Modèle scalaire des ondes lumineuses

La lumière est une onde électromagnétique : elle est décrite rigoureusement par les champs vectoriels $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ solutions des équations de Maxwell. Pourtant, la plupart des phénomènes d'optique ondulatoire abordés en MP (interférences, diffraction) se comprennent parfaitement à l'aide d'une seule grandeur scalaire, notée $s(M,t)$, appelée vibration lumineuse. Ce chapitre pose les fondations de ce modèle scalaire : nature de la vibration, chemin optique et retard de phase, surfaces d'onde et théorème de Malus, éclairement reçu par un détecteur, et enfin la notion centrale de cohérence temporelle, qui rendra compte de la capacité (ou non) de deux ondes à interférer. Ces outils seront exploités dans tous les chapitres suivants, consacrés à la superposition des ondes lumineuses.

1.1 La vibration lumineuse scalaire

1.1.1 Du champ électromagnétique à une grandeur scalaire

Une onde lumineuse est une onde électromagnétique dont les champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ oscillent à des fréquences très élevées. Pour la lumière visible, la longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$ est comprise entre $400\mathrm{nm}$ (violet) et $800\mathrm{nm}$ (rouge), ce qui correspond à des fréquences

$$\nu =\frac{c}{{\lambda }_0}\sim \frac{3\times 10^8}{5\times 10^{-7}}\approx 6\times 10^{14}\mathrm{Hz}.$$

Les détecteurs usuels sont sensibles au champ électrique $\overrightarrow{E}$ (c'est lui qui agit sur les électrons de la matière). Plutôt que de manipuler les trois composantes du vecteur champ, on convient de suivre une seule composante de $\overrightarrow{E}$, ce qui définit la vibration lumineuse.

Le choix de suivre une seule composante scalaire n'est légitime que si la direction du champ reste bien définie et commune aux ondes que l'on superpose : c'est le cas dans les dispositifs interférentiels usuels. On ignore ainsi les effets de polarisation, ce qui suffit largement au programme de MP.

1.1.2 Notation complexe

Comme en électrocinétique, il est commode d'associer à la vibration réelle une amplitude complexe. On pose

$$\underline{s}(M,t)=a(M){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-\phi (M))}=\underline{a}(M){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t},\underline{a}(M)=a(M){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi (M)},$$

avec $s(M,t)=\mathrm{Re}[\underline{s}(M,t)]$. La quantité $\underline{a}(M)$, appelée amplitude complexe, rassemble en un seul nombre l'amplitude et la phase. Cette écriture transforme les additions de cosinus déphasés en additions de nombres complexes, ce qui simplifie considérablement les calculs d'interférences.

1.2 Ondes planes et ondes sphériques

1.2.1 Surfaces d'onde

La forme des surfaces d'onde permet de classer les ondes lumineuses. On en retient deux modèles idéaux.

Le facteur $1/r$ de l'onde sphérique traduit la conservation de l'énergie : la puissance se répartit sur une sphère d'aire $4\pi r^2$, donc l'éclairement décroît en $1/r^2$ et l'amplitude en $1/r$. Loin de la source, une petite portion de surface sphérique est quasi plane : à grande distance, une onde sphérique est localement assimilable à une onde plane. C'est le fondement de la source « à l'infini » utilisée en pratique (source ponctuelle au foyer d'une lentille).

Figure : Surfaces d'onde (traits épais) et rayons lumineux (flèches). Les rayons

sont partout orthogonaux aux surfaces d'onde (théorème de Malus).</div>

1.2.2 Rayon lumineux

Dans l'approximation de l'optique géométrique, l'énergie lumineuse se propage le long de courbes appelées rayons lumineux. Dans un milieu homogène, ces rayons sont des droites orientées dans le sens de propagation. La relation entre rayons et surfaces d'onde est fixée par le théorème de Malus, énoncé plus loin.

1.3 Chemin optique et retard de phase

1.3.1 Indice et vitesse de propagation

Dans un milieu transparent d'indice de réfraction $n$, la lumière se propage à la vitesse

$$v=\frac{c}{n}\le c,n\ge 1.$$

La fréquence $\nu$ ne change pas lors du passage d'un milieu à un autre (elle est imposée par la source), mais la longueur d'onde, elle, dépend du milieu :

$$\lambda =\frac{v}{\nu }=\frac{c}{n\nu }=\frac{{\lambda }_0}{n},$$

où ${\lambda }_0=c/\nu$ est la longueur d'onde dans le vide. La longueur d'onde est donc plus petite dans un milieu dense.

1.3.2 Chemin optique

Considérons un rayon allant d'un point $A$ à un point $B$. Le temps mis par la lumière est $\tau ={\int }_A^B\mathrm{d}t={\int }_A^B\frac{\mathrm{d}\ell }{v}={\int }_A^B\frac{n\mathrm{d}\ell }{c}$. On introduit la grandeur homogène à une longueur qui apparaît naturellement.

Définition 1.4Chemin optique

Le chemin optique le long d'un rayon allant de $A$ à $B$ est

$$\boxed{L_{AB}=(AB)={\int }_A^{B}n(M)\mathrm{d}\ell }$$

où $\mathrm{d}\ell$ est l'élément de longueur le long du rayon et $n(M)$ l'indice local. Dans un milieu homogène d'indice $n$ sur une distance géométrique $d$, on a simplement $L=nd$.

Le chemin optique est la distance qu'aurait parcourue la lumière dans le vide pendant la même durée $\tau$ : en effet

$$L_{AB}={\int }_A^{B}n\mathrm{d}\ell =c{\int }_A^B\frac{\mathrm{d}\ell }{v}=c\tau .$$

C'est donc un « temps de propagation exprimé en distance ».

Figure : Chemin optique le long d'un rayon traversant un milieu d'indice $n$.

Chaque tronçon contribue par $n\mathrm{d}\ell$.</div>

1.3.3 Retard de phase

La phase de la vibration au point $B$ est en retard sur celle du point $A$ d'une quantité proportionnelle au temps de propagation, donc au chemin optique.

ImportantRetard de phase dû à la propagation

Pour une onde monochromatique de longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$, le déphasage accumulé en allant de $A$ à $B$ le long d'un rayon vaut

$$\boxed{{\phi }_B-{\phi }_A=\frac{2\pi }{{\lambda }_0}{L}_{AB}=\omega \tau }$$

La vibration en $B$ s'écrit donc $s(B,t)=a\cos (\omega t-{\phi }_A-\frac{2\pi }{{\lambda }_0}{L}_{AB})$.

Démonstration (Justification)

Le temps de propagation de $A$ à $B$ est $\tau =L_{AB}/c$. La vibration reçue en $B$ à l'instant $t$ est celle émise en $A$ à l'instant $t-\tau$ : $s(B,t)=s(A,t-\tau )$. Si $s(A,t)=a\cos (\omega t-{\phi }_A)$, alors

$$s(B,t)=a\cos (\omega (t-\tau )-{\phi }_A)=a\cos (\omega t-{\phi }_A-\omega \tau ),$$

d'où ${\phi }_B-{\phi }_A=\omega \tau =\frac{\omega L_{AB}}{c}=\frac{2\pi \nu }{c}{L}_{AB}=\frac{2\pi }{{\lambda }_0}{L}_{AB}$.

iRemarque

C'est bien ${\lambda }_0$ (longueur d'onde dans le vide) qui intervient, même si le rayon traverse plusieurs milieux : toute l'information sur les indices est déjà contenue dans $L_{AB}=\int n\mathrm{d}\ell$. C'est l'un des grands avantages de la notion de chemin optique.

1.4 Théorème de Malus et surfaces d'onde

Rayons et surfaces d'onde sont deux descriptions équivalentes de la propagation. Le lien géométrique entre elles est donné par le théorème de Malus, admis.

◆Théorème 1.5Théorème de Malus

Dans un milieu isotrope, les rayons lumineux issus d'une même source sont, après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, orthogonaux aux surfaces d'onde. De plus, le chemin optique entre deux surfaces d'onde successives est le même pour tous les rayons :

$$(AB)=(A^{\prime }{B}^{\prime })\text{si }A,A^{\prime }\text{ et }B,B^{\prime }\text{ sont sur deux meˆmes surfaces d’onde.}$$

Ce théorème a une conséquence capitale pour la formation des images.

ImportantÉgalité des chemins optiques d'un objet à son image

Un système optique stigmatique conjugue un point objet $A$ à un point image $A^{\prime }$. Tous les rayons qui partent de $A$ et convergent en $A^{\prime }$ ont le même chemin optique $(A{A}^{\prime })$. Autrement dit, un système optique ne crée pas de déphasage entre les rayons issus d'un même point objet.

Figure : Points conjugués par un système stigmatique : tous les rayons allant de

l'objet $A$ à son image $A^{\prime }$ ont le même chemin optique $(A{A}^{\prime })$.</div>

Démonstration (Idée)

$A$ est une source ponctuelle : une surface d'onde infinitésimale entourant $A$ est une petite sphère. De même, au voisinage de l'image $A^{\prime }$, l'onde converge : les surfaces d'onde sont des sphères centrées sur $A^{\prime }$. Par le théorème de Malus, le chemin optique entre la surface d'onde « source » et la surface d'onde « image » est le même pour tous les rayons ; en faisant tendre les deux surfaces vers $A$ et $A^{\prime }$, on obtient $(A{A}^{\prime })$ identique pour tous les rayons.

Exemple 1.6Lentille mince convergente

Une lentille mince convergente, dans l'approximation de Gauss, transforme une onde plane (source à l'infini) en une onde sphérique convergeant vers le foyer image $F^{\prime }$. Les rayons proches de l'axe traversent peu de verre mais parcourent un grand trajet dans l'air ; les rayons passant près du centre traversent plus de verre (indice élevé) mais un trajet plus court dans l'air. La lentille est justement taillée pour que tous ces chemins optiques soient égaux jusqu'à $F^{\prime }$ : c'est ce qui assure la formation d'une image nette.

Figure : Effet d'une lentille mince : les surfaces d'onde planes deviennent

sphériques convergentes ; les rayons restent orthogonaux aux surfaces d'onde.</div>

1.5 Réception : éclairement et intensité lumineuse

1.5.1 Temps de réponse des détecteurs

Aucun récepteur optique n'est capable de suivre les oscillations de la vibration lumineuse : leur période $T=1/\nu \sim 2\times 10^{-15}\mathrm{s}$ est bien trop courte. Chaque détecteur possède un temps de réponse ${\tau }_R$ fini, et il délivre un signal proportionnel à une moyenne temporelle du carré de la vibration sur ${\tau }_R$.

Récepteur	temps de réponse ${\tau }_R$	comparaison à $T\sim 2\text{f}\mathrm{s}$
Œil humain	$\sim 0.1\mathrm{s}$	${\tau }_R⋙T$
Photodiode	$\sim 1\mathrm{ns}$	${\tau }_R\gg T$
Capteur CCD / caméra	$\sim 1\mathrm{ms}$ à $40\mathrm{ms}$	${\tau }_R⋙T$

Dans tous les cas ${\tau }_R$ est gigantesque devant la période lumineuse $T$ : le détecteur moyenne sur un très grand nombre d'oscillations.

1.5.2 Définition de l'intensité

Définition 1.7Éclairement / intensité lumineuse

L'intensité lumineuse (ou éclairement) reçue en un point $M$ est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré de la vibration :

$$\boxed{I(M)=K⟨s(M,t{)}^2⟩}$$

où $⟨⟩$ désigne la moyenne temporelle sur le temps de réponse du détecteur et $K$ une constante. En optique ondulatoire, on choisit le plus souvent $K=1$ (ou $K=2$), seules comptant les intensités relatives.

Pour une onde monochromatique $s(M,t)=a\cos (\omega t-\phi )$, la moyenne du carré du cosinus vaut $1/2$, donc

$$I=K⟨a^2{\cos }^2(\omega t-\phi )⟩=\frac{K{a}^2}{2}.$$

En convenant $K=2$, on obtient l'expression particulièrement simple $I=a^2$ : l'intensité est le carré de l'amplitude.

Proposition 1.8Intensité et amplitude complexe

Avec la convention $I=a^2$, l'intensité s'exprime en fonction de l'amplitude complexe $\underline{a}$ par

$$I={\left|\underline{a}\right|}^2=\underline{a}{\underline{a}}^{\ast }.$$

Démonstration

Comme $\underline{a}=a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }$, on a ${\left|\underline{a}\right|}^2=\underline{a}{\underline{a}}^{\ast }=a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }\times a{\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}\phi }=a^2=I$.

Attention

L'Œil et les détecteurs sont sensibles à $I=a^2$, pas à l'amplitude $a$ ni à la phase. C'est pourquoi la phase n'est jamais mesurée directement : les interférences servent précisément à la révéler en la convertissant en variations d'intensité.

1.6 Modèle d'émission et cohérence temporelle

1.6.1 Trains d'onde

Une source lumineuse ordinaire est constituée d'un très grand nombre d'atomes qui émettent indépendamment. Chaque atome excité rayonne pendant une durée finie ${\tau }_c$ (le temps que dure la désexcitation), puis s'arrête, puis recommence après un choc, avec une phase aléatoire sans lien avec la précédente. La lumière émise n'est donc pas une sinusoïde infinie mais une succession de trains d'onde : des paquets d'ondes quasi sinusoïdaux de durée ${\tau }_c$, de phase à l'origine aléatoire d'un train à l'autre.

Figure : Modèle des trains d'onde : suite de paquets de durée ${\tau }_c$, séparés

par des sauts de phase aléatoires. La vibration n'est cohérente avec elle-même que sur une durée ${\tau }_c$.</div>

1.6.2 Temps et longueur de cohérence

Définition 1.9Temps et longueur de cohérence

Le temps de cohérence ${\tau }_c$ est la durée moyenne d'un train d'onde : c'est l'intervalle de temps pendant lequel la vibration garde une phase bien définie. La longueur de cohérence est la distance parcourue par la lumière pendant ${\tau }_c$ :

$$\boxed{L_c=c{\tau }_c}$$

Deux ondes issues de la même source ne peuvent interférer de façon stable que si leur différence de chemin optique reste inférieure à $L_c$.

1.6.3 Lien avec la largeur spectrale

Une source réelle n'est jamais parfaitement monochromatique : elle émet un ensemble de fréquences réparties sur une largeur spectrale $\Delta \nu$ autour de la fréquence centrale ${\nu }_0$. L'analyse de Fourier d'un train d'onde de durée finie ${\tau }_c$ montre que sa transformée occupe une bande de fréquences de largeur $\Delta \nu \sim 1/{\tau }_c$.

Figure : Dualité temps--fréquence : un train d'onde de durée finie ${\tau }_c$

(à gauche) correspond à une raie spectrale de largeur $\Delta \nu \sim 1/{\tau }_c$ (à droite).</div>

ImportantRelation temps de cohérence -- largeur spectrale

En ordre de grandeur,

$$\boxed{{\tau }_c\sim \frac{1}{\Delta \nu }⟺L_c=c{\tau }_c\sim \frac{c}{\Delta \nu }=\frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }}$$

Plus la source est monochromatique (petite $\Delta \nu$), plus ${\tau }_c$ et $L_c$ sont grands, et plus la lumière est temporellement cohérente.

Démonstration (Passage à $\Delta \lambda$)

De $\nu =c/{\lambda }_0$ on tire, en valeur absolue, $\Delta \nu =\frac{c}{{\lambda }_0^2}\Delta \lambda$. En reportant dans $L_c\sim c/\Delta \nu$ :

$$L_c\sim \frac{c}{\Delta \nu }=\frac{c{\lambda }_0^2}{c\Delta \lambda }=\frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }.$$

Exemple 1.10Ordres de grandeur

Source	$\Delta \lambda$	${\tau }_c$	$L_c=c{\tau }_c$
Lumière blanche (soleil)	$\sim 300\mathrm{nm}$	$\sim 2\text{f}\mathrm{s}$	$\sim 1\mu \mathrm{m}$
Lampe spectrale (raie)	$\sim 0.01\mathrm{nm}$	$\sim 0.1\mathrm{ns}$	quelques $\mathrm{cm}$
Laser He-Ne	$\sim 10^{-6}\mathrm{nm}$	$\sim 1\mu \mathrm{s}$	plusieurs $\mathrm{m}$ à $\mathrm{km}$

On retiendra la hiérarchie : lumière blanche (peu cohérente) $\ll$ lampe spectrale $\ll$ laser (très cohérent). C'est pourquoi il est si facile d'observer des interférences avec un laser et si délicat avec une lampe.

Méthode : Estimer une longueur de cohérence

• Identifier la largeur spectrale de la source : soit $\Delta \nu$ (en $\mathrm{Hz}$), soit $\Delta \lambda$ (en $\mathrm{m}$).
• Si l'on dispose de $\Delta \lambda$, utiliser $L_c\sim {\lambda }_0^2/\Delta \lambda$.
• Si l'on dispose de $\Delta \nu$, utiliser $L_c\sim c/\Delta \nu$ et ${\tau }_c\sim 1/\Delta \nu$.
• Comparer $L_c$ à la différence de marche du dispositif : les interférences ne sont visibles que si $\delta <L_c$.

1.7 Synthèse du chapitre

À retenir

• La lumière est décrite par une vibration scalaire $s(M,t)=a(M)\cos (\omega t-\phi (M))$, une composante du champ électrique. Notation complexe : $\underline{s}=\underline{a}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}$ avec $\underline{a}=a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }$.
• Dans un milieu d'indice $n$ : $v=c/n$, $\lambda ={\lambda }_0/n$, la fréquence est invariante.
• Chemin optique : $L_{AB}={\int }_A^{B}n\mathrm{d}\ell =c\tau$. Retard de phase : ${\phi }_B-{\phi }_A=\frac{2\pi }{{\lambda }_0}{L}_{AB}$ (c'est toujours ${\lambda }_0$ qui intervient).
• Théorème de Malus : les rayons sont orthogonaux aux surfaces d'onde ; conséquence : tous les rayons d'un point objet $A$ à son image $A^{\prime }$ ont le même chemin optique $(A{A}^{\prime })$.
• Onde plane : surfaces = plans, $s=a\cos (\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})$. Onde sphérique : surfaces = sphères, amplitude en $1/r$.
• Les détecteurs, de temps de réponse ${\tau }_R⋙T$, mesurent l'intensité $I=⟨s^2⟩\propto a^2={\left|\underline{a}\right|}^2$ : jamais la phase directement.
• Cohérence temporelle : la source émet des trains d'onde de durée ${\tau }_c$. $L_c=c{\tau }_c$, et ${\tau }_c\sim 1/\Delta \nu$, $L_c\sim {\lambda }_0^2/\Delta \lambda$. Hiérarchie : lumière blanche $\ll$ lampe spectrale $\ll$ laser.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.8 Exercices résolus

Exemple 1.11Chemin optique d'une lame de verre

Un rayon traverse sous incidence normale une lame de verre d'épaisseur $e=5.0\mathrm{mm}$ et d'indice $n=1,50$. Calculer le chemin optique dans la lame, le retard de phase introduit pour ${\lambda }_0=600\mathrm{nm}$, et la durée de traversée.

Démonstration

Milieu homogène : $L=ne=1,50\times 5.0\times 10^{-3}\mathrm{m}=7.5\times 10^{-3}\mathrm{m}$. Retard de phase :

$$\Delta \phi =\frac{2\pi }{{\lambda }_0}L=\frac{2\pi \times 7,5\times 10^{-3}}{600\times 10^{-9}}\approx 7,9\times 10^4\text{rad}.$$

Durée : $\tau =L/c=\frac{7,5\times 10^{-3}}{3,0\times 10^8}\approx 2.5\times 10^{-11}\mathrm{s}=25\mathrm{ps}$.

Exemple 1.12Longueur d'onde et couleur dans l'eau

Une lumière rouge de longueur d'onde ${\lambda }_0=650\mathrm{nm}$ dans le vide pénètre dans l'eau ($n=1,33$). Que valent sa fréquence, sa longueur d'onde et sa vitesse dans l'eau ? La couleur perçue change-t-elle ?

Démonstration

Fréquence (invariante) : $\nu =c/{\lambda }_0=\frac{3,0\times 10^8}{650\times 10^{-9}}\approx 4.6\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. Vitesse : $v=c/n=\frac{3,0\times 10^8}{1,33}\approx 2.26\times 10^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Longueur d'onde : $\lambda ={\lambda }_0/n=650/1,33\approx 489\mathrm{nm}$. La couleur perçue est liée à la fréquence, qui ne change pas : le rouge reste rouge.

Exemple 1.13Différence de chemin optique entre deux trajets

Deux rayons partent en phase d'un point $S$. L'un parcourt $d_1=20.0\mathrm{cm}$ dans l'air ($n_1=1,00$), l'autre $d_2=18.0\mathrm{cm}$ dans un liquide d'indice $n_2=1,20$. Calculer la différence de chemin optique $\delta =(SM{)}_2-(SM{)}_1$ et le déphasage associé pour ${\lambda }_0=500\mathrm{nm}$.

Démonstration

$L_1=n_1{d}_1=0.200\mathrm{m}$ ; $L_2=n_2{d}_2=1,20\times 0,180=0.216\mathrm{m}$. Donc

$$\delta =L_2-L_1=0,216-0,200=0.016\mathrm{m}=1.6\mathrm{cm}.$$

Déphasage : $\Delta \phi =\frac{2\pi }{{\lambda }_0}\delta =\frac{2\pi \times 1,6\times 10^{-2}}{5,0\times 10^{-7}}\approx 2,0\times 10^5\text{rad}$.

Exemple 1.14Intensité résultante de deux vibrations en phase

On superpose en un point deux vibrations de même pulsation et de même phase, d'amplitudes $a_1=2a_0$ et $a_2=a_0$. Avec la convention $I=a^2$, exprimer l'intensité résultante en fonction de $I_0=a_0^2$.

Démonstration

En phase, les amplitudes complexes s'ajoutent avec la même phase : $\underline{a}={\underline{a}}_1+{\underline{a}}_2=(2a_0+a_0){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }=3a_0{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }$. Donc $I={\left|\underline{a}\right|}^2=(3a_0{)}^2=9a_0^2=9I_0$. (On note qu'en intensité $9I_0\ne I_1+I_2=4I_0+I_0=5I_0$ : c'est l'effet des interférences.)

Exemple 1.15Temps de cohérence d'une lampe spectrale

La raie verte du mercure (${\lambda }_0=546\mathrm{nm}$) a une largeur spectrale $\Delta \lambda \approx 5.0\times 10^{-3}\mathrm{nm}$. Estimer $L_c$ et ${\tau }_c$.

Démonstration

Longueur de cohérence :

$$L_c\sim \frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }=\frac{(546\times 10^{-9}{)}^2}{5,0\times 10^{-12}}\approx \frac{2,98\times 10^{-13}}{5,0\times 10^{-12}}\approx 6.0\times 10^{-2}\mathrm{m}=6\mathrm{cm}.$$

Temps de cohérence : ${\tau }_c=L_c/c=\frac{6,0\times 10^{-2}}{3,0\times 10^8}\approx 2\times 10^{-10}\mathrm{s}=0.2\mathrm{ns}$.

Exemple 1.16Largeur spectrale d'un laser

Un laser He-Ne (${\lambda }_0=633\mathrm{nm}$) a une longueur de cohérence $L_c\approx 30\mathrm{cm}$. En déduire son temps de cohérence, sa largeur spectrale en fréquence $\Delta \nu$, puis en longueur d'onde $\Delta \lambda$.

Démonstration

${\tau }_c=L_c/c=\frac{0,30}{3,0\times 10^8}=1.0\times 10^{-9}\mathrm{s}$. Largeur en fréquence : $\Delta \nu \sim 1/{\tau }_c=1.0\times 10^9\mathrm{Hz}=1\mathrm{G}\mathrm{Hz}$. Largeur en longueur d'onde : $\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_0^2}{L_c}=\frac{(633\times 10^{-9}{)}^2}{0,30}\approx 1.3\times 10^{-12}\mathrm{m}\approx 1.3\times 10^{-3}\mathrm{nm}$. Le laser est extrêmement monochromatique.

Exemple 1.17Onde sphérique et décroissance de l'intensité

Une source ponctuelle isotrope émet une puissance $P$. Exprimer l'amplitude et l'intensité de l'onde sphérique à la distance $r$, et vérifier la conservation de l'énergie.

Démonstration

L'onde sphérique a une amplitude $a(r)=a_0/r$, donc une intensité $I(r)=a(r{)}^2=a_0^2/r^2$, soit une décroissance en $1/r^2$. La puissance traversant une sphère de rayon $r$ est $P=I(r)\times 4\pi r^2=4\pi a_0^2$, indépendante de $r$ : l'énergie est bien conservée, ce qui justifie a posteriori le facteur $1/r$ dans l'amplitude.

1.9 Exercices d'entraînement

• Fréquence et période. Pour une lumière jaune ${\lambda }_0=589\mathrm{nm}$, calculer $\nu$ et la période $T$. Comparer $T$ au temps de réponse de l'Œil ($\sim 0.1\mathrm{s}$).

• Indice inconnu. Dans un milieu transparent, une radiation de longueur d'onde ${\lambda }_0=480\mathrm{nm}$ dans le vide a une longueur d'onde $\lambda =320\mathrm{nm}$. En déduire l'indice $n$ et la vitesse $v$.

• Chemin optique composite. Un rayon parcourt successivement $10\mathrm{cm}$ d'air ($n=1,00$), $3.0\mathrm{cm}$ de verre ($n=1,52$) et $5.0\mathrm{cm}$ d'eau ($n=1,33$). Calculer le chemin optique total et le temps de propagation.

• Retard de phase. Le long d'un rayon, le chemin optique entre deux points vaut $L=1.5\mathrm{mm}$. Calculer le déphasage pour ${\lambda }_0=500\mathrm{nm}$, puis le réduire modulo $2\pi$.

• Lame demi-onde. Quelle épaisseur minimale $e$ d'un milieu d'indice $n=1,33$ introduit-elle un déphasage de $\pi$ par rapport au même trajet dans l'air, pour ${\lambda }_0=600\mathrm{nm}$ ? (On considère $\delta =(n-1)e={\lambda }_0/2$.)

• Surfaces d'onde. Écrire l'équation des surfaces d'onde d'une onde plane se propageant selon $\overrightarrow{u}=(\cos \alpha ,\sin \alpha ,0)$, puis d'une onde sphérique centrée en $S=(x_0,y_0,z_0)$. Préciser dans chaque cas la forme géométrique.

• Théorème de Malus. Justifier, à l'aide du théorème de Malus, qu'un miroir plan conserve le caractère sphérique d'une onde issue d'une source ponctuelle. Où se situe la source image ?

• Intensités. Deux vibrations de même pulsation ont des amplitudes $a_1=a_0$ et $a_2=a_0$ et un déphasage $\Delta \phi$. Montrer que l'intensité résultante est $I=2I_0(1+\cos \Delta \phi )$. Que valent $I_{\max }$ et $I_{\min }$ ?

• Moyenne temporelle. Vérifier par le calcul que $⟨{\cos }^2(\omega t-\phi )⟩=1/2$ sur une durée ${\tau }_R\gg T$, et que $⟨\cos (\omega t)\cos (\omega t+\psi )⟩=\frac{1}{2}\cos \psi$.

• Longueur de cohérence de la lumière blanche. La lumière blanche couvre ${\lambda }_0\in [400\mathrm{nm},800\mathrm{nm}]$. En prenant ${\lambda }_0\approx 550\mathrm{nm}$ et $\Delta \lambda \approx 300\mathrm{nm}$, estimer $L_c$ et ${\tau }_c$. Commenter la difficulté d'observer des interférences.

• Comparaison de sources. Classer par cohérence temporelle croissante : une bougie ($\Delta \lambda \sim 300\mathrm{nm}$), une lampe sodium ($\Delta \lambda \sim 0.01\mathrm{nm}$) et un laser ($\Delta \lambda \sim 10^{-6}\mathrm{nm}$). Estimer les trois $L_c$.

• Différence de marche maximale. Une source de longueur de cohérence $L_c=2.0\mathrm{cm}$ éclaire un dispositif introduisant une différence de chemin optique réglable $\delta$. Jusqu'à quelle valeur de $\delta$ observe-t-on des interférences ? En déduire le nombre maximal de franges visibles, sachant qu'une frange correspond à une variation $\delta ={\lambda }_0$ avec ${\lambda }_0=500\mathrm{nm}$.

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