Mouvement dans un champ de gravitation newtonien

Cours · mécanique (MP2I), chapitre 7 · CPGE MP2I (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les lois de Kepler : l'orbite est une ellipse dont l'astre occupe un foyer, et le rayon balaie des aires égales en des temps égaux.

Le mouvement des planètes, des comètes et des satellites relève d'une même classe : les forces centrales conservatives, dont la plus célèbre est l'attraction newtonienne en $1/ r^{2}$ . Deux conservations gouvernent ces mouvements : le moment cinétique (vu au chapitre 6, il impose un mouvement plan et la loi des aires) et l'énergie mécanique (qui, via l'énergie potentielle effective, ramène l'étude à un problème à une dimension).

On en déduira les lois de Kepler, l'étude du mouvement circulaire, l'énergie des orbites et l'application aux satellites terrestres (en particulier le satellite géostationnaire).

ImportantPérimètre MP2I

Au programme de MP2I, la force centrale étudiée est la gravitation newtonienne. La conservation du moment cinétique et la loi des aires, l'énergie potentielle effective et la distinction entre état lié et état de diffusion sont au programme ; l'étude quantitative se poursuit dans le cas de l'orbite circulaire. Le caractère elliptique des trajectoires liées est affirmé sans étude géométrique de l'ellipse : on exprime seulement, à l'aide des constantes du mouvement, l'énergie d'une trajectoire elliptique en fonction de son demi-grand axe. Les résultats énoncés ci-après pour une force centrale conservative quelconque s'appliquent ici au seul champ newtonien.

7.1 Force centrale : conservation du moment cinétique

Définition 7.1Force centrale

Une force est centrale de centre $O$ si sa droite d'action passe constamment par $O$ : $F = F (r) e_{r}$ en coordonnées polaires de pôle $O$ .

◆Théorème 7.2Mouvement plan et loi des aires

Pour une force centrale, $M_{O} (F) = O M \land F = 0$ ; le TMC donne donc $L_{O} = cte$ . Il en résulte :

le mouvement est plan (dans le plan perpendiculaire à $L_{O}$ contenant $O$ ) ;
en polaires, $L_{O} = m r^{2} θ ˙ e_{z}$ , donc

$r^{2} θ ˙ = C = cte (constante des aires) .$

La vitesse aréolaire (aire balayée par unité de temps) vaut $C /2$ : c'est la loi des aires (deuxième loi de Kepler).

7.2 Force centrale conservative : énergie potentielle effective

Si la force centrale est conservative, elle dérive d'une énergie potentielle $E_{p} (r)$ et l'énergie mécanique se conserve. En polaires, la vitesse a pour carré $v^{2} = r ˙^{2} + r^{2} θ ˙^{2}$ , d'où

Exercices du chapitre

Pourquoi l'hiver boréal est plus court que l'été corrigé
Trajectoires numériques en force centrale corrigé
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