Lumière, rayon lumineux et indice

Cours complet · optique géométrique (PCSI), chapitre 1 · CPGE PCSI (1re année)

L'optique géométrique décrit la lumière à l'aide d'un objet idéalisé : le rayon lumineux. Ce modèle, d'une remarquable simplicité, explique la formation des images par les miroirs et les lentilles — objet de tout ce livre. Mais avant de tracer des rayons, il faut préciser ce qu'est une source de lumière, comment la caractériser par son spectre, et comment un milieu transparent modifie la propagation à travers son indice.

On verra aussi que le modèle du rayon a des limites : il cesse d'être valable lorsque la lumière rencontre des objets de taille comparable à sa longueur d'onde — c'est alors la diffraction (étudiée dans le livre des ondes) qui domine.

1.1 Sources lumineuses et spectre

La lumière est une onde électromagnétique ; la lumière visible correspond aux longueurs d'onde (dans le vide) comprises entre environ $400 nm$ (violet) et $800 nm$ (rouge).

Définition 1.1Source ponctuelle monochromatique

Une source ponctuelle est une source de dimension négligeable, d'où la lumière diverge dans toutes les directions. Elle est monochromatique si elle n'émet qu'une seule longueur d'onde (une seule « couleur »). C'est un modèle idéalisé, brique de base de l'optique géométrique.

Définition 1.2Spectre

Le spectre d'une source est la répartition de son intensité selon la longueur d'onde. On distingue :

les spectres continus (toutes les longueurs d'onde d'un domaine sont présentes) : corps incandescent, soleil ;
les spectres de raies (quelques longueurs d'onde discrètes) : lampes spectrales, tubes à gaz — chaque élément a ses raies caractéristiques.

On caractérise une source par son spectre, et l'on relie la longueur d'onde dans le vide à la couleur perçue.

1.2 Le modèle de l'optique géométrique

Définition 1.3Rayon lumineux

Dans le modèle de l'optique géométrique, la lumière se propage le long de rayons lumineux : des lignes orientées indiquant la direction et le sens de propagation de l'énergie. Un faisceau est un ensemble de rayons. Dans un milieu homogène, les rayons sont des droites (propagation rectiligne).

Définition 1.4Indice d'un milieu transparent

Dans un milieu transparent, la lumière se propage à la vitesse $v < c$ . L'indice de réfraction est

$n = \frac{c}{v} \geq 1$

( $c = 3.00 \times 1 0^{8} m / s$ dans le vide). La fréquence ne change pas en passant d'un milieu à l'autre, mais la longueur d'onde devient $λ = \frac{λ _{0}}{n}$ ( $λ_{0}$ : longueur d'onde dans le vide).

Exemple 1.5Quelques indices

Air : $n \approx 1, 00$ ; eau : $n \approx 1, 33$ ; verre : $n \approx 1, 5$ ; diamant : $n \approx 2, 42$ . Plus l'indice est élevé, plus la lumière y est lente.

Proposition 1.6Retour inverse de la lumière

Le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de parcours : si un rayon va de $A$ vers $B$ par un certain chemin, un rayon partant de $B$ en sens inverse suit exactement le même chemin. C'est le principe du retour inverse.

AttentionLimites du modèle

Le modèle du rayon n'est valable que si les dimensions des obstacles et ouvertures rencontrés sont grandes devant la longueur d'onde. Lorsqu'une ouverture devient comparable à $λ$ , la lumière contourne les bords : c'est la diffraction, phénomène ondulatoire (livre des ondes), que l'optique géométrique ne peut décrire.

Capacité numérique : Vitesse et longueur d'onde selon le milieu

On calcule $v = c / n$ et $λ = λ_{0} / n$ dans différents milieux.


c = 3.00e8        # vitesse de la lumiere dans le vide (m/s)
lam0 = 600e-9     # longueur d'onde dans le vide (m), orange

milieux = [("air", 1.00), ("eau", 1.33), ("verre", 1.50), ("diamant", 2.42)]
for nom, n in milieux:
    v = c / n              # vitesse dans le milieu
    lam = lam0 / n         # longueur d'onde dans le milieu
    print(nom, ": v =", "%.2e" % v, "m/s ,  lambda =", round(lam * 1e9), "nm")

La fréquence ( $f = c / λ_{0} = v / λ$ ) reste la même : c'est la longueur d'onde, donc la vitesse, qui change d'un milieu à l'autre.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.3 Exercices résolus

Exercice 1 : Couleur et longueur d'onde (

⋆

)

Une radiation a une longueur d'onde dans le vide de $650 nm$ . De quelle couleur s'agit-il ? Et $450 nm$ ?

Démonstration

$650 nm$ se situe vers le rouge, $450 nm$ vers le bleu/violet. Le visible va du violet ( $\sim$ $400 nm$ ) au rouge ( $\sim$ $800 nm$ ).

Exercice 2 : Vitesse dans le verre (

⋆

)

Calculer la vitesse de la lumière dans un verre d'indice $n = 1, 5$ .

Démonstration

$v = \frac{c}{n} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{1 , 5} = 2.0 \times 1 0^{8} m / s$ : la lumière y est $1, 5$ fois plus lente que dans le vide.

Exercice 3 : Longueur d'onde dans l'eau (

⋆ ⋆

)

Une lumière de $600 nm$ dans le vide pénètre dans l'eau ( $n = 1, 33$ ). Que deviennent sa fréquence et sa longueur d'onde ?

Démonstration

La fréquence est inchangée : $f = c / λ_{0} = 3, 0 \times 1 0^{8} /600 \times 1 0^{- 9} = 5.0 \times 1 0^{14} Hz$ . La longueur d'onde diminue : $λ = λ_{0} / n = 600/1, 33 \approx 451 nm$ . (La couleur perçue, liée à la fréquence, ne change pas.)

Exercice 4 : Continu ou de raies (

⋆ ⋆

)

Comment distingue-t-on, à l'aide d'un spectroscope, la lumière du Soleil de celle d'une lampe à vapeur de sodium ?

Démonstration

Le Soleil (corps incandescent) donne un spectre continu (toutes les couleurs, avec des raies d'absorption fines). La lampe au sodium donne un spectre de raies, dominé par le doublet jaune caractéristique (vers $589 nm$ ). Le spectre permet donc d'identifier la nature de la source.

Exercice 5 : Indice à partir de la vitesse (

⋆ ⋆

)

Dans un milieu, la lumière se propage à $v = 1.24 \times 1 0^{8} m / s$ . Quel est son indice ?

Démonstration

$n = \frac{c}{v} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{1 , 24 \times 1 0 ^{8}} \approx 2, 4$ : c'est l'ordre de grandeur du diamant.

Exercice 6 : Quand la diffraction intervient-elle ? (

⋆ ⋆

)

Une lumière visible passe par une fente. À partir de quelle largeur de fente l'optique géométrique cesse-t-elle d'être valable ?

Démonstration

Le modèle du rayon vaut tant que la largeur reste grande devant $λ \sim 0.5 μ m$ . Pour une fente de l'ordre du micromètre ou moins, la diffraction devient notable : la lumière s'étale et l'optique géométrique échoue.

Exercice 7 : Temps de traversée d'une lame (

⋆ ⋆

)

Combien de temps la lumière met-elle pour traverser une lame de verre ( $n = 1, 5$ ) d'épaisseur $e = 1.0 cm$ ?

Démonstration

Vitesse dans le verre $v = c / n = 2.0 \times 1 0^{8} m / s$ . Le temps est $t = \frac{e}{v} = \frac{1 0 ^{- 2}}{2 , 0 \times 1 0 ^{8}} = 5.0 \times 1 0^{- 11} s$ ( $50 ps$ ).

Exercice 8 : Ombre d'une source ponctuelle (

⋆ ⋆ ⋆

)

Une source ponctuelle éclaire une boule opaque. Expliquer, par la propagation rectiligne, la formation d'une ombre nette. Que se passe-t-il avec une source étendue ?

Démonstration

La lumière se propageant en ligne droite, les rayons issus de $S$ tangents à la boule délimitent un cône d'ombre derrière elle : l'ombre est nette (un point de l'écran est éclairé ou non). Avec une source étendue, chaque point de la source crée son propre cône ; les bords se chevauchent, créant une zone de pénombre (éclairée par une partie seulement de la source) autour de l'ombre.

1.4 Synthèse du chapitre

À retenir

Lumière visible : $400$ (violet) à $800 nm$ (rouge) ; couleur $\leftrightarrow$ longueur d'onde dans le vide.
Source ponctuelle monochromatique (modèle) ; spectre continu (incandescence) ou de raies (lampes) caractérise la source.
Optique géométrique : la lumière se propage le long de rayons rectilignes dans un milieu homogène ; retour inverse.
Indice $n = c / v \geq 1$ ; $λ = λ_{0} / n$ (fréquence inchangée).
Limite du modèle : invalide quand les dimensions sont comparables à $λ$ (diffraction).

1.5 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Donner la fréquence d'une lumière verte de $550 nm$ .

( $⋆$ ) Vitesse de la lumière dans le diamant ( $n = 2, 42$ ).

( $⋆$ ) Classer par longueur d'onde croissante : rouge, bleu, vert, violet.

( $⋆ ⋆$ ) Une lumière jaune ( $589 nm$ ) entre dans un verre $n = 1, 52$ : longueur d'onde et vitesse dans le verre ?

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi la couleur d'un objet ne change-t-elle pas quand on le regarde sous l'eau, alors que la longueur d'onde y est plus petite ?

( $⋆ ⋆$ ) Estimer la distance parcourue par la lumière dans le vide en $1 ns$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un spectre solaire présente des raies sombres (raies de Fraunhofer). Proposer une interprétation qualitative.

( $⋆ ⋆$ ) Justifier que l'indice d'un milieu est toujours $\geq 1$ .

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, ajouter un milieu d'indice $n = 1, 33$ et vérifier $λ$ et $v$ .

( $⋆ ⋆$ ) Distinguer ombre et pénombre lors d'une éclipse de Soleil.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Une chambre noire (sténopé) forme une image renversée d'un objet : expliquer par la propagation rectiligne et discuter l'effet de la taille du trou.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi parle-t-on de longueur d'onde « dans le vide » pour définir une couleur, plutôt que dans le milieu de propagation ?

1.6 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : mesurer des distances astronomiques avec la lumière, comprendre la chambre noire, les ombres et éclipses, la vitesse finie de la lumière et les limites du modèle du rayon.

Exemple 1.15Mesurer la distance Terre-Lune au laser (

⋆ ⋆

)

Les missions Apollo ont déposé sur la Lune des rétroréflecteurs. Depuis la Terre, on envoie une impulsion laser vers ce miroir et l'on chronomètre le retour de l'écho : $Δ t = 2.56 s$ ( $c = 3.00 \times 1 0^{8} m / s$ ).

Pourquoi l'impulsion fait-elle un aller-retour ? En déduire la distance Terre-Lune.
L'horloge mesure le temps à la nanoseconde près. Quelle précision obtient-on sur la distance ?
Pourquoi un rétroréflecteur (qui renvoie la lumière exactement vers la source) plutôt qu'un miroir plan ordinaire ?

Démonstration

1. La lumière va à la Lune et revient : $2 d = c Δ t$ , d'où $d = \frac{c Δ t}{2} = \frac{3 , 00 \times 1 0 ^{8} \times 2 , 56}{2} \approx 3.84 \times 1 0^{8} m = 384000 km$ .

2. $δ d = \frac{c δ t}{2} = \frac{3 , 00 \times 1 0 ^{8} \times 1 0 ^{- 9}}{2} \approx 0.15 m$ : on mesure la distance Terre-Lune au décimètre près ! (C'est ainsi qu'on a mesuré l'éloignement de la Lune, $\approx 3.8 cm$ par an.)

3. Un miroir plan ne renverrait la lumière vers la Terre que s'il était parfaitement orienté ; le moindre basculement enverrait l'écho ailleurs. Un rétroréflecteur renvoie tout rayon vers sa source quelle que soit l'orientation : on récupère toujours un (faible) signal.

Exemple 1.16La chambre noire (sténopé) (

⋆ ⋆

)

Une chambre noire est une boîte fermée percée d'un minuscule trou ; sur la paroi du fond, à $D = 20 cm$ du trou, se forme une image. On vise un arbre de hauteur $H = 6.0 m$ situé à $d = 30 m$ du trou.

À l'aide de la propagation rectiligne, expliquer pourquoi l'image est renversée.
Calculer la hauteur $h$ de l'image.
Si l'on agrandit le trou, l'image devient plus lumineuse mais floue ; si on le réduit trop, elle redevient floue. Expliquer les deux effets.

Démonstration

1. Chaque point de l'objet n'envoie à travers le trou qu'un fin pinceau rectiligne ; le rayon issu du haut de l'arbre arrive en bas de l'écran (et inversement) : l'image est renversée.

2. Par le théorème de Thalès sur les rayons passant par le trou : $\frac{h}{H} = \frac{D}{d}$ , donc $h = H \frac{D}{d} = 6, 0 \times \frac{0 , 20}{30} = 4.0 cm$ .

3. Trou trop grand : chaque point de l'objet envoie un faisceau large, qui forme une tache (les images se chevauchent) $\to$ flou géométrique. Trou trop petit : ses dimensions deviennent comparables à $λ$ et la diffraction étale la lumière $\to$ flou de diffraction. Il existe un diamètre optimal (compromis entre les deux).

Exemple 1.17Ombres et éclipses (

⋆ ⋆

)

Une source étendue (le Soleil) éclaire un objet opaque (la Lune). Derrière, on distingue une zone d'ombre totale et une zone de pénombre.

Définir ombre et pénombre à l'aide des rayons issus des bords de la source.
Lors d'une éclipse de Soleil, qui voit une éclipse totale ? une éclipse partielle ?
Pourquoi une éclipse totale n'est-elle visible que sur une bande étroite de la Terre ?

Démonstration

1. L'ombre (cône central) est la région d'où l'on ne voit aucun point de la source ; la pénombre est la région d'où l'on ne voit qu'une partie de la source (les rayons des deux bords ne se recouvrent que partiellement).

2. Un observateur dans l'ombre voit le Soleil entièrement masqué : éclipse totale. Dans la pénombre, une partie du Soleil reste visible : éclipse partielle.

3. Le cône d'ombre de la Lune est étroit et arrive à peine jusqu'à la Terre : son intersection avec le sol n'est qu'une petite tache (quelques dizaines de km), qui balaie une bande au fil du mouvement. Hors de cette bande, on n'est que dans la pénombre (partielle).

Exemple 1.18Rømer mesure la vitesse de la lumière (

⋆ ⋆ ⋆

)

En 1676, Rømer remarque que les éclipses du satellite Io de Jupiter sont retardées quand la Terre s'éloigne de Jupiter. Le retard cumulé sur six mois, quand la Terre passe d'un côté à l'autre de son orbite (diamètre $\approx 3.0 \times 1 0^{11} m$ ), vaut environ $Δ t \approx 1000 s$ .

D'où vient ce retard, si la lumière a une vitesse finie ?
Estimer la vitesse de la lumière à partir de ces données.
Pourquoi cette mesure était-elle révolutionnaire ?

Démonstration

1. Quand la Terre est plus loin de Jupiter, la lumière doit parcourir une distance supplémentaire (jusqu'au diamètre de l'orbite terrestre) : l'information « éclipse » arrive en retard. Le retard mesure ce trajet supplémentaire.

2. $c \approx \frac{distance suppl e ˊ mentaire}{Δ t} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{11}}{1000} = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ , remarquablement proche de la valeur exacte.

3. Elle prouvait que la lumière ne se propage pas instantanément (croyance répandue) mais à une vitesse finie et mesurable, à partir de simples observations astronomiques.

Exemple 1.19Voir le passé : les années-lumière (

⋆ ⋆

)

Une année-lumière (al) est la distance parcourue par la lumière en un an ( $c = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ ).

Calculer une année-lumière en mètres.
La lumière du Soleil met $8.3 min$ à nous parvenir ; l'étoile Proxima est à $4.2$ al. Que signifie « voir » ces astres ?
La galaxie d'Andromède est à $2, 5$ millions d'al. En quoi un télescope est-il une « machine à remonter le temps » ?

Démonstration

1. $1 al = c \times (1 an) = 3, 0 \times 1 0^{8} \times (365, 25 \times 24 \times 3600) \approx 9.5 \times 1 0^{15} m$ .

2. On voit les astres tels qu'ils étaient quand la lumière est partie : le Soleil il y a $8.3 min$ , Proxima il y a $4, 2$ ans. On observe toujours le passé.

3. La lumière d'Andromède a voyagé $2, 5$ millions d'années : on la voit telle qu'elle était avant même l'apparition de l'humanité. Regarder loin, c'est regarder tôt : le télescope montre l'Univers jeune.

Exemple 1.20La limite de diffraction de l'œil et des télescopes (

⋆ ⋆ ⋆

)

Le modèle du rayon ignore la diffraction, mais celle-ci impose une limite ultime à la finesse des images : deux points ne sont séparables que si leur écart angulaire dépasse $θ \approx \frac{λ}{D}$ , où $D$ est le diamètre de l'ouverture ( $λ = 550 nm$ ).

Pour la pupille de l'œil ( $D \approx 3 mm$ ), calculer $θ$ , puis le plus petit détail discernable à $25 cm$ (distance de lecture).
Pour le télescope Hubble ( $D = 2.4 m$ ), calculer $θ$ .
Pourquoi construit-on des télescopes toujours plus grands ?

Démonstration

1. $θ = \frac{λ}{D} = \frac{550 \times 1 0 ^{- 9}}{3 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 1.8 \times 1 0^{- 4} rad$ . À $25 cm$ , le plus petit détail vaut $θ \times 0, 25 \approx 4.6 \times 1 0^{- 5} m \approx 46 μ m$ (l'épaisseur d'un cheveu) : cohérent avec l'acuité visuelle.

2. $θ = \frac{550 \times 1 0 ^{- 9}}{2 , 4} \approx 2.3 \times 1 0^{- 7} rad$ , soit près de $1000$ fois plus fin que l'œil.

3. La résolution s'améliore quand $D$ augmente ( $θ \propto 1/ D$ ) : un grand miroir voit des détails plus fins (et capte plus de lumière). C'est la diffraction, pas l'optique géométrique, qui fixe cette limite.

Exemple 1.21La couleur d'un objet dépend de l'éclairage (

⋆ ⋆

)

La couleur perçue d'un objet résulte du produit du spectre de la source par la capacité de l'objet à réfléchir chaque longueur d'onde.

Un pull rouge réfléchit le rouge et absorbe le reste. De quelle couleur paraît-il sous une lumière blanche ?
De quelle couleur paraît-il sous une lampe monochromatique verte ?
Pourquoi les vêtements semblent-ils avoir des couleurs « fausses » sous l'éclairage orangé d'un lampadaire au sodium ?

Démonstration

1. La lumière blanche contient le rouge ; le pull le renvoie : il paraît rouge.

2. La lampe verte n'émet pas de rouge ; le pull absorbe le vert et n'a rien à renvoyer : il paraît noir (sombre).

3. La lampe au sodium n'émet quasiment que du jaune-orangé : les couleurs qui ne sont pas dans son spectre ne peuvent être renvoyées, donc tous les objets virent au jaunâtre ou au gris. La couleur perçue exige que la source contienne la longueur d'onde correspondante.

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