Calcul algébrique et trigonométrie

Cours complet · mathématiques (PCSI), chapitre 2 · CPGE PCSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>2.1 Introduction et motivation

Ce chapitre est une « boîte à outils » : il rassemble les techniques de calcul qui serviront dans tous les chapitres suivants, en mathématiques comme en physique ou en informatique. Quatre savoir-faire y sont développés : la manipulation des sommes et des produits (jusqu'à la formule du binôme), la résolution de petits systèmes linéaires par l'algorithme du pivot, le maniement rigoureux des inégalités, et enfin la trigonométrie, dont le cercle trigonométrique est l'outil central.

Aucun de ces thèmes n'est difficile isolément ; c'est leur maîtrise rapide et sûre qui fait la différence, en colle comme en concours.

2.2 Sommes et produits

2.2.1 Notations $\sum$ et $\prod$

Définition 2.1Somme et produit d'une famille finie

Soit $(a_{i})_{i \in I}$ une famille finie de nombres réels (ou complexes) indexée par un ensemble fini $I$ . On note :

$i \in I \sum a_{i} la somme des a_{i}, i \in I \prod a_{i} le produit des a_{i} .$

Lorsque $I = {p, p + 1, \dots, n}$ avec $p \leq n$ , on écrit :

$i = p \sum n a_{i} = a_{p} + a_{p + 1} + \dots + a_{n}, i = p \prod n a_{i} = a_{p} \times a_{p + 1} \times \dots \times a_{n} .$

Important

Conventions pour l'ensemble vide. Si $I = \emptyset$ (par exemple $\sum_{i = p}^{n}$ avec $p > n$ ) :

$i \in \emptyset \sum a_{i} = 0 et i \in \emptyset \prod a_{i} = 1.$

Ces conventions rendent les formules générales valables sans cas particulier : $0$ est neutre pour l'addition, $1$ pour la multiplication.

iRemarque

Dans la pratique, on a parfaitement le droit de présenter un calcul avec des points de suspension : $1 + 2 + \dots + n$ . Le symbole $\sum$ n'est qu'une écriture compacte et non ambiguë de la même chose.

2.2.2 Règles de calcul

Proposition 2.2Règles de calcul sur les sommes

Pour toutes familles $(a_{k})$ , $(b_{k})$ et tout scalaire $λ$ :

Linéarité : $k = p \sum n (a_{k} + b_{k}) = k = p \sum n a_{k} + k = p \sum n b_{k}$ et $k = p \sum n λ a_{k} = λ k = p \sum n a_{k}$ .
Relation de Chasles : $k = p \sum n a_{k} = k = p \sum m a_{k} + k = m + 1 \sum n a_{k}$ pour tout $m$ tel que $p \leq m \leq n$ .
Indice muet : $k = p \sum n a_{k} = i = p \sum n a_{i}$ : le nom de l'indice n'a aucune importance.

Attention

La somme d'un produit n'est pas le produit des sommes : en général $\sum a_{k} b_{k} \neq = (\sum a_{k}) (\sum b_{k})$ . De même, $λ$ ne peut sortir de la somme que s'il ne dépend pas de l'indice de sommation.

2.2.3 Changements d'indice et regroupements

Proposition 2.3Changement d'indice

Pour tout entier $m \in Z$ (décalage) :

$k = p \sum n a_{k} = j = p + m \sum n + m a_{j - m} (j = k + m),$

et pour le renversement de l'ordre de sommation :

$k = p \sum n a_{k} = j = p \sum n a_{p + n - j} (j = p + n - k) .$

Exemple 2.4

En posant $j = k - 2$ : $k = 2 \sum 5 k^{2} = j = 0 \sum 3 (j + 2)^{2}$ .

Exemple 2.5Regroupement de termes

Pour calculer $S = k = 0 \sum 2 n (- 1)^{k} k$ , on regroupe les termes deux par deux : pour $1 \leq j \leq n$ , $- (2 j - 1) + 2 j = 1$ , d'où $S = 0 + n \times 1 = n$ . On peut aussi séparer indices pairs et impairs :

$S = j = 0 \sum n 2 j - j = 1 \sum n (2 j - 1) = n (n + 1) - n^{2} = n .$

2.2.4 Sommes télescopiques

Proposition 2.6Télescopage

Soit $(u_{k})$ une suite. Pour tous entiers $p \leq n$ :

$k = p \sum n (u_{k + 1} - u_{k}) = u_{n + 1} - u_{p}, et si les u_{k} sont non nuls : k = p \prod n \frac{u _{k + 1}}{u _{k}} = \frac{u _{n + 1}}{u _{p}} .$

Démonstration

En écrivant la somme avec des points de suspension, tous les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux :

$(u_{p + 1} - u_{p}) + (u_{p + 2} - u_{p + 1}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - u_{p} .$

Le cas multiplicatif est identique, les quotients intermédiaires se simplifiant en cascade.

Exemple 2.7

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ .

$k = 1 \prod n (1 + \frac{1}{k}) = k = 1 \prod n \frac{k + 1}{k} = \frac{n + 1}{1} = n + 1$ .

2.2.5 Sommes usuelles

Proposition 2.8Sommes de référence

Pour tout $n \in N^{*}$ et tout réel $x \neq = 1$ :

$k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 0 \sum n x^{k} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x} .$

(Pour $x = 1$ , la somme géométrique vaut évidemment $n + 1$ .)

Démonstration (Démonstration pour

\sum k

(méthode de Gauss))

Notons $S = 1 + 2 + \dots + n$ . En écrivant la même somme dans l'ordre inverse et en ajoutant terme à terme :

$2 S = n termes e ˊ gaux a ˋ n + 1 (1 + n) + (2 + (n - 1)) + \dots + (n + 1) = n (n + 1),$

d'où $S = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Démonstration (Démonstration pour

\sum k^{2}

(par récurrence))

Initialisation : pour $n = 1$ , la somme vaut $1$ et la formule donne $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ .
Hérédité : si la formule est vraie au rang $n$ , alors

$k = 1 \sum n + 1 k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + (n + 1)^{2} = (n + 1) \frac{2 n ^{2} + 7 n + 6}{6} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2 n + 3 )}{6},$

car $2 n^{2} + 7 n + 6 = (n + 2) (2 n + 3)$ : c'est la formule au rang $n + 1$ .

Démonstration (Démonstration pour la somme géométrique)

Notons $S = \sum_{k = 0}^{n} x^{k}$ . Alors $x S = \sum_{k = 1}^{n + 1} x^{k}$ , et par différence presque tous les termes s'éliminent :

$(1 - x) S = x^{0} - x^{n + 1} = 1 - x^{n + 1} .$

Comme $x \neq = 1$ , on peut diviser par $1 - x$ .

iRemarque

On retiendra aussi $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ : la somme des cubes est le carré de la somme des entiers. Elle se démontre par récurrence, ou par télescopage en sommant l'identité $(k + 1)^{4} - k^{4} = 4 k^{3} + 6 k^{2} + 4 k + 1$ .

2.2.6 Factorisation de $a^{n} - b^{n}$

Proposition 2.9Factorisation fondamentale

Pour tous réels (ou complexes) $a, b$ et tout entier $n \geq 1$ :

$a^{n} - b^{n} = (a - b) k = 0 \sum n - 1 a^{k} b^{n - 1 - k} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) .$

Démonstration

Développons le membre de droite :

$(a - b) k = 0 \sum n - 1 a^{k} b^{n - 1 - k} = k = 0 \sum n - 1 a^{k + 1} b^{n - 1 - k} - k = 0 \sum n - 1 a^{k} b^{n - k} .$

Le changement d'indice $j = k + 1$ dans la première somme la transforme en $\sum_{j = 1}^{n} a^{j} b^{n - j}$ : les deux sommes coïncident alors sur les indices $1 \leq j \leq n - 1$ , et il ne reste que $a^{n} - b^{n}$ .

Exemple 2.10

Avec $b = 1$ : $x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + \dots + x + 1)$ — on retrouve la somme géométrique. Avec $n = 3$ : $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

2.2.7 Sommes doubles

Définition 2.11Somme double

Soit $(a_{i, j})$ une famille de réels indexée par les couples $(i, j)$ avec $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$ . La somme de la famille se calcule « ligne par ligne » ou « colonne par colonne » :

$1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p \sum a_{i, j} = i = 1 \sum n (j = 1 \sum p a_{i, j}) = j = 1 \sum p (i = 1 \sum n a_{i, j}) .$

Proposition 2.12Produit de deux sommes

Si $a_{i, j} = b_{i} c_{j}$ (variables séparées), la somme double se factorise :

$i = 1 \sum n j = 1 \sum p b_{i} c_{j} = (i = 1 \sum n b_{i}) (j = 1 \sum p c_{j}) .$

Exemple 2.13

$i = 1 \sum n j = 1 \sum n ij = (i = 1 \sum n i)^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ .

Définition 2.14Sommes triangulaires

Lorsque le domaine d'indices est le triangle $1 \leq i \leq j \leq n$ , on peut sommer dans les deux ordres :

$1 \leq i \leq j \leq n \sum a_{i, j} = j = 1 \sum n i = 1 \sum j a_{i, j} = i = 1 \sum n j = i \sum n a_{i, j} .$

Exemple 2.15Une somme triangulaire classique

Calculons $S = 1 \leq i \leq j \leq n \sum i$ . À $j$ fixé, $\sum_{i = 1}^{j} i = \frac{j ( j + 1 )}{2}$ , donc :

$S = \frac{1}{2} j = 1 \sum n (j^{2} + j) = \frac{1}{2} (\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2}) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} .$

Attention

Quand on intervertit deux sommes sur un domaine triangulaire, les bornes changent : $\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{j}$ devient $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i}^{n}$ . Dessiner le domaine ${(i, j) : 1 \leq i \leq j \leq n}$ évite toute erreur.

2.2.8 Factorielle et coefficients binomiaux

Définition 2.16Factorielle

Pour tout $n \in N$ : $0! = 1$ et, pour $n \geq 1$ , $n! = \prod_{k = 1}^{n} k = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . On a la relation de récurrence $(n + 1)! = (n + 1) \times n!$ .

Définition 2.17Coefficients binomiaux

Pour $n \in N$ et $k \in Z$ :

$(k n) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{n !}{k ! ( n - k )!} 0 si 0 \leq k \leq n, si k < 0 ou k > n .$

$(k n)$ se lit « $k$ parmi $n$ » : c'est le nombre de façons de choisir $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.

iRemarque

La convention $(k n) = 0$ hors de $0 \leq k \leq n$ est précieuse : elle permet d'écrire des formules sommatoires sans se soucier des bornes exactes.

Proposition 2.18Propriétés immédiates

Pour $n \in N$ et $0 \leq k \leq n$ :

Symétrie : $(k n) = (n - k n)$ .
Valeurs particulières : $(0 n) = (n n) = 1$ , $(1 n) = n$ , $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
Absorption (formule du pion) : $k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ pour $k \geq 1$ .

Proposition 2.19Relation de Pascal

Pour tous $n, k \in N$ :

$(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1) .$

Démonstration

Pour $0 \leq k \leq n$ , réduisons au dénominateur commun $(k + 1)! (n - k)!$ :

$(k n) + (k + 1 n) = \frac{n ! ( k + 1 )}{( k + 1 )! ( n - k )!} + \frac{n ! ( n - k )}{( k + 1 )! ( n - k )!} = \frac{n ! ( n + 1 )}{( k + 1 )! ( n - k )!} = (k + 1 n + 1) .$

(Les cas hors bornes sont immédiats grâce à la convention.)

La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal ligne par ligne, chaque coefficient étant la somme des deux situés au-dessus de lui :

$n = 0$ :	1
$n = 1$ :	1	1
$n = 2$ :	1	2	1
$n = 3$ :	1	3	3	1
$n = 4$ :	1	4	6	4	1
$n = 5$ :	1	5	10	10	5	1

2.2.9 Formule du binôme

◆Théorème 2.20Binôme de Newton

Pour tous réels $a, b$ et tout $n \in N$ :

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} .$

Démonstration

Par récurrence sur $n$ .

Initialisation : pour $n = 0$ , les deux membres valent $1$ .
Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n$ . Alors

$(a + b)^{n + 1} = a k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} + b k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} .$

Le changement d'indice $j = k + 1$ dans la première somme donne

$(a + b)^{n + 1} = a^{n + 1} + b^{n + 1} + k = 1 \sum n [(k - 1 n) + (k n)] a^{k} b^{n + 1 - k},$

et la relation de Pascal transforme le crochet en $(k n + 1)$ : c'est la formule au rang $n + 1$ .

Exemple 2.21Applications immédiates

Avec $a = b = 1$ : $k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}$ .
Avec $a = - 1$ , $b = 1$ et $n \geq 1$ : $k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) = 0$ .
$(1 + x)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{k}$ : c'est la forme la plus utilisée en pratique.

◆Théorème 2.22Formule de Vandermonde

Pour tous $m, n, r \in N$ :

$k = 0 \sum r (k m) (r - k n) = (r m + n) .$

Démonstration (Idée de démonstration)

On identifie le coefficient de $x^{r}$ dans les deux membres de l'identité $(1 + x)^{m} (1 + x)^{n} = (1 + x)^{m + n}$ , le membre de gauche étant développé comme produit de deux sommes.

2.3 Systèmes linéaires et algorithme du pivot

2.3.1 Systèmes linéaires

Définition 2.23Système linéaire

Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues $x_{1}, \dots, x_{n}$ (avec ici $m, n \in {2, 3}$ ) s'écrit :

$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} ⋮ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}$

où les coefficients $a_{ij}$ et les seconds membres $b_{i}$ sont des réels donnés. Résoudre le système, c'est décrire l'ensemble de tous les $n$ -uplets $(x_{1}, \dots, x_{n})$ vérifiant simultanément les $m$ équations.

2.3.2 Interprétation géométrique

Dans $R^{2}$ , chaque équation $a x + b y = c$ (avec $(a, b) \neq = (0, 0)$ ) est l'équation d'une droite : résoudre un système $2 \times 2$ , c'est chercher l'intersection de deux droites. Trois situations : droites sécantes (solution unique), confondues (une infinité de solutions), strictement parallèles (aucune solution).
Dans $R^{3}$ , chaque équation $a x + b y + cz = d$ est l'équation d'un plan : un système $3 \times 3$ décrit l'intersection de trois plans, qui peut être un point, une droite, un plan, ou l'ensemble vide.

2.3.3 Opérations élémentaires

Définition 2.24Opérations élémentaires sur les lignes

On appelle opérations élémentaires sur les équations (lignes) d'un système :

l'échange de deux lignes : $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ ;
la multiplication d'une ligne par un réel non nul : $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ ( $λ \neq = 0$ ) ;
l'ajout à une ligne d'un multiple d'une autre : $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ .

Proposition 2.25Systèmes équivalents

Chaque opération élémentaire transforme un système en un système équivalent : les deux systèmes ont exactement le même ensemble de solutions. En effet, chaque opération est réversible ( $L_{i} \leftarrow \frac{1}{λ} L_{i}$ , $L_{i} \leftarrow L_{i} - λ L_{j}$ ).

Attention

$L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ avec $λ = 0$ est interdit : on effacerait une équation, et l'opération ne serait plus réversible. De même, on ne remplace jamais $L_{i}$ par une combinaison qui ne contient pas $L_{i}$ .

2.3.4 L'algorithme du pivot

La méthode du pivot consiste à utiliser les opérations élémentaires pour rendre le système triangulaire : on choisit une équation où le coefficient d'une inconnue (le pivot) est non nul, et on élimine cette inconnue de toutes les autres équations ; on recommence avec le sous-système restant, puis on remonte les équations de bas en haut.

Exemple 2.26Solution unique

Résolvons :

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 x - y + z = 2 2 x + y - z = 1$

Pivot $x$ de $L_{1}$ : $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ donnent

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 - 2 y = - 4 - y - 3 z = - 11$

De $L_{2}$ : $y = 2$ . En reportant dans $L_{3}$ : $- 2 - 3 z = - 11$ , donc $z = 3$ , puis $x = 6 - 2 - 3 = 1$ . L'unique solution est $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ : les trois plans se coupent en un point.

Exemple 2.27Aucune solution

Pour le système

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 2 2 x + 3 y + z = 5 x + y + 2 z = 4$

les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donnent les deux équations $- y + 3 z = 1$ et $- y + 3 z = 2$ , incompatibles : le système n'a aucune solution.

Exemple 2.28Infinité de solutions

Pour le système

${x - y + z = 1 2 x + y - z = 2$

l'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $3 y - 3 z = 0$ , soit $y = z$ . En reportant : $x = 1$ . Les solutions forment la droite ${(1, t, t) : t \in R}$ de $R^{3}$ : infinité de solutions paramétrée par $t$ .

2.4 Inégalités

2.4.1 La relation d'ordre sur $R$

Proposition 2.29Compatibilité avec les opérations

Soient $a, b, c, d$ des réels.

Addition : si $a \leq b$ , alors $a + c \leq b + c$ . Si $a \leq b$ et $c \leq d$ , alors $a + c \leq b + d$ .
Multiplication par un réel positif : si $a \leq b$ et $c \geq 0$ , alors $a c \leq b c$ .
Multiplication par un réel négatif : si $a \leq b$ et $c \leq 0$ , alors $a c \geq b c$ : le sens de l'inégalité change.
Produit d'inégalités positives : si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$ , alors $a c \leq b d$ .
Passage à l'inverse : si $0 < a \leq b$ , alors $\frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ (l'inverse renverse l'ordre sur les réels strictement positifs).

Attention

On ne soustrait pas et on ne divise pas des inégalités membre à membre ! De $1 \leq 2$ et $1 \leq 3$ , on ne peut rien dire de $1 - 1$ et $2 - 3$ . En cas de doute, on se ramène toujours à des additions et des multiplications.

2.4.2 Intervalles de $R$

Définition 2.30Intervalle

Une partie $I$ de $R$ est un intervalle si, dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels intermédiaires : pour tous $x, y \in I$ et tout $z$ tel que $x \leq z \leq y$ , on a $z \in I$ .

Les intervalles de $R$ sont, pour $a \leq b$ :

Notation	Définition	Type
$[a, b]$	$a \leq x \leq b$	segment (fermé borné)
$] a, b [$	$a < x < b$	ouvert borné
$[a, b [$ et $] a, b]$	mixtes	semi-ouverts
$[a, + \infty [$ et $] a, + \infty [$	$x \geq a$ , $x > a$	demi-droites
$] - \infty, b]$ et $] - \infty, b [$	$x \leq b$ , $x < b$	demi-droites
$] - \infty, + \infty [$	$R$ tout entier

2.4.3 Techniques de majoration et de minoration

Exemple 2.31Majoration d'une somme

Pour tout $n \geq 1$ :

$k = 1 \sum n \frac{1}{n + k} \leq k = 1 \sum n \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} < 1,$

en majorant chaque terme par le plus grand d'entre eux.

Exemple 2.32Encadrement d'un quotient

Pour $x \in [1, 2]$ , encadrons $f (x) = \frac{x + 3}{x ^{2} + 1}$ . Le numérateur est compris entre $4$ et $5$ , le dénominateur entre $2$ et $5$ . Pour majorer un quotient positif, on majore le numérateur et on minore le dénominateur (et inversement pour minorer) :

$\frac{4}{5} \leq f (x) \leq \frac{5}{2} .$

Important

Règle d'or du quotient. Pour majorer $\frac{A}{B}$ avec $A, B > 0$ : majorer $A$ et minorer $B$ . Toute autre combinaison est fausse.

2.4.4 Tableaux de signes et inéquations

Pour résoudre une inéquation, on se ramène à comparer une expression à $0$ , on factorise, puis on dresse le tableau de signes des facteurs.

Exemple 2.33Inéquation rationnelle

Résolvons $\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{3 - x} \geq 0$ . Les valeurs remarquables sont $- 2$ , $1$ et $3$ (valeur interdite).

$x$	$- \infty$	$- 2$		$1$		$3$	$+ \infty$
$x - 1$	$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$		$+$	$0$	$-$
quotient	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$∥$	$-$

L'ensemble des solutions est $] - \infty, - 2] \cup [1, 3 [$ .

2.4.5 Valeur absolue

Définition 2.34Valeur absolue

Pour $x \in R$ : $∣ x ∣ = {x - x si x \geq 0 si x < 0$ . Géométriquement, $∣ x - a ∣$ est la distance entre les points d'abscisses $x$ et $a$ sur la droite réelle.

Proposition 2.35Propriétés

Pour tous réels $x, y$ : $∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣$ , $∣ x ∣^{2} = x^{2}$ , $x^{2} = ∣ x ∣$ , et :

$∣ x ∣ \leq b ⟺ - b \leq x \leq b (b \geq 0) .$

◆Théorème 2.36Inégalité triangulaire

Pour tous réels $x, y$ :

$∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣, et ∣ x ∣ - ∣ y ∣ \leq ∣ x - y ∣.$

Démonstration

De $- ∣ x ∣ \leq x \leq ∣ x ∣$ et $- ∣ y ∣ \leq y \leq ∣ y ∣$ , on tire par addition $- (∣ x ∣ + ∣ y ∣) \leq x + y \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ , ce qui est exactement $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ . Pour la seconde : $∣ x ∣ = ∣ (x - y) + y ∣ \leq ∣ x - y ∣ + ∣ y ∣$ donne $∣ x ∣ - ∣ y ∣ \leq ∣ x - y ∣$ ; en échangeant $x$ et $y$ , on obtient l'autre sens, d'où le résultat.

Proposition 2.37Inégalités du type

∣ x - a ∣ \leq b

Pour $a \in R$ et $b \geq 0$ :

$∣ x - a ∣ \leq b ⟺ x \in [a - b, a + b] .$

Sur la droite réelle : $x$ est à distance au plus $b$ du point $a$ .

Exemple 2.38

$∣ x - 3∣ < 2 ⟺ x \in] 1, 5 [$ : l'intervalle ouvert de centre $3$ et de rayon $2$ .

2.4.6 Parties majorées, minorées, bornées

Définition 2.39Majorant, minorant, maximum, minimum

Soit $A$ une partie non vide de $R$ .

Un réel $M$ est un majorant de $A$ si $\forall x \in A, x \leq M$ . On dit alors que $A$ est majorée.
Un réel $m$ est un minorant de $A$ si $\forall x \in A, m \leq x$ . On dit alors que $A$ est minorée.
$A$ est bornée si elle est majorée et minorée.
Si un majorant de $A$ appartient à $A$ , c'est le maximum de $A$ , noté $max A$ ; de même pour le minimum $min A$ . Lorsqu'ils existent, ils sont uniques.

Exemple 2.40

$A = [0, 1 [$ est bornée : $0$ est son minimum ( $0 \in A$ ), mais $A$ n'a pas de maximum : $1$ est un majorant, mais $1 \in / A$ , et aucun élément de $A$ ne majore tous les autres.

2.4.7 Partie entière

Définition 2.41Partie entière

Pour tout réel $x$ , il existe un unique entier relatif $n$ tel que $n \leq x < n + 1$ : c'est la partie entière de $x$ , notée $⌊ x ⌋$ .

Proposition 2.42Caractérisation et propriétés

Pour tout $x \in R$ et tout $n \in Z$ :

$⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1, x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x, ⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n .$

Exemple 2.43

$⌊ 3, 7 ⌋ = 3$ , $⌊ 5 ⌋ = 5$ , mais $⌊ - 3, 2 ⌋ = - 4$ (et non $- 3$ !) : la partie entière est l'entier immédiatement inférieur ou égal.

Attention

Pour les réels négatifs non entiers, la partie entière n'est pas la « troncature » : $⌊ - 3, 2 ⌋ = - 4$ . C'est l'erreur la plus fréquente sur ce thème.

2.5 Trigonométrie

2.5.1 Le cercle trigonométrique

Définition 2.44Cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (anti-horaire). À tout réel $t$ , on associe le point $M (t)$ obtenu en « enroulant » la droite réelle sur le cercle à partir du point $I (1, 0)$ : on parcourt la longueur $∣ t ∣$ le long du cercle, dans le sens direct si $t \geq 0$ . Les coordonnées de $M (t)$ définissent le cosinus et le sinus :

$M (t) = (cos t, sin t) .$

Proposition 2.45Premières propriétés

Pour tout $t \in R$ :

$cos^{2} t + sin^{2} t = 1, - 1 \leq cos t \leq 1, - 1 \leq sin t \leq 1.$

La première égalité n'est autre que le théorème de Pythagore appliqué au point $M (t)$ du cercle unité.

2.5.2 Congruences modulo $2 π$

Définition 2.46Congruence modulo

2 π

Deux réels $a$ et $b$ sont congrus modulo $2 π$ , ce que l'on note $a \equiv b [2 π]$ , s'il existe $k \in Z$ tel que $a = b + 2 k π$ .

Un tour complet du cercle correspond à $2 π$ : deux réels congrus modulo $2 π$ définissent donc le même point du cercle, d'où :

$a \equiv b [2 π] ⟹ cos a = cos b et sin a = sin b .$

Les fonctions cosinus et sinus sont $2 π$ -périodiques.

2.5.3 Angles associés

Proposition 2.47Angles associés

Pour tout réel $x$ :

Angle	Cosinus	Sinus
$- x$	$cos x$	$- sin x$
$π - x$	$- cos x$	$sin x$
$π + x$	$- cos x$	$- sin x$
$\frac{π}{2} - x$	$sin x$	$cos x$
$\frac{π}{2} + x$	$- sin x$	$cos x$

Important

Inutile d'apprendre ce tableau par cœur : chaque ligne se retrouve en quelques secondes en plaçant les deux points sur le cercle trigonométrique et en comparant leurs coordonnées par symétrie (axe des abscisses pour $- x$ , axe des ordonnées pour $π - x$ , centre pour $π + x$ , première bissectrice pour $\frac{π}{2} - x$ ).

Les quatre symétries du cercle : $M (- x)$ est le symétrique de $M (x)$ par rapport à l'axe des abscisses, $M (π - x)$ par rapport à l'axe des ordonnées, $M (π + x)$ par rapport à l'origine, et $M (\frac{π}{2} - x)$ par rapport à la première bissectrice (les coordonnées s'échangent).

2.5.4 Valeurs usuelles

Proposition 2.48Angles usuels

t

0

\frac{π}{6}

\frac{π}{4}

\frac{π}{3}

\frac{π}{2}

cos t

1

\frac{3}{2}

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

0

[2mm]

$sin t$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $0$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{1}{2}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{2}{2}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{3}{2}$ </td><td style="text-align:center;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $1$ </td></tr></table></div>

Moyen mnémotechnique : la ligne des sinus s'écrit $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ ; celle des cosinus est la même lue à l'envers.

2.5.5 Équations trigonométriques

Proposition 2.49Équations fondamentales

Pour $a \in R$ :

$cos x = cos a ⟺ x \equiv a [2 π] ou x \equiv - a [2 π],$

$sin x = sin a ⟺ x \equiv a [2 π] ou x \equiv π - a [2 π] .$

Exemple 2.50Équation

Résolvons $cos x = \frac{1}{2}$ . Comme $\frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}$ :

$x \equiv \frac{π}{3} [2 π] ou x \equiv - \frac{π}{3} [2 π] .$

Exemple 2.51Inéquation

Résolvons $sin x \leq \frac{1}{2}$ sur $[0, 2 π [$ . Sur le cercle, les points d'ordonnée $\frac{1}{2}$ correspondent à $x = \frac{π}{6}$ et $x = \frac{5 π}{6}$ ; l'ordonnée est au-dessus de $\frac{1}{2}$ strictement entre les deux. D'où :

$S = [0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, 2 π [.$

Le cercle trigonométrique rend la lecture immédiate, là où un calcul aveugle ferait perdre des solutions.

2.5.6 Formules d'addition et de duplication

◆Théorème 2.52Formules d'addition

Pour tous réels $a, b$ :

$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b,$

$sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b, sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b .$

Démonstration (Justification géométrique de

cos (a - b)

)

Plaçons sur le cercle trigonométrique les points $A = (cos a, sin a)$ et $B = (cos b, sin b)$ . Les vecteurs $O A$ et $O B$ sont unitaires et forment l'angle $a - b$ . Leur produit scalaire se calcule de deux façons :

$O A \cdot O B = ∥ O A ∥ ∥ O B ∥ cos (a - b) = cos (a - b),$

$O A \cdot O B = cos a cos b + sin a sin b (en coordonn e ˊ es) .$

D'où la formule. Les trois autres s'en déduisent : $b \mapsto - b$ donne $cos (a + b)$ , et $sin (a + b) = cos (\frac{π}{2} - a - b)$ ramène le sinus au cosinus.

Proposition 2.53Formules de duplication

Pour tout réel $a$ :

$cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a, sin (2 a) = 2 sin a cos a .$

On en déduit les formules de linéarisation :

$cos^{2} a = \frac{1 + cos ( 2 a )}{2}, sin^{2} a = \frac{1 - cos ( 2 a )}{2} .$

Proposition 2.54Transformation de produits en sommes

En combinant les formules d'addition (somme et différence), on retrouve rapidement :

$cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)], sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)],$

$sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)] .$

2.5.7 Les fonctions cosinus et sinus

Proposition 2.55Propriétés des fonctions circulaires

Les fonctions $cos$ et $sin$ sont définies sur $R$ , $2 π$ -périodiques ; $cos$ est paire, $sin$ est impaire. Elles sont dérivables sur $R$ et :

$cos^{'} = - sin, sin^{'} = cos .$

Démonstration (Justification des dérivées)

Admettons le résultat de limite $h \to 0 lim \frac{sin h}{h} = 1$ , qui se justifie géométriquement par l'encadrement des aires sur le cercle unité (pour $0 < h < \frac{π}{2}$ : $sin h \leq h \leq tan h$ ). On en déduit aussi $lim_{h \to 0} \frac{c o s h - 1}{h} = 0$ . Alors, par la formule d'addition :

$\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} = sin x \frac{cos h - 1}{h} + cos x \frac{sin h}{h} h \to 0 cos x .$

Le calcul est identique pour le cosinus.

Proposition 2.56Inégalité fondamentale

Pour tout réel $x$ : $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ .

Démonstration

Par imparité, il suffit de traiter $x \geq 0$ , et le cas $x \geq 1$ est immédiat puisque $∣ sin x ∣ \leq 1$ . Pour $0 \leq x < 1$ , posons $f (t) = t - sin t$ : $f^{'} (t) = 1 - cos t \geq 0$ , donc $f$ est croissante, et $f (0) = 0$ donne $sin x \leq x$ .

2.5.8 La fonction tangente

Définition 2.57Tangente

Pour tout réel $x$ tel que $cos x \neq = 0$ , c'est-à-dire $x \neq = \frac{π}{2} + k π$ ( $k \in Z$ ), on pose :

$tan x = \frac{sin x}{cos x} .$

Sur le cercle trigonométrique, $tan x$ se lit comme l'ordonnée du point d'intersection de la droite $(O M (x))$ avec la droite verticale tangente au cercle au point $I (1, 0)$ .

La droite $(O M (x))$ coupe la verticale menée par $I (1, 0)$ — l'axe des tangentes — au point $T$ d'ordonnée $tan x$ : par le théorème de Thalès, $\frac{t a n x}{1} = \frac{s i n x}{c o s x}$ . Cette lecture rend visibles la $π$ -périodicité (les points $M (x)$ et $M (π + x)$ sont alignés avec $O$ , donc donnent le même $T$ ) et la divergence quand $x \to \frac{π}{2}$ .

Proposition 2.58Propriétés de la tangente

La fonction tangente est impaire, $π$ -périodique, dérivable sur son domaine et :

$tan^{'} x = 1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} > 0.$

Elle est donc strictement croissante sur chaque intervalle $] - \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π [$ , avec des asymptotes verticales aux bornes. Pour tout $x$ du domaine : $tan (π + x) = tan x$ et $tan (π - x) = - tan x$ .

Proposition 2.59Tangente des angles usuels

$t$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$tan t$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	non définie

Proposition 2.60Formule d'addition de la tangente

Lorsque tous les termes sont définis :

$tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}, tan (a - b) = \frac{tan a - tan b}{1 + tan a tan b} .$

Démonstration

$tan (a + b) = \frac{sin a cos b + cos a sin b}{cos a cos b - sin a sin b} .$

En divisant numérateur et dénominateur par $cos a cos b$ (non nul), on obtient la formule annoncée.

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Calcul algébrique et trigonométrie

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>2.1 Introduction et motivation

2.2 Sommes et produits

2.2.1 Notations ∑ et ∏

2.2.2 Règles de calcul

2.2.3 Changements d'indice et regroupements

2.2.4 Sommes télescopiques

2.2.5 Sommes usuelles

2.2.6 Factorisation de an−bn

2.2.7 Sommes doubles

2.2.8 Factorielle et coefficients binomiaux

2.2.9 Formule du binôme

2.3 Systèmes linéaires et algorithme du pivot

2.3.1 Systèmes linéaires

2.3.2 Interprétation géométrique

2.3.3 Opérations élémentaires

2.3.4 L'algorithme du pivot

2.4 Inégalités

2.4.1 La relation d'ordre sur R

2.4.2 Intervalles de R

2.4.3 Techniques de majoration et de minoration

2.4.4 Tableaux de signes et inéquations

2.4.5 Valeur absolue

2.4.6 Parties majorées, minorées, bornées

2.4.7 Partie entière

2.5 Trigonométrie

2.5.1 Le cercle trigonométrique

2.5.2 Congruences modulo 2π

2.5.3 Angles associés

2.5.4 Valeurs usuelles

2.5.5 Équations trigonométriques

2.5.6 Formules d'addition et de duplication

2.5.7 Les fonctions cosinus et sinus

2.5.8 La fonction tangente

2.2.1 Notations $\sum$ et $\prod$

2.2.6 Factorisation de $a^{n} - b^{n}$

2.4.1 La relation d'ordre sur $R$

2.4.2 Intervalles de $R$

2.5.2 Congruences modulo $2 π$