Oscillations libres : circuits LC et RLC

Cours · électricité (PCSI), chapitre 4 · CPGE PCSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Oscillations libres d'un circuit RLC : la tension oscille et son enveloppe décroît exponentiellement.

Un condensateur chargé relié à une bobine échange périodiquement son énergie avec elle : c'est l'oscillateur électrique. Idéal (circuit LC), il oscille indéfiniment ; avec une résistance (circuit RLC), les oscillations s'amortissent. Ce chapitre, du second ordre, est l'exact pendant électrique de l'oscillateur mécanique amorti, étudié en mécanique : mêmes équations, mêmes notions de pulsation propre $ω_{0}$ et de facteur de qualité $Q$ , mêmes trois régimes.

4.1 L'oscillateur harmonique : le circuit LC

Définition 4.1Circuit LC

Un condensateur $C$ (initialement chargé) relié à une bobine $L$ vérifie, d'après la loi des mailles ( $u_{L} + u_{C} = 0$ ) avec $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ et $u_{L} = L \frac{d i}{d t}$ :

$\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0, ω_{0} = \frac{1}{L C} .$

La solution est sinusoïdale : $u_{C} (t) = U_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ , de période $T_{0} = 2 π L C$ .

Proposition 4.2Bilan énergétique

L'énergie totale se conserve :

$E = \frac{1}{2} C u_{C}^{2} + \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} C U_{m}^{2} = cte .$

Elle oscille en permanence entre le condensateur ( $\frac{1}{2} C u_{C}^{2}$ ) et la bobine ( $\frac{1}{2} L i^{2}$ ), comme l'énergie cinétique et potentielle d'un pendule.

Proposition 4.3Conditions initiales quelconques

Les deux constantes de la solution se fixent par les deux grandeurs continues du circuit, la tension $u_{C}$ du condensateur et l'intensité $i$ dans la bobine. Si $u_{C} (0) = u_{0}$ et $i (0) = i_{0}$ (avec $i = C d u_{C} / d t$ ), alors $u ˙_{C} (0) = i_{0} / C$ et

$u_{C} (t) = u_{0} cos ω_{0} t + \frac{i _{0}}{C ω _{0}} sin ω_{0} t = U_{m} cos (ω_{0} t + φ), U_{m} = u_{0}^{2} + \frac{L}{C} i_{0}^{2} .$

L'amplitude se lit aussi sur l'énergie, sans résoudre : $\frac{1}{2} C u_{0}^{2} + \frac{1}{2} L i_{0}^{2} = \frac{1}{2} C U_{m}^{2}$ . La grandeur $L / C$ , homogène à une résistance, est l'impédance caractéristique de l'oscillateur : un circuit lancé par un courant $i_{0}$ seul ( $u_{0} = 0$ ) monte à $U_{m} = i_{0} L / C$ .

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