R_{T} = 6, 38 \times 1 0^{3} km = 6, 38 \times 1 0^{6} m$ :

$h = r - R_{T} = 4, 22 \times 1 0^{7} - 6, 38 \times 1 0^{6} = 3, 59 \times 1 0^{7} m = 3, 59 \times 1 0^{4} km,$

soit environ $36000 km$ : la valeur annoncée est bien retrouvée.

Ce que le correcteur attend : le rayon terrestre converti en mètres avant la soustraction ( $1 0^{3}$ km $= 1 0^{6}$ m) ; la période exprimée en secondes ; et l'idée que « géostationnaire » impose $T = T_{T}$ , sans quoi la question n'a pas de point de départ. Remarque : le point le plus à droite de la figure 1, d'abscisse $r^{3} \approx 7, 4 \times 1 0^{22} m^{3}$ et d'ordonnée $T^{2} \approx 7, 4 \times 1 0^{9} s^{2}$ , est justement celui du satellite géostationnaire.

Q7. L'onde électromagnétique se propage en ligne droite à la célérité $c$ dans le vide ; la durée de transmission entre la surface de la Terre et un satellite situé à l'altitude $h$ est donc $Δ t = \frac{h}{c}$ .

Satellite géostationnaire ( $h_{1} = 3, 59 \times 1 0^{7} m$ ) :

$Δ t_{1} = \frac{h _{1}}{c} = \frac{3 , 59 \times 1 0 ^{7}}{3 , 00 \times 1 0 ^{8}} = 0, 120 s = 120 ms .$

Satellite LEO ( $h_{2} = 1000 km = 1, 00 \times 1 0^{6} m$ ) :

$Δ t_{2} = \frac{h _{2}}{c} = \frac{1 , 00 \times 1 0 ^{6}}{3 , 00 \times 1 0 ^{8}} = 3, 33 \times 1 0^{- 3} s = 3, 33 ms .$

Comparaison :

$\frac{Δ t _{1}}{Δ t _{2}} = \frac{0 , 120}{3 , 33 \times 1 0 ^{- 3}} = 36.$

La durée de transmission vers le satellite géostationnaire est environ 36 fois plus longue que vers le satellite LEO (rapport égal à celui des altitudes, puisque la célérité est la même). Pour un aller-retour Terre--satellite--Terre, cela représente 240 ms contre 6,7 ms.

Q8. Les deux types d'orbite s'opposent point par point.

Type de satellite	Avantages	Inconvénients
Géostationnaire ( $h \approx 36000$ km)	Immobile au-dessus d'une même zone : l'antenne de réception est fixe, pas de suivi ni de basculement d'un satellite à l'autre. Très large couverture : quelques satellites suffisent pour le globe entier.	Délai de transmission long ( $Δ t_{1} = 120$ ms, soit 240 ms aller-retour) : pénalisant pour les usages interactifs d'internet (visioconférence, jeu en ligne). Signal plus faible à si grande distance.
LEO (400 à 1 000 km)	Délai de transmission très court ( $Δ t_{2} = 3, 3$ ms, 36 fois moins), donc des échanges rapides : c'est l'atout majeur pour internet.	Couverture réduite par satellite et satellite mobile dans le ciel : il faut une constellation de plusieurs milliers d'engins fonctionnant en groupe, d'où encombrement de l'orbite basse, risques de pannes et de collisions, débris spatiaux et impact environnemental pointé du doigt.

Conclusion : pour de la diffusion (télévision, radio) vers de vastes zones, l'orbite géostationnaire reste la plus économique ; pour un accès internet réactif, l'orbite basse s'impose malgré le nombre de satellites nécessaires et son coût environnemental.

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