Production, acquisition et traitement d'un signal

Cours · électronique (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une chaîne d'acquisition : le capteur, le filtre, puis le convertisseur analogique-numérique.

L'électronique du signal se déploie en trois temps que ce chapitre suit fidèlement. On produit d'abord un signal périodique de façon autonome : un oscillateur quasi-sinusoïdal, obtenu en bouclant un filtre passe-bande sur un amplificateur, engendre une tension sinusoïdale sans excitation extérieure. On acquiert ensuite ce signal analogique en le convertissant en une suite de nombres : l'échantillonnage, opération apparemment anodine, obéit à une contrainte incontournable — la condition de Nyquist-Shannon — sous peine de voir apparaître le redoutable repliement de spectre. On traite enfin le signal numérisé ou analogique : la détection synchrone permet d'extraire une information d'amplitude et de phase alors même que le signal utile est noyé sous un bruit d'amplitude bien supérieure.

Conformément au programme, ce thème est abordé de manière essentiellement expérimentale et prolonge l'étude des circuits linéaires de première année. Les outils théoriques (fonctions de transfert, spectres, valeurs moyennes) sont supposés maîtrisés ; on les met ici au service d'une compréhension physique des chaînes réelles d'instrumentation.

1.1 Production d'un signal : l'oscillateur quasi-sinusoïdal

1.1.1 Principe du bouclage

Un oscillateur est un système capable de délivrer un signal périodique de façon autonome, sans signal d'entrée. L'idée fondamentale est celle du bouclage (ou rétroaction positive) : on prélève une fraction du signal de sortie et on la réinjecte à l'entrée du système, de sorte qu'il s'auto-entretienne.

Coupons par la pensée la boucle en un point et injectons un signal sinusoïdal complexe de pulsation $ω$ . Après un tour complet, le signal a été multiplié par le gain de boucle

$T (j ω) = A \cdot H (j ω),$

où $A$ désigne le gain de l'amplificateur (réel, éventuellement négatif) et $H (j ω)$ la fonction de transfert du filtre. Pour qu'une oscillation entretenue soit possible, il faut que, à la pulsation d'oscillation $ω_{0}$ , le signal revienne en phase et de même amplitude après un tour de boucle.

Définition 1.1Condition de bouclage de Barkhausen

Un oscillateur sinusoïdal entretient une oscillation de pulsation $ω_{0}$ lorsque le gain de boucle vaut l'unité à cette pulsation :

$T (j ω_{0}) = A H (j ω_{0}) = 1.$

Cette égalité complexe équivaut à deux conditions réelles :

condition de phase : $ar g (T (j ω_{0})) = 0 [2 π]$ — elle fixe la pulsation d'oscillation $ω_{0}$ ;
condition de gain : $∣ T (j ω_{0}) ∣ = 1$ — elle fixe le gain minimal de l'amplificateur.

1.1.2 Rôle du filtre sélectif passe-bande

Le filtre placé dans la boucle joue un double rôle : il fixe la fréquence d'oscillation et garantit la pureté spectrale du signal. Un filtre passe-bande du deuxième ordre, dont la fonction de transfert s'écrit sous forme canonique

$H (j ω) = \frac{H _{0}}{1 + j Q ( \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω _{0}}{ω} )},$

présente à sa résonance $ω = ω_{0}$ un gain réel maximal $H (j ω_{0}) = H_{0}$ et une phase nulle. C'est précisément à cette pulsation que la condition de phase est satisfaite : le filtre sélectionne la fréquence pour laquelle la boucle est en phase.

Proposition 1.2Pulsation et gain d'accrochage

Pour un oscillateur bouclant un amplificateur de gain $A$ sur un passe-bande du deuxième ordre de gain maximal $H_{0}$ , de facteur de qualité $Q$ et de pulsation centrale $ω_{0}$ :

la pulsation d'oscillation est la pulsation centrale du filtre, $ω_{0} = 1/ L C$ pour un circuit $R L C$ (ou $ω_{0} = 1/ (R C)$ pour un pont de Wien) ;
la condition de démarrage impose $A H_{0} \geq 1$ , soit un gain d'amplificateur supérieur à $A_{m i n} = 1/ H_{0}$ .

Plus $Q$ est élevé, plus le filtre est sélectif et plus le signal généré est proche d'une sinusoïde pure.

Démonstration (Démarrage des oscillations)

Pour un passe-bande du deuxième ordre bouclé, la tension de sortie obéit en régime libre à une équation différentielle de la forme

$s ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} (1 - A H_{0}) s ˙ + ω_{0}^{2} s = 0.$

Le coefficient d'amortissement effectif est $\frac{ω _{0}}{Q} (1 - A H_{0})$ . Trois cas se présentent :

si $A H_{0} < 1$ : amortissement positif, les oscillations s'éteignent ;
si $A H_{0} = 1$ : amortissement nul, oscillations sinusoïdales d'amplitude constante (cas idéal, instable en pratique) ;
si $A H_{0} > 1$ : amortissement négatif, l'amplitude croît exponentiellement.

On choisit donc $A H_{0} > 1$ pour garantir le démarrage : une fluctuation infinitésimale (bruit thermique) suffit à amorcer une oscillation qui croît jusqu'à ce qu'un phénomène non linéaire vienne la limiter.

Attention

La condition idéale $A H_{0} = 1$ n'est jamais réalisable exactement : la moindre dérive ferait diverger ou s'éteindre l'oscillation. On règle toujours $A H_{0}$ légèrement supérieur à $1$ , et l'on compte sur la saturation de l'amplificateur pour stabiliser l'amplitude.

1.1.3 Stabilisation de l'amplitude par la non-linéarité

Si l'amplificateur était rigoureusement linéaire avec $A H_{0} > 1$ , l'amplitude croîtrait sans limite. C'est la non-linéarité — inévitable dès que la tension approche les tensions d'alimentation — qui borne l'amplitude.

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