Stigmatisme, miroir plan et approximation de Gauss

L'image est le symétrique : à $60\mathrm{cm}$ derrière le miroir. La distance entre la personne et son image est donc $60+60=120\mathrm{cm}$.

Virtuelle (on ne peut pas la recueillir sur un écran ; elle est derrière le miroir, formée par les prolongements des rayons), de même taille que l'objet (grandissement de module $1$), droite.

Par symétrie et propagation rectiligne, les rayons venant du sommet de la tête et des pieds n'utilisent que la moitié de la hauteur : le miroir doit mesurer au minimum $H/2$, correctement positionné (son bord supérieur à mi-hauteur entre les yeux et le sommet du crâne). La distance au miroir n'intervient pas.

Tourner le miroir de $\alpha$ fait tourner la normale de $\alpha$, donc l'angle d'incidence augmente de $\alpha$ et l'angle de réflexion aussi : le rayon réfléchi tourne de $\boxed{2\alpha }$. C'est le principe d'amplification des galvanomètres à miroir.

Rigoureux : tous les rayons issus de $A$ passent exactement par $A^{\prime }$ (exemple : le miroir plan, pour tout point). Approché : les rayons passent approximativement par $A^{\prime }$, à condition de rester paraxiaux (exemple : une lentille mince dans les conditions de Gauss).

Rayons peu inclinés sur l'axe et peu éloignés de l'axe (paraxiaux). Conséquences : stigmatisme approché (image quasi ponctuelle d'un point) et aplanétisme (image plane et perpendiculaire à l'axe d'un petit objet plan perpendiculaire à l'axe).

Le stigmatisme approché est suffisant tant que la tache image est plus petite que le pixel, soit $\lesssim 5\mu \mathrm{m}$ : le capteur enregistre alors un point. Une tache plus grande étalerait le point sur plusieurs pixels (image floue).

L'image reste le symétrique de l'objet : si l'objet avance de $\mathrm{d}x$ vers le miroir, l'image avance de $\mathrm{d}x$ vers le miroir de l'autre côté. L'objet et son image se rapprochent donc à la vitesse $2v$ (chacun à $v$, en sens opposés).

1. Le rayon du sommet du crâne vers l'œil se réfléchit à mi-hauteur entre le crâne et les yeux ; celui des pieds se réfléchit à mi-hauteur entre les pieds et les yeux. Entre ces deux points de réflexion, la hauteur de miroir utile est exactement $H/2=\boxed{0.85\mathrm{m}}$.

2. Le bord supérieur doit être à mi-hauteur entre les yeux ($1.60\mathrm{m}$) et le sommet du crâne ($1.70\mathrm{m}$), soit à $1.65\mathrm{m}$ du sol.

3. Non : les points de réflexion sont des milieux indépendants de la distance. On se voit en entier dans un miroir de $H/2$ quelle que soit la distance.

1. Le rayon réfléchi tourne de $2\alpha$ (la rotation du miroir double l'angle du rayon).

2. $x=L\tan (2\alpha )\approx L\times 2\alpha =2,0\times 2\times (0,50\times \pi /180)\approx \boxed{3.5\mathrm{cm}}$.

3. Le facteur $2$ et le long bras de levier optique $L$ transforment une rotation minuscule en un déplacement bien visible : c'est une amplification mécanique sans pièce mobile fragile.

1. Le miroir du haut ($45^{\circ }$) renvoie le rayon horizontal vers le bas ; le miroir du bas ($45^{\circ }$) le renvoie à nouveau à l'horizontale, vers l'œil.

2. L'observateur voit comme si son œil était $d=1.2\mathrm{m}$ plus haut : c'est l'intérêt dans un sous-marin ou derrière un obstacle.

3. Deux réflexions dans le plan vertical : l'image reste droite (le haut reste en haut), simplement décalée verticalement.

1. $\theta =60^{\circ }$ : $N=360/60-1=\boxed{5}$ images. $\theta =45^{\circ }$ : $N=360/45-1=7$ images.

2. Quand $\theta \to 0$, $N\to \infty$ : les deux miroirs presque parallèles donnent une enfilade d'images de plus en plus nombreuses (et de plus en plus sombres).

3. Les réflexions multiples reproduisent l'objet en un motif à symétrie d'ordre $360/\theta$ ; les fragments colorés à l'extrémité fournissent l'objet, sans cesse multiplié.

1. La hauteur visée correspond à la rotation du rayon ($2\alpha$), alors qu'on tourne le miroir de $\alpha$ : la graduation est donc faite à double échelle (l'arc d'un sextant couvre $60^{\circ }$ mais mesure $120^{\circ }$ de hauteur).

2. On superpose dans la même lunette l'image du Soleil et l'horizon : le roulis fait bouger les deux ensemble, la mesure de leur écart reste valable.

3. La hauteur du Soleil à midi donne la latitude : c'est la base de la navigation astronomique.

1. $N=8$ : $d\approx 2,4\times 550\times 10^{-9}\times 8\approx 10.6\mu \mathrm{m}$. $N=22$ : $d\approx 29\mu \mathrm{m}$.

2. Dès que $d>p=4\mu \mathrm{m}$, la tache déborde du photosite : c'est déjà le cas à $N=8$ ($10.6\mu \mathrm{m}$). Fermer davantage (grand $N$) aggrave la diffraction.

3. Fermer le diaphragme réduit les aberrations (on se rapproche des conditions de Gauss, donc plus net) mais augmente la diffraction. L'optimum est un compromis intermédiaire (souvent $N\approx 5$ à $8$) : ni trop ouvert (aberrations), ni trop fermé (diffraction).

1. Chaque miroir donne l'image symétrique ; les images se forment en enfilade à des distances $d,3d,5d,\dots$ derrière chaque miroir (réflexions successives sur l'un puis l'autre).

2. À chaque réflexion, l'intensité est multipliée par $R=0,9$ : les images ayant subi de nombreuses réflexions sont fortement atténuées.

3. On cherche $0,9^k<0,10$, soit $k>\frac{\ln 0,10}{\ln 0,9}\approx 22$. Au-delà d'une vingtaine de réflexions, les images deviennent trop sombres pour être visibles : l'« infini » est en réalité limité par les pertes.