Mouvement dans un champ de gravitation newtonien

Cours complet · mécanique (MP2I), chapitre 7 · CPGE MP2I (1re année)

Le mouvement des planètes, des comètes et des satellites relève d'une même classe : les forces centrales conservatives, dont la plus célèbre est l'attraction newtonienne en $1/ r^{2}$ . Deux conservations gouvernent ces mouvements : le moment cinétique (vu au chapitre 6, il impose un mouvement plan et la loi des aires) et l'énergie mécanique (qui, via l'énergie potentielle effective, ramène l'étude à un problème à une dimension).

On en déduira les lois de Kepler, l'étude du mouvement circulaire, l'énergie des orbites et l'application aux satellites terrestres (en particulier le satellite géostationnaire).

ImportantPérimètre MP2I

Au programme MP2I, l'étude quantitative se limite à la gravitation newtonienne et à l'orbite circulaire ; le caractère elliptique des trajectoires liées est affirmé sans démonstration. L'étude générale de la force centrale conservative et l'énergie potentielle effective (présentées ci-après) constituent un complément hors-programme MP2I, utile pour la culture et la deuxième année.

7.1 Force centrale : conservation du moment cinétique

Définition 7.1Force centrale

Une force est centrale de centre $O$ si sa droite d'action passe constamment par $O$ : $F = F (r) e_{r}$ en coordonnées polaires de pôle $O$ .

◆Théorème 7.2Mouvement plan et loi des aires

Pour une force centrale, $M_{O} (F) = O M \land F = 0$ ; le TMC donne donc $L_{O} = cte$ . Il en résulte :

le mouvement est plan (dans le plan perpendiculaire à $L_{O}$ contenant $O$ ) ;
en polaires, $L_{O} = m r^{2} θ ˙ e_{z}$ , donc

$r^{2} θ ˙ = C = cte (constante des aires) .$

La vitesse aréolaire (aire balayée par unité de temps) vaut $C /2$ : c'est la loi des aires (deuxième loi de Kepler).

7.2 Force centrale conservative : énergie potentielle effective

Si la force centrale est conservative, elle dérive d'une énergie potentielle $E_{p} (r)$ et l'énergie mécanique se conserve. En polaires, la vitesse a pour carré $v^{2} = r ˙^{2} + r^{2} θ ˙^{2}$ , d'où

$E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + \frac{1}{2} m r^{2} θ ˙^{2} + E_{p} (r) .$

En utilisant $r^{2} θ ˙ = C$ (donc $r^{2} θ ˙^{2} = C^{2} / r^{2}$ ) :

Définition 7.3Énergie potentielle effective

$E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p}^{eff} (r), E_{p}^{eff} (r) = E_{p} (r) + \frac{m C ^{2}}{2 r ^{2}}$

Le terme $\frac{m C ^{2}}{2 r ^{2}}$ (barrière centrifuge) résume l'effet de la rotation. Le mouvement radial se ramène alors à un problème à une dimension (chapitre 3), dans le potentiel effectif $E_{p}^{eff}$ .

Méthode : Lecture du potentiel effectif

Comme $\frac{1}{2} m r ˙^{2} = E_{m} - E_{p}^{eff} (r) \geq 0$ , le mouvement radial est possible là où $E_{p}^{eff} (r) \leq E_{m}$ . On lit donc sur le graphe de $E_{p}^{eff}$ :

un état lié (trajectoire bornée entre $r_{m i n}$ et $r_{m a x}$ ) si la région accessible est bornée : le point oscille en $r$ tout en tournant (orbite fermée pour le cas newtonien) ;
un état de diffusion (trajectoire non bornée, $r$ peut tendre vers l'infini) sinon.

7.3 Le champ newtonien

Définition 7.4Champ newtonien

Un champ newtonien attractif est de la forme $F = - \frac{k}{r ^{2}} e_{r}$ avec $k > 0$ , d'énergie potentielle $E_{p} (r) = - \frac{k}{r}$ . Pour la gravitation, $k = G m M$ (attraction d'un astre de masse $M$ sur un point de masse $m$ ).

◆Théorème 7.5Lois de Kepler

Pour les planètes (et, transposé, pour les satellites terrestres) :

Loi des orbites : les trajectoires sont des ellipses dont l'astre attracteur occupe un foyer.
Loi des aires : le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux ( $r^{2} θ ˙ = C$ ).
Loi des périodes : $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M}$ , où $a$ est le demi-grand axe (établie ici pour le cercle, admise pour l'ellipse).

7.3.1 Cas du mouvement circulaire

Méthode : Orbite circulaire

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ , l'attraction fournit l'accélération centripète : $\frac{G m M}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ . On en tire :

$v = \frac{G M}{r} (vitesse constante : mouvement uniforme), T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{G M} .$

Élevée au carré, la dernière relation donne $\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M}$ : la troisième loi de Kepler (ici $a = r$ ).

Proposition 7.6Énergie des orbites

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ :

$E_{c} = \frac{G m M}{2 r}, E_{p} = - \frac{G m M}{r}, E_{m} = E_{c} + E_{p} = - \frac{G m M}{2 r} = - E_{c} .$

Pour une orbite elliptique de demi-grand axe $a$ (résultat admis) :

$E_{m} = - \frac{G m M}{2 a}$

L'énergie mécanique d'un état lié est négative ; elle ne dépend que du demi-grand axe.

7.3.2 Satellites terrestres

Définition 7.7Satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire reste fixe au-dessus d'un point de la Terre : sa période égale la période de rotation sidérale de la Terre ( $T \approx 86164 s$ , soit $\approx 23 h 56 min$ ). Il doit nécessairement orbiter dans le plan équatorial (sinon il oscillerait en latitude), et son altitude est imposée par la troisième loi de Kepler.

iRemarque

On distingue les orbites selon la mission : les satellites de localisation et navigation (type GPS) sur orbite moyenne, les satellites météorologiques souvent géostationnaires (vue fixe d'une région) ou en orbite polaire (balayage global), les satellites d'observation en orbite basse.

Capacité numérique : Trajectoire dans un champ de force centrale

On intègre numériquement le mouvement sous attraction newtonienne $a = - \frac{G M}{r ^{2}} e_{r}$ et on trace la trajectoire (une ellipse).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

GM = 3.99e14          # G * M_Terre (SI)
x, y = 7.0e6, 0.0     # position initiale (m)
vx, vy = 0.0, 9.0e3   # vitesse initiale, perpendiculaire au rayon (m/s)
dt = 1.0
X, Y = [x], [y]
for _ in range(40000):
    r = np.hypot(x, y)
    ax = -GM * x / r**3       # a = -GM/r^2 porte par le vecteur radial
    ay = -GM * y / r**3
    vx, vy = vx + ax * dt, vy + ay * dt
    x, y = x + vx * dt, y + vy * dt
    X.append(x); Y.append(y)

plt.plot(X, Y); plt.plot(0, 0, "o")   # 0 = centre attracteur (un foyer)
plt.axis("equal"); plt.show()

On obtient une orbite fermée (ellipse) ; selon la vitesse initiale, l'orbite est plus ou moins excentrique, voire ouverte (état de diffusion) si la vitesse dépasse la vitesse de libération.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>7.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Loi des aires d'une comète (

⋆

)

Une comète est trois fois plus proche du Soleil au périhélie qu'à l'aphélie. Comparer ses vitesses en ces deux points.

Démonstration

Aux apsides, la vitesse est orthoradiale, donc $C = r v$ . La conservation $r v = cte$ donne $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ . Avec $r_{a} = 3 r_{p}$ : $v_{p} = \frac{r _{a}}{r _{p}} v_{a} = 3 v_{a}$ . La comète va trois fois plus vite au périhélie.

Exercice 2 : Vitesse d'un satellite circulaire (

⋆ ⋆

)

Un satellite orbite à l'altitude $h = 600 km$ ( $R_{T} = 6370 km$ , $G M_{T} = 3, 99 \times 1 0^{14}$ SI). Calculer sa vitesse et sa période.

Démonstration

$r = R_{T} + h = 6, 97 \times 1 0^{6} m$ . $v = G M_{T} / r = 3, 99 \times 1 0^{14} /6, 97 \times 1 0^{6} \approx 7, 6 \times 1 0^{3} m / s$ . La période $T = 2 π r / v \approx 5, 8 \times 1 0^{3} s \approx 96 min$ : une orbite basse en environ une heure et demie.

Exercice 3 : Troisième loi de Kepler (

⋆ ⋆

)

La Lune orbite à $3, 84 \times 1 0^{8} m$ en $27, 3 j$ . En déduire la masse de la Terre.

Démonstration

$\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}}$ donne $M_{T} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$ . Avec $T = 27, 3 \times 86400 \approx 2, 36 \times 1 0^{6} s$ et $r^{3} = 5, 66 \times 1 0^{25}$ : $M_{T} = \frac{4 π ^{2} \times 5 , 66 \times 1 0 ^{25}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times ( 2 , 36 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} \approx 6, 0 \times 1 0^{24} kg$ .

Exercice 4 : Altitude géostationnaire (

⋆ ⋆

)

Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire ( $T = 86164 s$ , $G M_{T} = 3, 99 \times 1 0^{14}$ SI, $R_{T} = 6370 km$ ).

Démonstration

De $T^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G M _{T}}$ on tire $r = (\frac{G M _{T} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$ . Numériquement, $r = (\frac{3 , 99 \times 1 0 ^{14} \times ( 86164 ) ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} \approx 4, 22 \times 1 0^{7} m$ . L'altitude est $h = r - R_{T} \approx 4, 22 \times 1 0^{7} - 6, 37 \times 1 0^{6} \approx 3, 58 \times 1 0^{7} m \approx 35800 km$ .

Exercice 5 : Énergie de mise en orbite (

⋆ ⋆

)

Quelle énergie faut-il fournir à un satellite de masse $m$ , initialement au repos à la surface (rayon $R_{T}$ ), pour le placer en orbite circulaire de rayon $r$ ? (On néglige la rotation terrestre.)

Démonstration

Énergie initiale (au sol, au repos) : $E_{m}^{i} = - \frac{G m M _{T}}{R _{T}}$ . Énergie finale (orbite circulaire) : $E_{m}^{f} = - \frac{G m M _{T}}{2 r}$ . L'énergie à fournir est

$Δ E_{m} = G m M_{T} (\frac{1}{R _{T}} - \frac{1}{2 r}) .$

Exercice 6 : Vitesse de libération (

⋆ ⋆

)

Relier la vitesse de libération $v_{lib}$ à la vitesse $v_{c}$ d'une orbite circulaire de même rayon.

Démonstration

$v_{c} = G M / r$ et $v_{lib} = 2 G M / r$ (chapitre 3). Donc $v_{lib} = 2 v_{c}$ : il faut multiplier la vitesse orbitale par $2$ pour s'échapper (l'énergie passe de $- E_{c}$ à $0$ ).

Exercice 7 : Bornes du mouvement radial (

⋆ ⋆

)

À partir de $E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p}^{eff} (r)$ , expliquer comment se déterminent $r_{m i n}$ et $r_{m a x}$ d'un état lié.

Démonstration

Les bornes radiales correspondent à $r ˙ = 0$ , soit $E_{p}^{eff} (r) = E_{m}$ . Cette équation a deux solutions $r_{m i n}$ et $r_{m a x}$ pour un état lié ( $E_{m}$ sous le bord du puits effectif) : le point oscille entre ces deux rayons tout en tournant, décrivant une orbite bornée (une ellipse dans le cas newtonien). Si $E_{m} \geq 0$ , une seule borne $r_{m i n}$ existe : état de diffusion.

Exercice 8 : Relation de vis-viva (

⋆ ⋆ ⋆

)

Pour une orbite elliptique de demi-grand axe $a$ , établir la vitesse en un point situé à la distance $r$ de l'astre : $v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ .

Démonstration

L'énergie mécanique vaut à la fois $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G m M}{r}$ (en un point quelconque) et $E_{m} = - \frac{G m M}{2 a}$ (résultat admis pour l'ellipse). En égalant et en isolant $v^{2}$ :

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G m M}{r} - \frac{G m M}{2 a} ⟹ v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}) .$

Pour $r = a$ (orbite circulaire), on retrouve $v^{2} = G M / a$ .

7.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Force centrale : $L_{O}$ conservé $\Rightarrow$ mouvement plan et loi des aires $r^{2} θ ˙ = C$ .
(Complément hors-programme MP2I) Centrale conservative : $E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p}^{eff} (r)$ avec $E_{p}^{eff} = E_{p} (r) + \frac{m C ^{2}}{2 r ^{2}}$ (barrière centrifuge) ; problème radial à 1D. État lié ( $r$ borné) ou de diffusion.
Champ newtonien $E_{p} = - k / r$ , $k = G m M$ ; lois de Kepler (ellipses, aires, $T^{2} / a^{3} = 4 π^{2} / G M$ ).
Orbite circulaire : $v = G M / r$ , $T = 2 π r^{3} / G M$ , $E_{m} = - \frac{G m M}{2 r}$ . Ellipse : $E_{m} = - \frac{G m M}{2 a}$ .
Géostationnaire : $T = 86164 s$ , plan équatorial, altitude $\approx 36000 km$ .

7.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Vérifier l'homogénéité de $T = 2 π r^{3} / G M$ .

( $⋆$ ) Calculer la vitesse d'un satellite géostationnaire ( $r = 4, 22 \times 1 0^{7} m$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Mars orbite à $1, 52$ unité astronomique du Soleil. En déduire sa période en années (3e loi de Kepler avec la Terre comme référence).

( $⋆ ⋆$ ) Exprimer le rapport $E_{c} / E_{p}$ et $E_{m} / E_{c}$ pour une orbite circulaire (théorème du viriel sur cet exemple).

( $⋆ ⋆$ ) Un satellite passe d'une orbite circulaire de rayon $r_{1}$ à une de rayon $r_{2} > r_{1}$ . La vitesse orbitale augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? L'énergie ?

( $⋆ ⋆$ ) Tracer l'allure de $E_{p}^{eff} (r)$ pour le champ newtonien et localiser le minimum (orbite circulaire stable).

( $⋆ ⋆$ ) Déterminer la vitesse au périgée et à l'apogée d'une orbite elliptique connaissant $r_{p}$ , $r_{a}$ (conservation de $L$ et $E_{m}$ , ou vis-viva).

( $⋆ ⋆$ ) Un satellite météo en orbite polaire à $800 km$ d'altitude : calculer sa période et le nombre de passages par jour au-dessus d'un point donné (qualitatif).

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, faire varier la vitesse initiale et observer le passage d'une orbite liée (ellipse) à une trajectoire de diffusion (hyperbole) ; estimer la vitesse de transition.

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que l'énergie minimale pour qu'un objet lancé du sol échappe à la Terre correspond exactement à $E_{m} = 0$ .

( $⋆ ⋆$ ) Justifier qu'un satellite géostationnaire doit être dans le plan équatorial (et non sur une orbite inclinée de même période).

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Transfert de Hohmann : décrire qualitativement comment passer d'une orbite circulaire basse à une orbite circulaire haute via une ellipse de transfert, et où l'on doit accélérer.

7.7 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : on y retrouve la gravitation et les lois de Kepler à l'œuvre dans l'espace et l'astronomie.

Exemple 7.16Pourquoi les astronautes flottent-ils dans l'ISS ? (

⋆ ⋆

)

La Station spatiale internationale (ISS) tourne autour de la Terre sur une orbite quasi circulaire à environ $400 km$ d'altitude. À bord, les astronautes semblent flotter. Beaucoup pensent qu'il n'y a « plus de gravité » là-haut : ce problème montre qu'il n'en est rien.

La force de gravitation est-elle nulle à $400 km$ d'altitude ? Justifier en comparant le rayon de l'orbite à $R_{T}$ .
Par le PFD pour un mouvement circulaire uniforme, établir la vitesse orbitale $v$ en fonction de $G$ , $M_{T}$ , $r$ .
Calculer $v$ puis la période $T$ . Vérifier que $T \approx 90 min$ .
Pourquoi un astronaute « flotte »-t-il, alors que la gravité reste intense ?

Démonstration

1. La gravitation ne s'annule jamais à distance finie. $r = R_{T} + h = 6, 4 \times 1 0^{6} m + 4, 0 \times 1 0^{5} m \approx 6, 8 \times 1 0^{6} m$ , à peine $6 %$ de plus que $R_{T}$ : la gravité y est presque aussi forte qu'au sol.

2. L'attraction joue le rôle de force centripète : $\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ , d'où $v = \frac{G M _{T}}{r}$ (la masse de l'ISS disparaît).

3. $v = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 6 , 0 \times 1 0 ^{24}}{6 , 8 \times 1 0 ^{6}} \approx 7, 7 \times 1 0^{3} m / s$ ( $\approx 28000 km / h$ ). $T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{T}} \approx 5, 6 \times 1 0^{3} s \approx 93 min$ .

4. L'ISS et l'astronaute subissent la même accélération gravitationnelle et « tombent » ensemble : c'est une chute libre. Sans contact qui le pousse, l'astronaute ne ressent aucun poids apparent — il est en impesanteur, ce qui n'est pas une absence de gravité.

Important

Ce que ça nous apprend. Être en orbite, c'est tomber sans jamais toucher le sol : l'apesanteur ressentie dans l'ISS vient de la chute libre partagée, pas de la disparition de la gravité.

Exemple 7.17Le satellite de télévision immobile dans le ciel (

⋆ ⋆

)

Une antenne parabolique est fixée une fois pour toutes, pointée vers un point précis du ciel. Pour ne jamais perdre le signal, le satellite doit paraître parfaitement immobile : il est géostationnaire, donc sa période vaut un jour ( $T = 86400 s$ ).

Pourquoi faut-il une période d'un jour pour que le satellite semble fixe vu du sol ?
Par la 3^e loi de Kepler, exprimer le rayon $r$ de l'orbite en fonction de $G$ , $M_{T}$ , $T$ .
Calculer $r$ , puis l'altitude $h$ . Vérifier $h \approx 36000 km$ .
Quel est l'avantage décisif de cette orbite pour la télévision ?

Démonstration

1. Le sol et le satellite tournent dans le même sens autour de l'axe des pôles. Si le satellite met exactement un jour pour faire un tour, il garde la même position relative à un point du sol : vu de l'antenne, il reste figé.

2. $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}} r^{3}$ donne $r = (\frac{G M _{T} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$ .

3. $r = (\frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 6 , 0 \times 1 0 ^{24} \times ( 86400 ) ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} \approx 4, 2 \times 1 0^{7} m$ . Altitude $h = r - R_{T} \approx 3, 6 \times 1 0^{7} m = 36000 km$ .

4. Le satellite paraissant immobile, l'antenne reste fixe sans système de suivi : on l'oriente une fois et le signal est capté en permanence. Un seul satellite couvre une vaste région.

Important

Ce que ça nous apprend. Imposer une période d'un jour fixe une altitude unique ( $\approx 36000 km$ ) : l'orbite géostationnaire, qui permet de pointer une parabole une fois pour toutes vers un satellite « accroché » au ciel.

Exemple 7.18La constellation GPS : pourquoi une trentaine de satellites ? (

⋆ ⋆

)

Le GPS repose sur une trentaine de satellites en orbite circulaire à environ $20200 km$ d'altitude. Pour calculer sa position, un récepteur doit « voir » au moins quatre satellites au-dessus de l'horizon.

Calculer le rayon orbital $r$ , puis la vitesse $v$ .
En déduire la période $T$ . Vérifier qu'elle vaut environ $12 h$ .
Un satellite n'est visible qu'environ la moitié du temps. Pourquoi faut-il une trentaine de satellites pour qu'au moins quatre soient visibles partout, à tout instant ?

Démonstration

1. $r = R_{T} + h = 6, 4 \times 1 0^{6} m + 2, 02 \times 1 0^{7} m \approx 2, 66 \times 1 0^{7} m$ . Le PFD donne $v = \frac{G M _{T}}{r}$ ; avec $G M_{T} = 4, 0 \times 1 0^{14}$ (SI), $v = \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{14}}{2 , 66 \times 1 0 ^{7}} \approx 3, 9 \times 1 0^{3} m / s$ ( $\approx 14000 km / h$ ).

2. $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 2 , 66 \times 1 0 ^{7}}{3 , 9 \times 1 0 ^{3}} \approx 4, 3 \times 1 0^{4} s = \frac{43000}{3600} h \approx 12 h$ : deux tours par jour.

3. Un satellite reste au-dessus de l'horizon $\sim 6 h$ : il se lève et se couche sans cesse, et n'est visible que d'une portion du globe. Pour garantir, depuis n'importe où et à tout instant, la visibilité d'au moins quatre satellites (les quatre inconnues : trois coordonnées + le décalage d'horloge du récepteur), il faut une trentaine de satellites répartis sur six plans orbitaux.

Important

Ce que ça nous apprend. La période d'une orbite ne dépend que de son rayon : fixer $T = 12 h$ impose l'altitude GPS. Comme chaque satellite n'est visible qu'une fraction du temps, il faut toute une constellation pour couvrir la Terre en continu.

Exemple 7.19La comète de Halley : un visiteur tous les 76 ans (

⋆ ⋆ ⋆

)

La comète de Halley revient près du Soleil environ tous les 76 ans. Son orbite est une ellipse très allongée : au périhélie elle frôle le Soleil (à $0, 59$ ua), à l'aphélie elle s'aventure au-delà de Neptune. On rappelle la vis-viva $v^{2} = G M_{S} (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ , et $1$ ua $= 1, 5 \times 1 0^{11} m$ .

Convertir la période en secondes. Par la 3^e loi de Kepler, exprimer puis calculer le demi-grand axe $a$ (en mètres puis en ua).
La distance au périhélie est $r_{p} = 0, 59$ ua. En déduire $r_{a}$ et commenter l'allongement.
Par la vis-viva, calculer la vitesse $v_{p}$ au périhélie.
Calculer $v_{a}$ à l'aphélie et vérifier la cohérence avec la loi des aires.

Démonstration

1. $T = 76 \times 365, 25 \times 24 \times 3600 \approx 2, 4 \times 1 0^{9} s$ . Kepler : $a = (\frac{G M _{S} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$ . Avec $G M_{S} = 1, 33 \times 1 0^{20}$ et $T^{2} = 5, 8 \times 1 0^{18}$ : $a \approx 2, 7 \times 1 0^{12} m = \frac{2 , 7 \times 1 0 ^{12}}{1 , 5 \times 1 0 ^{11}} \approx 18 ua$ .

2. Pour une ellipse, $r_{p} + r_{a} = 2 a$ , donc $r_{a} = 2 a - r_{p} = 2 \times 18 - 0, 59 \approx 35 ua$ ( $\approx 5, 3 \times 1 0^{12} m$ ). L'orbite est très allongée (excentricité $e = \frac{r _{a} - r _{p}}{2 a} \approx 0, 97$ ).

3. Au périhélie, $r_{p} = 0, 59 \times 1, 5 \times 1 0^{11} = 8, 85 \times 1 0^{10} m$ . $v_{p}^{2} = G M_{S} (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a}) \approx 1, 33 \times 1 0^{20} \times 2, 22 \times 1 0^{- 11} = 2, 95 \times 1 0^{9}$ , d'où $v_{p} \approx 54 km / s$ .

4. À l'aphélie, $r_{a} = 5, 3 \times 1 0^{12} m$ : $v_{a}^{2} = G M_{S} (\frac{2}{r _{a}} - \frac{1}{a}) \approx 1, 33 \times 1 0^{20} \times 7 \times 1 0^{- 15} \approx 9, 3 \times 1 0^{5}$ , d'où $v_{a} \approx 0, 96 km / s$ . On a $v_{p} ≫ v_{a}$ (rapport $\approx 60$ ) : la comète file près du Soleil et rampe à l'aphélie — c'est la loi des aires.

Important

Ce que ça nous apprend. La seule période fixe le demi-grand axe (3^e loi de Kepler), indépendamment de la forme de l'ellipse. La vis-viva relie ensuite vitesse et position : rapide au périhélie, lente à l'aphélie, conformément à la conservation du moment cinétique.

Exemple 7.20Peser la Terre sans la poser sur une balance (

⋆ ⋆

)

En 1798, Cavendish mesure la constante de gravitation $G$ avec une balance de torsion. Aussitôt, connaissant $g$ et le rayon terrestre $R_{T}$ , on peut « peser » la Terre entière.

Un corps de masse $m$ au sol subit son poids $m g$ . En écrivant que c'est la force de gravitation de la Terre, établir $g = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}}$ .
En déduire $M_{T}$ en fonction de $g$ , $R_{T}$ , $G$ .
Calculer $M_{T}$ ( $g = 9, 81 m / s^{2}$ , $R_{T} = 6, 4 \times 1 0^{6} m$ , $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ ).
En déduire la masse volumique moyenne ( $V = \frac{4}{3} π R_{T}^{3}$ ) et comparer aux roches de surface ( $\approx 3, 0 \times 1 0^{3} kg / m^{3}$ ). Conclusion sur le noyau ?

Démonstration

1. La Terre (symétrie sphérique) attire comme si toute sa masse était au centre : $F = \frac{G M _{T} m}{R _{T}^{2}}$ . Le poids l'identifie : $m g = \frac{G M _{T} m}{R _{T}^{2}}$ , d'où $g = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}}$ .

2. $M_{T} = \frac{g R _{T}^{2}}{G}$ .

3. $M_{T} = \frac{9 , 81 \times ( 6 , 4 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11}} \approx 6, 0 \times 1 0^{24} kg$ .

4. $V = \frac{4}{3} π R_{T}^{3} \approx 1, 1 \times 1 0^{21} m^{3}$ , donc $ρ = \frac{M _{T}}{V} \approx 5, 5 \times 1 0^{3} kg / m^{3}$ : près de deux fois la densité des roches de surface. La Terre est donc bien plus dense au centre — un noyau métallique (fer-nickel).

Important

Ce que ça nous apprend. Une simple mesure de $g$ jointe à $G$ et $R_{T}$ « pèse » la planète : $M_{T} = g R_{T}^{2} / G$ . La densité moyenne, supérieure à celle des roches de surface, révèle l'existence d'un noyau métallique.

Exemple 7.21Comprimer le Soleil en trou noir : le rayon de Schwarzschild (

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)

Un astre devient un trou noir lorsqu'il est si compact que même la lumière ne peut s'en échapper : sa vitesse de libération atteint $c$ . Imaginons que l'on comprime le Soleil jusqu'à cette limite.

Rappeler $v_{lib}$ d'un astre de masse $M$ et rayon $R$ (conservation de l'énergie mécanique).
Écrire la condition $v_{lib} = c$ et en déduire $R_{S} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ .
Calculer $R_{S}$ pour $M_{S} = 2, 0 \times 1 0^{30} kg$ ( $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m / s$ ).
Comparer à $R_{⊙} \approx 7, 0 \times 1 0^{8} m$ . Par quel facteur comprimer le Soleil ? Commenter.

Démonstration

1. Pour atteindre l'infini avec une vitesse nulle, l'énergie mécanique est nulle : $\frac{1}{2} m v_{lib}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$ , d'où $v_{lib} = \frac{2 GM}{R}$ .

2. $v_{lib} = c$ donne $\frac{2 GM}{R _{S}} = c^{2}$ , soit $R_{S} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ .

3. $R_{S} = \frac{2 \times 6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 2 , 0 \times 1 0 ^{30}}{( 3 , 0 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} \approx 3, 0 \times 1 0^{3} m$ ( $\approx 3 km$ ).

4. $\frac{R _{⊙}}{R _{S}} = \frac{7 , 0 \times 1 0 ^{8}}{3 , 0 \times 1 0 ^{3}} \approx 2, 3 \times 1 0^{5}$ : il faudrait comprimer le Soleil d'un facteur $\sim 2 \times 1 0^{5}$ en rayon. Toute sa masse tiendrait dans une sphère de quelques km. Heureusement le Soleil n'est pas assez massif pour s'effondrer ainsi.

Important

Ce que ça nous apprend. En posant $v_{lib} = c$ dans la formule newtonienne, on retrouve $R_{S} = 2 GM / c^{2}$ . Pour le Soleil il ne vaut que $3 km$ : un trou noir concentre une masse colossale dans un volume minuscule.

Exemple 7.22Pourquoi la Lune ne tombe pas : le boulet de Newton (

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)

En 1687, Newton imagine un canon au sommet d'une montagne : plus le boulet est rapide, plus il retombe loin… jusqu'à « rater » la Terre en permanence et revenir à son point de départ — il est en orbite. La Lune, à $d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ , fait exactement cela.

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ , écrire la 2^e loi de Newton et en déduire $v = G M_{T} / r$ .
Calculer $v$ pour la Lune, puis $T = 2 π r^{3} / (G M_{T})$ . Comparer aux $27, 3$ jours observés.
Évaluer $a = v^{2} / d$ et la comparer à $g_{0} = 9, 81 m / s^{2}$ . Pourquoi est-elle si faible ?
De combien la Lune « tombe-t-elle » en $1, 0 s$ ? Montrer que cela compense la courbure de la Terre.

Démonstration

1. L'accélération centripète $v^{2} / r$ est fournie par la gravitation : $\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ , d'où $v = \frac{G M _{T}}{r}$ (la masse de la Lune disparaît).

2. $G M_{T} = 4, 0 \times 1 0^{14}$ , $r = d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ : $v = \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{14}}{3 , 84 \times 1 0 ^{8}} \approx 1, 0 \times 1 0^{3} m / s$ . $T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{T}} \approx 2, 4 \times 1 0^{6} s \div 86400 \approx 28 jours$ , en accord avec les $27, 3$ jours.

3. $a = \frac{v ^{2}}{d} = \frac{( 1 , 0 \times 1 0 ^{3} ) ^{2}}{3 , 84 \times 1 0 ^{8}} \approx 2, 7 \times 1 0^{- 3} m / s^{2}$ , soit $g_{0} /3600$ : cohérent avec la décroissance en $1/ r^{2}$ (la Lune est à $\approx 60 R_{T}$ , et $6 0^{2} = 3600$ ).

4. En $1, 0 s$ , la chute vaut $\frac{1}{2} a Δ t^{2} \approx 1, 4 \times 1 0^{- 3} m$ ( $\approx 1, 4 mm$ ). Pendant ce temps la Lune avance de $v Δ t \approx 1, 0 km$ ; la Terre se « dérobe » par sa courbure d'exactement ces $1, 4 mm$ : la Lune tombe sans jamais se rapprocher.

Important

Ce que ça nous apprend. Une orbite est une chute libre qui « rate » sans cesse l'astre central : la même force qui fait tomber une pomme retient la Lune. La gravitation de Newton unifie ciel et Terre.

Exemple 7.23L'assistance gravitationnelle : voler la vitesse d'une planète (

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)

Lancées en 1977, les sondes Voyager n'avaient pas assez de carburant pour les planètes lointaines. Les ingénieurs ont utilisé une « fronde gravitationnelle » : en frôlant Jupiter (qui se déplace à $\approx 1, 3 \times 1 0^{4} m / s$ ), la sonde en ressort beaucoup plus rapide dans le référentiel du Soleil, sans carburant.

Dans le référentiel de la planète (galiléen approché), l'interaction est conservative. Que dire de la norme de la vitesse de la sonde avant et après le survol ?
Survol « frontal idéal » : dans le référentiel de la planète, la sonde arrive à $u$ et repart à $- u$ . La planète a la vitesse $V$ dans le référentiel du Soleil. Exprimer la vitesse de la sonde après survol dans le référentiel du Soleil.
En déduire le gain $Δ v$ et montrer qu'il vaut au mieux $\approx 2 V$ .
Avec $V = 1, 3 \times 1 0^{4} m / s$ , estimer $Δ v$ . Commenter (vitesse typique de sonde $\approx 1, 0 \times 1 0^{4} m / s$ ).
Qui « paie » cette énergie ? Justifier par la conservation de la quantité de mouvement.

Démonstration

1. Dans le référentiel de la planète, le champ est central conservatif et l'énergie potentielle est négligeable loin de la planète : la vitesse a la même norme à l'arrivée et au départ, $u_{out} = u_{in} = u$ . Seule la direction change (choc « élastique » sur la planète).

2. Composition des vitesses $v = u + V$ . En frontal idéal, $u_{in} = - u$ et $u_{out} = + u$ : $v_{out} = u + V$ , $v_{in} = - u + V$ .

3. $Δ v = v_{out} - v_{in} = (u + V) - (u - V)$ , soit $Δ v = 2 V$ , indépendant de $u$ : c'est le rebond sur une « paroi » qui avance à $V$ .

4. $Δ v_{m a x} = 2 V = 2, 6 \times 1 0^{4} m / s$ : plus du double d'une vitesse typique de sonde — d'où l'enchaînement Jupiter–Saturne–Uranus–Neptune de Voyager 2. En pratique le survol n'est pas frontal, le gain réel est plus modeste mais du même ordre.

5. L'énergie est prélevée sur le mouvement orbital de la planète : le système sonde + planète conserve sa quantité de mouvement, donc la planète ralentit très légèrement. Sa masse ( $\sim 1 0^{27} kg$ ) écrasant celle de la sonde ( $\sim 1 0^{3} kg$ ), son ralentissement est imperceptible.

Important

Ce que ça nous apprend. L'assistance gravitationnelle ne crée pas d'énergie : elle en transfère du mouvement de la planète vers la sonde. Changer de référentiel transforme un demi-tour « gratuit » en gain spectaculaire de vitesse.

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