Corrigé bac physique-chimie 2026 Métropole jour 1 — Exercice 1 : Étude d'un lave-linge

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La maîtrise de la durée des différentes étapes du cycle de lavage d'un lave-linge permet de garantir un nettoyage efficace tout en préservant les vêtements. Chaque phase – lavage, rinçage, essorage – est ainsi optimisée, en fonction du type de linge, en termes de consommation d'eau, d'énergie consommée et de durabilité de la machine.

L'objectif de cet exercice est d'étudier les premières phases du fonctionnement d'un lave-linge, le remplissage de la cuve et le chauffage de l'eau, lors de tests effectués en l'absence de linge.

1. Remplissage de la cuve

Le lave-linge peut être assimilé à un tambour tournant dans une cuve de forme cubique et de côté $a$ . Pour réguler le niveau d'eau dans la cuve d'un lave-linge, un pressostat mesure la pression de l'air dans une chambre de compression cylindrique reliée au bas de la cuve : lorsque le niveau d'eau monte dans la cuve, une partie de cette eau entre dans la chambre de compression et l'air enfermé à l'intérieur est comprimé. Quand la pression atteint une valeur seuil, le pressostat envoie un signal et interrompt le remplissage.

Dans cette partie, on s'intéresse à un test de la machine : le pressostat est alors réglé pour permettre le remplissage de la moitié de la cuve.

Figure 1. Schéma de la cuve et du pressostat d'un lave-linge

Données :

volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $H$ : $V = π \cdot R^{2} \cdot H$ ;
intensité de la pesanteur : $g = 9, 81 N \cdot k g^{- 1}$ ;
masse volumique de l'eau : $ρ_{eau} = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ ;
paramètres associés au lave-linge étudié :

la cuve est un cube de côté $a = 60, 0 cm$ et de volume $V_{c} = a^{3}$ ;
la chambre de compression est assimilée à un cylindre de rayon $r = 3, 0 cm$ ;
la pression de l'air dans la cuve reste constamment égale à la pression atmosphérique $P_{0} = 1, 01 \times 1 0^{5} Pa$ ;
durant le remplissage, l'air et l'eau sont supposés à la même température $θ_{0} = 2 0^{\circ} C$ ;
le débit volumique $D_{v}$ d'arrivée d'eau dans le lave-linge vaut $12 \times 1 0^{- 3} m^{3} \cdot mi n^{- 1}$ .

Q1. Exprimer la durée $Δ t_{1}$ permettant de remplir à moitié la cuve en fonction du débit volumique de l'eau $D_{v}$ et de la longueur $a$ du côté du cube. Calculer numériquement $Δ t_{1}$ , exprimé en minutes.

La quantité d'air présente dans la chambre de compression reste constante, ainsi que sa température. Avant le remplissage, l'air occupe un volume $V_{0} = 0, 50 L$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_{0}$ . Après le remplissage, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h = 5, 0 mm$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_{2}$ . On considère que l'air se comporte comme un gaz parfait.

Q2. Justifier que la pression augmente dans la chambre de compression lors du remplissage.

Q3. Exprimer le volume $V_{2}$ occupé par l'air dans la chambre de compression à l'arrêt du remplissage, en fonction de $V_{0}$ , $r$ et $h$ .

Q4. Exprimer $P_{2}$ en fonction des données, puis montrer que la surpression $Δ P = P_{2} - P_{0}$ entre la pression qui a provoqué l'arrêt du remplissage et la pression initiale, peut s'écrire :

$Δ P = P_{0} \times \frac{π \cdot r ^{2} \cdot h}{V _{0} - π \cdot r ^{2} \cdot h}$

On rappelle que, dans les conditions du test, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h = 5, 0 mm$ .

Q5. Calculer la valeur de la surpression $Δ P$ lors du test dans lequel le remplissage s'arrête lorsque la machine est à moitié remplie. Commenter la valeur obtenue par rapport à celle d'un cycle normal hors test, pour lequel $Δ P = 150 Pa$ .

On rappelle la loi fondamentale de la statique des fluides : dans un fluide incompressible au repos de masse volumique $ρ$ , la pression $P$ à l'altitude $z$ , $P (z)$ , vérifie la relation $P (z) + ρ \cdot g \cdot z = constante$ .

Q6. Retrouver la valeur de la surpression $Δ P$ lors du test à l'aide de la loi fondamentale de la statique des fluides appliquée entre les points A et B de la figure 1.

Lorsque la machine n'est plus en phase de test mais en fonctionnement normal et sans linge, la surpression $Δ P$ vaut $150 Pa$ . On considère alors que la hauteur d'eau dans la chambre de compression, $h$ , est négligeable devant la hauteur d'eau dans la cuve.

Q7. Déterminer le volume d'eau contenu dans la cuve en fonctionnement normal et sans linge.

2. Durée de temporisation

La minuterie d'un lave-linge utilise des circuits électroniques pour activer et désactiver les différentes fonctions du lave-linge. Il est nécessaire d'ajouter une durée de temporisation entre deux étapes d'un cycle pour laisser le temps à la machine de se stabiliser, éviter les chocs mécaniques et garantir que chaque phase démarre dans de bonnes conditions.

L'objectif de cette partie est d'étudier une modélisation simple d'un temporisateur de lave-linge à l'aide du montage de la figure 2.

Figure 2. Schéma du montage modélisant un temporisateur

Le montage est constitué :

d'un générateur de tension idéal de force électromotrice $E = 4, 5 V$ ;
d'un conducteur ohmique de résistance $R$ ;
d'un condensateur de capacité $C$ ;
d'un interrupteur K ayant deux positions : position 1 pour la charge du condensateur et position 2 pour la décharge du condensateur ;
d'un comparateur configuré pour envoyer un signal mettant fin à la temporisation à l'instant $t_{seuil}$ pour lequel la tension $u_{R}$ aux bornes de la résistance atteint un tiers de la tension d'alimentation :

$u_{R} (t_{seuil}) = \frac{E}{3}$

On admet que le comparateur ne perturbe pas le fonctionnement du circuit. Celui-ci peut donc être étudié comme si le comparateur était absent.

À l'instant initial ( $t = 0$ ), le condensateur étant déchargé, on place l'interrupteur K en position 1.

Q8. Montrer que l'équation différentielle donnant les variations de la tension $u_{C} (t)$ aux bornes du condensateur en fonction du temps est de la forme :

$u_{C} (t) + R \cdot C \cdot \frac{d u _{C}}{d t} (t) = E$

Les solutions de l'équation différentielle précédente sont des fonctions du temps de la forme $u_{C} (t) = A (1 - e^{- t / τ})$ , avec $τ = R \cdot C$ .

Q9. Déterminer l'expression de la constante $A$ dans la situation étudiée.

Q10. En déduire que l'expression de la tension aux bornes du conducteur ohmique au cours du temps est $u_{R} (t) = E \cdot e^{- t / τ}$ .

Q11. Montrer que la date de fin de temporisation $t_{seuil}$ , date à laquelle le comparateur envoie un signal, s'exprime comme $t_{seuil} = τ \cdot ln 3$ .

La durée de temporisation, notée $Δ t_{2}$ , est définie par $Δ t_{2} = t_{seuil}$ . Pour étudier expérimentalement cette durée de temporisation, on réalise au laboratoire le circuit précédent en remplaçant le comparateur par un système d'acquisition. On souhaite obtenir une durée de temporisation $Δ t_{2}$ voisine de $30 s$ . On utilise un condensateur de capacité $C = 4, 70 mF$ alimenté par un générateur de tension $E = 4, 5 V$ . On dispose par ailleurs de plusieurs conducteurs ohmiques de résistances $R_{1} = 470 Ω$ , $R_{2} = 5, 0 kΩ$ et $R_{3} = 100 kΩ$ .

Q12. Parmi les valeurs proposées, déterminer la valeur de la résistance du conducteur ohmique à utiliser pour obtenir une durée de temporisation voisine de celle souhaitée.

On réalise le circuit électrique avec la valeur de la résistance trouvée à la question Q12. On charge le condensateur et on bascule l'interrupteur en position 2, puis on suit l'évolution de la tension aux bornes de la résistance lors de la décharge. Le graphique correspondant est présenté sur la figure 3.

Figure 3. Évolution de la tension $u_{R} (t)$ aux bornes de la résistance en fonction du temps

Q13. Déterminer graphiquement la valeur initiale $u_{R} (t = 0)$ de la tension aux bornes du conducteur ohmique après avoir basculé l'interrupteur en position 2 et vérifier qu'elle est en accord avec la valeur de $u_{R} (t = 0)$ obtenue en appliquant la loi des mailles.

Q14. Déterminer, à l'aide du graphique de la figure 3, la valeur expérimentale $τ_{exp}$ de la constante de temps du circuit RC. Commenter.

3. Chauffage de l'eau

Après le remplissage de la cuve et un temps de temporisation, l'eau est chauffée par une résistance électrique, appelée thermoplongeur, parcourue par un courant électrique. On s'intéresse, dans cette partie, au chauffage de l'eau contenue dans la cuve, de la température ambiante $θ_{0} = 2 0^{\circ} C$ jusqu'à la température $θ_{f} = 3 0^{\circ} C$ .

Afin de modéliser les échanges thermiques ayant lieu lors du chauffage, on considère que :

la cuve est isolée thermiquement du milieu extérieur ;
la température de l'eau est uniforme.

Données :

volume d'eau dans la cuve : $V_{eau} = 5, 7 L$ ;
masse volumique de l'eau : $ρ_{eau} = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ ;
capacité thermique massique de l'eau : $c_{eau} = 4, 18 \times 1 0^{3} J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ;
puissance électrique fournie au thermoplongeur : $P_{e ˊ l} = 2 kW$ , supposée constante.

Q15. Nommer les trois modes possibles de transferts thermiques et indiquer celui qui peut être négligé lors du chauffage de l'eau.

Q16. Montrer que la valeur du transfert thermique $Q$ nécessaire pour chauffer l'eau de $θ_{0}$ à $θ_{f}$ est d'environ $0, 24 MJ$ .

On fait l'hypothèse que la puissance électrique fournie au thermoplongeur est intégralement transmise à l'eau sous la forme d'un flux thermique $Φ$ de valeur constante : $P_{e ˊ l} = Φ$ .

Q17. Calculer la durée nécessaire de fonctionnement du thermoplongeur $Δ t_{3}$ , en minutes, pour que l'eau contenue dans la cuve passe de la température $θ_{0} = 2 0^{\circ} C$ à la température $θ_{f} = 3 0^{\circ} C$ .

On peut modéliser le flux thermique $Φ$ du thermoplongeur vers l'eau par la relation $Φ = h_{c} \cdot S \cdot (θ_{thermo} - θ_{eau})$ , avec :

$h_{c}$ : coefficient de transfert thermique entre le thermoplongeur et l'eau ;
$S$ : surface du thermoplongeur ;
$θ_{thermo}$ et $θ_{eau}$ : températures respectives du thermoplongeur et de l'eau.

Données :

coefficients de transfert thermique typiques entre le thermoplongeur et l'eau :

sans brassage de l'eau : $h_{c, 0} = 1, 0 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ;
avec brassage de l'eau : $h_{c, 0}^{'} = 4, 0 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ;

surface de contact thermoplongeur-eau : $S = 0, 020 m^{2}$ .

Q18. Déterminer les températures du thermoplongeur avec et sans brassage de l'eau quand l'eau a atteint la température $θ_{f}$ .

Lors de l'utilisation du lave-linge, une mince couche de tartre peut se déposer sur le thermoplongeur. Afin d'étudier son impact sur le chauffage, une modélisation plus poussée simule l'évolution de la température de l'eau et du thermoplongeur en fonction du temps de chauffage.

La modélisation est réalisée en considérant un brassage efficace de l'eau. Les résultats de cette modélisation sont donnés en figures 4 et 5 ci-dessous.

Figure 4. Simulation de la température de l'eau pendant le chauffage Figure 5. Simulation de la température du thermoplongeur pendant le chauffage

{ D'après Pezzin A., Giansetti M., Ferri A., Comsol Conference Proceedings, 2013}

{(Sur le sujet original, la graduation $50 s$ de l'axe des temps de la figure 4 est imprimée « 20 » : coquille corrigée ici.)}

Q19. En utilisant les figures 4 et 5, déterminer la durée nécessaire au chauffage de l'eau dans le cas où il n'y a pas de tartre sur le thermoplongeur et en déduire la température atteinte par le thermoplongeur à la fin du chauffage. Comparer à la valeur obtenue à la question Q18.

L'ADEME (Agence De l'Environnement et de la Maîtrise de l'Énergie) recommande de détartrer régulièrement son lave-linge pour éviter une surconsommation énergétique.

Q20. En utilisant la figure 4, montrer que la présence de tartre sur le thermoplongeur augmente la consommation énergétique d'environ 15 % lors du cycle de chauffage de l'eau, par rapport à une situation où le tartre est absent.

Corrigé

1. Remplissage de la cuve

Q1. Le débit volumique est le volume d'eau qui entre par unité de temps : $D_{v} = \frac{V}{Δ t}$ . Remplir la moitié de la cuve demande le volume $V = \frac{V _{c}}{2} = \frac{a ^{3}}{2}$ , d'où

$Δ t_{1} = \frac{a ^{3}}{2 D _{v}} = \frac{( 0 , 600 ) ^{3}}{2 \times 12 \times 1 0 ^{- 3}} = \frac{0 , 216}{0 , 024} = 9, 0 min .$

Ce que le correcteur attend : $a$ en mètres ( $60, 0 cm = 0, 600 m$ ) pour être cohérent avec le débit en $m^{3} \cdot mi n^{- 1}$ ; le résultat sort directement en minutes. Neuf minutes pour $108 L$ , c'est l'ordre de grandeur d'un robinet bien ouvert.

Q2. L'air de la chambre de compression est enfermé : sa quantité de matière $n$ et sa température $T$ sont constantes. Il est assimilé à un gaz parfait, donc $P V = n R T$ est constant (loi de Boyle-Mariotte). Pendant le remplissage, l'eau qui monte dans la chambre réduit le volume $V$ offert à l'air ; à produit $P V$ constant, la pression $P$ augmente.

Q3. L'eau occupe dans la chambre cylindrique un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ , de volume $π r^{2} h$ . L'air occupe le reste :

$V_{2} = V_{0} - π \cdot r^{2} \cdot h .$

Q4. Loi de Boyle-Mariotte entre l'état initial ( $P_{0}$ , $V_{0}$ ) et l'état final ( $P_{2}$ , $V_{2}$ ) : $P_{0} V_{0} = P_{2} V_{2}$ , soit

$P_{2} = \frac{P _{0} V _{0}}{V _{2}} = \frac{P _{0} V _{0}}{V _{0} - π r ^{2} h} .$

Alors

$Δ P = P_{2} - P_{0} = P_{0} (\frac{V _{0}}{V _{0} - π r ^{2} h} - 1) = P_{0} \frac{V _{0} - ( V _{0} - π r ^{2} h )}{V _{0} - π r ^{2} h} = P_{0} \times \frac{π \cdot r ^{2} \cdot h}{V _{0} - π \cdot r ^{2} \cdot h} .$

Q5. Calculons le volume d'eau entré dans la chambre, en litres pour rester cohérent avec $V_{0} = 0, 50 L$ : $r = 3, 0 cm$ , $h = 0, 50 cm$ , donc $π r^{2} h = π \times (3, 0)^{2} \times 0, 50 = 14, 1 c m^{3} = 1, 41 \times 1 0^{- 2} L$ .

$Δ P = 1, 01 \times 1 0^{5} \times \frac{1 , 41 \times 1 0 ^{- 2}}{0 , 50 - 1 , 41 \times 1 0 ^{- 2}} = 1, 01 \times 1 0^{5} \times \frac{1 , 41 \times 1 0 ^{- 2}}{0 , 486} = 2, 9 \times 1 0^{3} Pa .$

La surpression du test ( $2, 9 kPa$ ) est environ vingt fois plus grande que celle d'un cycle normal ( $150 Pa$ ) : le test remplit la cuve à moitié, soit $30 cm$ d'eau, alors qu'un cycle normal n'en met que quelques centimètres (question Q7). Le seuil du pressostat a donc été fortement relevé pour le test ; en fonctionnement normal la petite hauteur d'eau suffit à déclencher l'arrêt.

Q6. L'eau est au repos et relie le point A (surface libre dans la cuve) au point B (surface libre dans la chambre) : la loi fondamentale de la statique des fluides s'applique entre A et B, en prenant l'altitude $z$ à partir du fond de la cuve. En A, l'eau est au contact de l'air de la cuve : $P_{A} = P_{0}$ et $z_{A} = \frac{a}{2}$ . En B, l'eau est au contact de l'air comprimé de la chambre : $P_{B} = P_{2}$ et $z_{B} = h$ . Ainsi

$P_{A} + ρ g z_{A} = P_{B} + ρ g z_{B} ⟹ Δ P = P_{2} - P_{0} = ρ g (\frac{a}{2} - h) .$

$Δ P = 1, 0 \times 1 0^{3} \times 9, 81 \times (0, 300 - 0, 0050) = 2, 9 \times 1 0^{3} Pa .$

On retrouve la valeur de la question Q5 : la surpression de l'air comprimé équilibre exactement la colonne d'eau de hauteur $a /2 - h$ qui sépare les deux surfaces libres.

Q7. En fonctionnement normal, $Δ P = 150 Pa$ et $h$ est négligeable : la relation de la question Q6 devient $Δ P = ρ g H$ , où $H$ est la hauteur d'eau dans la cuve :

$H = \frac{Δ P}{ρ g} = \frac{150}{1 , 0 \times 1 0 ^{3} \times 9 , 81} = 1, 5 \times 1 0^{- 2} m = 1, 5 cm .$

Le volume d'eau est celui d'un pavé de base $a^{2}$ et de hauteur $H$ :

$V = a^{2} H = (0, 600)^{2} \times 1, 53 \times 1 0^{- 2} = 5, 5 \times 1 0^{- 3} m^{3} = 5, 5 L .$

Cette valeur est cohérente avec le volume $V_{eau} = 5, 7 L$ utilisé dans la partie 3 (l'écart vient des arrondis et de $h$ négligé) : sans linge, la machine se contente de quelques litres.

2. Durée de temporisation

Q8. Interrupteur en position 1 : le circuit est la maille générateur – conducteur ohmique – condensateur, parcourue par le courant $i$ (convention récepteur pour $R$ et $C$ ). Loi des mailles : $E = u_{R} + u_{C}$ . Loi d'Ohm : $u_{R} = R i$ . Pour le condensateur, $q = C u_{C}$ et $i = \frac{d q}{d t} = C \frac{d u _{C}}{d t}$ . En reportant,

$E = R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} soit u_{C} (t) + R \cdot C \cdot \frac{d u _{C}}{d t} (t) = E .$

Q9. On reporte $u_{C} (t) = A (1 - e^{- t / τ})$ dans l'équation différentielle. Sa dérivée est $\frac{d u _{C}}{d t} = \frac{A}{τ} e^{- t / τ}$ , et avec $τ = R C$ :

$u_{C} + R C \frac{d u _{C}}{d t} = A - A e^{- t / τ} + A e^{- t / τ} = A .$

L'équation impose donc $A = E$ . On le retrouve en régime permanent : quand $t \to + \infty$ , le courant s'annule, $u_{R} = 0$ et $u_{C} \to A$ , or la loi des mailles donne alors $u_{C} = E$ . La condition initiale $u_{C} (0) = A (1 - 1) = 0$ est bien celle d'un condensateur déchargé. Finalement $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ .

Q10. D'après la loi des mailles, $u_{R} = E - u_{C}$ , donc

$u_{R} (t) = E - E (1 - e^{- t / τ}) = E \cdot e^{- t / τ} .$

À $t = 0$ , $u_{R} = E$ (tout le courant initial $E / R$ traverse le conducteur ohmique) ; puis $u_{R}$ décroît vers $0$ à mesure que le condensateur se charge.

Q11. Le comparateur agit quand $u_{R} (t_{seuil}) = \frac{E}{3}$ :

$E e^{- t_{seuil} / τ} = \frac{E}{3} ⟹ e^{- t_{seuil} / τ} = \frac{1}{3} ⟹ - \frac{t _{seuil}}{τ} = ln \frac{1}{3} = - ln 3 ⟹ t_{seuil} = τ \cdot ln 3.$

Q12. On veut $Δ t_{2} = t_{seuil} = R C ln 3 \approx 30 s$ , soit

$R = \frac{Δ t _{2}}{C ln 3} = \frac{30}{4 , 70 \times 1 0 ^{- 3} \times ln 3} = 5, 8 \times 1 0^{3} Ω = 5, 8 kΩ .$

La valeur la plus proche est $R_{2} = 5, 0 kΩ$ . Vérification avec les trois résistances proposées : $R_{1} C ln 3 = 470 \times 4, 70 \times 1 0^{- 3} \times 1, 10 = 2, 4 s$ (trop court), $R_{2} C ln 3 = 5, 0 \times 1 0^{3} \times 4, 70 \times 1 0^{- 3} \times 1, 10 = 26 s$ (voisin de $30 s$ ), $R_{3} C ln 3 = 1, 0 \times 1 0^{5} \times 4, 70 \times 1 0^{- 3} \times 1, 10 = 5, 2 \times 1 0^{2} s$ , soit près de neuf minutes (beaucoup trop long). On retient $R_{2}$ .

Q13. Sur la figure 3, la courbe part de l'ordonnée $u_{R} (0) = 4, 5 V$ .

Par le calcul : en position 2, la maille ne contient plus que le conducteur ohmique et le condensateur, et la loi des mailles s'écrit $u_{R} + u_{C} = 0$ , soit $u_{R} = - u_{C}$ . La tension aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps : juste après le basculement, le condensateur, chargé, impose encore $u_{C} (0) = E = 4, 5 V$ . Avec l'orientation de $u_{R}$ portée sur la figure 2 (celle de la charge), on obtient $u_{R} (0) = - u_{C} (0) = - E = - 4, 5 V$ : la valeur absolue $∣ u_{R} (0) ∣ = E = 4, 5 V$ est bien celle lue sur le graphique. Ce que le correcteur attend : la continuité de $u_{C}$ et la loi des mailles de la décharge ; le signe de $u_{R}$ dépend de l'orientation choisie pour la voie d'acquisition (le courant de décharge traverse $R$ en sens inverse de la charge, et le système d'acquisition a été branché dans ce sens), ce qui explique que la courbe soit tracée positive. Pendant la décharge, $∣ u_{R} (t) ∣ = u_{C} (t) = E e^{- t / τ}$ : la courbe de la figure 3 décrit aussi bien l'une que l'autre.

Q14. Lors de la décharge, $u_{R} (t) = E e^{- t / τ}$ : à $t = τ$ , $u_{R} = E e^{- 1} \approx 0, 37 E = 0, 37 \times 4, 5 = 1, 7 V$ . Sur la figure 3, la courbe atteint $1, 7 V$ à l'abscisse $t \approx 24 s$ (lecture entre $23$ et $25 s$ ) : $τ_{exp} \approx 24 s$ . La tangente à l'origine, qui coupe l'axe des temps en $t = τ$ , donne la même valeur.

Commentaire : la valeur attendue est $τ = R_{2} C = 5, 0 \times 1 0^{3} \times 4, 70 \times 1 0^{- 3} = 23, 5 s \approx 24 s$ : l'expérience confirme le modèle à mieux de $5%$ . La temporisation obtenue vaut $Δ t_{2} = τ_{exp} ln 3 \approx 24 \times 1, 10 = 26 s$ , un peu inférieure aux $30 s$ visées, comme prévu avec $R_{2} = 5, 0 kΩ$ au lieu des $5, 8 kΩ$ idéaux.

3. Chauffage de l'eau

Q15. Les trois modes de transfert thermique sont la conduction (de proche en proche dans la matière, sans déplacement macroscopique : du thermoplongeur vers l'eau à son contact), la convection (transport par le mouvement d'ensemble d'un fluide : l'eau chauffée, moins dense, monte et brasse la cuve) et le rayonnement (ondes électromagnétiques, sans support matériel). Le thermoplongeur reste à une température modérée (quelques dizaines de degrés au-dessus de l'eau, question Q18) et il est immergé : le rayonnement est négligeable devant la conduction et la convection.

Q16. Système : l'eau de la cuve, phase condensée. Le transfert thermique reçu pour élever sa température de $θ_{0}$ à $θ_{f}$ est $Q = m c_{eau} (θ_{f} - θ_{0})$ avec $m = ρ_{eau} V_{eau} = 1, 0 \times 1 0^{3} \times 5, 7 \times 1 0^{- 3} = 5, 7 kg$ :

$Q = 5, 7 \times 4, 18 \times 1 0^{3} \times (30 - 20) = 2, 4 \times 1 0^{5} J = 0, 24 MJ .$

Ce que le correcteur attend : $V$ en $m^{3}$ ( $5, 7 L = 5, 7 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ ) et un écart de température identique en kelvins et en degrés Celsius ( $Δ θ = 10 K$ ).

Q17. Le flux thermique est l'énergie transférée par unité de temps : $Φ = \frac{Q}{Δ t _{3}}$ , et $Φ = P_{e ˊ l} = 2 \times 1 0^{3} W$ . D'où

$Δ t_{3} = \frac{Q}{P _{e ˊ l}} = \frac{2 , 38 \times 1 0 ^{5}}{2 \times 1 0 ^{3}} = 1, 2 \times 1 0^{2} s \approx 2, 0 min .$

Un thermoplongeur de $2 kW$ chauffe $5, 7 L$ de $1 0^{\circ} C$ en deux minutes : ordre de grandeur d'une bouilloire.

Q18. Quand l'eau est à $θ_{f}$ , le flux est toujours $Φ = P_{e ˊ l}$ , donc $θ_{thermo} = θ_{eau} + \frac{Φ}{h _{c} S}$ .

Sans brassage ( $h_{c, 0} = 1, 0 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ) : $θ_{thermo} = 30 + \frac{2 \times 1 0 ^{3}}{1 , 0 \times 1 0 ^{3} \times 0 , 020} = 30 + 100 = 13 0^{\circ} C$ .
Avec brassage ( $h_{c, 0}^{'} = 4, 0 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ) : $θ_{thermo} = 30 + \frac{2 \times 1 0 ^{3}}{4 , 0 \times 1 0 ^{3} \times 0 , 020} = 30 + 25 = 5 5^{\circ} C$ .

Le brassage, en multipliant par quatre le coefficient de transfert, divise par quatre l'écart de température nécessaire pour évacuer les $2 kW$ : le thermoplongeur chauffe beaucoup moins, ce qui limite l'entartrage et l'usure.

Q19. Sur la figure 4, la courbe « sans tartre » atteint $3 0^{\circ} C$ à $t \approx 120 s$ : la durée de chauffage est d'environ $120 s$ , en accord avec $Δ t_{3} = 1, 2 \times 1 0^{2} s$ (question Q17). Sur la figure 5, à $t = 120 s$ , la courbe « sans tartre » indique $θ_{thermo} \approx 5 7^{\circ} C$ (lecture entre $55$ et $5 8^{\circ} C$ ). Cette valeur est très proche des $5 5^{\circ} C$ calculés à la question Q18 avec brassage, ce qui est cohérent : la modélisation est faite avec un brassage efficace. La valeur sans brassage ( $13 0^{\circ} C$ ) est, elle, très éloignée.

Q20. Sur la figure 4, la courbe « 2 mm de tartre » atteint $3 0^{\circ} C$ à $t \approx 138 s$ (lecture entre $135$ et $140 s$ ), contre $120 s$ sans tartre. La puissance électrique $P_{e ˊ l}$ étant constante, l'énergie consommée est proportionnelle à la durée de chauffage : $E = P_{e ˊ l} Δ t$ . Le rapport des consommations vaut

$\frac{E _{tartre}}{E _{sans}} = \frac{Δ t _{tartre}}{Δ t _{sans}} = \frac{138}{120} = 1, 15,$

soit une surconsommation d'environ $15%$ ( $1, 15 \times 120 = 138 s$ ). Le tartre, mauvais conducteur thermique, ralentit le transfert vers l'eau (le thermoplongeur monte à près de $10 0^{\circ} C$ sur la figure 5) et allonge le chauffage, d'où la recommandation de l'ADEME de détartrer régulièrement.

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