Dynamique du point : les lois de Newton

Cours · mécanique (MP2I), chapitre 2 · CPGE MP2I (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un pendule simple : le poids et la tension du fil s'exercent sur la masse.

Le chapitre précédent décrivait le mouvement ; celui-ci l'explique. La dynamique relie le mouvement d'un point à ses causes — les forces qui s'exercent sur lui — à travers les trois lois énoncées par Newton en 1687. Ces lois sont le cœur de toute la mécanique du point : une fois le bilan des forces établi, la deuxième loi fournit une équation différentielle dont la résolution donne le mouvement.

On insiste ici sur deux compétences : mettre un problème en équations (choisir le référentiel, le système, faire le bilan des forces, projeter) et exploiter qualitativement une équation différentielle (vitesse limite, ordre de grandeur d'un temps caractéristique, équation adimensionnée) même lorsqu'on ne sait pas la résoudre analytiquement.

2.1 Masse et quantité de mouvement

Définition 2.1Masse et conservation

La masse $m$ mesure l'inertie d'un système, c'est-à-dire sa résistance à toute variation de vitesse. Pour un système fermé (qui n'échange pas de matière avec l'extérieur), la masse se conserve.

Définition 2.2Quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un point matériel de masse $m$ et de vitesse $v$ dans un référentiel $R$ est

$p = m v .$

Pour un système de points ${M_{i}}$ de masses $m_{i}$ , la quantité de mouvement totale est $p = \sum_{i} m_{i} v_{i}$ .

Proposition 2.3Lien avec le centre de masse

Le centre de masse $G$ d'un système de masse totale $m = \sum_{i} m_{i}$ est défini par $m O G = \sum_{i} m_{i} O M_{i}$ . En dérivant par rapport au temps,

$p = m v_{G}$

La quantité de mouvement d'un système est celle d'un point fictif $G$ portant toute la masse.

Démonstration (Cas de deux points)

Pour deux points, $m O G = m_{1} O M_{1} + m_{2} O M_{2}$ avec $m = m_{1} + m_{2}$ . En dérivant, $m v_{G} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = p_{1} + p_{2} = p$ . La quantité de mouvement totale est donc bien $m v_{G}$ .

2.2 Les trois lois de Newton

2.2.1 Première loi : le principe d'inertie

Définition 2.4Référentiel galiléen

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : tout point matériel isolé (soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (forces se compensant) est animé d'un mouvement rectiligne uniforme, c'est-à-dire $v = cte$ .

Exercices du chapitre

La barque et le pêcheur corrigé
Le pendule accéléromètre corrigé
Le train de wagons et la corde lourde corrigé
Le virage relevé corrigé
Pourquoi les astronautes flottent corrigé
Pourquoi la souris survit corrigé

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