Modulation et démodulation d'amplitude

Cours complet · électronique (PSI), chapitre 5 · CPGE PSI (2e année)

Transmettre à distance un signal électrique porteur d'information — la parole, la musique, une image — se heurte à un obstacle physique incontournable : les signaux utiles occupent des fréquences basses (quelques kilohertz pour la voix, une vingtaine de kilohertz pour l'audio) qui rayonnent extraordinairement mal sous forme d'ondes électromagnétiques. Émettre directement un signal audio par une antenne exigerait des antennes kilométriques et condamnerait tous les émetteurs à se superposer dans la même bande. La modulation résout ces deux difficultés d'un même geste : elle translate le spectre du signal informatif vers une fréquence élevée, la porteuse, choisie propre à chaque émetteur.

Ce chapitre étudie la plus ancienne et la plus intuitive de ces techniques, la modulation d'amplitude (AM), historiquement le premier procédé de radiodiffusion. On y verra comment un simple produit de deux signaux transpose un spectre, comment lire le contenu fréquentiel du signal modulé, et — question centrale du programme — pourquoi la récupération de l'information (la démodulation) exige nécessairement une opération non linéaire. Deux démodulateurs seront analysés : la démodulation synchrone, réalisable avec un multiplieur analogique, et la détection d'enveloppe par diode et circuit $R C$ , d'une désarmante simplicité.

Conformément au programme de PSI, l'accent est mis sur la lecture des spectres, l'interprétation du signal modulé comme produit d'une porteuse par une modulante, et la justification fréquentielle des étages de démodulation.

5.1 Pourquoi moduler ? La transposition de spectre

5.1.1 Le problème de la transmission

Un signal informatif — noté $m (t)$ , la modulante — possède un spectre confiné dans une bande de base $[0, f_{m a x}]$ de largeur modeste. Pour la parole téléphonique, $f_{m a x} \approx 3.4 k H z$ ; pour un signal audio haute-fidélité, $f_{m a x} \approx 20 k H z$ . Deux raisons interdisent d'émettre ce signal tel quel :

Le rayonnement. Une antenne rayonne efficacement lorsque sa longueur est de l'ordre de la longueur d'onde $λ = c / f$ . À $3 k H z$ , $λ = 100 k m$ : irréaliste. À $1 M H z$ , $λ = 300 m$ : une antenne de quelques dizaines de mètres suffit.
Le partage du spectre. Si tous les émetteurs occupaient la bande de base, leurs signaux se superposeraient sans qu'on puisse les séparer. En attribuant à chacun une porteuse distincte, on range les émissions côte à côte sur l'axe des fréquences, tel un jeu de canaux.

L'idée directrice consiste donc à translater le spectre de la bande de base vers une bande étroite centrée sur une fréquence porteuse $f_{p} ≫ f_{m a x}$ . Cette translation s'appelle une transposition de fréquence.

Définition 5.1Modulante et porteuse

Le signal modulant (ou modulante) $m (t)$ est le signal basse fréquence porteur de l'information, de spectre borné à $f_{m a x}$ . La porteuse est un signal sinusoïdal haute fréquence

$p (t) = A_{p} cos (ω_{p} t), ω_{p} = 2 π f_{p}, f_{p} ≫ f_{m a x},$

dont on va faire varier une caractéristique (amplitude, fréquence ou phase) au rythme de $m (t)$ .

iRemarqueTrois modulations possibles

On peut inscrire l'information dans l'amplitude de la porteuse (modulation d'amplitude, AM), dans sa fréquence (FM) ou dans sa phase (PM). Le programme de PSI se concentre sur la modulation d'amplitude, la plus simple à analyser et à réaliser, mais il faut savoir définir les trois.

Exemple 5.2Ordres de grandeur des bandes radio

Il faut connaître les fréquences porteuses usuelles :

radio AM (grandes/moyennes ondes) : $f_{p}$ de $150 k H z$ à $1.6 M H z$ ;
radio FM : $f_{p}$ de $88 M H z$ à $108 M H z$ ;
téléphonie mobile (4G/5G) : $f_{p}$ de l'ordre de $700 M H z$ à quelques $G H z$ .

Dans tous les cas $f_{p}$ est très grande devant la largeur du signal transmis, ce qui rend la transposition sans recouvrement possible.

5.2 La modulation d'amplitude

5.2.1 Le signal modulé

En modulation d'amplitude, on fait varier l'amplitude de la porteuse proportionnellement au signal informatif. Plutôt que de moduler directement (ce qui donnerait des amplitudes négatives), on ajoute une composante continue $A$ pour maintenir l'enveloppe positive.

Définition 5.3Signal modulé en amplitude

Le signal modulé en amplitude s'écrit

$s (t) = [A + m (t)] cos (ω_{p} t)$

où $m (t)$ est la modulante et $A$ une constante (composante continue ajoutée) choisie de sorte que l'enveloppe $A + m (t)$ reste positive. L'amplitude instantanée de la porteuse, $A + m (t)$ , « épouse » le signal informatif.

Pour fixer les idées, on étudie le cas d'une modulante sinusoïdale pure $m (t) = a cos (ω t)$ , avec $ω = 2 π f ≪ ω_{p}$ . Le signal modulé devient

$s (t) = [A + a cos (ω t)] cos (ω_{p} t) .$

L'enveloppe (en pointillés) reproduit fidèlement la modulante ; c'est cette enveloppe que la démodulation cherchera à extraire.

5.2.2 Le taux de modulation

L'aptitude de l'enveloppe à décrire fidèlement le signal se mesure par un paramètre sans dimension.

Définition 5.4Taux (indice) de modulation

Pour une modulante sinusoïdale $m (t) = a cos (ω t)$ superposée à la constante $A$ , le taux de modulation est

$m = \frac{a}{A} (0 \leq m) .$

Il représente le rapport entre l'amplitude de variation et la valeur moyenne de l'enveloppe. On l'exprime souvent en pourcentage.

ImportantSurmodulation

L'enveloppe $A + a cos (ω t)$ reste positive tant que $a \leq A$ , c'est-à-dire $m \leq 1$ . Trois régimes se distinguent :

$m < 1$ : modulation correcte, l'enveloppe reste positive et reproduit la modulante ;
$m = 1$ : modulation à $100 %$ , l'enveloppe touche zéro ;
$m > 1$ : surmodulation, l'enveloppe change de signe et ne suit plus la modulante. La détection d'enveloppe restitue alors un signal déformé : à éviter absolument.

Méthode : Mesurer le taux de modulation à l'oscilloscope

Sur l'oscilloscope, on relève l'amplitude maximale $S_{m a x} = A + a$ et l'amplitude minimale $S_{m i n} = A - a$ de l'enveloppe. On en tire

$m = \frac{a}{A} = \frac{S _{m a x} - S _{m i n}}{S _{m a x} + S _{m i n}} .$

Cette formule, indépendante des réglages de gain, est la méthode expérimentale standard.

Exemple 5.5Lecture d'un oscillogramme

Une enveloppe oscille entre $S_{m a x} = 4.5 V$ et $S_{m i n} = 1.5 V$ . Alors

$m = \frac{4 , 5 - 1 , 5}{4 , 5 + 1 , 5} = \frac{3}{6} = 0, 5,$

soit une modulation à $50 %$ : correcte, sans risque de surmodulation.

5.3 Le spectre du signal modulé

5.3.1 Décomposition en trois raies

Le point essentiel du chapitre : comprendre où se trouve l'information dans le domaine fréquentiel. On développe le produit à l'aide de la formule de transformation de produit en somme.

Proposition 5.6Spectre d'une AM à modulante sinusoïdale

Pour $s (t) = [A + a cos (ω t)] cos (ω_{p} t)$ , le développement donne

$s (t) = porteuse A cos (ω_{p} t) + bande lat e ˊ rale sup. \frac{a}{2} cos [(ω_{p} + ω) t] + bande lat e ˊ rale inf. \frac{a}{2} cos [(ω_{p} - ω) t]$

Le spectre comporte donc trois raies : la porteuse à $f_{p}$ , et deux bandes latérales à $f_{p} + f$ et $f_{p} - f$ , symétriques autour de la porteuse.

Démonstration (Développement du produit)

On part de $s (t) = A cos (ω_{p} t) + a cos (ω t) cos (ω_{p} t)$ . Le second terme se linéarise par la formule

$cos u cos v = \frac{1}{2} [cos (u - v) + cos (u + v)],$

appliquée à $u = ω t$ , $v = ω_{p} t$ :

$a cos (ω t) cos (ω_{p} t) = \frac{a}{2} cos [(ω_{p} - ω) t] + \frac{a}{2} cos [(ω_{p} + ω) t] .$

En regroupant avec la porteuse $A cos (ω_{p} t)$ , on obtient les trois raies annoncées.

ImportantLa modulation est une transposition de spectre

Le spectre de la modulante, initialement autour de $f = 0$ , se retrouve translaté et centré sur la porteuse $f_{p}$ . C'est exactement l'effet recherché : l'information a été transportée dans une bande étroite autour de $f_{p}$ , sans être déformée.

5.3.2 Encombrement spectral

Définition 5.7Encombrement (largeur de bande)

L'encombrement spectral $B$ d'un signal modulé est la largeur de la bande de fréquences qu'il occupe. Pour une modulante de fréquence maximale $f_{m a x}$ , les bandes latérales s'étendent de $f_{p} - f_{m a x}$ à $f_{p} + f_{m a x}$ , d'où

$B = 2 f_{m a x} .$

La modulation d'amplitude occupe donc une bande égale au double de la largeur du signal informatif.

Exemple 5.8Nombre de stations AM

Un signal vocal borné à $f_{m a x} = 4.5 k H z$ occupe $B = 9 k H z$ . Dans une bande radio de $1 M H z$ de large, on peut donc loger environ $1 0^{6} / (9 \times 1 0^{3}) \approx 111$ canaux distincts, chacun avec sa porteuse. C'est ainsi qu'est organisée la radiodiffusion AM.

iRemarqueCas d'une modulante quelconque

Si $m (t)$ possède un spectre continu $[0, f_{m a x}]$ , chaque composante engendre sa paire de raies latérales. Le spectre modulé est alors formé de la raie de porteuse à $f_{p}$ encadrée de deux bandes latérales continues, l'une de $f_{p}$ à $f_{p} + f_{m a x}$ (bande latérale supérieure, image du spectre de $m$ ), l'autre de $f_{p} - f_{m a x}$ à $f_{p}$ (bande latérale inférieure, image inversée). L'encombrement reste $B = 2 f_{m a x}$ .

5.4 Réalisation de la modulation : le multiplieur

La modulation revient à effectuer un produit de signaux ; on la réalise avec un multiplieur analogique, composant qui délivre une tension proportionnelle au produit de ses deux entrées : $v_{s} = k v_{1} v_{2}$ , où $k$ (en $V^{- 1}$ ) est la constante du multiplieur.

Méthode : Moduler avec un multiplieur

Pour fabriquer $s (t) = [A + m (t)] cos (ω_{p} t)$ :

on ajoute la composante continue $A$ à la modulante $m (t)$ (sommateur, ou décalage d'offset) ;
on applique $A + m (t)$ sur une entrée du multiplieur et la porteuse $cos (ω_{p} t)$ sur l'autre ;
la sortie $k [A + m (t)] cos (ω_{p} t)$ est le signal AM (au facteur $k$ près).

iRemarqueModulation sans porteuse

Si l'on n'ajoute pas d'offset ( $A = 0$ ), la sortie vaut $k m (t) cos (ω_{p} t)$ : le spectre ne contient plus que les deux bandes latérales, sans raie de porteuse. C'est la modulation à porteuse supprimée (DSB-SC), plus économe en puissance mais qui interdit la détection d'enveloppe (l'enveloppe de $m (t) cos ω_{p} t$ vaut $∣ m (t) ∣$ , elle change de signe). Elle impose une démodulation synchrone.

5.5 La démodulation : nécessité d'une opération non linéaire

5.5.1 Pourquoi un filtre linéaire ne suffit pas

Le signal reçu occupe la bande autour de $f_{p}$ . Pour récupérer $m (t)$ , il faut ramener son spectre autour de $f = 0$ : effectuer la transposition inverse. Or un système linéaire (filtre, amplificateur) ne peut ni créer ni déplacer de fréquences : appliqué à un signal de fréquences autour de $f_{p}$ , il ne restitue que des fréquences autour de $f_{p}$ . Jamais il ne fera apparaître la basse fréquence $f$ absente du signal reçu.

ImportantLa démodulation est nécessairement non linéaire

Le spectre du signal modulé ne contient aucune composante à la fréquence $f$ de la modulante (les raies sont à $f_{p} - f$ , $f_{p}$ , $f_{p} + f$ ). Un filtrage linéaire est donc impuissant à récupérer $m (t)$ : il faut une opération non linéaire (multiplication de signaux, redressement par diode) capable de générer de nouvelles fréquences, dont la fréquence basse recherchée.

Deux procédés non linéaires sont au programme : la multiplication (démodulation synchrone) et le redressement (détection d'enveloppe).

5.6 La démodulation synchrone

5.6.1 Principe

On multiplie le signal reçu par une réplique de la porteuse, à la même fréquence $f_{p}$ (d'où « synchrone »), puis on filtre le résultat par un passe-bas.

Démonstration (Analyse fréquentielle du produit)

Prenons pour simplifier $s (t) = [A + m (t)] cos (ω_{p} t)$ et multiplions par la porteuse locale $cos (ω_{p} t)$ :

$v (t) = [A + m (t)] cos^{2} (ω_{p} t) = [A + m (t)] \cdot \frac{1 + cos ( 2 ω _{p} t )}{2} .$

On développe :

$v (t) = \frac{A + m ( t )}{2} + \frac{A + m ( t )}{2} cos (2 ω_{p} t) .$

Le premier terme est basse fréquence (spectre autour de $f = 0$ ) : il contient la constante $A /2$ et la modulante $m (t) /2$ . Le second est haute fréquence (spectre autour de $2 f_{p}$ ). Un filtre passe-bas de fréquence de coupure $f_{c}$ telle que

$f_{m a x} ≪ f_{c} ≪ 2 f_{p}$

élimine le terme à $2 f_{p}$ et laisse passer $\frac{A + m ( t )}{2}$ . Après suppression de la composante continue $A /2$ (condensateur de liaison), il reste $m (t) /2$ : la modulante est récupérée.

ImportantCondition sur les fréquences de coupure

La démodulation synchrone n'est correcte que si le passe-bas sépare bien les deux paquets spectraux :

$f_{m a x} ≪ f_{c} ≪ 2 f_{p} .$

La condition $f_{p} ≫ f_{m a x}$ (garantie par le choix de la porteuse) rend cette fenêtre toujours réalisable.

AttentionSensibilité à la phase

Si la porteuse locale présente un déphasage $φ$ par rapport à la porteuse d'émission, on multiplie par $cos (ω_{p} t + φ)$ et le terme basse fréquence devient $\frac{A + m ( t )}{2} cos φ$ . L'amplitude démodulée est multipliée par $cos φ$ : nulle pour $φ = π /2$ ! La démodulation synchrone exige donc une porteuse locale en phase avec l'émission, ce qui est sa principale difficulté pratique (récupération de porteuse).

Exemple 5.9Choix numérique du filtre

Une porteuse $f_{p} = 100 k H z$ transporte un signal audio $f_{m a x} = 5 k H z$ . Après multiplication, on a un paquet basse fréquence sous $5 k H z$ et un paquet autour de $2 f_{p} = 200 k H z$ . Un passe-bas de coupure $f_{c} = 15 k H z$ convient : bien au-dessus de $5 k H z$ , très en dessous de $200 k H z$ .

5.7 La détection d'enveloppe

5.7.1 Principe : diode et cellule RC

Bien plus simple, ce démodulateur exploite directement le fait que, lorsque $m < 1$ , l'enveloppe $A + m (t)$ reproduit la modulante. Il suffit d'« extraire » cette enveloppe. Le montage associe une diode (redresseur, élément non linéaire) suivie d'un condensateur $C$ en parallèle avec une résistance $R$ .

Méthode : Fonctionnement du détecteur d'enveloppe

Quand $s (t)$ dépasse la tension aux bornes de $C$ , la diode conduit : le condensateur se charge quasi instantanément et $v_{s}$ suit la crête du signal.
Quand $s (t)$ redescend, la diode se bloque : $C$ se décharge lentement dans $R$ avec la constante de temps $τ = R C$ , jusqu'à la crête suivante.
En choisissant $τ$ bien réglé, la tension $v_{s} (t)$ « suit » l'enveloppe $A + m (t)$ en ondulant faiblement à la fréquence porteuse.

Un condensateur de liaison en sortie ôte la composante continue $A$ pour ne garder que $m (t)$ .

5.7.2 Condition sur la constante de temps

La constante $τ = R C$ doit satisfaire un double compromis : ni trop courte, ni trop longue.

ImportantRéglage de la constante de temps

La décharge doit être lente devant la période de la porteuse (sinon $v_{s}$ suit chaque oscillation et l'ondulation est énorme), mais rapide devant la période de la modulante (sinon $v_{s}$ ne peut pas redescendre assez vite pour suivre les variations de l'enveloppe). D'où la double condition :

$T_{p} = \frac{1}{f _{p}} ≪ R C ≪ \frac{1}{f _{m a x}} = T_{m a x} .$

Équivalent : $f_{m a x} ≪ \frac{1}{2 π R C} ≪ f_{p}$ . La séparation $f_{p} ≫ f_{m a x}$ garantit qu'un tel $τ$ existe.

AttentionLes deux défauts de réglage

$R C$ trop grand : le condensateur se décharge trop lentement, $v_{s}$ « décroche » de l'enveloppe descendante — distorsion par écrêtage diagonal.
$R C$ trop petit : $v_{s}$ suit les oscillations de la porteuse — forte ondulation résiduelle à $f_{p}$ .

ImportantLa détection d'enveloppe exige

m < 1

Contrairement à la démodulation synchrone, la détection d'enveloppe ne fonctionne que si l'enveloppe $A + m (t)$ reste positive, donc si $m < 1$ (pas de surmodulation) et si la porteuse est présente ( $A \neq = 0$ ). C'est le prix de sa simplicité : elle impose une modulation « avec porteuse », plus gourmande en puissance.

Exemple 5.10Dimensionnement d'un détecteur AM

Radio AM : $f_{p} = 1 M H z$ , $f_{m a x} = 5 k H z$ . Les bornes sont $T_{p} = 1 μ s$ et $T_{m a x} = 200 μ s$ . Un choix confortable est $R C \approx 20 μ s$ (par exemple $R = 10 k Ω$ , $C = 2 n F$ ), bien au-dessus de $1 μ s$ et bien en dessous de $200 μ s$ .

5.7.3 Comparaison des deux démodulateurs

	Démodulation synchrone	Détection d'enveloppe
Principe	multiplication par la porteuse + passe-bas	redressement (diode) + $R C$
Non-linéarité	le multiplieur	la diode
Exige $m < 1$ ?	non (marche même sans porteuse)	oui (sinon distorsion)
Difficulté	récupérer une porteuse locale en phase	réglage de $R C$
Qualité	excellente	bonne si bien réglée

5.8 Capacité numérique

Capacité numérique : Spectre d'un signal AM par transformée de Fourier rapide (FFT)

On simule un signal AM à modulante sinusoïdale et on visualise ses trois raies par FFT. On vérifie que la porteuse et les deux bandes latérales apparaissent bien aux fréquences $f_{p}$ et $f_{p} \pm f$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parametres
fp = 1000.0      # frequence porteuse (Hz)
f  = 100.0       # frequence modulante (Hz)
A  = 1.0         # composante continue
a  = 0.5         # amplitude modulante -> taux m = a/A = 0.5
fe = 20000.0     # frequence d'echantillonnage
T  = 0.1         # duree d'observation (s)

t = np.arange(0, T, 1/fe)
m = a*np.cos(2*np.pi*f*t)          # modulante
s = (A + m)*np.cos(2*np.pi*fp*t)   # signal AM

# Transformee de Fourier
S = np.fft.rfft(s) / len(t)
freq = np.fft.rfftfreq(len(t), 1/fe)

# Affichage
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 6))
ax1.plot(t[:400], s[:400])
ax1.set_xlabel("t (s)"); ax1.set_ylabel("s(t)")
ax1.set_title("Signal AM temporel")

ax2.stem(freq, 2*np.abs(S))
ax2.set_xlim(0, 2000)
ax2.set_xlabel("f (Hz)"); ax2.set_ylabel("|S(f)|")
ax2.set_title("Spectre : porteuse (1000 Hz) + bandes laterales (900, 1100 Hz)")
plt.tight_layout(); plt.show()

# Verification des raies
for fr in (fp - f, fp, fp + f):
    k = np.argmin(np.abs(freq - fr))
    print(f"f = {freq[k]:.0f} Hz  ->  amplitude = {2*np.abs(S[k]):.3f}")

La console affiche trois raies : la porteuse d'amplitude $\approx A = 1$ à $1000 H z$ , et deux bandes latérales d'amplitude $\approx a /2 = 0, 25$ à $900 H z$ et $1100 H z$ , conformément à la décomposition théorique.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.9 Exercices résolus

Exemple 5.11Taux de modulation à l'oscilloscope

Un signal AM présente une enveloppe d'amplitude maximale $S_{m a x} = 6 V$ et minimale $S_{m i n} = 2 V$ . Déterminer le taux de modulation, puis les valeurs de $A$ et $a$ .

Démonstration

On applique la formule des extrêmes :

$m = \frac{S _{m a x} - S _{m i n}}{S _{m a x} + S _{m i n}} = \frac{6 - 2}{6 + 2} = \frac{4}{8} = 0, 5.$

Comme $S_{m a x} = A + a$ et $S_{m i n} = A - a$ , on obtient $A = (S_{m a x} + S_{m i n}) /2 = 4 V$ et $a = (S_{m a x} - S_{m i n}) /2 = 2 V$ . On vérifie $m = a / A = 2/4 = 0, 5$ . Modulation à $50 %$ , correcte.

Exemple 5.12Fréquences du spectre

Une porteuse à $f_{p} = 540 k H z$ est modulée par un signal sinusoïdal à $f = 4 k H z$ . Donner les fréquences des trois raies et l'encombrement spectral.

Démonstration

Les raies se situent à

$f_{p} - f = 536 k H z, f_{p} = 540 k H z, f_{p} + f = 544 k H z .$

L'encombrement est $B = 2 f = 8 k H z$ , la bande occupée s'étendant de $536 k H z$ à $544 k H z$ .

Exemple 5.13Nécessité de la non-linéarité

Un étudiant propose de démoduler en plaçant simplement un filtre passe-bas de coupure $5 k H z$ directement après l'antenne. Expliquer pourquoi cela ne restitue rien.

Démonstration

Le signal reçu occupe la bande $[f_{p} - f_{m a x}, f_{p} + f_{m a x}]$ , entièrement située au-dessus de $5 k H z$ (car $f_{p} ≫ f_{m a x}$ ). Un passe-bas linéaire ne peut créer aucune fréquence : appliqué à ce signal, sa sortie est nulle (tout est coupé). Aucune composante à basse fréquence n'existant dans le signal reçu, seule une opération non linéaire (multiplication ou redressement) peut faire apparaître $m (t)$ autour de $f = 0$ .

Exemple 5.14Démodulation synchrone : termes du produit

On multiplie $s (t) = [A + a cos ω t] cos ω_{p} t$ par $cos ω_{p} t$ . Lister toutes les fréquences présentes dans le produit $v (t)$ et indiquer lesquelles subsistent après un passe-bas de coupure $f_{c} = 10 k H z$ , avec $f = 2 k H z$ et $f_{p} = 100 k H z$ .

Démonstration

D'après le calcul, $v (t) = \frac{A + a cos ω t}{2} + \frac{A + a cos ω t}{2} cos 2 ω_{p} t$ . Les fréquences présentes sont :

basses : $0$ (continu) et $f = 2 k H z$ ;
hautes : $2 f_{p} = 200 k H z$ , ainsi que $2 f_{p} \pm f = 198 k H z$ et $202 k H z$ .

Le passe-bas à $10 k H z$ ne laisse passer que $0$ et $2 k H z$ . Après suppression du continu par condensateur de liaison, il reste la modulante à $2 k H z$ : démodulation réussie.

Exemple 5.15Erreur de phase de la porteuse locale

En démodulation synchrone, la porteuse locale est déphasée de $φ = 60°$ . De quel facteur l'amplitude du signal démodulé est-elle réduite ? Que se passe-t-il à $φ = 90°$ ?

Démonstration

Le terme basse fréquence est proportionnel à $cos φ$ . Pour $φ = 60°$ , $cos 60° = 0, 5$ : l'amplitude est réduite de moitié. Pour $φ = 90°$ , $cos 90° = 0$ : le signal démodulé est nul. La démodulation synchrone impose donc une porteuse locale en phase.

Exemple 5.16Dimensionnement d'une cellule RC

Un émetteur AM utilise $f_{p} = 800 k H z$ et un signal audio jusqu'à $f_{m a x} = 8 k H z$ . Encadrer la constante de temps $τ = R C$ du détecteur d'enveloppe, puis proposer $R$ et $C$ .

Démonstration

Les bornes valent $T_{p} = 1/ f_{p} = 1.25 μ s$ et $T_{m a x} = 1/ f_{m a x} = 125 μ s$ . Il faut $1.25 μ s ≪ R C ≪ 125 μ s$ . Un bon compromis est la moyenne géométrique $τ \approx 1, 25 \times 125 \approx 12.5 μ s$ . Avec $R = 10 k Ω$ , il vient $C = τ / R = 1.25 n F$ , valeur normalisée $1 n F$ ou $1.5 n F$ convenable.

Exemple 5.17Surmodulation

On règle $A = 2 V$ et $a = 3 V$ . Calculer le taux de modulation et expliquer ce qu'observerait un détecteur d'enveloppe.

Démonstration

Le taux vaut $m = a / A = 3/2 = 1, 5 > 1$ : il y a surmodulation. L'enveloppe $A + a cos ω t = 2 + 3 cos ω t$ devient négative lorsque $cos ω t < - 2/3$ . Le détecteur d'enveloppe, qui restitue $∣ A + m (t) ∣$ , replie les parties négatives : le signal démodulé est fortement distordu et ne reproduit plus la modulante. Il faut réduire $a$ pour ramener $m$ sous $1$ .

5.10 Exercices d'entraînement

Pourquoi moduler ? Citer les deux raisons physiques qui interdisent d'émettre directement un signal audio par une antenne. Estimer la longueur d'onde à $3 k H z$ et à $1 M H z$ .

Trois modulations. Définir la modulation d'amplitude, de fréquence et de phase. Pour chacune, indiquer quelle grandeur de la porteuse porte l'information.

Ordres de grandeur. Donner les gammes de fréquences porteuses de la radio AM, de la radio FM et de la téléphonie mobile.

Écriture du signal AM. Écrire $s (t)$ pour $A = 5 V$ , $a = 2 V$ , $f = 1 k H z$ , $f_{p} = 200 k H z$ . Donner le taux de modulation et les valeurs extrêmes de l'enveloppe.

Spectre à trois raies. Développer $[A + a cos ω t] cos ω_{p} t$ et représenter le spectre (positions et amplitudes des trois raies).

Lecture d'oscillogramme. Une enveloppe oscille entre $8 V$ et $2 V$ . Calculer $m$ , $A$ et $a$ . La modulation est-elle correcte ?

Encombrement. Un signal musical borné à $15 k H z$ module une porteuse. Quel est l'encombrement spectral en AM ? Combien de canaux dans une bande de $300 k H z$ ?

Porteuse supprimée. On module sans composante continue ( $A = 0$ ). Écrire le spectre de $m (t) cos ω_{p} t$ pour $m$ sinusoïdal. Peut-on utiliser une détection d'enveloppe ? Justifier.

Non-linéarité. Expliquer, en une phrase et en termes de spectre, pourquoi la démodulation ne peut pas être réalisée par un système linéaire.

Démodulation synchrone. On multiplie $s (t) = [A + m (t)] cos ω_{p} t$ par $cos ω_{p} t$ . Détailler les paquets spectraux obtenus et écrire la condition sur la coupure $f_{c}$ du passe-bas.

Déphasage. Tracer l'amplitude du signal démodulé synchrone en fonction du déphasage $φ$ de la porteuse locale, pour $φ$ de $0$ à $180°$ . Pour quelle valeur la démodulation échoue-t-elle ?

Détecteur d'enveloppe. Décrire le rôle de la diode et celui de la cellule $R C$ . Quelle grandeur physique la sortie reproduit-elle ?

Réglage de $R C$ . Pour $f_{p} = 600 k H z$ et $f_{m a x} = 6 k H z$ , encadrer $R C$ et proposer un couple $(R, C)$ . Que se passe-t-il si $R C$ est dix fois trop grand ?

Écrêtage diagonal. Expliquer, schéma de l'enveloppe à l'appui, le défaut de distorsion apparaissant lorsque $R C$ est trop grand.

Comparaison. Dresser un tableau des avantages et inconvénients de la démodulation synchrone et de la détection d'enveloppe (complexité, condition sur $m$ , qualité).

Bilan de puissance. Pour une modulante sinusoïdale de taux $m$ , la puissance de la porteuse est $P_{p} \propto A^{2} /2$ et celle des deux bandes latérales $P_{lat} \propto a^{2} /4$ . Calculer la fraction de puissance utile (dans les bandes latérales) pour $m = 1$ . Commenter l'intérêt de la porteuse supprimée.

Moduler, c'est transposer le spectre de la modulante (bande de base $[0, f_{m a x}]$ ) autour d'une porteuse $f_{p} ≫ f_{m a x}$ , pour permettre le rayonnement par antenne et le partage du spectre entre émetteurs.
Signal AM : $s (t) = [A + m (t)] cos (ω_{p} t)$ . Pour $m (t) = a cos ω t$ , taux de modulation $m = a / A$ ; l'enveloppe reste correcte tant que $m < 1$ (au-delà : surmodulation).
Spectre (modulante sinusoïdale) : trois raies — porteuse à $f_{p}$ , bandes latérales à $f_{p} \pm f$ d'amplitude $a /2$ . Encombrement $B = 2 f_{m a x}$ .
La modulation se réalise par un multiplieur (produit porteuse $\times$ modulante).
Démodulation : impossible avec un système linéaire (aucune raie à $f$ dans le signal reçu) $\Rightarrow$ opération non linéaire obligatoire.
Démodulation synchrone : $\times cos ω_{p} t$ puis passe-bas, condition $f_{m a x} ≪ f_{c} ≪ 2 f_{p}$ ; sensible au déphasage ( $\times cos φ$ ).
Détection d'enveloppe : diode + $R C$ , condition $1/ f_{p} ≪ R C ≪ 1/ f_{m a x}$ ; ne marche que si $m < 1$ avec porteuse présente.

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