Corrigé bac physique-chimie 2026 — Exercice 1 : Le cyclotron Arronax

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Le cyclotron Arronax (11 points)

Mis en service en 2008 à Nantes, l'accélérateur de particules Arronax est un cyclotron.

Il permet de produire des radioisotopes utilisés dans les traitements médicaux et pour la recherche en médecine nucléaire.

D'après chu-nantes.fr/le-cyclotron-arronax

L'objectif de cet exercice est d'étudier le fonctionnement général d'un cyclotron pour permettre la production de radioisotopes puis d'étudier leur utilisation lors d'une scintigraphie.

1. Le fonctionnement d'un cyclotron

Un cyclotron est un accélérateur de particules, inventé par M. Lawrence en 1931.

Il est composé de deux cavités métalliques en forme de demi-cylindres éloignées d'une distance notée $d$ . Un canon permet de produire des particules chargées introduites dans le dispositif.

Entre les deux cavités, une tension alternative $U$ est appliquée. Elle crée un champ électrique $E$ . Les particules utilisées sont des ions $H X^{-}$ obtenus à partir d'atomes d'hydrogène. Ils sont donc soumis, entre les deux cavités à une force électrique $F_{e}$ qui les accélère.

À l'intérieur des deux cavités, un champ magnétique impose un mouvement circulaire uniforme aux particules présentes.

Au bout d'un certain nombre de tours, les ions $H X^{-}$ passent au travers d'un extracteur qui leur enlève leurs deux électrons. À la sortie, les protons $H X^{+}$ formés sont dirigés vers une cible, pour produire les radioisotopes.

Le mouvement de l'ion $H X^{-}$ entre les plaques est étudié dans un référentiel supposé galiléen, associé à l'axe $(O x)$ . L'ion $H X^{-}$ est émis au point $O$ sans vitesse initiale.

Données :

Masse de l'ion $H X^{-}$ : $m = 1, 67 \times 1 0^{- 27} kg$ ;
Charge de l'ion $H X^{-}$ : $q = - e = - 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ ;
Distance entre les plaques : $d = 5, 0 mm$ ;
Tension appliquée entre les plaques : $U = 65 kV$ ;
Valeur du champ électrique : $E = \frac{U}{d}$ ;
$1 eV = 1, 60 \times 1 0^{- 19} J$ ;
Intensité du champ de pesanteur $g = 9, 81 N \cdot k g^{- 1}$ .

Q.1. Montrer que la valeur de la norme du poids de l'ion $H X^{-}$ est négligeable devant la valeur de la norme de la force électrique $F_{e}$ qui s'applique sur l'ion.

Q.2. Reproduire, sur la copie, la figure 2. Compléter ce schéma en faisant apparaître, sans soucis d'échelle, la force électrique $F_{e}$ qui s'applique sur l'ion $H X^{-}$ et le champ électrique $E$ présent dans l'espace entre les plaques.

Q.3. Exprimer l'accélération $a_{x}$ de l'ion $H X^{-}$ dans la zone accélératrice en fonction de $e$ , $U$ , $d$ et $m$ , en appliquant la deuxième loi de Newton.

Q.4. Montrer alors que la vitesse et la position de l'ion $H X^{-}$ lors du passage dans la zone accélératrice, sur l'axe $x$ , peuvent s'écrire : $v_{x} (t) = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \times t$ $x (t) = \frac{1}{2} \times \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \times t^{2}$

Q.5. Calculer la valeur de la vitesse $v_{sortie}$ de l'ion $H X^{-}$ après le premier passage dans la zone accélératrice lorsque $x (t) = d$ .

Q.6. Vérifier que l'énergie cinétique de l'ion $H X^{-}$ à la sortie de la zone accélératrice vaut $E_{C} = 1, 0 \times 1 0^{- 14} J$ .

À chaque passage entre les plaques, les particules gagnent une énergie cinétique égale à $1, 0 \times 1 0^{- 14} J$ . Par contre, les particules n'acquièrent pas d'énergie cinétique dans les cavités. En sortie du cyclotron, les particules possèdent une énergie cinétique de 70 MeV.

Q.7. Calculer le nombre de tours complets que les particules ont effectués avant la sortie du cyclotron.

Pour cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

2. La production de radioisotope et la scintigraphie

Données :

Informations sur quelques éléments chimiques :

Nom de l'élément	Oxygène	Fluor
Symbole	O	F
Numéro atomique	8	9

L'énergie d'un photon est liée à la longueur d'onde du rayonnement émis par la relation : $E = \frac{h \times c}{λ}$ avec : $h$ , la constante de Planck : $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ; $λ$ , la longueur d'onde du rayonnement ; $c$ , la célérité des ondes électromagnétiques dans l'air et dans le vide, supposée connue.
$1 eV = 1, 60 \times 1 0^{- 19} J$ ;
Domaines des ondes électromagnétiques :

Les protons accélérés par le cyclotron permettent la production de radioisotopes comme le fluor 18. Le fluor 18 radioactif entre dans la composition du fluorodésoxyglucose (FDG), un traceur radioactif qui s'accumule dans les zones cancéreuses. La désintégration de ce traceur émet des photons. Ceux-ci sont captés et analysés grâce à une gamma-caméra, placée autour de la zone à étudier.

La scintigraphie est réalisée dans un service hospitalier de médecine nucléaire, lors d'un examen en plusieurs étapes :

injection dans une veine d'une petite quantité du traceur radioactif ;
attente d'environ 1 h pour la diffusion et la fixation du traceur dans l'organisme ;
enregistrement et production de clichés de l'organe à étudier puis analyse de ces clichés. Cette étape dure environ 30 minutes ;
sortie du patient de l'hôpital 2 h après le début de l'examen.

D'après arronax-nantes.fr/production-des-radionucleides

Pour former le fluor 18, les protons $H X^{+}$ (dont la représentation symbolique est $X_{1}^{1} X_{21}^{21} H$ ) accélérés par le cyclotron bombardent une cible riche en oxygène 18. Lors de cette réaction, un neutron (noté $X_{0}^{1} X_{20}^{21} n$ ) est également produit.

Q.8. Écrire l'équation de la réaction nucléaire conduisant à la formation du fluor 18.

Le fluor 18 contenu dans le traceur radioactif se désintègre par radioactivité $β^{+}$ .

Q.9. Donner le nom et le symbole de la particule émise lors d'une désintégration radioactive $β^{+}$ . Écrire l'équation de la transformation nucléaire qui correspond à cette désintégration.

Cette désintégration est accompagnée de l'émission de photons dont l'énergie moyenne est de 511 keV.

Q.10. Calculer la longueur d'onde correspondant à l'énergie moyenne transportée par le photon. Justifier alors l'utilisation d'une gamma-caméra pour analyser ce rayonnement.

Pour la suite, on note $N_{0}$ le nombre de noyaux de fluor 18 contenu dans le traceur à l'instant $t = 0 s$ , correspondant au moment de l'injection et on note $N (t)$ , le nombre de noyaux de fluor 18 présent dans le corps du patient à la date $t$ .

L'équation différentielle donnant le nombre de noyaux $N (t)$ en fonction du temps est de la forme : $\frac{d N ( t )}{d t} = - λ \times N (t)$ avec $λ$ constante de radioactivité.

Q.11. Montrer que l'expression $N (t) = N_{0} \times e^{- λ t}$ est bien solution de l'équation différentielle précédente.

La relation entre la constante radioactive $λ$ et le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est : $t_{1/2} = \frac{ln ( 2 )}{λ}$ .

Q.12. Définir puis déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie $t_{1/2}$ du fluor 18.

Q.13. Calculer la valeur de la constante radioactive $λ$ correspondant au fluor 18.

Q.14. Déterminer le pourcentage de traceur radioactif restant dans le corps du patient après l'analyse des clichés.

Q.15. Calculer la valeur de la durée nécessaire pour qu'il reste moins de 1 % de traceur radioactif dans le corps du patient. Commenter cette valeur.

Corrigé

1. Le fonctionnement d'un cyclotron

Q.1. Norme du poids : $P = m \cdot g$ .

Norme de la force électrique : $F_{e} = ∣ q ∣ \cdot E = e \cdot \frac{U}{d}$ .

Calculons le rapport : $\frac{F _{e}}{P} = \frac{e \cdot U}{d \cdot m \cdot g} = \frac{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 65 \times 1 0 ^{3}}{5 , 0 \times 1 0 ^{- 3} \times 1 , 67 \times 1 0 ^{- 27} \times 9 , 81} = 1, 3 \times 1 0^{14}$

La force électrique est environ $1 0^{14}$ fois plus grande que le poids. Le poids de l'ion est donc négligeable devant la force électrique.

Q.2. On a $F_{e} = q \cdot E$ avec $q = - e < 0$ donc $F_{e}$ et $E$ sont de sens opposés.

Par ailleurs, le schéma montre que le sens du mouvement de l'ion $H X^{-}$ est orienté vers la droite. Donc, pour accélérer l'ion $H X^{-}$ entre les deux plaques, la force électrique $F_{e}$ doit être orientée vers la droite et le champ électrique $E$ doit être orienté vers la gauche.

(figure : $E$ orienté vers la gauche, $F_{e}$ orienté vers la droite, dans l'espace entre les plaques.)

Q.3. On applique la deuxième loi de Newton au système (ion $H X^{-}$ ), de masse $m$ et de charge $q = - e$ , dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On utilise le repère $(O; i)$ axe $O x$ orienté vers la droite. Le poids de l'ion étant négligeable, on a : $\sum F_{ext} = F_{e} = m \cdot a ⟺ q E = m \cdot a ⟺ - e E = m \cdot a ⟺ a = \frac{- e}{m} E$ Or $E = - E i$ avec $E = \frac{U}{d}$ , on peut donc écrire : $a = \frac{- e}{m} (- \frac{U}{d}) i ⟺ a = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} i$ En projection suivant l'axe $O x$ , il vient : $a_{x} = \frac{e \cdot U}{m \cdot d}$

Q.4. On a $a = \frac{d v}{d t}$ . En projection sur l'axe $O x$ il vient : $a_{x} = \frac{d v _{x}}{d t} = \frac{e \cdot U}{m \cdot d}$ .

En primitivant : $v_{x} (t) = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t + C t e 1$ .

L'ion $H X^{-}$ est émis au point $O$ sans vitesse initiale ainsi : $v_{x} (0) = 0 = C t e 1 = 0$ donc $C t e 1 = 0$ . Finalement : $v_{x} (t) = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t$

On a $v = \frac{d O M}{d t}$ . En projection sur l'axe $O x$ il vient : $v_{x} = \frac{d x}{d t} = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t$ .

En primitivant : $x (t) = \frac{1}{2} \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t^{2} + C t e 2$ .

L'ion $H X^{-}$ est émis au point $O$ ainsi : $x (0) = 0 = C t e 2 = 0$ donc $C t e 2 = 0$ . Finalement : $x (t) = \frac{1}{2} \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t^{2}$

Q.5. Soit $t_{S}$ la date pour laquelle l'ion a parcouru la distance $d$ .

On a $x (t_{S}) = d$ soit : $x (t_{S}) = \frac{1}{2} \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t_{S}^{2} = d ⟺ t_{S}^{2} = \frac{2 m \cdot d ^{2}}{e \cdot U}$ .

En ne conservant que la solution positive : $t_{S} = \frac{2 m \cdot d ^{2}}{e \cdot U}$ soit $t_{S} = d \cdot \frac{2 m}{e \cdot U}$ .

On reporte l'expression de $t_{S}$ dans celle de $v_{x} (t)$ pour calculer $v_{sortie}$ : $v_{sortie} = v_{x} (t_{S}) = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot t_{S} = \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot d \cdot \frac{2 m}{e \cdot U} = \frac{e \cdot U}{m} \frac{2 m}{e \cdot U}$ $finalement v_{sortie} = \frac{2 e \cdot U}{m}$ $v_{sortie} = \frac{2 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 65 \times 1 0 ^{3}}{1 , 67 \times 1 0 ^{- 27}} = 3, 5 \times 1 0^{6} m \cdot s^{- 1}$ $v_{sortie} = 3, 5 \times 1 0^{6} m \cdot s^{- 1}$

Q.6. $E_{C} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{sortie}^{2}$ soit $E_{C} = \frac{1}{2} \times 1, 67 \times 1 0^{- 27} \times (3, 529 \dots \times 1 0^{6})^{2} = 1, 04 \times 1 0^{- 14} J \approx 1, 0 \times 1 0^{- 14} J$ .

Q.7. Pour cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

L'énergie cinétique en sortie du cyclotron est : $E_{C tot} = 70 MeV = 70 \times 1 0^{6} \times 1, 60 \times 1 0^{- 19} J$ À chaque passage entre les plaques, l'ion gagne une énergie cinétique $E_{C} = 1, 0 \times 1 0^{- 14} J$ .

Le nombre de passages de l'ion entre les plaques est donc : $N_{passages} = \frac{E _{C tot}}{E _{C}}$ .

Mais, lors d'un tour complet dans le cyclotron, il y a deux passages dans la zone accélératrice. Le nombre de tours $N_{tours}$ dans le cyclotron est alors : $N_{tours} = \frac{N _{passages}}{2} = \frac{E _{C tot}}{2 E _{C}}$ $N_{tours} = \frac{70 \times 1 0 ^{6} \times 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19}}{2 \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 14}} \approx 560 tours$

2. La production de radioisotope et la scintigraphie

Q.8. Équation de la réaction nucléaire (conservation du nombre de masse et de charge) : $X_{1}^{1} X_{21}^{21} H + X_{8}^{18} X_{28}^{218} O X_{9}^{18} X_{29}^{218} F + X_{0}^{1} X_{20}^{21} n$

Q.9. Lors d'une désintégration $β^{+}$ la particule émise est un positon (ou positron) de symbole : $X_{1}^{0} X_{21}^{20} e$ .

Équation : $X_{9}^{18} X_{29}^{218} F X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X + X_{1}^{0} X_{21}^{20} e$ . On applique les lois de conservation de Soddy :

Conservation du nombre de masse : $18 = A + 0$ donc $A = 18$ .
Conservation du nombre de charge : $9 = Z + 1$ donc $Z = 8$ .

Finalement : $X_{9}^{18} X_{29}^{218} F X_{8}^{18} X_{28}^{218} O + X_{1}^{0} X_{21}^{20} e$ .

Q.10. $E = \frac{h \cdot c}{λ} ⟺ λ = \frac{h \cdot c}{E}$ $λ = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 00 \times 1 0 ^{8}}{511 \times 1 0 ^{3} \times 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19}} = 2, 43 \times 1 0^{- 12} m = 2, 43 pm$ D'après le diagramme des domaines des ondes électromagnétiques, cette longueur d'onde correspond aux rayons gamma $γ$ . C'est la raison pour laquelle on doit utiliser une gamma-caméra pour analyser ce rayonnement.

Q.11. Calculons : $\frac{d N}{d t} = \frac{d ( N _{0} \times e ^{- λ t} )}{d t} = N_{0} \times \frac{d ( e ^{- λ t} )}{d t} = N_{0} \times (- λ) e^{- λ t} = - λ \times N_{0} \times e^{- λ t} = - λ N (t)$ On retrouve bien l'équation différentielle : $\frac{d N}{d t} = - λ \times N (t)$ . L'expression $N (t) = N_{0} \times e^{- λ t}$ est bien solution de l'équation différentielle.

Q.12. Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est la durée pour laquelle le nombre initial de noyaux radioactifs d'une population a été divisé par deux soit : $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2}$ .

Graphiquement on lit : $t_{1/2} \approx 6500 s$ (à $N (t) / N_{0} = 50 %$ ).

Q.13. $t_{1/2} = \frac{ln ( 2 )}{λ} ⟺ λ = \frac{ln ( 2 )}{t _{1/2}} = \frac{ln ( 2 )}{6500} = 1, 066 \times 1 0^{- 4} s^{- 1}$

Q.14. Entre l'injection du radiotraceur et l'analyse des clichés il s'est écoulé 1 h 30 min (1 h + 30 min) soit $90 min = 90 \times 60 = 5400 s$ .

Graphiquement, pour $t = 5400 s$ , on lit un pourcentage de radiotraceur restant égal à $57 %$ .

Q.15. Cherchons la durée $t$ telle que : $N (t) < \frac{1}{100} \times N_{0} ⟺ \frac{N ( t )}{N _{0}} < 0, 01$ .

D'où : $e^{- λ t} < 0, 01 ⟺ ln (e^{- λ t}) < ln (0, 01) ⟺ - λ \cdot t < ln (0, 01) ⟺ t > - \frac{ln ( 0 , 01 )}{λ}$ . $t > - \frac{ln ( 0 , 01 )}{\frac{ln ( 2 )}{6500}} = 4, 3 \times 1 0^{4} s \approx 12 h$ Cette durée est relativement courte. Le traceur radioactif ne reste qu'une demi-journée dans l'organisme ce qui limite les risques liés à l'irradiation du patient et de ses proches.

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