Production, acquisition et traitement d'un signal

L'électronique du signal se déploie en trois temps que ce chapitre suit fidèlement. On produit d'abord un signal périodique de façon autonome : un oscillateur quasi-sinusoïdal, obtenu en bouclant un filtre passe-bande sur un amplificateur, engendre une tension sinusoïdale sans excitation extérieure. On acquiert ensuite ce signal analogique en le convertissant en une suite de nombres : l'échantillonnage, opération apparemment anodine, obéit à une contrainte incontournable — la condition de Nyquist-Shannon — sous peine de voir apparaître le redoutable repliement de spectre. On traite enfin le signal numérisé ou analogique : la détection synchrone permet d'extraire une information d'amplitude et de phase alors même que le signal utile est noyé sous un bruit d'amplitude bien supérieure.

Conformément au programme, ce thème est abordé de manière essentiellement expérimentale et prolonge l'étude des circuits linéaires de première année. Les outils théoriques (fonctions de transfert, spectres, valeurs moyennes) sont supposés maîtrisés ; on les met ici au service d'une compréhension physique des chaînes réelles d'instrumentation.

1.1 Production d'un signal : l'oscillateur quasi-sinusoïdal

1.1.1 Principe du bouclage

Un oscillateur est un système capable de délivrer un signal périodique de façon autonome, sans signal d'entrée. L'idée fondamentale est celle du bouclage (ou rétroaction positive) : on prélève une fraction du signal de sortie et on la réinjecte à l'entrée du système, de sorte qu'il s'auto-entretienne.

Coupons par la pensée la boucle en un point et injectons un signal sinusoïdal complexe de pulsation $\omega$. Après un tour complet, le signal a été multiplié par le gain de boucle

$$\underline{T}(j\omega )=A\cdot \underline{H}(j\omega ),$$

où $A$ désigne le gain de l'amplificateur (réel, éventuellement négatif) et $\underline{H}(j\omega )$ la fonction de transfert du filtre. Pour qu'une oscillation entretenue soit possible, il faut que, à la pulsation d'oscillation ${\omega }_0$, le signal revienne en phase et de même amplitude après un tour de boucle.

1.1.2 Rôle du filtre sélectif passe-bande

Le filtre placé dans la boucle joue un double rôle : il fixe la fréquence d'oscillation et garantit la pureté spectrale du signal. Un filtre passe-bande du deuxième ordre, dont la fonction de transfert s'écrit sous forme canonique

$$\underline{H}(j\omega )=\frac{H_0}{1+jQ\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }\right)},$$

présente à sa résonance $\omega ={\omega }_0$ un gain réel maximal $\underline{H}(j{\omega }_0)=H_0$ et une phase nulle. C'est précisément à cette pulsation que la condition de phase est satisfaite : le filtre sélectionne la fréquence pour laquelle la boucle est en phase.

1.1.3 Stabilisation de l'amplitude par la non-linéarité

Si l'amplificateur était rigoureusement linéaire avec $A{H}_0>1$, l'amplitude croîtrait sans limite. C'est la non-linéarité — inévitable dès que la tension approche les tensions d'alimentation — qui borne l'amplitude.

Cette non-linéarité a une contrepartie : elle enrichit le spectre. L'écrêtage introduit des harmoniques ($3f_0$, $5f_0$… pour une saturation symétrique). Le signal n'est donc pas rigoureusement sinusoïdal — d'où le qualificatif de « quasi-sinusoïdal ». Heureusement, le filtre passe-bande, de facteur de qualité $Q$ élevé, atténue fortement ces harmoniques : plus $Q$ est grand, plus le signal de sortie est spectralement pur.

1.1.4 Portrait de phase

Le portrait de phase représente la trajectoire du système dans le plan $(s,\dot{s})$ (ou $(s,\dot{s}/{\omega }_0)$). Il visualise la dynamique de l'oscillateur.

• Pour un oscillateur linéaire idéal ($A{H}_0=1$), la trajectoire est une ellipse fermée parcourue indéfiniment.
• Pour un oscillateur réel démarrant du repos, la trajectoire est une spirale divergente qui s'enroule vers l'extérieur, puis se stabilise sur une courbe fermée : le cycle limite.
• Quelle que soit la condition initiale, le système converge vers ce même cycle limite : c'est la signature d'une oscillation auto-entretenue robuste.

1.2 Acquisition numérique : échantillonnage

1.2.1 Échantillonner un signal

Traiter numériquement un signal analogique $s(t)$ suppose de le convertir en une suite de nombres. Cette conversion repose sur l'échantillonnage : on relève la valeur du signal à intervalles de temps réguliers.

1.2.2 Spectre d'un signal échantillonné

L'opération d'échantillonnage a une conséquence spectaculaire dans le domaine fréquentiel. On modélise l'échantillonnage comme la multiplication du signal $s(t)$ par un peigne de Dirac de période $T_e$. Or la transformée de Fourier d'un peigne de période $T_e$ est un peigne de période $f_e$. La multiplication temporelle devenant une convolution fréquentielle, on obtient le résultat central suivant.

Tant que ces motifs ne se chevauchent pas, le spectre de base reste intact et le signal analogique peut être reconstruit exactement par un filtre passe-bas. Le chevauchement, lui, est catastrophique : c'est le repliement.

1.2.3 Condition de Nyquist-Shannon

Supposons le signal $s(t)$ à spectre borné : il ne contient aucune fréquence au-delà d'une fréquence maximale $f_{\max }$. Le motif de base occupe alors la bande $[-f_{\max },f_{\max }]$ et le premier motif translaté est centré sur $f_e$, occupant $[f_e-f_{\max },f_e+f_{\max }]$. Les deux motifs ne se chevauchent pas si et seulement si $f_e-f_{\max }>f_{\max }$.

1.2.4 Repliement de spectre (aliasing)

Lorsque la condition de Nyquist-Shannon n'est pas respectée, $f_e<2f_{\max }$, les motifs spectraux se chevauchent : les hautes fréquences du motif de base sont polluées par les basses fréquences du motif translaté. C'est le repliement de spectre (ou aliasing).

Concrètement, une composante de fréquence $f_0>f_e/2$ apparaît, après échantillonnage, sous une fausse fréquence (fréquence apparente) $f_a$ repliée dans la bande $[0,f_e/2]$ :

$$f_a=\left|f_0-k{f}_e\right|,k\text{ entier tel que }{f}_a\in [0,f_e/2].$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f0 = 9000.0            # frequence du signal (Hz)
duree = 0.05           # duree d'observation (s)

def spectre(fe):
    """Echantillonne une sinusoide a fe et renvoie (freqs, module FFT)."""
    t = np.arange(0, duree, 1.0 / fe)      # instants d'echantillonnage
    s = np.sin(2 * np.pi * f0 * t)         # signal echantillonne
    S = np.fft.rfft(s)                     # FFT (signal reel)
    f = np.fft.rfftfreq(len(s), d=1.0 / fe)
    return f, np.abs(S) / len(s)

# Cas 1 : critere de Nyquist respecte (fe = 40 kHz > 2*f0)
f1, S1 = spectre(40000.0)
# Cas 2 : critere viole (fe = 10 kHz < 2*f0 = 18 kHz) -> repliement
fe2 = 10000.0
f2, S2 = spectre(fe2)

# Frequence apparente attendue dans le cas 2
fN = fe2 / 2
k = round(f0 / fe2)
f_alias = abs(f0 - k * fe2)
print("Frequence de Nyquist   : %.0f Hz" % fN)
print("Pic reel               : %.0f Hz" % f0)
print("Pic apparent (replie)  : %.0f Hz" % f_alias)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7, 6))
ax1.stem(f1, S1)
ax1.set_title("fe = 40 kHz : pic a 9 kHz (correct)")
ax1.set_xlim(0, 20000)
ax2.stem(f2, S2)
ax2.set_title("fe = 10 kHz : pic replie a 1 kHz (repliement)")
ax2.set_xlim(0, 5000)
ax2.set_xlabel("frequence (Hz)")
plt.tight_layout()
plt.show()

1.3 Traitement : la détection synchrone

1.3.1 Extraire un signal noyé dans le bruit

Un capteur délivre souvent un signal utile de très faible amplitude, sinusoïdal de fréquence connue $f_0$, mais superposé à un bruit d'amplitude bien supérieure. La détection synchrone (ou détection sensible à la phase) exploite la connaissance de la fréquence $f_0$ pour extraire l'amplitude et la phase du signal utile, même lorsque le rapport signal-sur-bruit est très défavorable.

1.3.2 Principe : multiplication puis filtrage

La chaîne comporte deux étages : un multiplieur qui multiplie le signal reçu par une référence synchrone, suivi d'un filtre passe-bas de fréquence de coupure très basse.

Soit le signal utile $s(t)=S_0\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$ et la référence $r(t)=\cos ({\omega }_{0}t)$. Le produit vaut, par linéarisation :

$$p(t)=S_0\cos ({\omega }_{0}t+\phi )\cos ({\omega }_{0}t)=\frac{S_0}{2}\cos \phi +\frac{S_0}{2}\cos (2{\omega }_{0}t+\phi ).$$

1.3.3 Mesure d'amplitude et de phase

En ajustant la référence, on remonte à toute l'information du signal utile.

1.3.4 Réjection du bruit

Le pouvoir de la détection synchrone vient de sa sélectivité fréquentielle. Considérons une composante de bruit $b(t)=B\cos (\omega t+\psi )$ à une pulsation $\omega \ne {\omega }_0$. Le produit par la référence donne

$$B\cos (\omega t+\psi )\cos ({\omega }_{0}t)=\frac{B}{2}\cos ((\omega -{\omega }_0)t+\psi )+\frac{B}{2}\cos ((\omega +{\omega }_0)t+\psi ).$$

C'est ce qui permet d'extraire un signal noyé sous un bruit d'amplitude mille fois supérieure : seul le bruit dans une bande infime autour de $f_0$ subsiste, tout le reste est rejeté. Le prix à payer est un temps de réponse d'autant plus long que $f_c$ est petit.

1.4 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.5 Exercices résolus

1.6 Exercices d'entraînement

• Condition de démarrage. Un filtre de gain $H_0=0,1$ est bouclé sur un amplificateur de gain réglable. Donner le gain minimal $A_{\min }$ assurant le démarrage des oscillations. Que se passe-t-il si $A=8$ ? si $A=12$ ?

• Pureté spectrale. Expliquer pourquoi un facteur de qualité $Q$ élevé du filtre passe-bande améliore la pureté du signal d'un oscillateur quasi-sinusoïdal. Quel est le rôle du terme « quasi » ?

• Pulsation d'accrochage. Un pont de Wien impose une pulsation d'oscillation ${\omega }_0=1/(RC)$ avec $R=10k\Omega$ et $C=16nF$. Calculer $f_0$. Quel gain d'amplificateur théorique le pont de Wien impose-t-il (rappel : $A=3$) ?

• Rôle de la non-linéarité. On remplace l'amplificateur saturable par un amplificateur parfaitement linéaire de gain tel que $A{H}_0=1,05$. Décrire qualitativement l'évolution de l'amplitude. Pourquoi une telle configuration est-elle inutilisable ?

• Portrait de phase. Tracer l'allure du portrait de phase $(s,\dot{s})$ pour (a) un oscillateur idéal $A{H}_0=1$, (b) un oscillateur réel partant du repos. Identifier le cycle limite.

• Choix de $f_e$. Un signal biomédical (ECG) a un spectre borné à $150Hz$. Quelle fréquence d'échantillonnage minimale faut-il ? Quelle valeur pratique proposeriez-vous et pourquoi ?

• Repliement. Une sinusoïde à $7kHz$ est échantillonnée à $f_e=5kHz$. Calculer la fréquence apparente affichée. Recommencer pour $f_0=12kHz$ à $f_e=5kHz$.

• Filtre anti-repliement. On souhaite numériser un signal à $f_e=48kHz$. Préciser le type et la fréquence de coupure du filtre à placer avant le convertisseur. Peut-on corriger le repliement après échantillonnage ?

• Spectre périodisé. Un signal contient les fréquences $2kHz$, $6kHz$ et $11kHz$. On échantillonne à $f_e=10kHz$. Indiquer les fréquences réellement présentes dans la bande $[0,5kHz]$ après échantillonnage.

• Détection synchrone — principe. Détailler le calcul du produit $S_0\cos ({\omega }_{0}t+\phi )\cos ({\omega }_{0}t)$ et identifier les deux termes. Justifier le rôle du filtre passe-bas.

• Mesure de phase. Une détection synchrone donne, à référence $\cos ({\omega }_{0}t)$, une sortie $v_s=0$ alors que l'amplitude du signal est non nulle. Que peut-on conclure sur la phase $\phi$ ? Comment lever l'ambiguïté ?

• Réjection du bruit. Un signal utile à $1kHz$ est noyé dans un bruit large bande. La détection synchrone utilise un passe-bas de coupure $f_c=1Hz$. Estimer la largeur de la bande passante virtuelle et commenter l'atténuation d'un bruit à $1050Hz$ et d'un bruit à $1000.5Hz$.