Mesures et incertitudes

Cours · mesures et incertitudes (MPSI), chapitre 1 · CPGE MPSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Des mesures répétées, leur valeur moyenne et l'intervalle donné par l'incertitude.

Une valeur expérimentale sans incertitude ne dit rien : affirmer que $g = 9, 7 m / s^{2}$ n'a de sens que si l'on sait si cette valeur est connue à $\pm 0, 5 m / s^{2}$ ou à $\pm 0, 01 m / s^{2}$ près. Ce chapitre, commun aux six livres de physique-chimie (Mécanique, Ondes, Optique, Thermodynamique, Électricité, Chimie), fixe le langage et les outils utilisés dans toutes les séances de travaux pratiques : incertitude-type, propagation, écriture d'un résultat, comparaison par écart normalisé et régression linéaire. Sa pleine maîtrise est un objectif de fin de seconde année.

1.1 Variabilité de la mesure et vocabulaire de la métrologie

1.1.1 Une mesure est un processus variable

Si l'on mesure dix fois la période d'un même pendule avec le même chronomètre, on obtient dix valeurs légèrement différentes : la mesure d'une grandeur physique est un processus intrinsèquement variable. Cette variabilité n'est pas une faute de l'expérimentateur, c'est une propriété du processus de mesure, qu'il faut quantifier pour pouvoir exploiter le résultat.

Définition 1.1mesurande, mesurage

Le mesurande est la grandeur que l'on veut mesurer (une longueur, une concentration, une tension…). Le mesurage est l'ensemble des opérations permettant d'attribuer une valeur au mesurande. Le résultat de mesure associe une valeur numérique, une unité et une incertitude.

Définition 1.2variabilité, incertitude

La variabilité de la mesure est le fait que des mesurages répétés du même mesurande, dans des conditions comparables, ne donnent pas tous la même valeur. L'incertitude est le paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs que l'on peut raisonnablement attribuer au mesurande.

Méthode : identifier les sources d'incertitude

Avant tout calcul, on recense les sources de variabilité en les rattachant aux quatre familles suivantes :

l'opérateur : temps de réaction au déclenchement d'un chronomètre, appréciation d'un virage coloré, lecture d'un ménisque sous un mauvais angle (parallaxe) ;
l'environnement : température de la salle qui dérive, vibrations, courants d'air, lumière parasite sur un capteur ;
les instruments : résolution de l'affichage, justesse du calibre, tolérance de la verrerie, vieillissement, bruit électronique ;
la méthode de mesure : perturbation du montage par l'appareil (résistance d'entrée d'un voltmètre), modèle simplifié (pendule supposé aux petites oscillations), fuite thermique dans un calorimètre.

Exemple 1.3mesure de la période d'un pendule

On mesure au chronomètre manuel la durée de 10 oscillations d'un pendule. Sources d'incertitude : le temps de réaction de l'opérateur ( $\sim 0, 2 s$ au départ et à l'arrivée), la résolution du chronomètre ( $0, 01 s$ ), l'amortissement qui modifie légèrement la période (méthode), les courants d'air (environnement). Ici, la contribution de l'opérateur domine largement : c'est elle qu'il faudra réduire (mesurer 10 périodes plutôt qu'une, déclencher au passage par la verticale où la vitesse est maximale).

1.1.2 Erreur et incertitude, justesse et fidélité

Définition 1.4erreur de mesure

Si le mesurande possédait une valeur vraie $x_{vrai}$ , l'erreur d'un mesurage donnant $x$ serait $e = x - x_{vrai}$ . Elle se décompose en :

une erreur aléatoire, qui change de façon imprévisible d'un mesurage à l'autre et se moyenne à zéro sur un grand nombre de répétitions ;
une erreur systématique (ou biais), qui affecte toutes les mesures de la même façon : zéro d'un appareil mal réglé, étalonnage périmé, oubli d'une correction (poussée d'Archimède sur une pesée fine, résistance interne d'un ampèremètre).

Important

L'erreur est inconnaissable (la valeur vraie ne l'est pas) ; l'incertitude, elle, s'évalue. Répéter les mesures réduit l'effet des erreurs aléatoires mais ne corrige jamais une erreur systématique : celle-ci ne peut être débusquée que par une analyse critique du protocole ou par comparaison avec une autre méthode ou une valeur de référence (voir l'écart normalisé, section sec:ecart-normalise).

Définition 1.5justesse, fidélité, résolution

Un procédé de mesure est juste si la moyenne d'un grand nombre de mesures est proche de la valeur de référence (erreurs systématiques faibles). Il est fidèle si les mesures répétées sont peu dispersées (erreurs aléatoires faibles). La résolution d'un instrument est la plus petite variation du mesurande qu'il permet de distinguer (par exemple le dernier digit d'un affichage numérique).

iRemarque

L'image classique est celle du tir sur cible : un tireur fidèle mais non juste groupe ses impacts loin du centre (biais) ; un tireur juste mais non fidèle disperse ses impacts autour du centre. Un bon protocole vise les deux à la fois : la figure fig:cibles croise les quatre situations.

Figure : Justesse et fidélité, illustrées par le tir sur cible. La justesse se lit à la position de la moyenne des impacts (

\times

) par rapport au centre : l'écart entre les deux est le biais, c'est-à-dire l'erreur systématique. La fidélité se lit à la dispersion des impacts autour de leur moyenne : c'est l'erreur aléatoire. Répéter les tirs resserre la position du

\times

mais ne le déplace pas : la répétition ne corrige jamais un biais.

1.2 L'incertitude-type

Définition 1.6incertitude-type

L'incertitude-type $u (x)$ associée au résultat de mesure $x$ d'un mesurande $X$ est l'écart-type de la distribution des valeurs que l'on peut raisonnablement attribuer à $X$ . Elle a la même unité que $x$ . On distingue deux façons de l'évaluer : l'évaluation statistique (type A) et l'évaluation par tout autre moyen (type B).

1.2.1 Évaluation de type A : approche statistique

On répète $n$ fois le mesurage dans des conditions comparables et on obtient les valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ .

Proposition 1.7incertitude-type de type A

On retient comme valeur mesurée la moyenne

$x = \frac{1}{n} k = 1 \sum n x_{k},$

et l'on caractérise la dispersion des mesures par l'écart-type expérimental

$s = \frac{1}{n - 1} k = 1 \sum n (x_{k} - x)^{2} .$

L'incertitude-type sur la moyenne est alors

$u (x) = \frac{s}{n}$

iRemarque

Le facteur $1/ n$ traduit le bénéfice de la répétition : la moyenne de $n$ mesures est $n$ fois moins dispersée qu'une mesure isolée. Mais ce bénéfice est lent (diviser l'incertitude par 10 exige 100 fois plus de mesures) et ne porte que sur la part aléatoire.

Exemple 1.8période d'un pendule, type A

Dix mesures de la période $T$ d'un pendule (en secondes) :

$1, 42; 1, 45; 1, 44; 1, 41; 1, 46; 1, 43; 1, 44; 1, 42; 1, 45; 1, 43.$

On calcule $T = 1, 435 s$ et $s = 0, 016 s$ , d'où

$u (T) = \frac{s}{10} = 5, 1 \times 1 0^{- 3} s \approx 0, 005 s .$

Résultat : $T = (1, 435 \pm 0, 005) s$ (incertitude-type). La figure fig:dispersion porte ces dix valeurs sur un axe et met en regard la dispersion des mesures et celle de leur moyenne ; la figure fig:histo montre l'histogramme d'une série de 200 mesures du même type : la distribution en cloche est bien décrite par une loi normale.

Figure : En haut : les dix mesures de l'exemple précédent, portées sur un axe (les valeurs répétées sont empilées). La bande claire, de demi-largeur

s

, décrit la dispersion d'une mesure isolée ; la bande sombre, de demi-largeur

s / 10

, décrit celle de leur moyenne : c'est elle l'incertitude-type du résultat. En bas : décroissance de

u (T) = s / n

. Le gain est réel mais s'épuise vite ; au-delà de quelques dizaines de mesures, seul un meilleur protocole fait encore progresser le résultat — et aucune répétition n'agit sur la part systématique.

Figure : Histogramme de 200 mesures répétées d'une période

T

(classes de

0, 01 s

) et loi normale de même moyenne et de même écart-type. L'écart-type expérimental

s

mesure la largeur de la cloche : il caractérise la dispersion d'une mesure et ne diminue pas quand

n

augmente. L'incertitude sur la moyenne, elle, vaut

s / n

: c'est le segment étroit tracé en haut de la figure, quatorze fois plus court que

s

pour

n = 200

1.2.2 Évaluation de type B : sans statistique

Quand on ne dispose que d'une mesure (lecture unique d'un appareil, verrerie jaugée), on évalue l'incertitude-type à partir des informations disponibles : notice du constructeur, graduation, tolérance gravée, jugement de l'expérimentateur.

Proposition 1.9loi uniforme et demi-étendue

Si l'on sait seulement que la valeur du mesurande est comprise dans un intervalle $[x - a, x + a]$ de demi-étendue $a$ , sans qu'aucune valeur de l'intervalle soit plus probable qu'une autre (distribution uniforme), alors

$u (x) = \frac{a}{3}$

Le $3$ n'a rien d'arbitraire : c'est l'écart-type d'une loi uniforme de demi-largeur $a$ (figure fig:typeb).

Figure : Évaluation de type B. Faute d'information supplémentaire, on décrit le mesurande par une loi rectangulaire : toutes les valeurs de

[x - a, x + a]

sont également plausibles, aucune au-delà. L'incertitude-type est par définition l'écart-type de cette loi, et l'écart-type d'une loi uniforme de demi-largeur

a

vaut exactement

a / 3

: c'est toute l'origine du

3

. Le

\pm u

ainsi obtenu ne couvre que

58 %

du rectangle, contre

68 %

pour la loi normale de même écart-type (en pointillés) : une incertitude-type n'est jamais un encadrement garanti.

Méthode : évaluations de type B usuelles

Affichage numérique de résolution $δ$ (un digit) : $a = δ /2$ , donc $u (x) = \frac{δ}{2 3}$ .
Échelle graduée (règle, burette) : on estime la lecture à une demi-graduation près, $u (x) = \frac{graduation}{2 3}$ (à ajuster selon les conditions réelles de lecture).
Notice constructeur donnant une précision $\pm Δ$ (par exemple $\pm (0, 5 % de la lecture + 2 digits)$ pour un multimètre) : on prend $a = Δ$ et $u (x) = Δ/ 3$ .
Verrerie jaugée de classe A : la tolérance gravée (par exemple $\pm 0, 03 mL$ pour une pipette de $25 mL$ ) joue le rôle de $a$ .

La suite du cours