Oscillations libres : circuits LC et RLC

Cours complet · électricité (PTSI), chapitre 4 · CPGE PTSI (1re année)

Un condensateur chargé relié à une bobine échange périodiquement son énergie avec elle : c'est l'oscillateur électrique. Idéal (circuit LC), il oscille indéfiniment ; avec une résistance (circuit RLC), les oscillations s'amortissent. Ce chapitre, du second ordre, est l'exact pendant électrique de l'oscillateur mécanique (livre Mécanique, chapitre 4) : mêmes équations, mêmes notions de pulsation propre $ω_{0}$ et de facteur de qualité $Q$ , mêmes trois régimes.

4.1 L'oscillateur harmonique : le circuit LC

Définition 4.1Circuit LC

Un condensateur $C$ (initialement chargé) relié à une bobine $L$ vérifie, d'après la loi des mailles ( $u_{L} + u_{C} = 0$ ) avec $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ et $u_{L} = L \frac{d i}{d t}$ :

$\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0, ω_{0} = \frac{1}{L C} .$

La solution est sinusoïdale : $u_{C} (t) = U_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ , de période $T_{0} = 2 π L C$ .

Proposition 4.2Bilan énergétique

L'énergie totale se conserve :

$E = \frac{1}{2} C u_{C}^{2} + \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} C U_{m}^{2} = cte .$

Elle oscille en permanence entre le condensateur ( $\frac{1}{2} C u_{C}^{2}$ ) et la bobine ( $\frac{1}{2} L i^{2}$ ), comme l'énergie cinétique et potentielle d'un pendule.

4.2 Le circuit RLC série

On ajoute une résistance $R$ . En régime libre (condensateur chargé, puis abandonné), la loi des mailles $u_{R} + u_{L} + u_{C} = 0$ donne, sous forme canonique :

$\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + \frac{ω _{0}}{Q} \frac{d u _{C}}{d t} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0, ω_{0} = \frac{1}{L C}, Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{L ω _{0}}{R} .$

ImportantLes trois régimes selon

Q

$Q < \frac{1}{2}$ : régime apériodique (retour à l'équilibre sans osciller) ;
$Q = \frac{1}{2}$ : régime critique (retour le plus rapide) ;
$Q > \frac{1}{2}$ : régime pseudo-périodique (oscillations amorties, pseudo- pulsation $Ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}$ ).

Proposition 4.3Dissipation et analogie

L'énergie décroît : $\frac{d E}{d t} = - R i^{2} \leq 0$ (effet Joule). Le nombre d'oscillations visibles est $\sim Q$ . L'analogie avec l'oscillateur mécanique (livre Mécanique) est exacte :

$q \leftrightarrow x, L \leftrightarrow m, R \leftrightarrow h, \frac{1}{C} \leftrightarrow k .$

Capacité numérique : Les trois régimes du RLC

On intègre numériquement la forme canonique pour trois valeurs de $Q$ .


import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

w0 = 1.0
def champ(Y, t, Q):
    x, v = Y
    return [v, -(w0 / Q) * v - w0**2 * x]      # forme canonique RLC

t = np.linspace(0.0, 25.0, 1500)
for Q in (0.3, 0.5, 5.0):           # aperiodique / critique / pseudo-periodique
    sol = odeint(champ, [1.0, 0.0], t, args=(Q,))
    plt.plot(t, sol[:, 0], label="Q = %.1f" % Q)
plt.xlabel("t"); plt.ylabel("u_C (norme)"); plt.legend(); plt.show()

Pour $Q = 5$ on voit des oscillations amorties ; pour $Q \leq \frac{1}{2}$ , le retour à zéro est sans oscillation.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.3 Exercices résolus

Exercice 1 : Pulsation propre (

⋆

)

Un circuit LC a $L = 10 mH$ et $C = 1 μ F$ . Calculer $ω_{0}$ et la fréquence propre.

Démonstration

$ω_{0} = \frac{1}{L C} = \frac{1}{1 0 ^{- 2} \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{1 0 ^{- 8}} = 1 0^{4} rad / s$ . Fréquence $f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} \approx 1.6 k Hz$ .

Exercice 2 : Période (

⋆

)

Donner la période propre du circuit précédent.

Démonstration

$T_{0} = 2 π L C = \frac{2 π}{ω _{0}} = \frac{2 π}{1 0 ^{4}} \approx 0.63 ms$ .

Exercice 3 : Facteur de qualité (

⋆ ⋆

)

On ajoute $R = 20 Ω$ au circuit précédent. Calculer $Q$ et préciser le régime.

Démonstration

$Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{20} \frac{1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{20} \times 100 = 5$ . Comme $Q > \frac{1}{2}$ , le régime est pseudo-périodique (environ $5$ oscillations avant amortissement).

Exercice 4 : Nature du régime (

⋆ ⋆

)

Pour $ω_{0} = 1 0^{4} rad / s$ et $C = 1 μ F$ , quelle valeur de $R$ amène le régime critique ?

Démonstration

Régime critique : $Q = \frac{1}{2}$ , soit $\frac{1}{R} L / C = \frac{1}{2}$ , $R = 2 L / C$ . Avec $L / C = 100$ : $R = 200 Ω$ . Au-delà, le régime devient apériodique.

Exercice 5 : Pseudo-période (

⋆ ⋆

)

Pour le circuit de l'exercice 3 ( $ω_{0} = 1 0^{4}$ , $Q = 5$ ), calculer la pseudo-pulsation et la pseudo-période.

Démonstration

$Ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}} = 1 0^{4} 1 - \frac{1}{100} \approx 1 0^{4} \times 0, 995 = 9.95 \times 1 0^{3} rad / s$ , très proche de $ω_{0}$ (faible amortissement). Pseudo-période $T = 2 π /Ω \approx 0.63 ms$ .

Exercice 6 : Bilan énergétique LC (

⋆ ⋆

)

Dans un circuit LC, où l'énergie est-elle stockée quand $u_{C}$ est maximale ? quand $i$ est maximal ?

Démonstration

Quand $u_{C}$ est maximale, $i = 0$ : toute l'énergie est dans le condensateur ( $\frac{1}{2} C U_{m}^{2}$ ). Quand $i$ est maximal, $u_{C} = 0$ : toute l'énergie est dans la bobine ( $\frac{1}{2} L I_{m}^{2}$ ). L'énergie oscille entre les deux, à somme constante.

Exercice 7 : Analogie électromécanique (

⋆ ⋆

)

Donner le système mécanique analogue d'un circuit RLC série, et la correspondance des grandeurs.

Démonstration

C'est l'oscillateur masse-ressort amorti : $q \leftrightarrow x$ (charge $\leftrightarrow$ position), $L \leftrightarrow m$ (inertie), $R \leftrightarrow h$ (frottement), $\frac{1}{C} \leftrightarrow k$ (raideur). Mêmes $ω_{0}$ , $Q$ et régimes.

Exercice 8 : Nombre d'oscillations (

⋆ ⋆ ⋆

)

Estimer le nombre d'oscillations visibles dans un circuit RLC de $Q = 20$ avant que l'amplitude ne soit divisée par environ $e^{π} \approx 23$ .

Démonstration

L'enveloppe décroît en $e^{- t / τ}$ avec $τ = \frac{2 Q}{ω _{0}}$ . En une pseudo-période $T \approx T_{0} = 2 π / ω_{0}$ , l'amplitude est multipliée par $e^{- T / τ} = e^{- π / Q}$ . Après $n$ périodes, facteur $e^{- nπ / Q}$ . L'ordre de grandeur du nombre d'oscillations « visibles » est $\sim Q = 20$ (cohérent : $Q$ compte les oscillations avant amortissement notable).

4.4 Synthèse du chapitre

À retenir

Circuit LC : $u ¨_{C} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0$ , $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ , $T_{0} = 2 π L C$ ; énergie $\frac{1}{2} C u_{C}^{2} + \frac{1}{2} L i^{2}$ conservée (échange C $\leftrightarrow$ L).
Circuit RLC : $u ¨_{C} + \frac{ω _{0}}{Q} u ˙_{C} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0$ , $Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C}$ ; régimes apériodique ( $Q < \frac{1}{2}$ ), critique ( $Q = \frac{1}{2}$ ), pseudo-périodique ( $Q > \frac{1}{2}$ , $Ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}$ ).
Dissipation $\frac{d E}{d t} = - R i^{2}$ ; $\sim Q$ oscillations.
Analogie mécanique : $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $R \leftrightarrow h$ , $\frac{1}{C} \leftrightarrow k$ .

4.5 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Fréquence propre d'un circuit LC avec $L = 1 mH$ , $C = 100 nF$ .

( $⋆$ ) Quelle capacité pour accorder un circuit LC à $1 M Hz$ avec $L = 10 μ H$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Établir l'équation différentielle du circuit RLC série en régime libre.

( $⋆ ⋆$ ) Pour $L = 0.1 H$ , $C = 1 μ F$ , quelle résistance donne $Q = 10$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Classer les régimes pour $Q = 0, 1$ ; $0, 5$ ; $50$ .

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que $Q = \frac{1}{R C ω _{0}} = \frac{L ω _{0}}{R}$ .

( $⋆ ⋆$ ) Décrire l'évolution de l'énergie au cours d'une pseudo-période.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi un circuit LC réel finit-il toujours par s'arrêter ?

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, déterminer la valeur de $Q$ qui sépare visuellement régime oscillant et non oscillant.

( $⋆ ⋆$ ) Décrément logarithmique : définir $δ = ln \frac{u ( t )}{u ( t + T )}$ et le relier à $Q$ .

( $⋆ ⋆$ ) Comparer le temps de retour à l'équilibre des régimes critique et apériodique.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir l'expression de la pseudo-pulsation $Ω$ à partir des racines complexes de l'équation caractéristique.

4.6 Problèmes contextualisés

L'oscillateur électrique est au cœur de la radio, des détecteurs de métaux, des portiques antivol, des instruments à aiguille et des montres à quartz.

Exemple 4.12Accorder un poste de radio (

⋆ ⋆

)

Un récepteur sélectionne une station grâce à un circuit LC accordé sur sa fréquence. On dispose d'une bobine $L = 100 μ H$ et d'un condensateur variable.

Donner la fréquence propre $f_{0}$ en fonction de $L$ et $C$ .
Quelle capacité accorde le circuit sur une station AM à $1 M Hz$ ?
Pourquoi un fort facteur de qualité $Q$ est-il souhaitable ici ?

Démonstration

1. $f_{0} = \frac{1}{2 π L C}$ .

2. $C = \frac{1}{( 2 π f _{0} ) ^{2} L} = \frac{1}{( 2 π \times 1 0 ^{6} ) ^{2} \times 1 0 ^{- 4}} \approx 250 pF$ . On accorde les stations en faisant varier $C$ .

3. Un grand $Q$ donne une résonance étroite : le circuit ne répond qu'aux fréquences très proches de $f_{0}$ , ce qui sélectionne une station sans capter les voisines.

Exemple 4.13Le détecteur de métaux (

⋆ ⋆

)

Un détecteur de métaux contient un oscillateur LC ( $f_{0} \approx 100 k Hz$ ). Quand un objet métallique s'approche de la bobine, il modifie son inductance $L$ .

Si $L$ diminue de $1 %$ à l'approche du métal, comment varie $f_{0}$ ?
Estimer le décalage de fréquence $Δ f$ .
Comment le rend-on audible (battements) ?

Démonstration

1. $f_{0} \propto 1/ L$ : si $L$ diminue, $f_{0}$ augmente.

2. $\frac{Δ f}{f _{0}} \approx - \frac{1}{2} \frac{Δ L}{L} = + 0, 5 %$ , soit $Δ f \approx 0, 005 \times 1 0^{5} = 500 Hz$ .

3. On compare $f_{0}$ à une fréquence de référence : leur différence (quelques centaines de $Hz$ ) produit un battement audible, qui change de hauteur en présence de métal.

Exemple 4.14Le portique antivol (

⋆ ⋆

)

Les étiquettes antivol des magasins contiennent un petit circuit LC accordé à $f_{0} = 8.2 M Hz$ . Le portique émet un champ balayant cette fréquence.

Que se passe-t-il quand l'étiquette (résonnante) entre dans le champ à $f_{0}$ ?
Pourquoi le passage en caisse « désactive »-t-il l'étiquette (en la détruisant ou la désaccordant) ?
Pourquoi choisir une fréquence précise plutôt qu'un large spectre ?

Démonstration

1. À la résonance, l'étiquette absorbe et réémet fortement l'énergie à $f_{0}$ : le portique détecte cette signature et déclenche l'alarme.

2. En détruisant le condensateur (ou en le court-circuitant), on change (ou annule) $f_{0}$ : l'étiquette n'est plus résonnante à $8.2 M Hz$ , donc plus détectée.

3. Une résonance étroite (grand $Q$ ) à une fréquence précise distingue l'étiquette du bruit ambiant et réduit les fausses alarmes.

Exemple 4.15L'instrument à aiguille (régime critique) (

⋆ ⋆ ⋆

)

L'aiguille d'un galvanomètre (ou d'une balance) se comporte comme un oscillateur amorti de facteur de qualité $Q$ réglable.

Pour $Q > \frac{1}{2}$ , comment l'aiguille rejoint-elle sa position ? Inconvénient pour la lecture ?
Pour $Q < \frac{1}{2}$ ? Inconvénient ?
Quel réglage de $Q$ donne le retour le plus rapide sans oscillation ?

Démonstration

1. $Q > \frac{1}{2}$ (pseudo-périodique) : l'aiguille oscille autour de la valeur avant de s'y fixer $\Rightarrow$ lecture lente (il faut attendre l'amortissement).

2. $Q < \frac{1}{2}$ (apériodique) : retour sans oscillation mais lent (l'aiguille « traîne »).

3. Le régime critique ( $Q = \frac{1}{2}$ ) : retour le plus rapide sans dépassement. Les bons instruments sont réglés au voisinage de ce régime.

Exemple 4.16La montre à quartz (

⋆ ⋆

)

Un quartz de montre est un résonateur de fréquence $f_{0} = 32768 Hz$ et de facteur de qualité très élevé, $Q \sim 1 0^{5}$ (contre $Q \sim 100$ pour un bon RLC).

Pourquoi $f_{0} = 32768 Hz$ ( $= 2^{15}$ ) est-elle commode pour fabriquer le « tic » d'une seconde ?
Qu'apporte un facteur de qualité aussi grand ?
Relier $Q$ au nombre d'oscillations avant amortissement notable.

Démonstration

1. $32768 = 2^{15}$ : un simple diviseur par $2$ répété $15$ fois transforme l'oscillation en une impulsion par seconde (le « tic »).

2. Un grand $Q$ signifie des oscillations très peu amorties et une résonance extrêmement étroite : la fréquence est très stable, donc la montre précise.

3. Le nombre d'oscillations avant amortissement notable est $\sim Q \sim 1 0^{5}$ : le quartz « sonne » longtemps et régulièrement, gage de précision.

Exemple 4.17Mesurer

Q

par le décrément logarithmique (

⋆ ⋆ ⋆

)

On relève l'amplitude des oscillations amorties d'un RLC : elle est divisée par $2$ au bout de $3$ pseudo-périodes. Le décrément logarithmique est $δ = ln \frac{u ( t )}{u ( t + T )} \approx \frac{π}{Q}$ (faible amortissement).

Calculer $δ$ à partir de la mesure.
En déduire le facteur de qualité $Q$ .
Pourquoi cette méthode est-elle pratique expérimentalement ?

Démonstration

1. Sur $3$ périodes, $u$ est divisée par $2$ : $3 δ = ln 2$ , donc $δ = \frac{ln 2}{3} \approx 0, 231$ .

2. $Q = \frac{π}{δ} = \frac{π}{0 , 231} \approx 13, 6$ .

3. Il suffit de mesurer un rapport d'amplitudes sur l'oscillogramme (sans connaître $R$ , $L$ , $C$ ) : c'est une mesure directe et robuste de $Q$ .

Exemple 4.18L'énergie qui oscille (analogie pendule) (

⋆ ⋆

)

Un circuit LC ( $L = 10 mH$ , $C = 1 μ F$ ) a son condensateur chargé à $U_{m} = 10 V$ .

Calculer l'énergie totale du circuit.
Quand le condensateur est entièrement déchargé, où est cette énergie ? En déduire le courant maximal $I_{m}$ .
Quel système mécanique cela évoque-t-il ?

Démonstration

1. $E = \frac{1}{2} C U_{m}^{2} = \frac{1}{2} \times 1 0^{- 6} \times 1 0^{2} = 5 \times 1 0^{- 5} J$ ( $50 μ J$ ).

2. Toute l'énergie est alors dans la bobine : $\frac{1}{2} L I_{m}^{2} = E \Rightarrow I_{m} = \frac{2 E}{L} = \frac{2 \times 5 \times 1 0 ^{- 5}}{1 0 ^{- 2}} = 0.1 A$ .

3. Un pendule : l'énergie passe de potentielle (condensateur, position) à cinétique (bobine, vitesse) et inversement, à somme constante.

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