Changements de référentiel

Cours · mécanique (MP), chapitre 1 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Deux référentiels : le repère R′ est en mouvement par rapport au repère R.

Toute la cinématique et la dynamique élémentaires reposent sur un présupposé implicite : le choix d'un observateur, c'est-à-dire d'un référentiel. La vitesse d'un voyageur assis dans un train est nulle pour un passager voisin, mais vaut plusieurs centaines de kilomètres par heure pour un piéton resté sur le quai. Décrire un même mouvement depuis deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, puis relier les deux descriptions, constitue l'objet des changements de référentiel.

Ce chapitre établit les deux lois de composition fondamentales de la cinématique : la composition des vitesses et la composition des accélérations. Cette dernière fait apparaître un terme nouveau, l'accélération de Coriolis, qui n'a pas d'équivalent lorsque le référentiel relatif est en translation, et qui gouvernera, au chapitre suivant, la dynamique dans les référentiels non galiléens (déviation vers l'est, pendule de Foucault, vents géostrophiques). Conformément au programme, la cinématique des changements de référentiel n'est pas étudiée pour elle-même, mais en vue de ses applications en dynamique du point.

1.1 Référentiel absolu, référentiel relatif

1.1.1 Deux observateurs pour un même mouvement

On considère un point matériel $M$ dont on veut décrire le mouvement. On dispose de deux référentiels :

un référentiel $R$ , muni d'un repère $(O, e_{x}, e_{y}, e_{z})$ , que l'on qualifie de référentiel absolu (par convention, celui que l'on considère comme « fixe ») ;
un référentiel $R^{'}$ , muni d'un repère $(O^{'}, e_{x}^{'}, e_{y}^{'}, e_{z}^{'})$ , qui est en mouvement par rapport à $R$ : c'est le référentiel relatif.

Définition 1.1Grandeurs absolues et relatives

La position, la vitesse et l'accélération de $M$ mesurées dans le référentiel $R$ sont dites absolues ; celles mesurées dans $R^{'}$ sont dites relatives. On note ainsi

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R}, v_{r} (M) = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}},$

la notation $\frac{d}{d t}_{R}$ signifiant que la dérivation est effectuée en considérant comme fixes les vecteurs de la base de $R$ .

Attention

Les qualificatifs « absolu » et « relatif » sont purement conventionnels : ils désignent simplement lequel des deux référentiels on choisit comme référence. Aucun référentiel n'est absolu au sens physique du terme. On choisit en pratique comme référentiel absolu celui dans lequel les lois de la dynamique s'écrivent le plus simplement (souvent un référentiel supposé galiléen).

Figure : Le point

M

repéré dans le référentiel absolu

R

et dans le

référentiel relatif $R^{'}$ , dont l'origine $O^{'}$ et les axes sont en

mouvement. La relation de Chasles donne

O M = O O^{'} + O^{'} M

1.1.2 Le point coïncident

Pour relier les mesures faites dans les deux référentiels, on introduit une construction essentielle : le point coïncident.

Définition 1.2Point coïncident

À chaque instant $t$ , le point coïncident $P$ (ou point coïncidant) est le point, fixe dans le référentiel relatif $R^{'}$ , qui occupe à cet instant la même position que $M$ . Autrement dit, $P$ est le point de $R^{'}$ superposé à $M$ à l'instant considéré, mais qui, contrairement à $M$ , reste lié à $R^{'}$ .

La vitesse et l'accélération de ce point coïncident, mesurées dans le référentiel absolu, définissent respectivement la vitesse et l'accélération d'entraînement : elles traduisent l'effet du seul mouvement de $R^{'}$ par rapport à $R$ , indépendamment du mouvement propre de $M$ dans $R^{'}$ .

1.2 Dérivation d'un vecteur dans deux référentiels

1.2.1 Vecteur rotation

Le mouvement le plus général de $R^{'}$ par rapport à $R$ se décompose à chaque instant en une translation (mouvement de $O^{'}$ ) et une rotation instantanée des axes de $R^{'}$ . Cette rotation est caractérisée par un vecteur unique.

Définition 1.3Vecteur rotation

Il existe un vecteur $Ω$ , appelé vecteur rotation (ou vecteur taux de rotation) de $R^{'}$ par rapport à $R$ , tel que la dérivée dans $R$ de tout vecteur $e^{'}$ fixe dans $R^{'}$ s'écrive

$\frac{d e ^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e^{'} .$

Sa direction est celle de l'axe instantané de rotation, son sens est donné par la règle du tire-bouchon, et sa norme vaut la vitesse angulaire de rotation, en $r a d . s^{- 1}$ . On le note $Ω_{R^{'} / R}$ .

Exemple 1.4Rotation autour d'un axe fixe

Si $R^{'}$ tourne autour de l'axe $O z$ commun aux deux référentiels, à la vitesse angulaire $θ ˙$ , alors $Ω = θ ˙ e_{z}$ . Pour $e_{x}^{'} = cos θ e_{x} + sin θ e_{y}$ , on vérifie directement

$\frac{d e _{x}^{'}}{d t}_{R} = θ ˙ (- sin θ e_{x} + cos θ e_{y}) = θ ˙ e_{y}^{'} = θ ˙ e_{z} \land e_{x}^{'} = Ω \land e_{x}^{'} .$

1.2.2 Formule de dérivation vectorielle

◆Théorème 1.5Formule de Bour

Pour tout vecteur $A (t)$ , les dérivées dans les deux référentiels sont reliées par

$\frac{d A}{d t}_{R} = \frac{d A}{d t}_{R^{'}} + Ω_{R^{'} / R} \land A$

Démonstration (Démonstration)

Décomposons $A$ sur la base mobile : $A = A_{x} e_{x}^{'} + A_{y} e_{y}^{'} + A_{z} e_{z}^{'}$ . En dérivant dans $R$ , les composantes $A_{i}$ (scalaires) se dérivent de la même façon dans les deux référentiels, mais les vecteurs de base varient :

$\frac{d A}{d t}_{R} = i \sum A ˙_{i} e_{i}^{'} + i \sum A_{i} \frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} .$

Le premier terme est précisément la dérivée relative $\frac{d A}{d t}_{R^{'}}$ (dérivée à base fixe). Dans le second, $\frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e_{i}^{'}$ , d'où par linéarité du produit vectoriel $\sum_{i} A_{i} (Ω \land e_{i}^{'}) = Ω \land A$ .

iRemarque

Si $A$ est colinéaire à $Ω$ , ou si la rotation est nulle ( $Ω = 0$ ), les deux dérivées coïncident. En particulier, le vecteur rotation a la même dérivée dans les deux référentiels : $\frac{d Ω}{d t}_{R} = \frac{d Ω}{d t}_{R^{'}}$ .

1.3 Composition des vitesses

1.3.1 Loi de composition

Partons de la relation de Chasles $O M = O O^{'} + O^{'} M$ et dérivons-la dans le référentiel absolu $R$ :

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R} = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R} + \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} .$

On applique la formule de Bour au second terme avec $A = O^{'} M$ :

$\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}} + Ω \land O^{'} M = v_{r} (M) + Ω \land O^{'} M .$

En regroupant :

$v_{a} (M) = relative v_{r} (M) + entra ı ˆ nement v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M,$

où $v (O^{'}) = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R}$ est la vitesse de $O^{'}$ dans $R$ .

◆Théorème 1.6Composition des vitesses

$v_{a} (M) = v_{r} (M) + v_{e} (M) avec v_{e} (M) = v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M .$

La vitesse d'entraînement $v_{e} (M)$ est la vitesse, dans $R$ , du point coïncident $P$ lié à $R^{'}$ : c'est la vitesse qu'aurait $M$ s'il était immobile dans $R^{'}$ .

Important

La vitesse d'entraînement dépend du point considéré (à travers $O^{'} M$ ) : c'est un champ de vecteurs, celui des vitesses du solide $R^{'}$ . En revanche, elle ne dépend pas du mouvement propre de $M$ : deux points matériels passant au même endroit au même instant ont la même vitesse d'entraînement.

1.3.2 Interprétation

Figure : Cas d'un référentiel

R^{'}

en rotation autour de l'axe fixe

$O^{'} z$ ( $O^{'}$ immobile dans $R$ ). La vitesse d'entraînement d'un point

M

est orthoradiale, de norme

Ω r

où

r

est la distance à l'axe.

Exemple 1.7Enfant sur un manège

Un manège tourne à $Ω = 0, 80 r a d . s^{- 1}$ . Un enfant assis à $r = 3, 0 m$ de l'axe est immobile dans le référentiel $R^{'}$ du manège : sa vitesse relative est nulle. Sa vitesse dans le référentiel du sol se réduit donc à la vitesse d'entraînement, orthoradiale, de norme

$v_{e} = Ω r = 0, 80 \times 3, 0 = 2, 4 m . s^{- 1} .$

1.4 Composition des accélérations

1.4.1 Loi de composition et accélération de Coriolis

On dérive à nouveau la loi de composition des vitesses dans $R$ . Le calcul, un peu plus long, fait intervenir deux fois la formule de Bour et fait apparaître un terme croisé caractéristique.

◆Théorème 1.8Composition des accélérations

$a_{a} (M) = a_{r} (M) + a_{e} (M) + a_{c} (M)$

avec l'accélération d'entraînement

$a_{e} (M) = a (O^{'}) + \frac{d Ω}{d t}_{R} \land O^{'} M + Ω \land (Ω \land O^{'} M),$

et l'accélération de Coriolis (ou accélération complémentaire)

$a_{c} (M) = 2 Ω \land v_{r} (M) .$

Démonstration (Démonstration)

On part de $v_{a} = v (O^{'}) + v_{r} + Ω \land O^{'} M$ et on dérive dans $R$ .

$∙$ $\frac{d v ( O ^{'} )}{d t}_{R} = a (O^{'})$ .

$∙$ Pour $v_{r}$ , la formule de Bour donne $\frac{d v _{r}}{d t}_{R} = \frac{d v _{r}}{d t}_{R^{'}} + Ω \land v_{r} = a_{r} + Ω \land v_{r}$ .

$∙$ Pour $Ω \land O^{'} M$ ,

$\frac{d}{d t}_{R} (Ω \land O^{'} M) = Ω ˙ \land O^{'} M + Ω \land \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R},$

et, d'après la formule de Bour, $\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = v_{r} + Ω \land O^{'} M$ , d'où

$\frac{d}{d t}_{R} (Ω \land O^{'} M) = Ω ˙ \land O^{'} M + Ω \land v_{r} + Ω \land (Ω \land O^{'} M) .$

En sommant les trois contributions, les deux termes $Ω \land v_{r}$ s'additionnent pour donner $2 Ω \land v_{r}$ . On regroupe alors les termes indépendants de $v_{r}$ (accélération d'entraînement), le terme $a_{r}$ (relative) et le terme croisé (Coriolis).

iRemarqueCadre du programme

Le programme se limite à deux situations : $R^{'}$ en translation ( $Ω = 0$ ), ou en rotation uniforme autour d'un axe fixe ( $Ω$ constant, $O^{'}$ choisi sur l'axe). Dans les deux cas, le terme $Ω ˙ \land O^{'} M$ est nul : il n'est écrit ici que pour la généralité du calcul, une rotation non uniforme étant hors programme.

ImportantStructure des trois termes

$a_{r}$ : accélération propre de $M$ dans $R^{'}$ .
$a_{e}$ : accélération, dans $R$ , du point coïncident $P$ fixe dans $R^{'}$ . Elle ne dépend pas de $v_{r}$ .
$a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ : n'existe que si $M$ bouge dans $R^{'}$ ( $v_{r} \neq = 0$ ) et si $R^{'}$ tourne ( $Ω \neq = 0$ ). Elle est toujours orthogonale à $v_{r}$ et à $Ω$ .

Attention

Contrairement à la vitesse, l'accélération ne se compose pas simplement en somme relative + entraînement : le terme de Coriolis $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ est irréductible dès que $R^{'}$ tourne. L'oublier est l'erreur la plus fréquente.

1.5 Cas particuliers importants

1.5.1 Référentiel en translation

Proposition 1.9Translation

Si $R^{'}$ est en translation par rapport à $R$ , ses axes gardent une direction fixe : $Ω = 0$ . Alors

$v_{e} = v (O^{'}), a_{e} = a (O^{'}), a_{c} = 0 .$

La vitesse et l'accélération d'entraînement sont uniformes (identiques en tout point), égales à celles de $O^{'}$ , et l'accélération de Coriolis est nulle.

iRemarque

Une translation n'est pas nécessairement rectiligne : l'origine $O^{'}$ peut décrire une courbe quelconque (translation circulaire, par exemple une nacelle de grande roue qui reste verticale). Ce qui la caractérise, c'est que les axes ne tournent pas : $Ω = 0$ .

Figure : Translation circulaire : la nacelle d'une grande roue reste verticale. Son origine

$O^{'}$ décrit un cercle, mais les axes du référentiel de la nacelle gardent une direction fixe : $Ω = 0$ , donc $v_{e} = v (O^{'})$ , $a_{e} = a (O^{'})$ et

a_{c} = 0

, bien que la trajectoire de

O^{'}

soit courbe.

Exemple 1.10Voyageur sur un tapis roulant

Un tapis roulant d'aéroport se déplace en translation rectiligne à $v (O^{'}) = V e_{x}$ avec $V = 1, 0 m . s^{- 1}$ . Un voyageur y marche à la vitesse relative $v_{r} = u e_{x}$ , $u = 1, 5 m . s^{- 1}$ . Sa vitesse absolue est

$v_{a} = (u + V) e_{x} = 2, 5 m . s^{- 1} e_{x} .$

S'il marche à vitesse constante, $a_{r} = 0$ ; le tapis étant uniforme, $a (O^{'}) = 0$ , donc $a_{a} = 0$ : aucune accélération de Coriolis puisque $Ω = 0$ .

Transformation de Galilée.

Lorsque $R^{'}$ est en translation rectiligne uniforme à la vitesse $v_{e} = V$ constante, on obtient la loi la plus simple :

$v_{a} = v_{r} + V, a_{a} = a_{r} .$

Deux référentiels en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre mesurent la même accélération : ils sont dynamiquement équivalents (si l'un est galiléen, l'autre l'est aussi). En intégrant, et en supposant le temps absolu ( $t^{'} = t$ ), on retrouve la transformation de Galilée

$r^{'} = r - V t, t^{'} = t,$

qui traduit, sur les positions, la simple relation de Chasles $O M = O O^{'} + O^{'} M$ avec $O O^{'} = V t$ .

1.5.2 Référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe

C'est le cas le plus riche et le plus utile pour la dynamique non galiléenne. On suppose $O^{'} = O$ fixe, l'axe de rotation $O z$ fixe, et $Ω = Ω e_{z}$ constant ( $Ω ˙ = 0$ ).

Proposition 1.11Rotation uniforme

Avec $a (O^{'}) = 0$ et $Ω ˙ = 0$ , l'accélération d'entraînement se réduit au terme centripète :

$a_{e} = Ω \land (Ω \land O M) = - Ω^{2} H M,$

où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe de rotation. Elle est dirigée de $M$ vers l'axe (axipète), de norme $Ω^{2} r$ avec $r = H M$ . L'accélération de Coriolis vaut $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ .

Démonstration (Démonstration du terme centripète)

En notant $O M = O H + H M$ avec $O H$ parallèle à $Ω$ , on a $Ω \land O M = Ω \land H M$ (le terme axial disparaît). Puis $Ω \land (Ω \land H M)$ : par la formule du double produit vectoriel $a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ , avec $Ω \cdot H M = 0$ , il reste $- Ω^{2} H M$ .

Exemple 1.12Bille lancée sur un disque tournant

Un disque horizontal tourne à $Ω$ constant dans le référentiel du sol. Une bille, lancée de son centre à la vitesse $v_{0}$ , glisse sans frottement sur le disque : aucune force horizontale ne s'exerce sur elle, et sa projection horizontale décrit dans le sol une droite à vitesse constante, $v_{a} = v_{0} e_{r}$ , $a_{a} = 0$ . Dans le référentiel $R^{'}$ du disque, à la distance $r = v_{0} t$ du centre :

$v_{r} = v_{a} - v_{e} = v_{0} e_{r} - Ω r e_{θ}, a_{e} = - Ω^{2} r e_{r},$

$a_{c} = 2 Ω e_{z} \land v_{r} = 2 Ω v_{0} e_{θ} + 2 Ω^{2} r e_{r},$

d'où $a_{r} = a_{a} - a_{e} - a_{c} = - Ω^{2} r e_{r} - 2 Ω v_{0} e_{θ}$ . La composante orthoradiale de $a_{r}$ est opposée au sens de rotation : vue du disque, la trajectoire s'incurve dans le sens opposé à la rotation (c'est la spirale d'Archimède $r = - (v_{0} /Ω) θ^{'}$ ). L'accélération de Coriolis, elle, pointe dans le sens de la rotation : c'est son opposé qui figure dans $a_{r}$ . Une bille guidée par une rainure radiale garderait au contraire une trajectoire relative rectiligne, la rainure exerçant une force latérale (exercices résolus) ; on interprétera ces effets au chapitre suivant par la force d'inertie de Coriolis.

Figure : Une bille lancée du centre d'un disque tournant, à vitesse constante dans le sol.

Dans $R$ (à gauche), la trajectoire est rectiligne. Pour l'observateur du disque $R^{'}$ (à droite), elle s'incurve dans le sens opposé à la rotation : c'est la

manifestation cinématique de l'accélération de Coriolis.

1.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Vocabulaire. $R$ absolu (« fixe »), $R^{'}$ relatif (mobile). Grandeurs relatives = dans $R^{'}$ , absolues = dans $R$ . Le point coïncident $P$ est fixe dans $R^{'}$ et superposé à $M$ à l'instant $t$ .

Vecteur rotation $Ω_{R^{'} / R}$ : direction = axe, norme = vitesse angulaire ( $r a d . s^{- 1}$ ).

Formule de Bour : $\frac{d A}{d t}_{R} = \frac{d A}{d t}_{R^{'}} + Ω \land A$ .

Composition des vitesses : $v_{a} = v_{r} + v_{e}$ , avec $v_{e} = v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M$ .

Composition des accélérations : $a_{a} = a_{r} + a_{e} + a_{c}$ , avec

$a_{e} = a (O^{'}) + Ω ˙ \land O^{'} M + Ω \land (Ω \land O^{'} M), a_{c} = 2 Ω \land v_{r},$

le terme en $Ω ˙$ , hors programme, étant nul dans les deux cas étudiés.

Translation ( $Ω = 0$ ) : $v_{e} = v (O^{'})$ , $a_{e} = a (O^{'})$ , $a_{c} = 0$ . Cas rectiligne uniforme $\Rightarrow$ transformation de Galilée, $a_{a} = a_{r}$ .

Rotation uniforme autour d'un axe fixe : $a_{e} = - Ω^{2} H M$ (centripète, norme $Ω^{2} r$ ), $a_{c} = 2 Ω \land v_{r}$ (orthogonale à $v_{r}$ et $Ω$ ).

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