Superposition d'ondes lumineuses

Lorsque deux faisceaux lumineux se rencontrent dans une région de l'espace, le champ électromagnétique total y est, en vertu de la linéarité des équations de Maxwell, la somme des champs de chaque onde. Pourtant, l'expérience quotidienne semble contredire l'existence d'un phénomène d'interférence : éclairer un mur avec deux lampes ne produit jamais de zones alternativement brillantes et sombres, mais un simple ajout des éclairements. Ce paradoxe apparent est au cœur de ce chapitre. Nous allons voir que la superposition de deux ondes ne se réduit à l'addition de leurs intensités que dans certaines conditions, et qu'à l'inverse un contraste marqué exige des ondes mutuellement cohérentes, ce qui impose en pratique de diviser une même source primaire. Nous établirons la formule de Fresnel, socle de toute l'optique interférentielle, puis nous discuterons du contraste des franges et des limites imposées par la cohérence temporelle de la lumière réelle.

2.1 Rappels sur le modèle scalaire et l'intensité

On rappelle qu'une onde lumineuse quasi-monochromatique de pulsation $\omega$ est décrite, dans le modèle scalaire, par une grandeur réelle

$$s(M,t)=a\cos (\omega t-\phi (M)),$$

où $a$ est l'amplitude (supposée réelle positive) et $\phi (M)$ la phase au point $M$. Le détecteur (œil, photodiode, plaque photographique) est insensible aux variations à la pulsation optique $\omega \sim 10^{15}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : il mesure une moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire.

L'intensité est donc proportionnelle au carré de l'amplitude. C'est une grandeur positive, mesurable, et c'est la seule quantité accessible à l'expérience en optique : toute la phénoménologie des interférences consiste à faire apparaître la phase dans la carte d'intensité.

2.2 Superposition de deux ondes et formule de Fresnel

2.2.1 Position du problème

On superpose au point $M$ deux ondes quasi-monochromatiques de même pulsation $\omega$ :

$$s_1=a_1\cos (\omega t-{\phi }_1),s_2=a_2\cos (\omega t-{\phi }_2).$$

La grandeur scalaire résultante est, par linéarité, $s=s_1+s_2$. Son intensité vaut

$$I=K⟨(s_1+s_2{)}^2⟩=K⟨s_1^2⟩+K⟨s_2^2⟩+2K⟨s_1{s}_2⟩=I_1+I_2+2K⟨s_1{s}_2⟩.$$

Tout le contenu physique est concentré dans le terme d'interférence $2K⟨s_1{s}_2⟩$. Développons-le :

$$⟨s_1{s}_2⟩=a_1{a}_2⟨\cos (\omega t-{\phi }_1)\cos (\omega t-{\phi }_2)⟩.$$

En linéarisant le produit de cosinus,

$$\cos (\omega t-{\phi }_1)\cos (\omega t-{\phi }_2)=\frac{1}{2}\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)+\frac{1}{2}\cos (2\omega t-{\phi }_1-{\phi }_2).$$

Le second terme oscille à $2\omega$ : sa moyenne temporelle est nulle. Il reste

$$⟨s_1{s}_2⟩=\frac{1}{2}{a}_1{a}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1).$$

Démonstration (Démonstration)

On a établi $I=I_1+I_2+2K⟨s_1{s}_2⟩$ avec $⟨s_1{s}_2⟩=\frac{1}{2}{a}_1{a}_2\cos (\Delta \phi )$. Or $I_1=\frac{1}{2}K{a}_1^2$ et $I_2=\frac{1}{2}K{a}_2^2$, d'où $\frac{1}{2}K{a}_1{a}_2=\sqrt{(\frac{1}{2}K{a}_1^2)(\frac{1}{2}K{a}_2^2)}=\sqrt{I_1{I}_2}$. En reportant, $2K⟨s_1{s}_2⟩=2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\Delta \phi )$, ce qui donne la formule annoncée.

2.2.2 Interprétation : la construction de Fresnel

La formule de Fresnel se lit géométriquement. À chaque onde on associe un vecteur (un « phaseur ») de longueur proportionnelle à son amplitude $a_k$ et faisant avec l'axe horizontal l'angle $-{\phi }_k$. L'amplitude résultante est la somme vectorielle de ces phaseurs, et l'intensité $I$ est proportionnelle au carré de la longueur du vecteur somme.

Le vecteur somme est le plus long lorsque les deux phaseurs sont alignés ($\Delta \phi =0$) et le plus court lorsqu'ils sont opposés ($\Delta \phi =\pi$). On retrouve ainsi qualitativement les interférences constructives et destructives.

2.3 Conditions d'interférence

La formule de Fresnel n'est valable que si le terme d'interférence $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\Delta \phi )$ survit à la moyenne temporelle du détecteur. Ceci n'est pas automatique : c'est même l'exception plutôt que la règle avec des sources réelles. Recensons les conditions nécessaires.

2.3.1 Additivité des intensités : le cas incohérent

Deux ondes issues de sources distinctes (deux lampes, deux atomes différents) ne sont jamais mutuellement cohérentes. La lumière est en effet émise par bouffées (trains d'onde) d'une durée ${\tau }_c\sim 10^{-11}\mathrm{s}$ à $10^{-9}\mathrm{s}$, avec une phase à l'origine tirée au hasard à chaque émission. Le déphasage $\Delta \phi (t)$ entre les deux sources fluctue donc de façon aléatoire sur une échelle de temps ${\tau }_c$, immensément courte devant le temps de réponse du détecteur ($\sim 10^{-2}\mathrm{s}$ pour l'œil).