Mesures et incertitudes

Cours complet · mesures et incertitudes (MPSI), chapitre 1 · CPGE MPSI (1re année)

Une valeur expérimentale sans incertitude ne dit rien : affirmer que $g = 9.7 m / s^{2}$ n'a de sens que si l'on sait si cette valeur est connue à $\pm 0.5 m / s^{2}$ ou à $\pm 0.01 m / s^{2}$ près. Ce chapitre, commun aux six livres de physique-chimie (Mécanique, Ondes, Optique, Thermodynamique, Électricité, Chimie), fixe le langage et les outils utilisés dans toutes les séances de travaux pratiques : incertitude-type, propagation, écriture d'un résultat, comparaison par écart normalisé et régression linéaire. Sa pleine maîtrise est un objectif de fin de seconde année.

1.1 Variabilité de la mesure et vocabulaire de la métrologie

1.1.1 Une mesure est un processus variable

Si l'on mesure dix fois la période d'un même pendule avec le même chronomètre, on obtient dix valeurs légèrement différentes : la mesure d'une grandeur physique est un processus intrinsèquement variable. Cette variabilité n'est pas une faute de l'expérimentateur, c'est une propriété du processus de mesure, qu'il faut quantifier pour pouvoir exploiter le résultat.

Définition 1.1mesurande, mesurage

Le mesurande est la grandeur que l'on veut mesurer (une longueur, une concentration, une tension…). Le mesurage est l'ensemble des opérations permettant d'attribuer une valeur au mesurande. Le résultat de mesure associe une valeur numérique, une unité et une incertitude.

Définition 1.2variabilité, incertitude

La variabilité de la mesure est le fait que des mesurages répétés du même mesurande, dans des conditions comparables, ne donnent pas tous la même valeur. L'incertitude est le paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs que l'on peut raisonnablement attribuer au mesurande.

Méthode : identifier les sources d'incertitude

Avant tout calcul, on recense les sources de variabilité en les rattachant aux quatre familles suivantes :

l'opérateur : temps de réaction au déclenchement d'un chronomètre, appréciation d'un virage coloré, lecture d'un ménisque sous un mauvais angle (parallaxe) ;
l'environnement : température de la salle qui dérive, vibrations, courants d'air, lumière parasite sur un capteur ;
les instruments : résolution de l'affichage, justesse du calibre, tolérance de la verrerie, vieillissement, bruit électronique ;
la méthode de mesure : perturbation du montage par l'appareil (résistance d'entrée d'un voltmètre), modèle simplifié (pendule supposé aux petites oscillations), fuite thermique dans un calorimètre.

Exemple 1.3mesure de la période d'un pendule

On mesure au chronomètre manuel la durée de 10 oscillations d'un pendule. Sources d'incertitude : le temps de réaction de l'opérateur ( $\sim 0.2 s$ au départ et à l'arrivée), la résolution du chronomètre ( $0.01 s$ ), l'amortissement qui modifie légèrement la période (méthode), les courants d'air (environnement). Ici, la contribution de l'opérateur domine largement : c'est elle qu'il faudra réduire (mesurer 10 périodes plutôt qu'une, déclencher au passage par la verticale où la vitesse est maximale).

1.1.2 Erreur et incertitude, justesse et fidélité

Définition 1.4erreur de mesure

Si le mesurande possédait une valeur vraie $x_{vrai}$ , l'erreur d'un mesurage donnant $x$ serait $e = x - x_{vrai}$ . Elle se décompose en :

une erreur aléatoire, qui change de façon imprévisible d'un mesurage à l'autre et se moyenne à zéro sur un grand nombre de répétitions ;
une erreur systématique (ou biais), qui affecte toutes les mesures de la même façon : zéro d'un appareil mal réglé, étalonnage périmé, oubli d'une correction (poussée d'Archimède sur une pesée fine, résistance interne d'un ampèremètre).

Important

L'erreur est inconnaissable (la valeur vraie ne l'est pas) ; l'incertitude, elle, s'évalue. Répéter les mesures réduit l'effet des erreurs aléatoires mais ne corrige jamais une erreur systématique : celle-ci ne peut être débusquée que par une analyse critique du protocole ou par comparaison avec une autre méthode ou une valeur de référence (voir l'écart normalisé, section sec:ecart-normalise).

Définition 1.5justesse, fidélité, résolution

Un procédé de mesure est juste si la moyenne d'un grand nombre de mesures est proche de la valeur de référence (erreurs systématiques faibles). Il est fidèle si les mesures répétées sont peu dispersées (erreurs aléatoires faibles). La résolution d'un instrument est la plus petite variation du mesurande qu'il permet de distinguer (par exemple le dernier digit d'un affichage numérique).

iRemarque

L'image classique est celle du tir sur cible : un tireur fidèle mais non juste groupe ses impacts loin du centre (biais) ; un tireur juste mais non fidèle disperse ses impacts autour du centre. Un bon protocole vise les deux à la fois : la figure fig:cibles croise les quatre situations.

Figure : Justesse et fidélité, illustrées par le tir sur cible. La justesse se lit à la position de la moyenne des impacts (

\times

) par rapport au centre : l'écart entre les deux est le biais, c'est-à-dire l'erreur systématique. La fidélité se lit à la dispersion des impacts autour de leur moyenne : c'est l'erreur aléatoire. Répéter les tirs resserre la position du

\times

mais ne le déplace pas : la répétition ne corrige jamais un biais.

1.2 L'incertitude-type

Définition 1.6incertitude-type

L'incertitude-type $u (x)$ associée au résultat de mesure $x$ d'un mesurande $X$ est l'écart-type de la distribution des valeurs que l'on peut raisonnablement attribuer à $X$ . Elle a la même unité que $x$ . On distingue deux façons de l'évaluer : l'évaluation statistique (type A) et l'évaluation par tout autre moyen (type B).

1.2.1 Évaluation de type A : approche statistique

On répète $n$ fois le mesurage dans des conditions comparables et on obtient les valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ .

Proposition 1.7incertitude-type de type A

On retient comme valeur mesurée la moyenne

$x = \frac{1}{n} k = 1 \sum n x_{k},$

et l'on caractérise la dispersion des mesures par l'écart-type expérimental

$s = \frac{1}{n - 1} k = 1 \sum n (x_{k} - x)^{2} .$

L'incertitude-type sur la moyenne est alors

$u (x) = \frac{s}{n}$

iRemarque

Le facteur $1/ n$ traduit le bénéfice de la répétition : la moyenne de $n$ mesures est $n$ fois moins dispersée qu'une mesure isolée. Mais ce bénéfice est lent (diviser l'incertitude par 10 exige 100 fois plus de mesures) et ne porte que sur la part aléatoire.

Exemple 1.8période d'un pendule, type A

Dix mesures de la période $T$ d'un pendule (en secondes) :

$1.42; 1.45; 1.44; 1.41; 1.46; 1.43; 1.44; 1.42; 1.45; 1.43.$

On calcule $T = 1.435 s$ et $s = 0.016 s$ , d'où

$u (T) = \frac{s}{10} = 5.1 \times 1 0^{- 3} s \approx 0.005 s .$

Résultat : $T = (1.435 \pm 0.005) s$ (incertitude-type). La figure fig:dispersion porte ces dix valeurs sur un axe et met en regard la dispersion des mesures et celle de leur moyenne ; la figure fig:histo montre l'histogramme d'une série de 200 mesures du même type : la distribution en cloche est bien décrite par une loi normale.

Figure : En haut : les dix mesures de l'exemple précédent, portées sur un axe (les valeurs répétées sont empilées). La bande claire, de demi-largeur

s

, décrit la dispersion d'une mesure isolée ; la bande sombre, de demi-largeur

s / 10

, décrit celle de leur moyenne : c'est elle l'incertitude-type du résultat. En bas : décroissance de

u (T) = s / n

. Le gain est réel mais s'épuise vite ; au-delà de quelques dizaines de mesures, seul un meilleur protocole fait encore progresser le résultat — et aucune répétition n'agit sur la part systématique.

Figure : Histogramme de 200 mesures répétées d'une période

T

(classes de

0.01 s

) et loi normale de même moyenne et de même écart-type. L'écart-type expérimental

s

mesure la largeur de la cloche : il caractérise la dispersion d'une mesure et ne diminue pas quand

n

augmente. L'incertitude sur la moyenne, elle, vaut

s / n

: c'est le segment étroit tracé en haut de la figure, quatorze fois plus court que

s

pour

n = 200

1.2.2 Évaluation de type B : sans statistique

Quand on ne dispose que d'une mesure (lecture unique d'un appareil, verrerie jaugée), on évalue l'incertitude-type à partir des informations disponibles : notice du constructeur, graduation, tolérance gravée, jugement de l'expérimentateur.

Proposition 1.9loi uniforme et demi-étendue

Si l'on sait seulement que la valeur du mesurande est comprise dans un intervalle $[x - a, x + a]$ de demi-étendue $a$ , sans qu'aucune valeur de l'intervalle soit plus probable qu'une autre (distribution uniforme), alors

$u (x) = \frac{a}{3}$

Le $3$ n'a rien d'arbitraire : c'est l'écart-type d'une loi uniforme de demi-largeur $a$ (figure fig:typeb).

Figure : Évaluation de type B. Faute d'information supplémentaire, on décrit le mesurande par une loi rectangulaire : toutes les valeurs de

[x - a, x + a]

sont également plausibles, aucune au-delà. L'incertitude-type est par définition l'écart-type de cette loi, et l'écart-type d'une loi uniforme de demi-largeur

a

vaut exactement

a / 3

: c'est toute l'origine du

3

. Le

\pm u

ainsi obtenu ne couvre que

58 %

du rectangle, contre

68 %

pour la loi normale de même écart-type (en pointillés) : une incertitude-type n'est jamais un encadrement garanti.

Méthode : évaluations de type B usuelles

Affichage numérique de résolution $δ$ (un digit) : $a = δ /2$ , donc $u (x) = \frac{δ}{2 3}$ .
Échelle graduée (règle, burette) : on estime la lecture à une demi-graduation près, $u (x) = \frac{graduation}{2 3}$ (à ajuster selon les conditions réelles de lecture).
Notice constructeur donnant une précision $\pm Δ$ (par exemple $\pm (0.5 % de la lecture + 2 digits)$ pour un multimètre) : on prend $a = Δ$ et $u (x) = Δ/ 3$ .
Verrerie jaugée de classe A : la tolérance gravée (par exemple $\pm 0.03 mL$ pour une pipette de $25 mL$ ) joue le rôle de $a$ .

Exemple 1.10tension lue au voltmètre, type B

Un voltmètre numérique sur le calibre $20 V$ affiche $U = 4.72 V$ . La notice indique une précision de $\pm (0.5 % lecture + 2 digits)$ , avec un digit de $0.01 V$ sur ce calibre :

$Δ = 0.005 \times 4.72 + 2 \times 0.01 = 0.044 V, u (U) = \frac{0.044}{3} = 0.025 V \approx 0.03 V .$

Résultat : $U = (4.72 \pm 0.03) V$ .

1.2.3 Intervalle de confiance et loi normale

Proposition 1.11intervalles de confiance de la loi normale

Lorsque la distribution des valeurs attribuables au mesurande suit une loi normale de moyenne $x$ et d'écart-type $u = u (x)$ , la probabilité que la valeur du mesurande appartienne à l'intervalle $[x - k u, x + k u]$ vaut :

facteur $k$	1	2	3
niveau de confiance	$68 %$	$95 %$	$99.7 %$

L'intervalle à $k = 2$ , de niveau de confiance $95 %$ , est le plus utilisé ; on parle d'incertitude élargie $U = 2 u (x)$ (figure fig:normale).

Figure : Niveaux de confiance de la loi normale. L'aire sous la courbe entre deux abscisses est la probabilité que le mesurande y soit : l'intervalle

x \pm u

ne l'attrape que dans

68 %

des cas, c'est-à-dire qu'une mesure correcte sur trois tombe en dehors de sa propre barre d'incertitude-type. C'est pourquoi on rapporte souvent l'incertitude élargie

U = 2 u

, de niveau de confiance

95 %

, en le précisant explicitement.

iRemarque

La loi normale apparaît naturellement dès qu'une mesure résulte de l'accumulation de nombreuses petites perturbations indépendantes (théorème central limite) : c'est ce qui justifie son emploi quasi universel en métrologie, et c'est aussi ce que l'on vérifiera par simulation dans les capacités numériques de ce chapitre.

1.3 Incertitudes-types composées

Le résultat cherché est rarement lu directement : on calcule une résistance à partir d'une tension et d'une intensité, une masse volumique à partir d'une masse et d'un volume. Il faut alors propager les incertitudes-types des grandeurs mesurées vers la grandeur composée.

Proposition 1.12somme et différence

Si $y = x_{1} + x_{2}$ ou $y = x_{1} - x_{2}$ , avec des mesures indépendantes, les incertitudes-types absolues s'ajoutent quadratiquement :

$u (y) = u (x_{1})^{2} + u (x_{2})^{2}$

Proposition 1.13produit et quotient

Si $y = x_{1} x_{2}$ ou $y = x_{1} / x_{2}$ , avec des mesures indépendantes, les incertitudes-types relatives s'ajoutent quadratiquement :

$\frac{u ( y )}{∣ y ∣} = (\frac{u ( x _{1} )}{x _{1}})^{2} + (\frac{u ( x _{2} )}{x _{2}})^{2}$

En particulier, pour $y = x^{n}$ : $\frac{u ( y )}{∣ y ∣} = ∣ n ∣ \frac{u ( x )}{∣ x ∣}$ .

Attention

On n'additionne jamais simplement les incertitudes ( $u (y) \neq = u (x_{1}) + u (x_{2})$ ) : ce serait supposer que toutes les erreurs se cumulent dans le même sens, ce qui est très improbable pour des mesures indépendantes. L'addition quadratique traduit cette compensation partielle : les incertitudes se composent comme les côtés d'un triangle rectangle (figure fig:quadrature).

Figure : Pourquoi les incertitudes s'ajoutent quadratiquement. Chaque contribution est un côté de l'angle droit, l'incertitude composée en est l'hypoténuse :

u = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}

. Additionner arithmétiquement reviendrait à parcourir les deux côtés au lieu de la diagonale — on surestimerait ici l'incertitude de

39 %

, en supposant que les deux erreurs se cumulent toujours dans le même sens. La construction rend aussi visible la hiérarchie des contributions : à droite, un côté est près de sept fois plus court que l'autre et l'hypoténuse ne dépasse le grand côté que de

1 %

Méthode : comparer les contributions

Dans une somme quadratique, chaque terme représente la contribution d'une grandeur à l'incertitude composée. On les compare avant de chercher à améliorer le protocole :

calculer chaque terme $(u (x_{i}) / x_{i})^{2}$ (ou $u (x_{i})^{2}$ pour une somme) ;
identifier le terme dominant : c'est lui qui fixe l'incertitude finale ;
n'investir des efforts (meilleur appareil, répétitions) que sur la source dominante — réduire une contribution déjà négligeable ne sert à rien.

Exemple 1.14résistance par la loi d'Ohm

Avec $U = (4.72 \pm 0.03) V$ et $I = (212 \pm 2) mA$ , la loi d'Ohm donne $R = U / I = 22.26 Ω$ , et

$\frac{u ( R )}{R} = (\frac{0.03}{4.72})^{2} + (\frac{2}{212})^{2} = (6.4 \times 1 0^{- 3})^{2} + (9.4 \times 1 0^{- 3})^{2} = 1.14 \times 1 0^{- 2},$

d'où $u (R) = 0.25 Ω$ et $R = (22.3 \pm 0.3) Ω$ . La contribution de l'intensité $(9.4 \times 1 0^{- 3})^{2}$ est environ deux fois celle de la tension : pour améliorer la mesure, c'est l'ampèremètre qu'il faut soigner en priorité.

1.3.1 Simulation Monte-Carlo d'une grandeur composée

Plutôt que d'appliquer les formules de propagation, on peut simuler la variabilité : on tire au hasard un grand nombre de valeurs plausibles de chaque grandeur mesurée (selon une loi normale centrée sur la valeur mesurée, d'écart-type l'incertitude-type), on calcule la grandeur composée pour chaque tirage, et on lit la moyenne et l'écart-type du résultat. C'est la méthode Monte-Carlo, qui fonctionne quelle que soit la complexité de la formule.

Capacité numérique : simuler la variabilité d'une grandeur composée (quotient)

On reprend l'exemple ex:ohm : $R = U / I$ avec $U = (4.72 \pm 0.03) V$ et $I = (0.212 \pm 0.002) A$ .


import numpy as np

N = 100_000                              # nombre de tirages Monte-Carlo

# Un tirage = une valeur plausible de chaque grandeur mesuree
U = np.random.normal(4.72, 0.03, N)      # tensions simulees (V)
I = np.random.normal(0.212, 0.002, N)    # intensites simulees (A)

R = U / I                                # N valeurs plausibles de R (loi d'Ohm)

print(f"R      = {R.mean():.2f} ohm")    # -> R      = 22.26 ohm
print(f"u(R)   = {R.std(ddof=1):.2f} ohm")   # -> u(R)   = 0.25 ohm
print(f"u(R)/R = {R.std(ddof=1)/R.mean():.4f}")  # -> 0.0114

La simulation retrouve $u (R) \approx 0.25 Ω$ , en parfait accord avec la formule du quotient. L'histogramme de R (plt.hist(R, bins=100), figure fig:montecarlo) est une cloche quasi normale : la variabilité de $U$ et de $I$ s'est transmise à $R$ .

Figure : Principe de la simulation de Monte-Carlo. À gauche, chaque point est un couple

(U, I)

tiré au hasard selon les incertitudes-types des deux mesures : le nuage matérialise « les valeurs plausibles ». À droite, la distribution des 60 000 quotients

R = U / I

correspondants. On ne lit plus l'incertitude sur une formule, on la mesure sur le nuage de sortie :

u (R)

est l'écart-type de cet histogramme, et l'on retrouve

0.25 Ω

. La méthode reste valable quand la formule est trop compliquée pour être différenciée à la main.

iRemarque

Pour comparer les contributions par Monte-Carlo, il suffit de geler une grandeur : en remplaçant U par la constante 4.72, l'écart-type de R tombe à $0.21 Ω$ (contribution de $I$ seule) ; en gelant I, il tombe à $0.14 Ω$ (contribution de $U$ seule). On retrouve la hiérarchie de l'exemple ex:ohm : $I$ domine.

1.4 Écriture du résultat d'une mesure

Méthode : écrire un résultat de mesure

Un résultat de mesure s'écrit

$x = (valeur \pm incertitude-type) unit e ˊ, par exemple R = (22.3 \pm 0.3) Ω,$

en respectant les règles suivantes :

l'incertitude est arrondie par excès à 1 ou 2 chiffres significatifs (2 lorsque le premier chiffre est 1 ou 2, pour ne pas perdre d'information : $\pm 0.13$ plutôt que $\pm 0.1$ ) ;
le dernier chiffre significatif de la valeur est à la même position décimale que celui de l'incertitude ;
on précise s'il s'agit de l'incertitude-type ( $k = 1$ ) ou d'une incertitude élargie ( $k = 2$ ) ;
on choisit une puissance de dix ou un préfixe d'unité rendant l'écriture lisible : $(1.435 \pm 0.005) s$ et non $(1435 \pm 5) \times 1 0^{- 3} s$ .

Attentionchiffres significatifs

Les écritures suivantes sont incorrectes :

$R = (22.264151 \pm 0.3) Ω$ : la valeur affiche des chiffres dénués de sens au-delà de la position de l'incertitude ;
$R = (22.3 \pm 0.253) Ω$ : trois chiffres significatifs sur l'incertitude, c'est illusoire — l'incertitude est elle-même incertaine à quelques dizaines de pour cent près ;
$R = 22.3 Ω$ sans incertitude : le résultat est inexploitable, on ne peut ni le comparer ni le combiner.

En cours de calcul, en revanche, on conserve tous les chiffres et on n'arrondit qu'à la toute fin.

Exemple 1.15

La calculatrice affiche $g = 9.7431628 m / s^{2}$ avec $u (g) = 0.1274 m / s^{2}$ . Le premier chiffre de l'incertitude est un 1 : on garde deux chiffres significatifs, $u (g) = 0.13 m / s^{2}$ , et on arrondit la valeur à la même position : $g = (9.74 \pm 0.13) m / s^{2}$ . La figure fig:ecriture montre pourquoi les chiffres suivants n'ont aucun sens.

Figure : Écriture d'un résultat de mesure. L'incertitude fixe le rang du dernier chiffre à écrire : ici

u (g) \approx 0.13 m / s^{2}

rend le centième déjà douteux, donc tous les chiffres suivants ne sont que du bruit de calculatrice. On arrondit d'abord l'incertitude à un ou deux chiffres significatifs — deux ici, parce qu'elle commence par un 1 — puis la valeur au même rang décimal.

1.5 Comparaison de deux valeurs : l'écart normalisé

Comment décider si une valeur mesurée est « compatible » avec une valeur de référence, ou avec la valeur mesurée par un autre binôme ? Comparer les valeurs nues ne suffit pas : tout dépend des incertitudes. Le critère quantitatif est l'écart normalisé.

Définition 1.16écart normalisé

Soient deux valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ d'une même grandeur, d'incertitudes-types $u (x_{1})$ et $u (x_{2})$ indépendantes. L'écart normalisé (ou $z$ -score) est

$z = \frac{∣ x _{1} - x _{2} ∣}{u ( x _{1} ) ^{2} + u ( x _{2} ) ^{2}}$

Si la référence $x_{ref}$ est connue sans incertitude appréciable, $z = ∣ x_{1} - x_{ref} ∣ / u (x_{1})$ .

Méthode : critère de compatibilité

Si $z ⩽ 2$ : les deux valeurs sont compatibles — l'écart observé s'explique par la seule variabilité des mesures (il resterait environ $5 %$ de chances d'observer un tel écart entre deux mesures d'une même valeur).
Si $z > 2$ : les valeurs sont incompatibles — l'écart est trop grand pour être imputé au hasard ; il faut en chercher la cause.

Importantanalyser une incompatibilité

Un écart normalisé $z > 2$ entre mesure et modèle ne signifie pas automatiquement que « la physique est fausse ». On examine dans l'ordre :

une erreur systématique non corrigée (zéro, étalonnage, perturbation par l'appareil) ;
une sous-évaluation des incertitudes (source oubliée, notice trop optimiste) ;
une hypothèse du modèle non vérifiée (petites oscillations, gaz supposé parfait, réaction supposée totale) ;
en dernier lieu seulement, la remise en cause du modèle lui-même.

Exemple 1.17mesure de

g

Un pendule donne $g = (9.74 \pm 0.13) m / s^{2}$ , à comparer à la référence locale $g_{ref} = 9.81 m / s^{2}$ (incertitude négligeable) :

$z = \frac{∣ 9.74 - 9.81 ∣}{0.13} = 0.54 ⩽ 2 :$

la mesure est compatible avec la référence. Si un autre binôme obtient $g = (10.32 \pm 0.10) m / s^{2}$ , alors $z = 5.1 > 2$ : incompatible — on suspectera par exemple une longueur de fil mesurée jusqu'au haut de la boule et non jusqu'à son centre (erreur systématique sur $L$ ). La figure fig:zscore met les deux situations en regard.

Figure : L'écart normalisé mesure la distance entre deux valeurs en unités de leur incertitude. Le binôme A tombe à un demi-

u

de la référence : l'écart est du même ordre que la variabilité de sa propre mesure, il n'y a rien à expliquer. Le binôme B en est à cinq

u

: sa barre, même élargie à

\pm 2 u

, n'atteint pas la référence, et un tel écart ne s'obtient pratiquement jamais par hasard — il y a une cause à trouver. Noter qu'une incertitude plus petite rend une mesure plus facilement incompatible : annoncer une incertitude est un engagement.

1.6 Régression linéaire

De très nombreuses expériences se ramènent à la vérification d'une loi affine $y = a x + b$ : période au carré d'un pendule en fonction de sa longueur, tension en fonction de l'intensité, absorbance en fonction de la concentration (loi de Beer-Lambert), $ln k$ en fonction de $1/ T$ (loi d'Arrhenius)… Il s'agit alors d'ajuster le modèle aux points expérimentaux, puis de valider cet ajustement.

1.6.1 Ajustement par la méthode des moindres carrés

Définition 1.18régression linéaire

Étant donné $n$ points expérimentaux $(x_{k}, y_{k})$ , la régression linéaire par la méthode des moindres carrés consiste à retenir les paramètres $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l'origine) qui rendent minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite :

$S (a, b) = k = 1 \sum n (y_{k} - a x_{k} - b)^{2} .$

Les quantités $r_{k} = y_{k} - (a x_{k} + b)$ sont les résidus de l'ajustement.

En pratique, on n'effectue jamais ce calcul à la main : on utilise un logiciel ou une fonction de bibliothèque — en Python, a, b = np.polyfit(x, y, 1) renvoie directement les paramètres optimaux (le développement théorique des formules de $a$ et $b$ n'est pas un objectif du programme).

Figure : Régression linéaire de

T^{2}

en fonction de

L

pour un pendule simple (données de la capacité numérique ci-après). En haut, l'ajustement : la droite traverse toutes les barres d'incertitude. En bas, le même ajustement vu à travers ses résidus

r_{k} = y_{k} - (a x_{k} + b)

, l'échelle verticale étant dilatée douze fois. Aucune structure n'apparaît : le modèle affine convient. Les résidus sont même nettement plus petits que

u (T^{2})

— tous les écarts normalisés valent moins de

0, 3

— ce qui suggère que l'incertitude

u (T) = 0.02 s

a été majorée.

1.6.2 Valider l'ajustement

Méthode : procédure de validation d'une régression

Une fois $a$ et $b$ obtenus :

Analyse graphique : tracer les points avec leurs barres d'incertitude et la droite ajustée. La droite doit traverser la grande majorité des barres (environ $95 %$ pour des barres à $\pm 2 u$ ).
Analyse des résidus : tracer $r_{k}$ en fonction de $x_{k}$ . Les résidus doivent être répartis aléatoirement autour de zéro, avec une amplitude comparable aux incertitudes $u (y_{k})$ . Une structure visible (résidus en forme de parabole, dérive) signale que le modèle affine est inadapté.
Écarts normalisés : vérifier que $z_{k} = ∣ r_{k} ∣ / u (y_{k}) ⩽ 2$ pour la quasi-totalité des points.
Confronter enfin les paramètres $a$ et $b$ à leurs valeurs théoriques par un écart normalisé (par exemple $b$ compatible avec $0$ si le modèle prévoit une droite passant par l'origine).

Attentionle coefficient

R^{2}

ne valide rien

Un coefficient de corrélation $R^{2} = 0.999$ n'est pas un critère de validation : des données franchement paraboliques peuvent donner un $R^{2}$ excellent, et des données parfaitement affines mais bruitées un $R^{2}$ médiocre. Le programme demande explicitement de ne pas s'appuyer sur une exploitation non raisonnée de $R^{2}$ : on valide par les barres d'incertitude, les résidus et les écarts normalisés. La figure fig:residus en donne l'exemple type.

Figure : Le coefficient

R^{2}

ne valide rien. À gauche, un étalonnage poussé hors du domaine de linéarité : l'alignement paraît excellent et

R^{2} = 0.9953

. À droite, les mêmes écarts rapportés à l'incertitude

u (A)

: ils dessinent une arche nette et sortent largement du couloir

\pm 2

. Un résidu structuré — arche, dérive, marche — met toujours en cause le modèle, non la mesure : ici la loi de Beer-Lambert cesse d'être valable aux fortes concentrations.

1.6.3 Incertitude sur les paramètres : simulation Monte-Carlo

Quelle est l'incertitude sur la pente $a$ ? La méthode Monte-Carlo répond sans aucune formule : on simule un grand nombre de jeux de données plausibles en bruitant les $y_{k}$ selon leur incertitude-type, on refait la régression sur chaque jeu simulé, et la dispersion des pentes obtenues fournit $u (a)$ .

Capacité numérique : Monte-Carlo sur les paramètres d'une régression

Mesure de $g$ par un pendule simple : $T = 2 π L / g$ , donc $T^{2} = a L$ avec $a = 4 π^{2} / g$ . On mesure $T$ pour cinq longueurs, avec $u (T) = 0.02 s$ .


import numpy as np

# ---- donnees experimentales ----
L  = np.array([0.20, 0.40, 0.60, 0.80, 1.00])   # longueurs (m)
T  = np.array([0.90, 1.27, 1.55, 1.80, 2.01])   # periodes (s)
uT = 0.02                                        # incertitude-type sur T (s)

x, y = L, T**2                                   # modele lineaire : T^2 = a L + b
uy   = 2 * T * uT                                # propagation : u(T^2) = 2 T u(T)

# ---- ajustement de reference (moindres carres) ----
a0, b0 = np.polyfit(x, y, 1)
residus = y - (a0 * x + b0)
print("ecarts normalises :", np.abs(residus) / uy)   # tous <= 2 : modele valide

# ---- Monte-Carlo : on bruite y et on reajuste ----
N = 10_000
A = np.zeros(N)
B = np.zeros(N)
for k in range(N):
    y_sim = y + np.random.normal(0.0, uy)        # un nuage simule plausible
    A[k], B[k] = np.polyfit(x, y_sim, 1)         # regression sur le nuage

print(f"a = {A.mean():.3f} +/- {A.std(ddof=1):.3f} s^2/m")  #   4.043 +/- 0.098
print(f"b = {B.mean():.3f} +/- {B.std(ddof=1):.3f} s^2")    #   -0.005 +/- 0.052

# ---- retour a la grandeur physique ----
g = 4 * np.pi**2 / A                              # une valeur de g par tirage
print(f"g = {g.mean():.2f} +/- {g.std(ddof=1):.2f} m/s^2")  #   9.77 +/- 0.24

On en déduit $g = (9.77 \pm 0.24) m / s^{2}$ , compatible ( $z = 0.2$ ) avec la valeur de référence $9.81 m / s^{2}$ . Noter les trois étages : bruiter les données selon $u (y_{k})$ , réajuster, lire la dispersion — exactement le même principe que pour la grandeur composée de la section sec:composees. L'ordonnée à l'origine $b$ est compatible avec $0$ , comme le prévoit le modèle.

iRemarque

Cette simulation illustre aussi la corrélation entre paramètres : sur un nuage de points (A[k], B[k]), on observe une ellipse inclinée (figure fig:mcparams) — une pente simulée trop forte s'accompagne d'une ordonnée à l'origine trop faible. C'est une richesse de Monte-Carlo que les formules toutes faites masquent.

Figure : Les 4000 couples

(a, b)

obtenus en rebruitant les données et en réajustant à chaque fois. Les écarts-types de ce nuage sont les incertitudes

u (a)

u (b)

. Mais le nuage n'est pas un rectangle : c'est une ellipse inclinée (

r = - 0.89

), parce qu'une pente surestimée se compense par une ordonnée à l'origine sous-estimée — la droite pivote autour du barycentre des points. Les coins du rectangle en pointillés ne correspondent donc à aucun ajustement plausible, ce que les incertitudes

u (a)

u (b)

prises séparément ne disent pas.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

exercice 1 : évaluation de type A

On mesure huit fois la masse d'une pièce à la balance : $m$ ( $g$ ) $= 7.52$ ; $7.49$ ; $7.51$ ; $7.53$ ; $7.50$ ; $7.48$ ; $7.52$ ; $7.51$ . Donner le résultat de mesure.

Démonstration

Moyenne : $m = 7.5075 g$ . Écart-type expérimental : $s = 0.0167 g$ . Incertitude-type sur la moyenne : $u (m) = s / 8 = 5.9 \times 1 0^{- 3} g$ . Le premier chiffre significatif est un 5 : un seul chiffre suffit, position du millième de gramme. Résultat : $m = (7.508 \pm 0.006) g$ (incertitude-type).

exercice 2 : évaluation de type B et burette

Une burette graduée en $0.1 mL$ indique un volume équivalent $V_{E} = 12.65 mL$ (lecture estimée à la demi-graduation). Par ailleurs la notice de la burette indique une tolérance de justesse de $\pm 0.05 mL$ . Évaluer $u (V_{E})$ .

Démonstration

Deux contributions de type B : la lecture, $u_{1} = \frac{0.1/2}{3} = 0.029 mL$ , et la justesse, $u_{2} = \frac{0.05}{3} = 0.029 mL$ . Elles sont indépendantes, donc s'ajoutent quadratiquement :

$u (V_{E}) = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = 0.041 mL \approx 0.05 mL .$

Résultat : $V_{E} = (12.65 \pm 0.05) mL$ . (En toute rigueur il faudrait aussi compter la goutte d'ajustement du virage ; en titrage c'est souvent elle qui domine.)

exercice 3 : incertitude composée sur une masse volumique

On mesure $m = (126.4 \pm 0.2) g$ et $V = (46.5 \pm 0.5) c m^{3}$ . Donner $ρ = m / V$ avec son incertitude, et identifier la contribution dominante.

Démonstration

$ρ = 126.4/46.5 = 2.718 g / c m^{3}$ . Incertitudes relatives : $u (m) / m = 1.6 \times 1 0^{- 3}$ et $u (V) / V = 1.08 \times 1 0^{- 2}$ . Les contributions au carré valent $2.5 \times 1 0^{- 6}$ et $1.16 \times 1 0^{- 4}$ : le volume domine (facteur $\sim 46$ ), la masse est négligeable.

$\frac{u ( ρ )}{ρ} = 2.5 \times 1 0^{- 6} + 1.16 \times 1 0^{- 4} = 1.09 \times 1 0^{- 2} \Rightarrow u (ρ) = 0.030 g / c m^{3} .$

Résultat : $ρ = (2.72 \pm 0.03) g / c m^{3}$ — vraisemblablement de l'aluminium ( $ρ_{ref} = 2.70 g / c m^{3}$ , $z = 0.7$ : compatible). Pour améliorer la mesure : soigner le volume (éprouvette plus fine, pesée hydrostatique), pas la masse.

exercice 4 : écart normalisé entre deux binômes

Deux binômes mesurent la même capacité thermique massique de l'eau : $c_{1} = (4.25 \pm 0.12) kJ / kg / K$ et $c_{2} = (3.91 \pm 0.10) kJ / kg / K$ . Leurs résultats sont-ils compatibles entre eux ? Avec la référence $c_{ref} = 4.18 kJ / kg / K$ ?

Démonstration

Entre binômes : $z = \frac{∣ 4.25 - 3.91 ∣}{0.1 2 ^{2} + 0.1 0 ^{2}} = \frac{0.34}{0.156} = 2.2 > 2$ : incompatibles. Avec la référence : $z_{1} = ∣ 4.25 - 4.18 ∣ /0.12 = 0.6$ (compatible) ; $z_{2} = ∣ 3.91 - 4.18 ∣ /0.10 = 2.7$ (incompatible). Le binôme 2 doit chercher une erreur systématique, en prenant garde au sens de chaque cause : négliger les fuites thermiques ou la valeur en eau du calorimètre fait mesurer une élévation de température plus faible pour la même énergie fournie, donc surestime $c$ — ces causes-là expliqueraient le binôme 1, pas le binôme 2. Une valeur trop basse oriente au contraire vers une masse d'eau surévaluée, une énergie fournie sous-évaluée (durée ou puissance de chauffage), ou une incertitude sous-estimée.

exercice 5 : valider une régression

Un étalonnage de spectrophotomètre (loi de Beer-Lambert $A = k c$ ) donne, pour cinq concentrations $c$ ( $m mol / L$ ) $= 2.0$ ; $4.0$ ; $6.0$ ; $8.0$ ; $10.0$ , les absorbances $A = 0.181$ ; $0.365$ ; $0.552$ ; $0.749$ ; $0.960$ , avec $u (A) = 0.010$ . La régression donne $k = 9.71 \times 1 0^{- 2} L / m mol$ et $b = - 2.1 \times 1 0^{- 2}$ , et les résidus valent $r = (+ 0.008; - 0.002; - 0.009; - 0.007; + 0.010)$ ... puis un camarade propose plutôt $b$ fixé à $0$ , ce qui donne $k^{'} = 9.42 \times 1 0^{- 2}$ et $r^{'} = (- 0.007; - 0.012; - 0.013; - 0.005; + 0.018)$ . Que conclure ?

Démonstration

Pour le premier ajustement, les écarts normalisés $z_{k} = ∣ r_{k} ∣ / u (A)$ valent $0.8$ ; $0.2$ ; $0.9$ ; $0.7$ ; $1.0$ : tous $⩽ 2$ , les résidus sont compatibles avec les incertitudes. L'ordonnée à l'origine : il faut son incertitude ; une simulation Monte-Carlo (bruiter les $A$ avec $u (A) = 0.010$ , réajuster) donne $u (b) \approx 0.010$ , donc $z_{b} = 0.021/0.010 = 2.1$ : $b$ est à la limite de l'incompatibilité avec $0$ , alors que la loi de Beer-Lambert impose une droite passant par l'origine — on soupçonne un petit décalage systématique (réglage du zéro, cuve de référence). Le second ajustement, contraint par le modèle physique, a des résidus du même ordre ( $z_{k}^{'} ⩽ 1.8$ ) : il est tout aussi acceptable et physiquement plus juste, c'est donc lui qu'on retient. Moralité : on ne départage pas deux ajustements au vu du seul $R^{2}$ , mais par la cohérence des résidus avec les incertitudes et par la conformité au modèle.

1.8 Synthèse

Importantl'essentiel du chapitre

Sources d'incertitude : opérateur, environnement, instruments, méthode. Répéter réduit l'aléatoire, jamais le systématique.
Type A : $n$ mesures répétées $\Rightarrow u (x) = s / n$ . Type B : demi-étendue $a$ (notice, graduation, digit) $\Rightarrow u (x) = a / 3$ .
Loi normale : $x \pm u$ contient la valeur à $68 %$ , $x \pm 2 u$ à $95 %$ , $x \pm 3 u$ à $99.7 %$ .
Composition : somme/différence $\Rightarrow$ quadrature des incertitudes absolues ; produit/quotient $\Rightarrow$ quadrature des incertitudes relatives. Comparer les contributions ; Monte-Carlo (np.random.normal puis calcul en bloc) marche dans tous les cas.
Écriture : incertitude à 1--2 chiffres significatifs, valeur arrondie à la même position, unité, facteur d'élargissement précisé.
Comparaison : écart normalisé $z = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ / u (x_{1})^{2} + u (x_{2})^{2}$ ; compatible si $z ⩽ 2$ , sinon chercher une cause (systématique, incertitude sous-évaluée, hypothèse du modèle).
Régression linéaire : ajuster par moindres carrés (np.polyfit), valider par barres d'incertitude + résidus + écarts normalisés (pas par $R^{2}$ ), obtenir $u (a)$ et $u (b)$ par Monte-Carlo.

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