Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS

Cours complet · électricité (MP2I), chapitre 1 · CPGE MP2I (1re année)

L'électricité décrit le mouvement des charges dans les circuits. Avant d'étudier les composants (chapitre 2) et les régimes (chapitres suivants), il faut poser les grandeurs fondamentales — charge, intensité, tension, puissance — et le cadre dans lequel on travaillera presque toujours : l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), qui autorise les lois de Kirchhoff (lois des nœuds et des mailles).

1.1 Charge et intensité du courant

Définition 1.1Charge électrique

La charge $q$ (en coulombs, $C$ ) est quantifiée : $q = \pm N e$ avec $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ . Mais les courants usuels mettent en jeu un nombre gigantesque de charges : à l'échelle macroscopique, $q$ apparaît continue.

Définition 1.2Intensité

L'intensité du courant est le débit de charge à travers une section :

$i = \frac{d q}{d t} (A = C / s) .$

Ordres de grandeur : courant domestique $\sim A$ , électronique $\sim mA$ , foudre $\sim 1 0^{4} A$ .

1.2 Potentiel, tension et puissance

Définition 1.3Potentiel et tension

Chaque point d'un circuit est à un potentiel $V$ (en volts, $V$ ), défini à une constante près : on choisit une référence ( $V = 0$ , la « masse »). La tension entre deux points est la différence de potentiel

$u_{A B} = V_{A} - V_{B} .$

Ordres de grandeur : pile $1.5 V$ , secteur $230 V$ , électronique $\sim V$ .

Définition 1.4Puissance

La puissance reçue par un dipôle parcouru par $i$ et soumis à la tension $u$ (en convention récepteur) est

$P = u i (W = V \cdot A) .$

1.3 L'approximation des régimes quasi-stationnaires

Définition 1.5ARQS

Un signal électrique se propage à une vitesse proche de celle de la lumière $c$ . Sur un circuit de taille $ℓ$ , le temps de propagation est $ℓ / c$ . L'ARQS est valable si ce temps est négligeable devant la période $T$ du signal :

$ℓ ≪ c T = λ ⟺ f ≪ \frac{c}{ℓ}$

On peut alors considérer que l'intensité est la même en tout point d'une branche à un instant donné.

Exemple 1.6

Pour un circuit de $ℓ = 1 m$ , $c / ℓ = 3 \times 1 0^{8} Hz$ : l'ARQS est excellente jusqu'à quelques $M Hz$ . Au secteur ( $50 Hz$ ), $λ = 6000 km ≫ ℓ$ : largement vérifiée. Elle cesse de l'être en hyperfréquences (antennes, $f ≳ 1 0^{8} Hz$ ).

1.4 Les lois de Kirchhoff

◆Théorème 1.7Loi des nœuds

En un nœud, la conservation de la charge impose que la somme des intensités est nulle (en comptant positivement celles qui entrent, négativement celles qui sortent) :

$k \sum ε_{k} i_{k} = 0.$

◆Théorème 1.8Loi des mailles

Le long d'une maille orientée, la somme des tensions est nulle : $k \sum ε_{k} u_{k} = 0$ (la tension est un écart de potentiel, qui revient à sa valeur après un tour).

ImportantConventions

On oriente les flèches de courant et de tension. En convention récepteur, les flèches de $i$ et $u$ sont opposées ( $P = u i > 0$ : le dipôle reçoit) ; en convention générateur, elles sont de même sens ( $P = u i > 0$ : le dipôle fournit).

Capacité numérique : Charge transportée par un courant variable

L'intensité étant le débit de charge, la charge est l'intégrale du courant : $q = \int i d t$ (aire sous $i (t)$ ).


import numpy as np

t = np.linspace(0.0, 2.0, 1000)        # temps (s)
i = 0.5 * np.exp(-t / 0.5)             # courant decroissant (A)
q = np.trapz(i, t)                     # charge q = integrale de i dt (C)
print("charge transportee :", round(q, 3), "C")

On retrouve $q = \int_{0}^{2} 0, 5 e^{- t /0, 5} d t \approx 0.25 C$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Charge et intensité (

⋆

)

Un courant constant $I = 2.0 A$ circule pendant $5 min$ . Quelle charge a traversé une section ?

Démonstration

$q = I t = 2, 0 \times (5 \times 60) = 2, 0 \times 300 = 600 C$ .

Exercice 2 : Quantification (

⋆

)

Combien d'électrons correspondent à une charge de $1.0 C$ ( $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ) ?

Démonstration

$N = \frac{q}{e} = \frac{1 , 0}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 6.3 \times 1 0^{18}$ électrons : un nombre énorme, d'où l'aspect « continu » de la charge.

Exercice 3 : Tension et référence (

⋆ ⋆

)

Trois points ont pour potentiels $V_{A} = 5 V$ , $V_{B} = 2 V$ , $V_{C} = 0 V$ (masse). Donner $u_{A B}$ , $u_{A C}$ , $u_{B C}$ .

Démonstration

$u_{A B} = V_{A} - V_{B} = 3 V$ ; $u_{A C} = V_{A} - V_{C} = 5 V$ ; $u_{B C} = V_{B} - V_{C} = 2 V$ . La tension ne dépend que des différences de potentiel.

Exercice 4 : Puissance (

⋆ ⋆

)

Une ampoule sous $230 V$ est parcourue par $0.26 A$ . Quelle est sa puissance ?

Démonstration

$P = u i = 230 \times 0, 26 \approx 60 W$ : une ampoule de $60 W$ .

Exercice 5 : Loi des nœuds (

⋆ ⋆

)

En un nœud arrivent $i_{1} = 3 A$ et $i_{2} = 2 A$ ; il en repart $i_{3}$ et $i_{4} = 1.5 A$ . Déterminer $i_{3}$ .

Démonstration

Conservation : $i_{1} + i_{2} = i_{3} + i_{4} \Rightarrow i_{3} = 3 + 2 - 1, 5 = 3.5 A$ .

Exercice 6 : Loi des mailles (

⋆ ⋆

)

Dans une maille, un générateur impose $E = 12 V$ ; deux dipôles ont des tensions $u_{1} = 7 V$ et $u_{2}$ . La loi des mailles donne $E = u_{1} + u_{2}$ . Déterminer $u_{2}$ .

Démonstration

$u_{2} = E - u_{1} = 12 - 7 = 5 V$ .

Exercice 7 : Validité de l'ARQS (

⋆ ⋆

)

Un circuit de $30 cm$ fonctionne à $1 M Hz$ . L'ARQS est-elle valable ?

Démonstration

$λ = c / f = 3 \times 1 0^{8} /1 0^{6} = 300 m ≫ ℓ = 0.30 m$ : oui, largement (le temps de propagation $ℓ / c = 1 ns$ est négligeable devant la période $T = 1 μ s$ ).

Exercice 8 : Récepteur ou générateur (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un dipôle est traversé par $i = 0.5 A$ avec $u = 3 V$ . En convention récepteur, $P = u i = 1.5 W > 0$ . Que peut-on dire ? Et si $P < 0$ ?

Démonstration

En convention récepteur, $P = u i > 0$ signifie que le dipôle reçoit effectivement de l'énergie (récepteur, ex. résistance). Si l'on trouvait $P = u i < 0$ , le dipôle fournirait de l'énergie : il se comporte en générateur (ex. pile en décharge). Le signe de la puissance distingue donc le rôle effectif du dipôle.

1.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Charge quantifiée ( $q = \pm N e$ ) mais continue à l'échelle macroscopique ; intensité $i = \frac{d q}{d t}$ (débit de charge).
Tension $u_{A B} = V_{A} - V_{B}$ (référence de potentiel = masse) ; puissance $P = u i$ .
ARQS : $ℓ ≪ c T$ ( $f ≪ c / ℓ$ ) $\Rightarrow$ intensité identique en tout point d'une branche à un instant donné.
Loi des nœuds : $\sum ε_{k} i_{k} = 0$ (conservation de la charge). Loi des mailles : $\sum ε_{k} u_{k} = 0$ .
Conventions : récepteur ( $i$ , $u$ opposées) / générateur (même sens) ; $P = u i > 0$ reçu (récepteur), fourni (générateur).

1.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Quelle charge transporte un courant de $0.5 A$ en $1 h$ ?

( $⋆$ ) Nombre d'électrons par seconde dans un fil parcouru par $1 A$ .

( $⋆$ ) Donner les ordres de grandeur des tensions : pile, USB, secteur, ligne haute tension.

( $⋆ ⋆$ ) Un radiateur de $2000 W$ sous $230 V$ : quelle intensité le traverse ?

( $⋆ ⋆$ ) Écrire la loi des nœuds pour un nœud à quatre branches.

( $⋆ ⋆$ ) Jusqu'à quelle fréquence l'ARQS est-elle valable pour un circuit de $10 cm$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi la masse (référence de potentiel) est-elle choisie arbitrairement sans changer les tensions ?

( $⋆ ⋆$ ) Un dipôle a $u = - 2 V$ et $i = 1 A$ (convention récepteur) : reçoit-il ou fournit-il de l'énergie ?

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, calculer la charge transportée par $i (t) = I_{0} sin (ω t)$ sur une demi-période.

( $⋆ ⋆$ ) Énoncer la loi des mailles sur un circuit à deux mailles et préciser le nombre d'équations indépendantes.

( $⋆ ⋆$ ) Justifier, à partir de l'ARQS, pourquoi on peut parler de « l'intensité dans une branche » sans préciser le point.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Estimer le temps de propagation d'un signal le long d'un câble transatlantique ( $6000 km$ ) et discuter la validité de l'ARQS pour un signal à $1 k Hz$ .

1.8 Problèmes contextualisés

Charge, intensité, tension et puissance se mesurent au quotidien : facture d'électricité, foudre, batteries, sécurité, transport en haute tension, disjoncteurs, antennes.

Exemple 1.17La facture d'électricité (

⋆ ⋆

)

Un radiateur de $P = 2000 W$ fonctionne $5 h$ par jour pendant $30$ jours. Le tarif est de $0, 20$ euro par $kWh$ .

Calculer l'énergie consommée en $kWh$ , puis en joules.
Calculer le coût mensuel.
Pourquoi facture-t-on en $kWh$ et non en joules ?

Démonstration

1. $E = P t = 2, 0 \times (5 \times 30) = 300 kWh$ . En joules : $300 \times 3, 6 \times 1 0^{6} = 1.08 \times 1 0^{9} J$ ( $1 kWh = 3.6 MJ$ ).

2. Coût $= 300 \times 0, 20 = 60 euros$ .

3. Le $kWh$ (puissance $\times$ durée) donne des nombres maniables ( $300$ ) là où le joule en donnerait d'énormes ( $1 0^{9}$ ) : c'est une unité d'énergie adaptée à l'usage domestique.

Exemple 1.18La foudre (

⋆ ⋆

)

Un éclair transporte un courant de pointe $I \approx 30 kA$ pendant une durée $τ \approx 30 μ s$ , sous une tension $U \approx 100 MV$ .

Estimer la charge transférée.
Estimer la puissance instantanée. Commenter l'ordre de grandeur.
Pourquoi, malgré cette puissance colossale, l'énergie d'un éclair reste-t-elle « modeste » ?

Démonstration

1. $q = I τ = 3, 0 \times 1 0^{4} \times 3, 0 \times 1 0^{- 5} = 0.9 C$ .

2. $P = U I = 1 0^{8} \times 3 \times 1 0^{4} = 3 \times 1 0^{12} W$ ( $3 T W$ ) : comparable à la puissance électrique de la planète entière, le temps d'un éclair.

3. L'énergie $E = P τ \approx 3 \times 1 0^{12} \times 3 \times 1 0^{- 5} \approx 1 0^{8} J$ (quelques dizaines de $kWh$ ) : la durée infime limite l'énergie totale, malgré la puissance énorme.

Exemple 1.19La batterie de smartphone (

⋆ ⋆

)

Une batterie affiche $4000 mAh$ sous $3.7 V$ .

Convertir cette « capacité » en charge (coulombs).
Quelle énergie stocke-t-elle (en $Wh$ puis en joules) ?
Si le téléphone consomme en moyenne $0.5 A$ , quelle autonomie ?

Démonstration

1. $4000 mAh = 4 Ah = 4 \times 3600 = 14400 C$ .

2. $E = 4 \times 3, 7 = 14.8 Wh \approx 14, 8 \times 3600 \approx 5.3 \times 1 0^{4} J$ .

3. Autonomie $= \frac{4 Ah}{0 , 5 A} = 8 h$ (la capacité en $Ah$ divisée par le courant moyen).

Exemple 1.20Le danger du courant électrique (

⋆ ⋆ ⋆

)

Ce qui est dangereux pour le corps, c'est l'intensité qui le traverse (seuils : $10 mA$ tétanisation, $100 mA$ fibrillation cardiaque). Le secteur est à $U = 230 V$ .

Peau sèche, résistance du corps $R \approx 100 k Ω$ : calculer le courant. Dangereux ?
Peau mouillée, $R \approx 1 k Ω$ : recalculer. Conclure.
Pourquoi une « cage de Faraday » (voiture, avion) protège-t-elle de la foudre ?

Démonstration

1. $i = \frac{U}{R} = \frac{230}{1 0 ^{5}} = 2.3 mA$ : sous le seuil de tétanisation, peu dangereux (désagréable).

2. $i = \frac{230}{1 0 ^{3}} = 230 mA$ : au-delà du seuil de fibrillation $\Rightarrow$ potentiellement mortel. D'où le danger de l'électricité près de l'eau (salle de bain).

3. Le courant circule dans la coque conductrice (potentiel uniforme à l'intérieur), pas dans les occupants : la cage de Faraday les protège.

Exemple 1.21Pourquoi transporter en haute tension (

⋆ ⋆ ⋆

)

On veut transporter une puissance $P = 10 MW$ sur une ligne de résistance $R = 2 Ω$ . Les pertes par effet Joule valent $P_{J} = R I^{2}$ .

À $U = 20 kV$ , calculer le courant $I = P / U$ , puis les pertes.
À $U = 400 kV$ , refaire le calcul.
Conclure sur le rôle des lignes très haute tension (et des transformateurs).

Démonstration

1. $I = \frac{1 0 ^{7}}{2 \times 1 0 ^{4}} = 500 A$ ; pertes $P_{J} = 2 \times 50 0^{2} = 5 \times 1 0^{5} W = 500 kW$ (5 % de la puissance).

2. $I = \frac{1 0 ^{7}}{4 \times 1 0 ^{5}} = 25 A$ ; pertes $P_{J} = 2 \times 2 5^{2} = 1250 W$ : $400$ fois moins !

3. À puissance fixée, $I \propto 1/ U$ et les pertes $\propto 1/ U^{2}$ : on élève la tension pour transporter (d'où les transformateurs et les lignes $400 kV$ ), puis on l'abaisse près des usagers.

Exemple 1.22Le disjoncteur (

⋆ ⋆

)

Un circuit domestique est protégé par un disjoncteur calibré à $16 A$ (secteur $230 V$ ).

Quelle puissance maximale peut-on brancher sur ce circuit ?
En cas de court-circuit ( $R \to 0$ ), pourquoi le courant « explose »-t-il, et que fait le disjoncteur ?
À quoi sert cette protection (que protège-t-on) ?

Démonstration

1. $P_{m a x} = U I_{m a x} = 230 \times 16 \approx 3.7 kW$ .

2. Un court-circuit annule la résistance : $i = U / R \to \infty$ . Détectant ce courant excessif, le disjoncteur coupe le circuit quasi instantanément.

3. On protège le câblage : un courant trop fort échaufferait les fils ( $P_{J} = R I^{2}$ ) jusqu'à l'incendie. Le disjoncteur prévient la surchauffe.

Exemple 1.23ARQS et antennes 5G (

⋆ ⋆

)

L'ARQS suppose le circuit petit devant $λ = c / f$ . On compare le secteur ( $50 Hz$ ) et la 5G ( $f = 3.5 G Hz$ ).

Calculer $λ$ dans les deux cas.
Pour un dispositif de quelques centimètres, l'ARQS est-elle valable au secteur ? en 5G ?
Qu'implique l'échec de l'ARQS pour la conception des antennes ?

Démonstration

1. Secteur : $λ = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{50} = 6000 km$ . 5G : $λ = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{3 , 5 \times 1 0 ^{9}} \approx 8.6 cm$ .

2. Au secteur, $ℓ \sim cm ≪ 6000 km$ : ARQS parfaite. En 5G, $ℓ$ est comparable à $λ \approx 8.6 cm$ : l'ARQS échoue.

3. Il faut traiter la propagation (phase variable le long du dispositif) : c'est tout l'art des antennes, où les dimensions sont choisies en fraction de $λ$ (cf. livre des ondes).

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