Instruments : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique

Cours complet · optique géométrique (PTSI), chapitre 5 · CPGE PTSI (1re année)

Les lois et les lentilles des chapitres précédents trouvent ici leurs applications. On modélise trois dispositifs emblématiques : l'œil, capteur biologique à lentille de vergence variable ; l'appareil photographique, avec sa profondeur de champ ; et la fibre optique à saut d'indice, qui guide la lumière par réflexion totale et dont on établira le cône d'acceptance et la dispersion intermodale. Ce chapitre clôt le livre d'optique géométrique.

5.1 L'œil

Définition 5.1Modèle de l'œil

On modélise l'œil par l'association d'une lentille convergente de vergence variable (cornée + cristallin) et d'un capteur plan fixe (la rétine), situé à une distance constante derrière la lentille. Pour voir net un objet, l'œil ajuste sa vergence : c'est l'accommodation.

Définition 5.2Punctum remotum et punctum proximum

le punctum remotum (PR) est le point le plus éloigné vu net sans accommoder (à l'infini pour un œil normal) ;
le punctum proximum (PP) est le point le plus proche vu net en accommodant au maximum ( $\approx 25 cm$ pour un œil normal).

La plage d'accommodation s'étend du PP au PR.

iRemarqueOrdres de grandeur

La rétine est à $\approx 17 mm$ de la lentille (vergence $\approx 59 δ$ pour l'infini). La plage d'accommodation d'un œil normal vaut quelques dioptries ( $\approx 4 δ$ ). La limite de résolution angulaire est de l'ordre de la minute d'arc ( $\approx 3 \times 1 0^{- 4} rad$ ) : deux points plus rapprochés angulairement ne sont pas séparés.

5.2 L'appareil photographique

Définition 5.3Modèle

L'appareil photographique est modélisé par une lentille (l'objectif, de focale $f^{'}$ ) formant une image réelle sur un capteur plan. La mise au point consiste à déplacer l'objectif pour que l'image de l'objet visé tombe exactement sur le capteur.

Définition 5.4Profondeur de champ

Le capteur ayant une résolution finie (pixel, ou cercle de confusion tolérable), une plage de distances d'objet donne une image suffisamment nette : c'est la profondeur de champ. Géométriquement, un objet hors mise au point donne une tache ; tant que cette tache reste plus petite que le cercle de confusion, l'image est jugée nette.

Méthode : Construction géométrique de la profondeur de champ

Pour un réglage donné (mise au point sur $P$ , ouverture $D$ du diaphragme, cercle de confusion $c$ toléré) :

l'image de $P$ tombe sur le capteur : point net ;
un point $P_{1}$ plus lointain a son image avant le capteur : le faisceau, qui continue en divergeant, y découpe une tache ;
un point $P_{2}$ plus proche a son image derrière : le faisceau, intercepté avant convergence, y découpe aussi une tache.

On recule $P_{1}$ et on avance $P_{2}$ jusqu'à ce que leurs taches atteignent le cercle de confusion $c$ : la profondeur de champ est la plage $[P_{2}, P_{1}]$ . Réduire l'ouverture $D$ amincit les faisceaux, donc les taches : la plage s'élargit.

Le point net $P$ (trait plein) converge sur le capteur ; le point plus lointain $P_{1}$ (pointillés) converge avant et laisse une tache. Tant que la tache reste sous le cercle de confusion $c$ , l'image est jugée nette : la plage correspondante est la profondeur de champ.

ImportantRéglages

Diaphragme : fermer le diaphragme (petite ouverture) augmente la profondeur de champ (taches plus fines), au prix de la luminosité.
Focale : une grande focale (téléobjectif) réduit la profondeur de champ (arrière-plan flou).
Durée d'exposition : une longue durée laisse entrer plus de lumière mais expose au flou de bougé (objets ou appareil en mouvement).

5.3 La fibre optique à saut d'indice

Définition 5.5Structure

Une fibre à saut d'indice est formée d'un cœur d'indice $n_{1}$ entouré d'une gaine d'indice $n_{2} < n_{1}$ . La lumière y est guidée par réflexions totales successives à l'interface cœur-gaine.

Méthode : Cône d'acceptance

Un rayon entrant par la face d'entrée (depuis l'air) sous l'angle $θ$ se réfracte dans le cœur ( $sin θ = n_{1} sin r$ ), puis frappe l'interface latérale sous l'angle $9 0^{\circ} - r$ . Il est guidé si $9 0^{\circ} - r \geq i_{l i m}$ , soit $cos r \geq n_{2} / n_{1}$ . L'angle d'entrée maximal $θ_{a}$ (demi-angle du cône d'acceptance) vérifie

$sin θ_{a} = n_{1}^{2} - n_{2}^{2} (ouverture num e ˊ rique) .$

Seuls les rayons entrant dans ce cône sont guidés.

Démonstration

À la limite, $cos r_{m a x} = n_{2} / n_{1}$ , donc $sin r_{m a x} = 1 - n_{2}^{2} / n_{1}^{2}$ . Or $sin θ_{a} = n_{1} sin r_{m a x} = n_{1} 1 - n_{2}^{2} / n_{1}^{2} = n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ .

Méthode : Dispersion intermodale

Les rayons guidés parcourent des trajets de longueurs différentes selon leur angle : le rayon axial est le plus rapide, le rayon le plus incliné le plus lent. Pour une fibre de longueur $L$ :

$t_{m i n} = \frac{L n _{1}}{c} (axial), t_{m a x} = \frac{L n _{1}}{c} \cdot \frac{n _{1}}{n _{2}} (inclin e ˊ, trajet L / cos r_{m a x}),$

d'où l'élargissement temporel (dispersion intermodale)

$Δ t = t_{m a x} - t_{m i n} = \frac{L n _{1} ( n _{1} - n _{2} )}{n _{2} c}$

Cette dispersion étale les impulsions et limite le débit d'information (d'où les fibres à gradient d'indice ou monomodes).

Capacité numérique : Ouverture numérique et dispersion d'une fibre


import numpy as np

n1, n2 = 1.50, 1.48        # coeur, gaine
c = 3.00e8                 # m/s
L = 1.0e3                  # longueur de la fibre (m)

ON = np.sqrt(n1**2 - n2**2)              # ouverture numerique
theta_a = np.degrees(np.arcsin(ON))      # demi-angle du cone d'acceptance
dt = L * n1 * (n1 - n2) / (n2 * c)       # dispersion intermodale

print("ouverture numerique :", round(ON, 3))
print("demi-angle d'acceptance :", round(theta_a, 1), "deg")
print("dispersion sur", int(L), "m :", "%.2e" % dt, "s")

Pour ces valeurs, $θ_{a} \approx 1 4^{\circ}$ et $Δ t \approx 68 ns$ par kilomètre : un débit trop élevé verrait ses impulsions se chevaucher.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.4 Exercices résolus

Exercice 1 : PP, PR, accommodation (

⋆

)

Définir PP et PR d'un œil normal et expliquer le rôle de l'accommodation.

Démonstration

PR $= \infty$ (vu sans accommoder), PP $\approx 25 cm$ (vu en accommodant au maximum). La rétine étant à distance fixe, l'œil augmente sa vergence (accommode) pour ramener sur la rétine l'image d'objets de plus en plus proches.

Exercice 2 : Vergence de l'œil (

⋆ ⋆

)

La rétine est à $O A^{'} = 17 mm$ . Calculer la vergence pour voir un objet à l'infini, puis au PP ( $25 cm$ ). En déduire l'amplitude d'accommodation.

Démonstration

$V = \frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A}$ . Infini : $V_{\infty} = \frac{1}{0 , 017} - 0 \approx 59 δ$ . PP : $V_{P P} = \frac{1}{0 , 017} - \frac{1}{- 0 , 25} = 59 + 4 = 63 δ$ . L'amplitude d'accommodation est $V_{P P} - V_{\infty} \approx 4 δ$ .

Exercice 3 : Résolution de l'œil (

⋆ ⋆

)

Deux points sont séparés angulairement de $1^{'}$ d'arc ( $\approx 3 \times 1 0^{- 4} rad$ ). À quelle distance maximale les distingue-t-on s'ils sont distants de $1 mm$ ?

Démonstration

La séparation angulaire $α \approx \frac{e}{D}$ (petits angles), avec $e = 1 mm$ . On les distingue tant que $α \geq 3 \times 1 0^{- 4} rad$ , soit $D \leq \frac{e}{α} = \frac{1 0 ^{- 3}}{3 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 3.3 m$ .

Exercice 4 : Mise au point (

⋆ ⋆

)

Un objectif de focale $f^{'} = 50 mm$ photographie un objet à $2 m$ . À quelle distance du capteur doit être l'objectif ?

Démonstration

$\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{O A} = \frac{1}{0 , 050} + \frac{1}{- 2} = 20 - 0, 5 = 19, 5$ , donc $O A^{'} \approx 51.3 mm$ : l'image se forme juste au-delà du foyer ; le capteur doit être à $\approx 51.3 mm$ de l'objectif (on « tire » l'objectif de $1.3 mm$ par rapport au réglage à l'infini).

Exercice 5 : Diaphragme et profondeur de champ (

⋆ ⋆

)

Pourquoi ferme-t-on le diaphragme pour photographier un paysage avec un grand premier plan net ?

Démonstration

Fermer le diaphragme réduit l'ouverture : les faisceaux sont plus étroits, donc les taches des objets hors mise au point restent sous le cercle de confusion sur une plus grande plage de distances. La profondeur de champ augmente. Le prix à payer est une moindre luminosité (il faut allonger la durée d'exposition).

Exercice 6 : Ouverture numérique (

⋆ ⋆

)

Une fibre a $n_{1} = 1, 50$ et $n_{2} = 1, 48$ . Calculer son ouverture numérique et le demi-angle d'acceptance.

Démonstration

$ON = n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = 2, 25 - 2, 1904 = 0, 0596 \approx 0, 244$ . Le demi-angle est $θ_{a} = arcsin (0, 244) \approx 1 4^{\circ}$ : seuls les rayons entrant à moins de $1 4^{\circ}$ de l'axe sont guidés.

Exercice 7 : Condition de guidage (

⋆ ⋆

)

Justifier que seul un rayon frappant l'interface cœur-gaine sous un angle supérieur à l'angle limite est guidé.

Démonstration

À l'interface cœur ( $n_{1}$ ) / gaine ( $n_{2} < n_{1}$ ), il y a réflexion totale si l'angle d'incidence dépasse $i_{l i m}$ ( $sin i_{l i m} = n_{2} / n_{1}$ ). Seuls ces rayons sont intégralement réfléchis et restent confinés dans le cœur ; les autres sont partiellement réfractés dans la gaine et perdus. D'où le cône d'acceptance limité.

Exercice 8 : Dispersion intermodale et débit (

⋆ ⋆ ⋆

)

Pour la fibre précédente, longue de $1 km$ , calculer la dispersion intermodale et estimer le débit binaire maximal.

Démonstration

$Δ t = \frac{L n _{1} ( n _{1} - n _{2} )}{n _{2} c} = \frac{1 0 ^{3} \times 1 , 50 \times 0 , 02}{1 , 48 \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}} \approx 6.8 \times 1 0^{- 8} s$ ( $\approx 68 ns$ ). Pour que deux impulsions ne se chevauchent pas, leur écart doit dépasser $Δ t$ : le débit maximal est de l'ordre de $1/Δ t \approx 1.5 \times 1 0^{7} bit / s$ ( $15 M bit / s$ ) sur $1 km$ . Les fibres monomodes suppriment cette limite.

5.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Œil : lentille de vergence variable + rétine fixe ; accommodation entre PP ( $\approx 25 cm$ ) et PR ( $\infty$ ) ; résolution $\approx 1^{'}$ d'arc.
Appareil photo : objectif + capteur ; profondeur de champ augmentée en fermant le diaphragme, réduite à grande focale ; durée d'exposition $\leftrightarrow$ luminosité / flou de bougé.
Fibre à saut d'indice ( $n_{1} > n_{2}$ ) : guidage par réflexion totale ; cône d'acceptance $sin θ_{a} = n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ (ouverture numérique).
Dispersion intermodale $Δ t = \frac{L n _{1} ( n _{1} - n _{2} )}{n _{2} c}$ : limite le débit.

5.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un œil myope a son PR à $50 cm$ . Que cela signifie-t-il ? Quel type de lentille corrige ce défaut ?

( $⋆$ ) Vergence nécessaire pour voir net un objet à $50 cm$ (rétine à $17 mm$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Distance minimale entre deux phares de voiture ( $1.4 m$ d'écart) pour qu'on les distingue à l'œil à $5 km$ ? Conclure.

( $⋆ ⋆$ ) Un objectif $f^{'} = 50 mm$ vise un objet à $1 m$ : tirage de l'objectif par rapport à la position « infini » ?

( $⋆ ⋆$ ) Expliquer l'effet « arrière-plan flou » d'un portrait au téléobjectif.

( $⋆ ⋆$ ) Fibre $n_{1} = 1, 46$ , $n_{2} = 1, 45$ : ouverture numérique et demi-angle d'acceptance.

( $⋆ ⋆$ ) Établir la condition $cos r \geq n_{2} / n_{1}$ pour le guidage.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi la dispersion intermodale est-elle nulle pour le rayon strictement axial ?

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, comparer la dispersion d'une fibre $n_{2} = 1, 48$ et d'une fibre $n_{2} = 1, 49$ (même $n_{1} = 1, 50$ ) ; commenter.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi un œil presbyte a-t-il du mal à lire de près ? Quel verre le corrige ?

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir l'expression $t_{m a x} = \frac{L n _{1}^{2}}{n _{2} c}$ du temps de parcours du rayon le plus incliné.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Estimer la distance maximale d'une liaison par fibre à saut d'indice pour un débit de $100 M bit / s$ , et conclure sur l'intérêt des fibres monomodes.

5.7 Problèmes contextualisés

Les trois instruments du chapitre — œil, appareil photo, fibre — se retrouvent dans des situations concrètes : lunettes, portraits, endoscopie, câbles transocéaniques, photographie de paysage, presbytie, smartphones.

Exemple 5.14Corriger un œil myope (

⋆ ⋆

)

Un œil myope ne voit net que jusqu'à son punctum remotum, ici $PR = 50 cm$ . On le corrige avec une lentille de contact.

Que doit faire la lentille d'un objet à l'infini pour que l'œil le voie net ?
En déduire la vergence de correction. Lentille convergente ou divergente ?
Pourquoi un myope « voit bien de près » sans correction ?

Démonstration

1. La lentille doit donner d'un objet à l'infini une image virtuelle au PR, soit à $O A^{'} = - 0.50 m$ , que l'œil peut alors voir net.

2. $V = \frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{- 0 , 50} - 0 = - 2 δ$ : lentille divergente.

3. Son PR est rapproché mais son punctum proximum l'est aussi : les objets proches forment leur image sur la rétine sans correction. C'est de loin qu'il est gêné.

Exemple 5.15Le portrait au téléobjectif (

⋆ ⋆

)

Un photographe veut un portrait avec un arrière-plan bien flou pour détacher le sujet.

Rappeler les deux réglages qui diminuent la profondeur de champ.
Pourquoi un téléobjectif (grande focale) donne-t-il un arrière-plan plus flou qu'un grand-angle, à cadrage égal ?
Pourquoi, à l'inverse, une photo de paysage net de près à l'infini demande-t-elle l'opposé ?

Démonstration

1. Ouvrir le diaphragme (grande ouverture) et utiliser une grande focale réduisent la profondeur de champ.

2. À grande focale, les faisceaux issus de l'arrière-plan forment des taches plus larges sur le capteur (le flou croît avec la focale) : l'arrière-plan est plus brouillé, ce qui isole le sujet net.

3. Pour un paysage net partout, on veut une grande profondeur de champ : on ferme le diaphragme et on emploie une focale plus courte — l'inverse du portrait.

Exemple 5.16L'endoscope médical (

⋆ ⋆

)

Un endoscope transmet l'image de l'intérieur du corps par un faisceau de fibres optiques : chaque fibre transporte l'éclairement d'un point de l'image.

Pourquoi la résolution de l'image dépend-elle du nombre de fibres ?
Un faisceau contient $N = 40000$ fibres. Estimer la « définition » de l'image (côté en nombre de points).
Quel autre rôle jouent certaines fibres du faisceau ?

Démonstration

1. Chaque fibre ne transmet qu'un point (un « pixel ») : l'image est échantillonnée par les fibres. Plus elles sont nombreuses (et fines), plus l'image est détaillée.

2. Pour une image carrée, le côté vaut $N = 40000 = 200$ points : une définition de $\approx 200 \times 200$ pixels.

3. D'autres fibres amènent la lumière (éclairage) jusqu'à la zone observée : le faisceau sert à la fois à éclairer et à imager.

Exemple 5.17La fibre transatlantique (

⋆ ⋆ ⋆

)

On veut relier deux continents par fibre sur $L = 6000 km$ . Une fibre à saut d'indice ( $n_{1} = 1, 50$ , $n_{2} = 1, 48$ ) présente une dispersion intermodale $Δ t = \frac{L n _{1} ( n _{1} - n _{2} )}{n _{2} c}$ .

Calculer $Δ t$ sur les $6000 km$ . Quel débit binaire maximal ?
Conclure sur l'usage d'une fibre à saut d'indice pour le transocéanique.
Quelles solutions emploie-t-on réellement ?

Démonstration

1. $Δ t = \frac{6 , 0 \times 1 0 ^{6} \times 1 , 50 \times 0 , 02}{1 , 48 \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}} \approx 0.41 ms$ ! Débit $≲ 1/Δ t \approx 2.5 k bit / s$ : ridicule.

2. Une fibre à saut d'indice est totalement inadaptée : la dispersion intermodale détruit toute impulsion utile.

3. On utilise des fibres monomodes (un seul mode guidé, plus de dispersion intermodale), des sources laser très monochromatiques, et des amplificateurs optiques répartis (tous les $\approx 80 km$ ) pour compenser l'atténuation.

Exemple 5.18La distance hyperfocale (

⋆ ⋆ ⋆

)

Pour un paysage, on cherche à régler la mise au point de façon que tout soit net « du plus près possible jusqu'à l'infini ». La distance hyperfocale vaut $H = \frac{f ^{' 2}}{N c}$ , où $f^{'}$ est la focale, $N$ le nombre d'ouverture et $c$ le diamètre du cercle de confusion. On prend $f^{'} = 50 mm$ , $N = 8$ , $c = 0.030 mm$ .

Calculer $H$ .
On admet qu'en faisant la mise au point sur $H$ , tout est net depuis $H /2$ jusqu'à l'infini. Donner cette plage.
Comment $H$ varie-t-elle si l'on ferme le diaphragme ?

Démonstration

1. $H = \frac{f ^{' 2}}{N c} = \frac{( 50 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \times 30 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{2 , 5 \times 1 0 ^{- 3}}{2 , 4 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 10.4 m$ .

2. Mise au point sur $H \approx 10.4 m$ : tout est net de $H /2 \approx 5.2 m$ jusqu'à l'infini.

3. $H \propto 1/ N$ : fermer le diaphragme (grand $N$ ) diminue $H$ , donc rapproche la zone de netteté (au prix de la luminosité, et bientôt de la diffraction).

Exemple 5.19La presbytie et les verres progressifs (

⋆ ⋆

)

Avec l'âge, l'amplitude d'accommodation chute : à $50$ ans, elle ne vaut plus que $\approx 1 δ$ , si bien que le punctum proximum recule à $1.0 m$ .

Pourquoi devient-il alors impossible de lire un texte à $25 cm$ sans correction ?
Quelle vergence d'« addition » faut-il pour ramener la lecture à $25 cm$ (image virtuelle à $1.0 m$ ) ?
Pourquoi des verres progressifs (vergence variable du haut vers le bas) plutôt que de simples loupes ?

Démonstration

1. Le PP étant à $1 m$ , l'œil ne peut plus former sur la rétine l'image d'un objet à $25 cm$ : il manque de la vergence (accommodation épuisée).

2. La lentille doit donner d'un objet à $O A = - 0.25 m$ une image virtuelle à $O A^{'} = - 1.0 m$ : $V = \frac{1}{- 1 , 0} - \frac{1}{- 0 , 25} = - 1 + 4 = + 3 δ$ .

3. Les verres progressifs offrent une addition en bas (lecture) et la vision de loin en haut, sans correction inutile au centre : un seul verre pour toutes les distances, ce qu'une loupe fixe ne permet pas.

Exemple 5.20Pourquoi un smartphone a plusieurs objectifs (

⋆ ⋆

)

Un smartphone possède un capteur minuscule et plusieurs objectifs de focales différentes (ultra grand-angle, grand-angle, téléobjectif).

Pourquoi un petit capteur (donc une courte focale) donne-t-il une très grande profondeur de champ ?
Pourquoi faut-il plusieurs objectifs pour « zoomer » sans perte, plutôt qu'un seul ?
Quel inconvénient le petit capteur entraîne-t-il en basse lumière ?

Démonstration

1. Pour couvrir le même champ avec un petit capteur, il faut une focale très courte ; or la profondeur de champ croît quand la focale diminue : presque tout est net (d'où la difficulté à obtenir un vrai flou d'arrière-plan, souvent simulé par logiciel).

2. Un « zoom numérique » ne fait qu'agrandir les pixels (perte de définition). Pour un grossissement optique sans perte, on change de focale réelle : d'où plusieurs objectifs (chacun sa focale).

3. Un petit capteur reçoit peu de lumière par photosite : en basse lumière, le bruit augmente (rapport signal/bruit dégradé), d'où des photos nocturnes plus granuleuses.

Fin du livre d'optique géométrique.

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