Conversion de puissance : rail de Laplace et induction

$e=B\ell v=0,5\times 0,20\times 3=0.3\mathrm{V}$.

$i=\frac{e}{R}=\frac{0,3}{2}=0.15\mathrm{A}$.

$F=Bi\ell =0,5\times 0,15\times 0,20=1.5\times 10^{-2}\mathrm{N}$. Par la loi de Lenz, elle s'oppose au mouvement de la barre (force de freinage).

$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v$, EDO du premier ordre de constante de temps $\tau =\frac{mR}{B^2{\ell }^2}$. Donc $v(t)=v_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ : la barre ralentit exponentiellement (freinage par induction).

En régime permanent $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=0$ : $F_{\text{op}}=\frac{B^2{\ell }^2}{R}{v}_{\lim }$, d'où $v_{\lim }=\frac{F_{\text{op}}R}{B^2{\ell }^2}=\frac{0,3\times 1}{(0,5\times 0,2{)}^2}=\frac{0,3}{0,01}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

À vitesse constante, la puissance de l'opérateur ${\mathcal{P}}_{\text{op}}=F_{\text{op}}{v}_{\lim }$ ; la puissance électrique $ei=B\ell v_{\lim }\cdot i$ avec $i=B\ell v_{\lim }/R$, soit $ei=\frac{B^2{\ell }^2{v}_{\lim }^2}{R}=R{i}^2$. Or $F_{\text{op}}=B^2{\ell }^2{v}_{\lim }/R=Bi\ell$, donc ${\mathcal{P}}_{\text{op}}=B\ell v_{\lim }\cdot i=ei=R{i}^2$ : toute la puissance mécanique est convertie puis dissipée par effet Joule.

Le mouvement du disque dans le champ fait varier le flux à travers ses portions : des courants de Foucault y sont induits. Par Lenz, ils s'opposent au mouvement : il en résulte une force de freinage (proportionnelle à la vitesse). C'est le principe des ralentisseurs électromagnétiques.

Générateur : un opérateur pousse la barre ($F_{\text{op}}$, mécanique fournie) ; la f.é.m. induite débite un courant et fournit de la puissance électrique (conversion mécanique $\to$ électrique). Moteur : une source de tension impose un courant dans la barre ; la force de Laplace la met en mouvement (conversion électrique $\to$ mécanique). Le même dispositif est réversible, comme tout convertisseur électromécanique.

1. Conversion mécanique $\to$ électrique (le vent fournit la puissance mécanique, l'alternateur la convertit en puissance électrique).

2. Le courant débité crée (Laplace/Lenz) un couple résistant qui s'oppose à la rotation : produire de l'électricité prélève de l'énergie mécanique sur le rotor, donc le freine.

3. Sans charge, $i\to 0$ donc la force de freinage électromagnétique disparaît : plus rien ne s'oppose au vent, le rotor peut s'emballer (survitesse) et se détruire. D'où les freins et la mise en drapeau des pales.

1. $v=50/3,6\approx 13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\times 1500\times 13,9^2\approx \boxed{1.45\times 10^5\mathrm{J}}$ ($\approx 145\mathrm{kJ}$).

2. Frein classique : dissipée en chaleur dans les disques (perdue). Régénératif : convertie en énergie électrique stockée dans la batterie (récupérée).

3. Les conversions (Joule dans les résistances, pertes mécaniques, rendement du moteur-générateur) dissipent une partie : le rendement de récupération est inférieur à $100\%$.

1. Sur les courants de Foucault induits dans un disque tournant dans un champ : par Lenz, ils créent un couple qui s'oppose à la rotation (freinage).

2. Il freine en continu sans s'user ni chauffer des plaquettes : dans une longue descente, les freins à friction surchaufferaient, alors que le ralentisseur dissipe l'énergie sans usure.

3. La force de freinage est proportionnelle à la vitesse : elle s'annule à l'arrêt. Il faut donc les freins classiques pour immobiliser le véhicule.

1. L'induction (Faraday) : la rotation fait varier le flux dans la bobine, créant une f.é.m. qui alimente l'ampoule.

2. Le courant débité crée un couple résistant (Lenz) : plus on prélève de puissance électrique (lampe puissante, rotation rapide), plus ce couple — donc l'effort — est grand. On « ressent » l'énergie qu'on fournit.

3. Circuit ouvert : $i=0$, plus de couple résistant : la manivelle tourne librement (sans produire d'énergie utile).

1. À $\omega =0$ : $e^{\prime }=0$, donc $i=\frac{U}{R}$, maximal (appel de courant au démarrage, souvent plusieurs fois le courant nominal).

2. Quand $\omega$ croît, $e^{\prime }$ croît, donc $i=\frac{U-e^{\prime }}{R}$ diminue : le moteur lancé consomme moins.

3. Axe bloqué : $\omega =0$, $e^{\prime }=0$, le courant remonte à $U/R$ (fort) ; le moteur surchauffe (effet Joule) et peut griller — d'où les protections thermiques.

1. Des bobines (parcourues par le courant et soumises à la tension) créent un champ qui induit dans le disque un couple moteur ; un aimant permanent y induit des courants de Foucault freinants (proportionnels à la vitesse).

2. À l'équilibre, couple moteur ($\propto$ puissance) $=$ couple de freinage ($\propto$ vitesse) : la vitesse de rotation est donc proportionnelle à la puissance.

3. Le nombre de tours (vitesse intégrée dans le temps) est proportionnel à l'énergie ($=$ puissance $\times$ temps) : un compteur de tours affiche les $\mathrm{kWh}$.

1. Le champ variable induit des courants de Foucault dans le volume du fer, qui dissipent de l'énergie par effet Joule (pertes « fer »).

2. Les tôles minces isolées découpent les boucles de courant : les courants de Foucault, confinés à de fines couches, sont fortement réduits.

3. Moins de pertes Joule $\Rightarrow$ meilleur rendement et moindre échauffement du transformateur (ou du moteur).