Calcul matriciel et systèmes linéaires

Soient $n,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un tableau rectangulaire

$$A=(a_{i,j}{)}_{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le p\end{array}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,p}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,p}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,p}\end{array}\right),$$

où $a_{i,j}\in \mathbb{K}$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$. Leur ensemble est noté ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Cas particuliers : les matrices colonnes ($p=1$), les matrices lignes ($n=1$), et les matrices carrées ($n=p$), dont l'ensemble est noté ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

On définit sur ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ l'addition et la multiplication par un scalaire, coefficient par coefficient :

$$(A+B{)}_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j},(\lambda A{)}_{i,j}=\lambda a_{i,j}(\lambda \in \mathbb{K}).$$

L'addition est associative, commutative, de neutre la matrice nulle $0_{n,p}$, et toute matrice $A$ admet une opposée $-A$ ; on peut donc former des combinaisons linéaires $\lambda A+\mu B$ de matrices de même taille.

Pour $1\le i\le n$ et $1\le j\le p$, la matrice élémentaire $E_{i,j}\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$, qui vaut $1$.

Soient $A=(a_{i,k})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B=(b_{k,j})\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{K})$ — le nombre de colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $B$. Le produit $AB\in {\mathcal{M}}_{n,q}(\mathbb{K})$ est défini par :

$$(AB{)}_{i,j}=\sum _{k=1}^p{a}_{i,k}{b}_{k,j}:$$

le coefficient $(i,j)$ s'obtient en parcourant la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$.

Pour des indices $i,j$, le symbole de Kronecker est défini par :

$${\delta }_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }i=j,\\ 0& \text{si }i\ne j.\end{array}$$

Ainsi la matrice identité (ci-dessous) s'écrit $I_n=({\delta }_{i,j})$.