Limites et continuité

Cours · mathématiques (2 Bac Sciences Physiques, Maroc), chapitre 1 · Maroc, 2 Bac Sciences Physiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Ce chapitre aborde l'étude des limites de fonctions aux bornes de leur ensemble de définition, l'étude de la continuité sur un intervalle, et l'application majeure qu'est le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

1.1 Limites de Fonctions

L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction $f$ lorsque sa variable $x$ devient très grande (positivement ou négativement) ou s'approche d'une valeur interdite.

1.1.1 Limites à l'infini et asymptotes horizontales

Définition 1.1Limite finie à l'infini

Soit $L \in R$ et $f$ une fonction définie sur un intervalle $] a, + \infty [$ . On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. On note alors :

$x \to + \infty lim f (x) = L$

Géométriquement, la droite d'équation $y = L$ est appelée asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $+ \infty$ . Une définition analogue s'applique en $- \infty$ .

Définition 1.2Limite infinie à l'infini

On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $+ \infty$ si, pour tout réel $M > 0$ , on a $f (x) > M$ pour $x$ assez grand. On note alors :

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$

1.1.2 Limites en un réel $a$ et asymptotes verticales

Définition 1.3Limite infinie en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ dont $a$ est une borne. On dit que la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est égale à $+ \infty$ si $f (x)$ devient aussi grand que l'on veut lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$ . On note :

$x \to a lim f (x) = + \infty$

Géométriquement, la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ .

1.1.3 Opérations sur les limites

Les règles opératoires pour les limites de sommes, produits et quotients de fonctions sont similaires à celles des suites. Cependant, certaines situations conduisent à des Formes Indéterminées (F.I.) où l'on ne peut pas conclure directement :

$« \infty - \infty », « 0 \times \infty », « \frac{0}{0} » et « \frac{\infty}{\infty} »$

1.1.4 Composition et comparaison de limites

◆Théorème 1.4Limite d'une fonction composée

Soient deux fonctions $u$ et $v$ . Si :

$x \to a lim u (x) = b et y \to b lim v (y) = c$

(où $a$ , $b$ et $c$ peuvent être des réels ou $\pm \infty$ ), alors :

$x \to a lim v (u (x)) = c$

◆Théorème 1.5Théorème des Gendarmes

Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle contenant $a$ (sauf éventuellement en $a$ ). Supposons que pour tout $x \neq = a$ dans cet intervalle :

$g (x) \leq f (x) \leq h (x)$

Si $lim_{x \to a} g (x) = lim_{x \to a} h (x) = L$ (où $L \in R$ ), alors $lim_{x \to a} f (x) = L$ .

1.2 Continuité

1.2.1 Définition et propriétés

La continuité traduit mathématiquement l'idée qu'on peut tracer la courbe représentative d'une fonction « sans lever le crayon ».

Définition 1.6Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$x \to a lim f (x) = f (a)$

On dit que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ si $f$ est continue en tout réel de $I$ .

Propriété : Continuité des fonctions de référence

Les fonctions affines, puissances, polynômes, rationnelles, trigonométriques ( $sin$ , $cos$ ), la fonction exponentielle et la fonction racine carrée sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

1.2.2 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le TVI est l'un des théorèmes fondamentaux de l'analyse réelle. Il affirme qu'une fonction continue ne peut pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

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