Superposition d'ondes lumineuses

Lorsque deux faisceaux lumineux se rencontrent dans une région de l'espace, le champ électromagnétique total y est, en vertu de la linéarité des équations de Maxwell, la somme des champs de chaque onde. Pourtant, l'expérience quotidienne semble contredire l'existence d'un phénomène d'interférence : éclairer un mur avec deux lampes ne produit jamais de zones alternativement brillantes et sombres, mais un simple ajout des éclairements. Ce paradoxe apparent est au cœur de ce chapitre. Nous allons voir que la superposition de deux ondes ne se réduit à l'addition de leurs intensités que dans certaines conditions, et qu'à l'inverse un contraste marqué exige des ondes mutuellement cohérentes, ce qui impose en pratique de diviser une même source primaire. Nous établirons la formule de Fresnel, socle de toute l'optique interférentielle, puis nous discuterons du contraste des franges et des limites imposées par la cohérence temporelle de la lumière réelle.

2.1 Rappels sur le modèle scalaire et l'intensité

On rappelle qu'une onde lumineuse quasi-monochromatique de pulsation $\omega$ est décrite, dans le modèle scalaire, par une grandeur réelle

$$s(M,t)=a\cos (\omega t-\phi (M)),$$

où $a$ est l'amplitude (supposée réelle positive) et $\phi (M)$ la phase au point $M$. Le détecteur (œil, photodiode, plaque photographique) est insensible aux variations à la pulsation optique $\omega \sim 10^{15}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : il mesure une moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire.

L'intensité est donc proportionnelle au carré de l'amplitude. C'est une grandeur positive, mesurable, et c'est la seule quantité accessible à l'expérience en optique : toute la phénoménologie des interférences consiste à faire apparaître la phase dans la carte d'intensité.

2.2 Superposition de deux ondes et formule de Fresnel

2.2.1 Position du problème

On superpose au point $M$ deux ondes quasi-monochromatiques de même pulsation $\omega$ :

$$s_1=a_1\cos (\omega t-{\phi }_1),s_2=a_2\cos (\omega t-{\phi }_2).$$

La grandeur scalaire résultante est, par linéarité, $s=s_1+s_2$. Son intensité vaut

$$I=K⟨(s_1+s_2{)}^2⟩=K⟨s_1^2⟩+K⟨s_2^2⟩+2K⟨s_1{s}_2⟩=I_1+I_2+2K⟨s_1{s}_2⟩.$$

Tout le contenu physique est concentré dans le terme d'interférence $2K⟨s_1{s}_2⟩$. Développons-le :

$$⟨s_1{s}_2⟩=a_1{a}_2⟨\cos (\omega t-{\phi }_1)\cos (\omega t-{\phi }_2)⟩.$$

En linéarisant le produit de cosinus,

$$\cos (\omega t-{\phi }_1)\cos (\omega t-{\phi }_2)=\frac{1}{2}\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)+\frac{1}{2}\cos (2\omega t-{\phi }_1-{\phi }_2).$$

Le second terme oscille à $2\omega$ : sa moyenne temporelle est nulle. Il reste

$$⟨s_1{s}_2⟩=\frac{1}{2}{a}_1{a}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1).$$

2.2.2 Interprétation : la construction de Fresnel

La formule de Fresnel se lit géométriquement. À chaque onde on associe un vecteur (un « phaseur ») de longueur proportionnelle à son amplitude $a_k$ et faisant avec l'axe horizontal l'angle $-{\phi }_k$. L'amplitude résultante est la somme vectorielle de ces phaseurs, et l'intensité $I$ est proportionnelle au carré de la longueur du vecteur somme.

Le vecteur somme est le plus long lorsque les deux phaseurs sont alignés ($\Delta \phi =0$) et le plus court lorsqu'ils sont opposés ($\Delta \phi =\pi$). On retrouve ainsi qualitativement les interférences constructives et destructives.

2.3 Conditions d'interférence

La formule de Fresnel n'est valable que si le terme d'interférence $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\Delta \phi )$ survit à la moyenne temporelle du détecteur. Ceci n'est pas automatique : c'est même l'exception plutôt que la règle avec des sources réelles. Recensons les conditions nécessaires.

2.3.1 Additivité des intensités : le cas incohérent

Deux ondes issues de sources distinctes (deux lampes, deux atomes différents) ne sont jamais mutuellement cohérentes. La lumière est en effet émise par bouffées (trains d'onde) d'une durée ${\tau }_c\sim 10^{-11}\mathrm{s}$ à $10^{-9}\mathrm{s}$, avec une phase à l'origine tirée au hasard à chaque émission. Le déphasage $\Delta \phi (t)$ entre les deux sources fluctue donc de façon aléatoire sur une échelle de temps ${\tau }_c$, immensément courte devant le temps de réponse du détecteur ($\sim 10^{-2}\mathrm{s}$ pour l'œil).

2.3.2 La cohérence exige de diviser une source unique

Puisque deux sources distinctes sont toujours incohérentes, la seule façon d'obtenir deux ondes cohérentes est de diviser en deux la lumière issue d'une même source primaire, puis de recombiner les deux parties. Comme les deux ondes proviennent du même train d'onde initial, leurs fluctuations de phase sont identiques : leur différence de phase, elle, est parfaitement définie et stable. C'est le principe de tous les dispositifs interférentiels.

2.4 Franges, différence de marche et ordre d'interférence

2.4.1 Déphasage et différence de marche

Le déphasage entre les deux ondes cohérentes en $M$ est relié à la différence de marche $\delta$, c'est-à-dire à la différence des chemins optiques parcourus depuis le point de division :

$$\Delta \phi (M)=\frac{2\pi }{{\lambda }_0}\delta (M),\delta =(SM{)}_2-(SM{)}_1,$$

où ${\lambda }_0$ est la longueur d'onde dans le vide et $(SM{)}_k$ le chemin optique de la $k$-ième onde. La différence de marche est une longueur, homogène et facile à calculer géométriquement.

L'ordre $p$ compte le nombre de longueurs d'onde contenues dans la différence de marche. Il est entier sur les franges brillantes, demi-entier sur les franges sombres.

2.4.2 Franges brillantes et sombres

Reprenons la formule de Fresnel avec $\Delta \phi =2\pi p$. L'intensité oscille entre deux valeurs extrêmes lorsque $p$ varie :

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (2\pi p).$$

Dans le cas particulier très fréquent de deux ondes de même intensité $I_1=I_2=I_0$, la formule de Fresnel se simplifie remarquablement :

$$I=2I_0(1+\cos \Delta \phi )=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\Delta \phi }{2}\right),$$

qui varie entre $I_{\min }=0$ (extinction totale) et $I_{\max }=4I_0$. La figure suivante représente cette variation en fonction du déphasage.

On observe une succession de franges brillantes ($\Delta \phi =2m\pi$) et sombres ($\Delta \phi =(2m+1)\pi$) : c'est la figure d'interférences, périodique de période $2\pi$ en déphasage, soit ${\lambda }_0$ en différence de marche.

2.5 Contraste et visibilité

Les franges sont d'autant mieux perceptibles que l'écart entre $I_{\max }$ et $I_{\min }$ est grand relativement au fond lumineux. On quantifie cela par le contraste.

Avec cette notation, la formule de Fresnel s'écrit sous la forme normalisée

$$I=(I_1+I_2)[1+V\cos (\Delta \phi )]=\bar{I}[1+V\cos (\Delta \phi )],$$

où $\bar{I}=I_1+I_2$ est l'intensité moyenne. Cette écriture montre que $V$ est l'amplitude relative de la modulation autour du fond $\bar{I}$.

2.6 Cohérence temporelle et longueur de cohérence

Jusqu'ici nous avons supposé la lumière rigoureusement monochromatique. En réalité, la lumière est émise par trains d'onde de durée finie ${\tau }_c$ : son spectre a une largeur $\Delta \nu \sim 1/{\tau }_c$ non nulle. Cette réalité limite l'observation des interférences quand la différence de marche devient trop grande.

Physiquement, lorsque la différence de marche $\delta$ est plus grande que la longueur d'un train d'onde, l'onde « en avance » sur une voie a fini de passer avant que l'onde « en retard » de l'autre voie n'arrive : elles ne se recouvrent plus dans le temps et ne peuvent plus interférer.

2.7 Superposition de $N$ ondes cohérentes : le réseau

La formule de Fresnel décrit la superposition de deux ondes. De nombreux dispositifs (réseaux de diffraction, antennes en phase, cristaux) font au contraire interférer un grand nombre $N$ d'ondes cohérentes régulièrement déphasées. Nous établissons ici l'intensité résultante et montrons qu'augmenter $N$ affine considérablement les franges brillantes : c'est le principe du réseau.

2.7.1 Somme de $N$ amplitudes déphasées en progression arithmétique

On superpose en $M$ $N$ ondes cohérentes de même amplitude $a$ et de même pulsation, dont les phases forment une progression arithmétique de raison $\phi$ :

$$s_k=a\cos (\omega t-k\phi ),k=0,1,\dots ,N-1.$$

Un tel déphasage constant $\phi$ d'une onde à la suivante apparaît naturellement lorsque $N$ sources identiques sont régulièrement espacées : chaque onde parcourt un chemin optique supplémentaire fixe par rapport à la précédente.

L'intensité présente de hauts maxima principaux d'intensité $N^2{I}_0$, séparés par $N-2$ maxima secondaires beaucoup plus faibles et par $N-1$ zéros d'extinction. Plus $N$ est grand, plus les maxima principaux dominent et s'affinent.

2.7.2 Maxima principaux, finesse et rôle de $N$

2.7.3 Application : le réseau de diffraction

Considérons $N$ fentes de pas $a$ éclairées sous incidence normale. Dans la direction faisant l'angle $\theta$ avec la normale, deux fentes voisines émettent des ondes dont la différence de marche est $\delta =a\sin \theta$, d'où un déphasage $\phi =2\pi \delta /\lambda =(2\pi a\sin \theta )/\lambda$ constant d'une fente à la suivante : on est exactement dans le cadre précédent.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

phi = np.linspace(-np.pi, 3*np.pi, 4000)
for N in (2, 5, 20):
    num = np.sin(N*phi/2)**2
    den = np.sin(phi/2)**2
    I = np.where(den > 1e-12, num/den, N**2)   # limite N^2 aux phi=2m*pi
    plt.plot(phi, I/N**2, label=f"N = {N}")
plt.xlabel(r"$\phi$"); plt.ylabel(r"$I/N^2{I}_0$")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

2.8 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.9 Exercices résolus

2.10 Exercices d'entraînement

• Deux ondes cohérentes de même amplitude interfèrent. Pour quelles valeurs du déphasage $\Delta \phi$ (dans $[0,2\pi ]$) l'intensité vaut-elle la moitié de l'intensité maximale ?

• Montrer qu'avec deux ondes de même intensité $I_0$, la formule de Fresnel se met sous la forme $I=4I_0{\cos }^2(\Delta \phi /2)$. En déduire $I_{\max }$ et $I_{\min }$.

• Deux ondes cohérentes ont des intensités telles que $I_1=9I_2$. Calculer le contraste $V$ et le rapport $I_{\max }/I_{\min }$.

• La différence de marche en un point vaut $\delta =2.25\mu \mathrm{m}$ pour ${\lambda }_0=600\mathrm{nm}$. Calculer l'ordre d'interférence $p$ ; la frange est-elle brillante ou sombre ?

• Établir l'expression du contraste $V$ en fonction du seul rapport d'amplitudes $r=a_2/a_1$. Pour quelle valeur de $r$ le contraste vaut-il $0,5$ ?

• Une source a une largeur spectrale relative $\Delta \lambda /{\lambda }_0=e-6$ à ${\lambda }_0=633\mathrm{nm}$. Estimer sa longueur de cohérence et le nombre maximal de franges observables.

• On superpose trois ondes cohérentes de même amplitude $a$ et de phases $0$, $\phi$ et $2\phi$ (progression arithmétique). Exprimer l'amplitude résultante et montrer que l'intensité vaut $I=I_0\frac{{\sin }^2(3\phi /2)}{{\sin }^2(\phi /2)}$ (où $I_0\propto a^2$).

• Deux ondes d'intensités $I_1$ et $I_2$ produisent $I_{\max }=16\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ et $I_{\min }=4\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. Retrouver $I_1$, $I_2$ et le contraste $V$.

• Justifier qualitativement pourquoi, en lumière blanche, on n'observe que quelques franges autour de $\delta =0$, puis un fond blanchâtre (le « blanc d'ordre supérieur »). Relier ce résultat à la longueur de cohérence.

• Une lampe spectrale émet deux raies voisines ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$ de même intensité. Montrer qualitativement, en appliquant la formule de Fresnel à chaque raie puis en sommant les intensités, que le contraste global oscille avec $\delta$ (battements du contraste, phénomène des « anti-coïncidences »).

• Exprimer l'intensité moyenne $\bar{I}$ et la modulation d'une figure d'interférences $I(\Delta \phi )=\bar{I}[1+V\cos \Delta \phi ]$ en fonction de $I_{\max }$ et $I_{\min }$. Retrouver la définition de $V$.

• Deux ondes cohérentes de même intensité arrivent avec un déphasage $\Delta \phi =\pi +\epsilon$ où $\epsilon \ll 1$. Montrer qu'au voisinage d'une frange sombre l'intensité croît comme ${\epsilon }^2$, et interpréter la finesse (largeur) apparente des franges sombres par rapport aux franges brillantes.

• Réseau. Un réseau de 300 traits par millimètre est éclairé en incidence normale par la raie verte du mercure $\lambda =546\mathrm{nm}$. Calculer le pas $a$, puis l'angle du maximum du second ordre ($m=2$). Combien d'ordres peut-on observer au total pour cette longueur d'onde ?

• Pouvoir dispersif d'un réseau. En différentiant la formule des réseaux $a\sin \theta =m\lambda$ (incidence normale) à ordre $m$ fixé, établir la dispersion angulaire $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\lambda }=\frac{m}{a\cos \theta }$. En déduire qualitativement pourquoi la séparation angulaire de deux longueurs d'onde voisines augmente avec l'ordre $m$, et pourquoi un réseau de petit pas $a$ (grande densité de traits) disperse davantage.