Moment cinétique

Cours complet · mécanique (PCSI), chapitre 6 · CPGE PCSI (1re année)

Pour décrire les mouvements de rotation, la quantité de mouvement ne suffit pas : il faut une grandeur qui rende compte de la « quantité de rotation » autour d'un point ou d'un axe. C'est le moment cinétique. Associé au moment d'une force, il conduit à un nouveau théorème — le théorème du moment cinétique — particulièrement commode lorsqu'une force passe par un point fixe (sa contribution est alors nulle) : c'est le cas de la tension d'un pendule ou d'une force centrale.

Ce chapitre ouvre le second semestre : il prépare l'étude des forces centrales (chapitre 7) et celle du solide en rotation (chapitre 8).

6.1 Moment cinétique d'un point matériel

Définition 6.1Moment cinétique en un point

Le moment cinétique en un point $O$ d'un point matériel $M$ de quantité de mouvement $p = m v$ est

$L_{O} = O M \land p = O M \land m v (kg m^{2} / s) .$

Il est perpendiculaire au plan contenant $O M$ et $v$ ; son sens est donné par la règle de la main droite et sa norme $L_{O} = m O M v sin α$ , où $α$ est l'angle entre $O M$ et $v$ .

Définition 6.2Moment cinétique par rapport à un axe orienté

Soit un axe $Δ$ orienté par un vecteur unitaire $u$ et passant par $O$ . Le moment cinétique scalaire par rapport à $Δ$ est la projection

$L_{Δ} = L_{O} \cdot u .$

C'est une grandeur algébrique (signe selon le sens de rotation par rapport à l'orientation de $Δ$ ), indépendante du point $O$ choisi sur l'axe. Pour un système de points, $L_{Δ} = \sum_{i} L_{Δ, i}$ (somme algébrique).

6.2 Moment d'une force

Définition 6.3Moment d'une force

Le moment en $O$ d'une force $F$ appliquée en un point $A$ est

$M_{O} (F) = O A \land F (Nm) .$

Son moment par rapport à un axe orienté $Δ$ est la projection $M_{Δ} (F) = M_{O} (F) \cdot u$ .

Méthode : Bras de levier

Pour calculer $M_{Δ}$ , on peut utiliser le bras de levier $d$ : la distance entre l'axe $Δ$ et la droite d'action de la force. Alors

$M_{Δ} (F) = \pm F d$

le signe étant $+$ si la force tend à faire tourner dans le sens positif de $Δ$ , $-$ sinon. Une force dont la droite d'action coupe l'axe a un bras de levier nul, donc un moment nul.

6.3 Le théorème du moment cinétique

◆Théorème 6.4Théorème du moment cinétique (TMC)

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel et un point fixe $O$ :

$\frac{d L _{O}}{d t} = M_{O} (\sum F) = \sum M_{O} (F)$

La projection sur un axe fixe $Δ$ donne la version scalaire : $\frac{d L _{Δ}}{d t} = M_{Δ} (\sum F)$ .

Démonstration

En dérivant $L_{O} = O M \land m v$ ( $O$ fixe) :

$\frac{d L _{O}}{d t} = = 0 v \land m v + O M \land m a = O M \land (\sum F) = \sum M_{O} (F),$

en utilisant le PFD $m a = \sum F$ et $v \land v = 0$ .

ImportantConservation du moment cinétique

Si le moment résultant des forces est nul ( $\sum M_{O} = 0$ ), alors $L_{O}$ est constant. C'est notamment le cas :

d'un point isolé ou pseudo-isolé ;
d'un point soumis à une force centrale (droite d'action passant constamment par $O$ ) : son moment en $O$ est nul $\Rightarrow$ $L_{O}$ conservé (base de l'étude des forces centrales, chapitre 7) ;
par rapport à un axe : si toutes les forces ont un moment nul par rapport à $Δ$ (droites d'action coupant ou parallèles à l'axe), $L_{Δ}$ se conserve.

6.4 Application : le pendule simple par le TMC

Méthode

Pour le pendule simple (masse $m$ , fil de longueur $ℓ$ , angle $θ$ ), on applique le TMC scalaire par rapport à l'axe $Δ$ horizontal passant par le point de suspension $O$ . La tension a une droite d'action passant par $O$ : son moment est nul. Seul le poids contribue, avec un bras de levier $ℓ sin θ$ :

$L_{Δ} = m ℓ^{2} θ ˙, M_{Δ} (poids) = - m g ℓ sin θ,$

et le TMC $\frac{d L _{Δ}}{d t} = M_{Δ}$ donne directement

$m ℓ^{2} θ ¨ = - m g ℓ sin θ ⟹ θ ¨ + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0.$

On retrouve l'équation du chapitre 2, mais sans projeter de force inconnue : le TMC élimine d'emblée la tension.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Moment cinétique d'un mouvement rectiligne (

⋆

)

Un point se déplace en ligne droite à vitesse constante $v$ . Montrer que son moment cinétique en un point fixe $O$ (hors de la trajectoire) est constant.

Démonstration

$L_{O} = O M \land m v$ . Sa norme $m O M v sin α = m v d$ où $d = O M sin α$ est la distance (constante) de $O$ à la droite : $L_{O}$ est constant. On peut aussi invoquer le TMC : le point étant isolé, $\sum M_{O} = 0$ , donc $L_{O}$ se conserve.

Exercice 2 : Moment et bras de levier (

⋆

)

On pousse une porte (largeur $0, 9 m$ ) avec une force de $20 N$ perpendiculaire au battant, appliquée au bord. Calculer le moment par rapport à l'axe des gonds. Que devient-il si on pousse au milieu ?

Démonstration

Le bras de levier est la distance des gonds au point d'application : $d = 0, 9 m$ . $M_{Δ} = F d = 20 \times 0, 9 = 18 Nm$ . Au milieu, $d = 0, 45 m$ et $M_{Δ} = 9 Nm$ : deux fois moindre. C'est pourquoi on pousse une porte le plus loin possible des gonds.

Exercice 3 : Moment cinétique d'un mouvement circulaire (

⋆ ⋆

)

Un point décrit un cercle de rayon $R$ à la vitesse angulaire $ω = θ ˙$ . Calculer son moment cinétique par rapport à l'axe $Δ$ du cercle.

Démonstration

La vitesse $v = R ω e_{θ}$ est orthoradiale, $O M = R e_{r}$ (dans le plan). $L_{O} = R e_{r} \land m R ω e_{θ} = m R^{2} ω e_{z}$ , donc

$L_{Δ} = m R^{2} ω .$

La quantité $m R^{2}$ joue le rôle d'un « moment d'inertie » du point (chapitre 8).

Exercice 4 : Pendule par le TMC (

⋆ ⋆

)

Retrouver l'équation du pendule simple par le théorème du moment cinétique, en justifiant l'absence de la tension.

Démonstration

Voir la méthode ci-dessus : la tension passe par l'axe $Δ$ (point de suspension $O$ ), son bras de levier est nul, son moment aussi. Le poids a pour moment $- m g ℓ sin θ$ . Avec $L_{Δ} = m ℓ^{2} θ ˙$ , le TMC donne $m ℓ^{2} θ ¨ = - m g ℓ sin θ$ , soit $θ ¨ + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0$ .

Exercice 5 : Masse tirée par un fil (

⋆ ⋆

)

Une masse glisse sans frottement sur une table horizontale, retenue par un fil qui passe par un trou central. On tire le fil pour réduire le rayon de $r_{1}$ à $r_{2}$ . La masse tournait à $ω_{1}$ ; déterminer $ω_{2}$ .

Démonstration

La tension du fil est centrale (dirigée vers le trou) : son moment par rapport à l'axe vertical passant par le trou est nul. Le moment cinétique $L_{Δ} = m r^{2} ω$ se conserve donc :

$m r_{1}^{2} ω_{1} = m r_{2}^{2} ω_{2} ⟹ ω_{2} = ω_{1} (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2} .$

En réduisant le rayon, la masse accélère sa rotation (effet « patineur qui ramène les bras »).

Exercice 6 : Force centrale et loi des aires (

⋆ ⋆

)

Montrer qu'un point soumis à une force centrale (dirigée vers un point fixe $O$ ) a un mouvement plan et que $r^{2} θ ˙$ est constant.

Démonstration

La force étant centrale, $M_{O} = O M \land F = 0$ , donc $L_{O}$ est constant. Comme $L_{O} = O M \land m v$ est perpendiculaire à $O M$ et $v$ , ces deux vecteurs restent dans le plan fixe perpendiculaire à $L_{O}$ : le mouvement est plan. En polaires, $L_{O} = m r^{2} θ ˙ e_{z}$ , donc $r^{2} θ ˙ = cte$ : c'est la loi des aires (revue au chapitre 7).

Exercice 7 : Équilibre d'un levier (

⋆ ⋆

)

Un levier (barre) peut tourner autour d'un axe $Δ$ . Une force $F_{1}$ s'exerce à la distance $d_{1}$ d'un côté, une force $F_{2}$ à la distance $d_{2}$ de l'autre. Donner la condition d'équilibre.

Démonstration

À l'équilibre, le moment cinétique est nul et constant, donc le moment résultant est nul : $F_{1} d_{1} - F_{2} d_{2} = 0$ , soit $F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}$ (loi du levier d'Archimède). Une petite force à grand bras de levier équilibre une grande force à petit bras de levier.

Exercice 8 : Vitesse au point bas d'un pendule (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un pendule de longueur $ℓ$ est lâché sans vitesse depuis l'horizontale ( $θ_{0} = π /2$ ). Déterminer sa vitesse angulaire au point bas, par une intégrale première issue du TMC.

Démonstration

Le TMC donne $θ ¨ = - \frac{g}{ℓ} sin θ$ . En multipliant par $θ ˙$ et en intégrant, on obtient l'intégrale première $\frac{1}{2} θ ˙^{2} = \frac{g}{ℓ} cos θ + cte$ . Avec $θ ˙ = 0$ en $θ_{0} = π /2$ ( $cos θ_{0} = 0$ ), la constante est nulle. Au point bas ( $θ = 0$ ) : $\frac{1}{2} θ ˙^{2} = g / ℓ$ , soit $θ ˙ = 2 g / ℓ$ et la vitesse $v = ℓ θ ˙ = 2 g ℓ$ (cohérent avec $v = 2 g h$ , $h = ℓ$ ).

6.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Moment cinétique : $L_{O} = O M \land m v$ ; par rapport à un axe, $L_{Δ} = L_{O} \cdot u$ (algébrique).
Moment d'une force : $M_{O} (F) = O A \land F$ ; par le bras de levier $M_{Δ} = \pm F d$ ; moment nul si la droite d'action coupe l'axe.
TMC (point fixe, référentiel galiléen) : $\frac{d L _{O}}{d t} = \sum M_{O} (F)$ .
Conservation de $L_{O}$ si $\sum M_{O} = 0$ : point isolé, force centrale (moment nul), ou moments nuls par rapport à un axe.
Pendule par le TMC : la tension (passant par l'axe) a un moment nul, d'où $θ ¨ + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0$ sans calcul de la tension.

6.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un satellite de masse $m$ décrit un cercle de rayon $r$ à la vitesse $v$ . Donner la norme de son moment cinétique par rapport au centre.

( $⋆$ ) Une force de $50 N$ est appliquée à $30 cm$ d'un axe, en faisant un angle de $3 0^{\circ}$ avec le bras. Calculer le moment (penser au bras de levier effectif $d sin θ$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Démontrer que $L_{Δ}$ ne dépend pas du point $O$ choisi sur l'axe $Δ$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un point subit deux forces concourantes (droites d'action se coupant en un point $P$ ). Montrer que leur moment résultant en $P$ est nul.

( $⋆ ⋆$ ) Pendule pesant simplifié : reprendre le TMC mais avec un frottement de moment $- λ θ ˙$ . Écrire l'équation et identifier le type d'oscillateur (chapitre 4).

( $⋆ ⋆$ ) Une comète passe au plus près du Soleil (périhélie) puis s'éloigne. Comparer ses vitesses au périhélie et à l'aphélie via la conservation du moment cinétique.

( $⋆ ⋆$ ) Un enfant sur un manège tient une masse à bout de bras. Le manège tourne librement ; l'enfant ramène la masse vers l'axe. Qu'arrive-t-il à la vitesse de rotation ? Justifier.

( $⋆ ⋆$ ) Établir l'expression vectorielle $L_{O} = m r^{2} θ ˙ e_{z}$ pour un mouvement plan repéré en polaires.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Pendule lâché depuis un angle $θ_{0}$ quelconque : établir l'intégrale première $θ ˙^{2} = \frac{2 g}{ℓ} (cos θ - cos θ_{0})$ et en déduire la vitesse au point bas.

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que pour une force centrale, l'aire balayée par le rayon vecteur par unité de temps (vitesse aréolaire) est constante et vaut $\frac{1}{2} r^{2} θ ˙$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un point matériel est soumis à une force toujours dirigée selon l'axe $Δ$ (parallèle à $u$ ). Montrer que $L_{Δ}$ se conserve.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Deux masses identiques reliées par une tige rigide tournent autour de leur milieu. Exprimer le moment cinétique du système par rapport à l'axe et le relier à un moment d'inertie (anticipation du chapitre 8).

6.8 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : on y retrouve le moment cinétique et son théorème à l'œuvre dans la vie courante.

Exemple 6.13La patineuse qui s'emballe (

⋆ ⋆

)

À l'entraînement, une patineuse termine sa chorégraphie par une pirouette. Bras tendus en croix, elle amorce sa rotation, puis ramène brusquement les bras le long du corps : sa vitesse de rotation augmente nettement, sans qu'aucune force horizontale ne l'ait poussée. Le frottement du patin sur la glace est négligeable, et le poids comme la réaction de la glace sont verticaux (selon l'axe de rotation). On donne $J_{1} = 4, 8 kg m^{2}$ (bras tendus), $J_{2} = 1, 6 kg m^{2}$ (bras repliés), et $ω_{1} = 2, 0 rad / s$ .

Qualitativement, pourquoi le moment cinétique autour de l'axe vertical se conserve-t-il pendant la figure ?
Exprimer littéralement $ω_{2}$ en fonction de $J_{1}$ , $J_{2}$ , $ω_{1}$ .
Calculer $ω_{2}$ , puis le nombre de tours par seconde à la fin.
L'énergie cinétique de rotation est-elle conservée ? Calculer $E_{c 1}$ et $E_{c 2}$ et interpréter.

Démonstration

1. Le poids et la réaction de la glace sont verticaux, colinéaires à l'axe $(Δ)$ : leur moment par rapport à $(Δ)$ est nul. Le frottement étant négligeable, $M_{Δ} = 0$ , donc $L = J ω = constante$ . Les muscles qui replient les bras sont des forces internes : elles ne modifient pas $L$ .

2. $J_{1} ω_{1} = J_{2} ω_{2}$ donne $ω_{2} = \frac{J _{1}}{J _{2}} ω_{1}$ .

3. $ω_{2} = \frac{4 , 8}{1 , 6} \times 2, 0 = 6, 0 rad / s$ . En tours/s : $n = \frac{ω _{2}}{2 π} \approx 0, 95 Hz$ , soit $environ 1 tour/s$ (contre $0, 32$ au départ).

4. $E_{c 1} = \frac{1}{2} J_{1} ω_{1}^{2} = 9, 6 J$ ; $E_{c 2} = \frac{1}{2} J_{2} ω_{2}^{2} = 29 J$ . L'énergie a triplé : $E_{c 2} > E_{c 1}$ . Elle n'est pas conservée car la patineuse fournit un travail musculaire pour rapprocher ses bras de l'axe (contre la « force centrifuge ») ; ce travail interne augmente $E_{c}$ mais laisse $L$ inchangé.

Important

Ce que ça nous apprend. En l'absence de moment de force extérieur, $J ω$ reste constant : concentrer la masse près de l'axe accélère la rotation. C'est ainsi qu'une patineuse, un plongeur ou un danseur contrôle sa vitesse de rotation, sans jamais « pousser » sur quoi que ce soit.

Exemple 6.14La poignée loin des gonds (

⋆

)

On ouvre une porte de largeur $d = 0, 80 m$ articulée sur ses gonds (axe vertical par les charnières). On pousse perpendiculairement au plan de la porte avec une force $F = 50 N$ . La poignée est près du bord libre, à $0, 80 m$ de l'axe. On compare à une poussée près des gonds, à $r = 0, 10 m$ de l'axe.

Pourquoi est-il bien plus facile d'ouvrir la porte en poussant loin des gonds que près de l'axe ?
Donner l'expression du moment $M$ d'une force $F$ par rapport à l'axe en fonction de $F$ , $r$ et de l'angle $θ$ entre $F$ et le plan de la porte. Cas d'une poussée perpendiculaire ?
Calculer $M$ à la poignée ( $0, 80 m$ ) puis près des gonds ( $0, 10 m$ ). Combien de fois faut-il pousser plus fort près de l'axe pour le même effet ?
On pousse la poignée obliquement, avec $θ = 3 0^{\circ}$ par rapport au plan de la porte. Calculer le moment et commenter.

Démonstration

1. L'effet rotatif dépend non seulement de l'intensité, mais aussi du bras de levier (distance de l'axe à la droite d'action). Plus on pousse loin des gonds, plus ce bras est grand, donc plus le moment est grand : la porte tourne plus facilement.

2. $M = r F sin θ$ , où $θ$ est l'angle entre $F$ et le plan de la porte. Pour une poussée perpendiculaire ( $θ = 9 0^{\circ}$ , $sin θ = 1$ ), $M = r F$ .

3. À la poignée : $M = 0, 80 \times 50 = 40 Nm$ . Près des gonds : $M = 0, 10 \times 50 = 5, 0 Nm$ . Le moment est $8$ fois plus grand à la poignée : pour le même effet près des gonds, il faudrait $pousser 8 fois plus fort$ ( $F^{'} = 400 N$ ).

4. Poussée oblique, $θ = 3 0^{\circ}$ : $M = d F sin 3 0^{\circ} = 0, 80 \times 50 \times 0, 50 = 20 Nm$ , deux fois moins qu'en perpendiculaire. Seule la composante de $F$ perpendiculaire à la porte fait tourner ; la composante dans le plan « tire » sur l'axe sans contribuer.

Important

Ce que ça nous apprend. L'effet rotatif d'une force se mesure par son moment $M = F \times d$ , pas par sa seule intensité. Placer la poignée loin des gonds maximise le bras de levier : on ouvre sans effort. Même principe que la clé à long manche ou le levier d'Archimède.

Exemple 6.15Le pendule pesant de l'horloge comtoise (

⋆ ⋆

)

Au cœur d'une horloge comtoise oscille un balancier : une tige homogène de masse $m = 0, 80 kg$ et de longueur $ℓ = 1, 0 m$ , articulée sans frottement autour d'un axe horizontal $(Δ)$ passant par son extrémité $O$ . On l'écarte d'un petit angle $θ$ et on la lâche. $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Où est le centre de gravité $G$ , et quel est le moment d'inertie $J$ de la tige par rapport à $(Δ)$ ?
Par le théorème du moment cinétique autour de $(Δ)$ , établir l'équation du mouvement.
En déduire l'équation des petites oscillations et la période $T_{0}$ .
Calculer $T_{0}$ . Comparer à un pendule simple de même longueur.

Démonstration

1. La tige étant homogène, $G$ est en son milieu, à $d = \frac{ℓ}{2} = 0, 50 m$ de l'axe. Le moment d'inertie d'une tige par rapport à une extrémité est $J = \frac{1}{3} m ℓ^{2} \approx 0, 27 kg m^{2}$ .

2. Seul le poids a un moment non nul (la réaction de l'axe a un bras de levier nul) : $M = - m g d sin θ$ . Le TMC autour de l'axe fixe donne $J θ ¨ = M$ , soit $J θ ¨ = - m g \frac{ℓ}{2} sin θ$ .

3. Petits angles ( $sin θ \approx θ$ ) : $θ ¨ + \frac{m g ℓ /2}{J} θ = 0$ , oscillations harmoniques. Avec $J = \frac{1}{3} m ℓ^{2}$ :

$T_{0} = 2 π \frac{J}{m g ℓ /2} = 2 π \frac{2 ℓ}{3 g} .$

4. $T_{0} = 2 π \frac{2 \times 1 , 0}{3 \times 9 , 81} \approx 1, 6 s$ . Un pendule simple de longueur $ℓ = 1, 0 m$ aurait $T = 2 π ℓ / g \approx 2, 0 s$ : la tige bat plus vite (longueur réduite $2 ℓ /3 \approx 0, 67 m$ ).

Important

Ce que ça nous apprend. La période d'un pendule pesant ne dépend que de la géométrie (via $J$ et $d$ ) et de $g$ , jamais de l'amplitude tant qu'elle reste petite : c'est l'isochronisme qui rend l'horloge fiable.

Exemple 6.16Le saut périlleux du plongeur (

⋆ ⋆

)

Du haut d'un plongeoir de $10 m$ , une plongeuse s'élance. Dès qu'elle quitte la planche, elle est en chute libre : aucun moment extérieur autour de son centre de masse $G$ . Bras et jambes tendus, elle amorce sa rotation à $ω_{1} = 4, 0 rad / s$ avec $J_{1} = 15 kg m^{2}$ . Elle se met en position groupée, ramenant son moment d'inertie à $J_{2} = 6, 0 kg m^{2}$ .

Pourquoi le moment cinétique se conserve-t-il pendant le vol ?
Calculer sa nouvelle vitesse angulaire $ω_{2}$ .
La durée de vol est $Δ t = 1, 4 s$ , dont $1, 0 s$ groupée. Combien de tours complets effectue-t-elle alors ?
Que doit-elle faire pour ralentir sa rotation avant l'entrée dans l'eau ?

Démonstration

1. En vol, la seule force extérieure est le poids, appliqué en $G$ : son moment autour de $G$ est nul. Donc $L_{G}$ est constant : la plongeuse ne peut que redistribuer sa rotation, pas la créer.

2. $J_{1} ω_{1} = J_{2} ω_{2}$ donne $ω_{2} = \frac{J _{1}}{J _{2}} ω_{1} = \frac{15}{6 , 0} \times 4, 0 \approx 10 rad / s$ (vitesse $\times 2, 5$ ).

3. $N = \frac{ω _{2} Δ t _{group e ˊ}}{2 π} = \frac{10 \times 1 , 0}{2 π} \approx 1, 6$ tour : un saut périlleux et demi.

4. Il lui suffit de se dégrouper : en rétablissant $J_{1}$ , elle ramène $ω$ à $4, 0 rad / s$ et entre droite — manœuvre inverse, à moment cinétique toujours conservé.

Important

Ce que ça nous apprend. Sans couple extérieur, on ne change pas son moment cinétique, mais on pilote sa vitesse de rotation en modifiant son moment d'inertie : se ramasser fait tourner vite, s'étendre fait tourner lent.

Exemple 6.17Le tabouret de Joukovski : la danseuse improvisée (

⋆ ⋆

)

Léa s'assoit sur un tabouret pivotant sans frottement, bras écartés, tenant un haltère de $2, 0 kg$ dans chaque main, à $0, 80 m$ de l'axe vertical. On la lance : l'ensemble tourne à $2, 0 rad / s$ . Le moment d'inertie de son corps et du tabouret (sans haltères) vaut $J_{0} = 3, 0 kg m^{2}$ . Elle ramène les haltères à $0, 20 m$ de l'axe.

Justifier la conservation du moment cinétique par rapport à l'axe.
Calculer $J_{1}$ (initial) puis $J_{2}$ (final) de l'ensemble \{personne $+$ haltères\}.
En déduire $ω_{2}$ . Léa accélère-t-elle ?
Comparer l'énergie cinétique de rotation avant et après. D'où vient l'écart ?

Démonstration

1. L'axe est vertical et le pivot sans frottement : le poids (parallèle à l'axe) a un moment nul, la réaction du pivot s'applique sur l'axe (bras nul). Le moment des forces extérieures est nul, donc $J_{1} ω_{1} = J_{2} ω_{2}$ .

2. Chaque haltère ( $m = 2, 0 kg$ à la distance $r$ ) apporte $m r^{2}$ ; pour les deux, $2 m r^{2}$ :

$J_{1} = J_{0} + 2 m r_{1}^{2} = 3, 0 + 2 \times 2, 0 \times 0, 8 0^{2} \approx 5, 6 kg m^{2},$

$J_{2} = J_{0} + 2 m r_{2}^{2} = 3, 0 + 2 \times 2, 0 \times 0, 2 0^{2} \approx 3, 2 kg m^{2} .$

3. $ω_{2} = \frac{J _{1}}{J _{2}} ω_{1} = \frac{5 , 56}{3 , 16} \times 2, 0 \approx 3, 5 rad / s$ . Comme $J_{2} < J_{1}$ , $ω_{2} > ω_{1}$ : Léa accélère.

4. $E_{c 1} = \frac{1}{2} \times 5, 56 \times 2, 0^{2} \approx 11 J$ ; $E_{c 2} = \frac{1}{2} \times 3, 16 \times 3, 5^{2} \approx 20 J$ . L'énergie augmente d'environ $9 J$ : c'est le travail musculaire de Léa pour rapprocher les haltères (contre la force centrifuge), converti en énergie de rotation.

Important

Ce que ça nous apprend. Quand le moment des forces extérieures est nul, $J ω$ reste constant : réduire le moment d'inertie augmente la vitesse de rotation. C'est le geste du patineur qui resserre les bras.

Exemple 6.18L'hélicoptère et son rotor de queue (

⋆ ⋆

)

Un hélicoptère, cabine à l'arrêt, fait démarrer son rotor principal. Le moteur exerce un couple sur le rotor ; par réaction, le rotor exerce un couple opposé sur la cabine. Le rotor a $J_{r} = 1, 2 \times 1 0^{3} kg m^{2}$ et atteint $30 rad / s$ ; la cabine (sans rotor de queue) a $J_{c} = 9, 0 \times 1 0^{3} kg m^{2}$ . On néglige tout couple extérieur autour de l'axe vertical.

Pourquoi le moment cinétique total \{rotor $+$ cabine\} se conserve-t-il ? Valeur initiale ?
Sans rotor de queue, déterminer la vitesse angulaire $ω_{c}$ de la cabine et son sens.
Le pilote veut la cabine immobile. Quel rôle joue le rotor de queue ?
Le rotor de queue, à $d = 8, 0 m$ de l'axe, doit compenser un couple moteur de $3, 6 \times 1 0^{3} Nm$ . Quelle poussée doit-il développer ?

Démonstration

1. Le moteur est une force intérieure au système \{rotor $+$ cabine\} (couple sur le rotor, couple opposé sur la cabine). Aucun couple extérieur autour de l'axe vertical (poids parallèle à l'axe, réaction sur l'axe). Le système partant du repos : $L_{tot} = J_{r} ω_{r} + J_{c} ω_{c} = 0$ .

2. $ω_{c} = - \frac{J _{r}}{J _{c}} ω_{r} = - \frac{1 , 2 \times 1 0 ^{3}}{9 , 0 \times 1 0 ^{3}} \times 30 \approx - 4, 0 rad / s$ : la cabine tournerait en sens inverse du rotor.

3. Pour garder la cabine immobile, il faut un couple extérieur : le rotor de queue fournit une poussée latérale dont le moment par rapport à l'axe principal compense le couple de réaction du rotor principal.

4. $Γ = F d$ donne $F = \frac{Γ}{d} = \frac{3 , 6 \times 1 0 ^{3}}{8 , 0} \approx 4, 5 \times 1 0^{2} N$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Sans compensation, mettre le rotor en rotation ferait tourner la cabine en sens opposé (conservation du moment cinétique total). Le rotor de queue introduit le couple extérieur qui annule cet effet et permet de piloter le cap.

Exemple 6.19La toupie et le vélo : l'art de ne pas tomber (

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Un enfant lance une toupie : tant qu'elle tourne vite, elle reste dressée ; dès qu'elle ralentit, elle vacille et tombe. Même mystère à vélo : à l'arrêt on tombe, mais lancé à $20 km / h$ le vélo tient presque tout seul. Le responsable est le moment cinétique, qui « s'accroche » à sa direction. On modélise une roue par un anneau de masse $m = 2, 0 kg$ et de rayon $R = 0, 33 m$ , tournant à $N = 180$ tr/min, de moment d'inertie $J = m R^{2}$ .

Expliquer qualitativement pourquoi un solide qui tourne vite « résiste » au basculement : que faudrait-il faire à son moment cinétique $L = J ω$ pour le faire basculer ?
Convertir $N$ en vitesse angulaire $ω$ ( $rad / s$ ), puis calculer $J$ .
En déduire l'ordre de grandeur de $L = J ω$ . Direction ?
À l'arrêt ( $ω = 0$ ), que vaut $L$ ? Conclure sur la différence vélo lancé / vélo immobile.

Démonstration

1. Le moment cinétique est un vecteur $L = J ω$ porté par l'axe de rotation. Faire basculer la roue, c'est changer la direction de $L$ . Or modifier un vecteur exige un moment de force ( $d L_{O} / d t = M_{O}$ ) : plus $L$ est grand, plus il faut un moment important pour le réorienter. La roue résiste d'autant mieux qu'elle tourne vite — c'est l'analogue de l'inertie pour la rotation.

2. $ω = \frac{2 π N}{60} = \frac{2 π \times 180}{60} \approx 19 rad / s$ . $J = m R^{2} = 2, 0 \times 0, 3 3^{2} \approx 0, 22 kg m^{2}$ .

3. $L = J ω \approx 0, 22 \times 18, 8 \approx 4, 1 kg m^{2} / s$ . $L$ est porté par l'axe de la roue (horizontal, perpendiculaire au plan de la roue), sens donné par la règle de la main droite.

4. À l'arrêt, $ω = 0$ donc $L = 0$ : plus aucun moment cinétique à « protéger », la moindre perturbation fait tomber le vélo. Lancé, $L$ est important et sa direction stable : il faut un moment notable pour le réorienter, ce qui stabilise le vélo (le cycliste corrige en plus par la direction).

Important

Ce que ça nous apprend. Un solide en rotation rapide possède un moment cinétique $L = J ω$ qui tend à garder sa direction : c'est l'effet gyroscopique. Vélo, toupie, satellites stabilisés par rotation en profitent.

Exemple 6.20La comète et la loi des aires (

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Une comète plonge vers le Soleil sur une orbite très allongée : elle file à toute allure au plus près (périhélie), puis ralentit énormément en s'éloignant (aphélie). Pour une comète fictive : $r_{P} = 0, 59$ ua avec $v_{P} = 54 km / s$ , et $r_{A} = 35$ ua. La seule force est l'attraction gravitationnelle du Soleil, dirigée vers lui.

La force gravitationnelle est centrale. Montrer que $L_{O}$ est constant. Qu'en déduit-on sur la nature plane du mouvement ?
Définir la vitesse aréolaire $\frac{d A}{d t}$ et montrer qu'elle vaut $\frac{L}{2 m}$ . Conclure (2^e loi de Kepler).
Au périhélie et à l'aphélie, $v ⊥ O M$ . En déduire $r_{P} v_{P} = r_{A} v_{A}$ , puis calculer $v_{A}$ .
Comparer $v_{P}$ et $v_{A}$ . La comète balaie-t-elle plus de surface par seconde près du Soleil ou loin ? Justifier sans calcul.

Démonstration

1. TMC en $O$ (Soleil) : $\frac{d L _{O}}{d t} = O M \land F$ . La force étant centrale, $F$ est colinéaire à $O M$ , donc $O M \land F = 0$ et $L_{O} = cte$ . Comme $L_{O} = m O M \land v$ est constant, $O M$ reste dans un plan fixe (perpendiculaire à $L_{O}$ ) : mouvement plan.

2. Pendant $d t$ , le rayon balaie un triangle d'aire $d A = \frac{1}{2} O M \land v d t$ . Or $O M \land v = L / m$ , donc $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = cte$ : aires égales en temps égaux (2^e loi de Kepler).

3. Aux apsides, $v ⊥ O M$ donc $O M \land v = r v$ ; la constance de $L = m r v$ donne $r_{P} v_{P} = r_{A} v_{A}$ , d'où $v_{A} = \frac{r _{P}}{r _{A}} v_{P} = \frac{0 , 59}{35} \times 54 \approx 0, 91 km / s$ .

4. $v_{P} \approx 54 km / s ≫ v_{A} \approx 0, 91 km / s$ (environ $60$ fois plus vite au périhélie). Mais $d A / d t = L /2 m$ est la même partout : la comète balaie la même surface par seconde près du Soleil (secteur court mais large) et loin (secteur long mais étroit).

Important

Ce que ça nous apprend. Pour toute force centrale, $L_{O}$ se conserve : mouvement plan et vitesse aréolaire constante. La comète accélère au périhélie et ralentit à l'aphélie, mais balaie toujours des aires égales en des temps égaux.

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