Dualité onde-particule

Cours complet · physique des ondes (MP2I), chapitre 4 · CPGE MP2I (1re année)

Les chapitres précédents ont décrit la lumière comme une onde : les interférences des trous d'Young en sont la preuve. Pourtant, au début du XX^e siècle, certaines expériences ont révélé que la lumière se comporte aussi comme un flux de grains d'énergie — les photons. Symétriquement, de Broglie a postulé que la matière (électrons, atomes) possède elle aussi un caractère ondulatoire. C'est la dualité onde-particule, idée fondatrice de la physique quantique.

Ce chapitre est volontairement qualitatif : il s'agit de comprendre les idées et d'évaluer des ordres de grandeur, non de mener de longs calculs.

4.1 Le photon : la lumière granulaire

Définition 4.1Photon

La lumière de fréquence $ν$ (longueur d'onde $λ = c / ν$ ) est constituée de photons, grains d'énergie et d'impulsion

$E = h ν = \frac{h c}{λ}, p = \frac{h}{λ} = \frac{E}{c}$

avec la constante de Planck $h = 6.63 \times 1 0^{- 34} Js$ . Le photon n'a pas de masse et se déplace à la vitesse $c$ .

ImportantL'effet photoélectrique : la preuve du photon

Lorsqu'on éclaire un métal, des électrons peuvent être éjectés. L'expérience montre :

il existe une fréquence seuil $ν_{0}$ : en dessous, aucun électron n'est émis, même pour une lumière très intense ;
au-dessus du seuil, l'émission est instantanée et l'énergie cinétique des électrons dépend de la fréquence, pas de l'intensité ;
l'intensité ne fait que changer le nombre d'électrons émis.

La théorie ondulatoire classique échoue (elle prédit une accumulation progressive d'énergie, sans seuil). Einstein (1905) l'explique : chaque photon cède son énergie $h ν$ à un électron, d'où $E_{c} = h ν - W$ ( $W$ : travail d'extraction). C'est la nécessité de la notion de photon.

4.2 L'onde de matière : la relation de de Broglie

Définition 4.2Relation de de Broglie

À toute particule de quantité de mouvement $p = m v$ est associée une onde de matière de longueur d'onde

$λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$

(de Broglie, 1924). La matière possède donc, elle aussi, un caractère ondulatoire.

ImportantMise en évidence : la diffraction des électrons

Si l'on envoie un faisceau d'électrons sur un cristal (dont les atomes régulièrement espacés jouent le rôle de fentes) ou à travers des fentes très fines, on observe une figure de diffraction / d'interférences — exactement comme avec une onde lumineuse. Les électrons se comportent donc comme des ondes, de longueur d'onde conforme à la relation de de Broglie. (Expériences de Davisson et Germer, 1927 ; interférences d'électrons « particule par particule ».)

Envoyées une par une, les particules arrivent en des points imprévisibles (aspect corpusculaire) ; mais leur répartition statistique, accumulée sur un grand nombre d'impacts, reconstitue la figure d'interférences (aspect ondulatoire). La fonction d'onde ne donne que la probabilité de détection en chaque point (chapitre 5).

4.3 Ordres de grandeur : quand le quantique se manifeste-t-il ?

Méthode

Le caractère ondulatoire d'un objet n'est observable que si sa longueur d'onde de de Broglie $λ = h / p$ est comparable à la taille du système qu'il traverse.

Pour un électron lent, $λ$ est de l'ordre de l'Ångström ( $1 0^{- 10}$ m) : comparable aux distances atomiques $\Rightarrow$ diffraction observable.
Pour un objet macroscopique, $p$ est gigantesque, donc $λ$ est ridiculement petite ( $\sim 1 0^{- 34}$ m) : aucun effet ondulatoire observable.

C'est pourquoi la mécanique classique suffit à notre échelle.

Capacité numérique : Longueurs d'onde de de Broglie

On évalue $λ = h / (m v)$ pour quelques objets afin de situer les ordres de grandeur.


h = 6.63e-34       # constante de Planck (J.s)

cas = [("electron a 100 eV", 9.1e-31, 5.9e6),    # masse (kg), vitesse (m/s)
       ("balle de tennis",   0.058,   30.0),
       ("grain de poussiere", 1e-9,   1e-3)]

for nom, m, v in cas:
    lam = h / (m * v)            # longueur d'onde de de Broglie
    print(nom, ": lambda =", "%.2e" % lam, "m")

L'électron a $λ \approx 1 \times 1 0^{- 10} m$ (échelle atomique, diffraction visible) ; la balle et le grain ont $λ < 1 \times 1 0^{- 30} m$ : leur nature ondulatoire est totalement inobservable.

4.4 La dualité

Important

Lumière et matière présentent à la fois un aspect ondulatoire et un aspect corpusculaire : ni l'un ni l'autre exclusivement. L'aspect qui se manifeste dépend de l'expérience réalisée (interférences $\to$ onde ; effet photoélectrique, détection grain par grain $\to$ particule). Cette dualité onde-particule est au cœur de la description quantique, dont le formalisme est abordé au chapitre suivant.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Énergie d'un photon visible (

⋆

)

Calculer l'énergie d'un photon de longueur d'onde $λ = 500 nm$ , en joules puis en électronvolts ( $1 eV = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ ).

Démonstration

$E = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{500 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 4.0 \times 1 0^{- 19} J$ . En eV : $E \approx \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 2.5 eV$ , typique du visible.

Exercice 2 : Impulsion d'un photon (

⋆

)

Donner l'impulsion du photon précédent.

Démonstration

$p = \frac{h}{λ} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{500 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 1.3 \times 1 0^{- 27} kgm / s$ . On peut vérifier $p = E / c = 4, 0 \times 1 0^{- 19} /3, 0 \times 1 0^{8} \approx 1, 3 \times 1 0^{- 27}$ (cohérent).

Exercice 3 : Effet photoélectrique (

⋆ ⋆

)

Un métal a un travail d'extraction $W = 2.0 eV$ . Une lumière de $2.5 eV$ par photon éclaire le métal. Y a-t-il émission ? Quelle est l'énergie cinétique des électrons ?

Démonstration

L'énergie du photon ( $2.5 eV$ ) dépasse $W = 2.0 eV$ : il y a émission. L'énergie cinétique maximale est $E_{c} = h ν - W = 2, 5 - 2, 0 = 0.5 eV$ . Augmenter l'intensité augmenterait le nombre d'électrons, pas leur énergie.

Exercice 4 : de Broglie d'un électron (

⋆ ⋆

)

Un électron est accéléré sous $U = 100 V$ . Calculer sa longueur d'onde de de Broglie ( $m_{e} = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ ).

Démonstration

La vitesse acquise (chapitre 5 de Mécanique) : $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = e U$ , soit $v = 2 e U / m_{e} \approx 5.9 \times 1 0^{6} m / s$ . Alors $λ = \frac{h}{m _{e} v} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31} \times 5 , 9 \times 1 0 ^{6}} \approx 1.2 \times 1 0^{- 10} m$ , soit $\approx 0.12 nm$ : échelle atomique, d'où la diffraction par les cristaux.

Exercice 5 : de Broglie d'une balle (

⋆ ⋆

)

Calculer la longueur d'onde d'une balle de $58 g$ lancée à $30 m / s$ . Conclure.

Démonstration

$λ = \frac{h}{m v} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{0 , 058 \times 30} \approx 3.8 \times 1 0^{- 34} m$ : inimaginablement petite (très en dessous de la taille d'un noyau). Aucun effet ondulatoire n'est observable : la balle est « purement » classique.

Exercice 6 : Microscope électronique (

⋆ ⋆

)

Pourquoi un microscope électronique résout-il des détails bien plus fins qu'un microscope optique ?

Démonstration

Le pouvoir de résolution est limité par la longueur d'onde. La longueur d'onde de de Broglie des électrons ( $\sim 1 0^{- 11}$ à $1 0^{- 12} m$ pour des électrons rapides) est bien plus petite que celle de la lumière visible ( $\sim 500 nm$ ). On résout donc des structures beaucoup plus petites (atomes, nanostructures).

Exercice 7 : Flux de photons (

⋆ ⋆

)

Un laser émet une puissance $P = 1.0 mW$ à $λ = 633 nm$ . Combien de photons émet-il par seconde ?

Démonstration

Énergie d'un photon : $E = h c / λ \approx 3.1 \times 1 0^{- 19} J$ . Le nombre par seconde est $N = P / E = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{3 , 1 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 3.2 \times 1 0^{15}$ photons par seconde : un flux énorme, d'où l'apparence « continue » de la lumière.

Exercice 8 : Condition d'observation du quantique (

⋆ ⋆ ⋆

)

À quelle condition sur la vitesse un électron a-t-il une longueur d'onde comparable à la taille d'un atome ( $\sim 0.1 nm$ ) ?

Démonstration

On veut $λ = h / (m_{e} v) \sim 1 \times 1 0^{- 10} m$ , d'où $v \sim \frac{h}{m _{e} λ} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31} \times 1 0 ^{- 10}} \approx 7 \times 1 0^{6} m / s$ . À cette vitesse (électron « lent » à l'échelle atomique), les effets ondulatoires dominent ; bien plus vite ou pour une particule lourde, $λ$ devient négligeable.

4.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Photon : $E = h ν = h c / λ$ , $p = h / λ = E / c$ ; $h = 6.63 \times 1 0^{- 34} Js$ .
Effet photoélectrique : seuil en fréquence, émission instantanée, $E_{c} = h ν - W$ $\Rightarrow$ nécessité du photon.
de Broglie : à une particule de quantité de mouvement $p$ correspond $λ = h / p$ ; mise en évidence par la diffraction des électrons.
Ordres de grandeur : électron lent $λ \sim 0.1 nm$ (quantique observable) ; objet macroscopique $λ \sim 1 0^{- 34}$ m (classique).
Dualité : onde et particule ; l'aspect manifesté dépend de l'expérience.

4.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Énergie (en eV) d'un photon ultraviolet de $200 nm$ .

( $⋆$ ) Longueur d'onde d'un photon d'énergie $1 eV$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pour le métal de l'exercice 3, quelle est la fréquence seuil $ν_{0}$ ? La longueur d'onde seuil ?

( $⋆ ⋆$ ) Un photon X a une énergie de $10 k eV$ . Calculer sa longueur d'onde.

( $⋆ ⋆$ ) Longueur d'onde de de Broglie d'un proton de $1 \times 1 0^{6} m / s$ ; comparer à celle d'un électron de même vitesse.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi ne perçoit-on pas la nature ondulatoire d'une personne qui marche ?

( $⋆ ⋆$ ) Un panneau solaire reçoit $1 kW / m^{2}$ de lumière ( $550 nm$ en moyenne). Estimer le flux de photons par $m^{2}$ .

( $⋆ ⋆$ ) Justifier que pour le photon, $p = E / c$ est cohérent avec $E = h ν$ et $p = h / λ$ .

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, ajouter d'autres cas (atome d'hélium ultrafroid, ballon de football) et discuter le caractère quantique.

( $⋆ ⋆$ ) Décrire qualitativement une expérience d'interférences d'électrons « envoyés un par un » et ce que l'on observe au fil du temps.

( $⋆ ⋆$ ) Comparer l'énergie d'un photon visible et l'énergie d'agitation thermique $k_{B} T$ à température ambiante ( $1 eV$   $\approx 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ , $k_{B} T \approx 4 \times 1 0^{- 21} J$ ).

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Estimer la longueur d'onde de de Broglie d'un atome dans un gaz à température ambiante et discuter quand les effets quantiques deviennent importants (très basse température).

4.8 Problèmes contextualisés

La dualité onde-particule n'est pas qu'une idée abstraite : elle régit les cellules photoélectriques, les microscopes électroniques, le rendement des panneaux solaires, les dégâts des UV, la sensibilité de l'œil et la cristallographie. Données utiles : $h = 6.63 \times 1 0^{- 34} Js$ , $c = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ , $1 eV = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ .

Exemple 4.11La cellule photoélectrique d'un détecteur (

⋆ ⋆

)

Une cellule au sodium a un travail d'extraction $W = 2.3 eV$ . On l'éclaire successivement avec un laser vert ( $530 nm$ ) puis un laser rouge ( $650 nm$ ) de même puissance.

Calculer la longueur d'onde seuil $λ_{0}$ au-dessus de laquelle aucun électron n'est émis.
Lequel des deux lasers déclenche l'émission ? Avec quelle énergie cinétique ?
À puissance égale, le rouge (sous le seuil) finira-t-il par arracher des électrons si on attend longtemps ? Justifier.

Démonstration

1. Seuil : $W = h c / λ_{0} \Rightarrow λ_{0} = \frac{h c}{W} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{2 , 3 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 540 nm$ .

2. Le vert ( $530 nm$   $< λ_{0}$ ) émet ; le rouge ( $650 nm$   $> λ_{0}$ ) non. Énergie du vert : $E = h c / λ = 2, 34$ eV ; $E_{c} = E - W \approx 2, 34 - 2, 30 \approx 0.04 eV$ .

3. Non : chaque photon rouge porte $E = 1, 9$ eV $< W$ individuellement. Augmenter la puissance ou la durée n'augmente que le nombre de photons, jamais l'énergie de chacun : pas d'émission. C'est l'argument décisif en faveur du photon.

Exemple 4.12Le microscope électronique (

⋆ ⋆

)

Un microscope électronique accélère des électrons sous $U = 15 kV$ ( $m_{e} = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ , $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ).

Calculer la vitesse acquise, puis la longueur d'onde de de Broglie.
Comparer à la longueur d'onde de la lumière visible ( $\sim 550 nm$ ).
En quoi cela explique-t-il que l'on « voie » les atomes ?

Démonstration

1. $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = e U \Rightarrow v = 2 e U / m_{e} = 2 \times 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 1, 5 \times 1 0^{4} /9, 1 \times 1 0^{- 31} \approx 7.3 \times 1 0^{7} m / s$ . Alors $λ = \frac{h}{m _{e} v} \approx \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31} \times 7 , 3 \times 1 0 ^{7}} \approx 1 \times 1 0^{- 11} m = 0.01 nm$ .

2. C'est environ $5 \times 1 0^{4}$ fois plus petit que la lumière visible.

3. La résolution est limitée par la longueur d'onde : une « sonde » de $0.01 nm$ permet de distinguer des détails de taille atomique ( $\sim 0.1 nm$ ), inaccessibles en optique.

Exemple 4.13Le rendement d'un panneau solaire (

⋆ ⋆ ⋆

)

Le silicium d'un panneau ne convertit que les photons dont l'énergie dépasse son « gap » $E_{g} = 1.1 eV$ . Le Soleil éclaire avec $Φ = 1.0 kW / m^{2}$ , d'énergie moyenne par photon correspondant à $λ \approx 550 nm$ .

Calculer l'énergie d'un photon « moyen » et le flux de photons reçu par $m^{2}$ .
À quelle longueur d'onde correspond le gap ? Quels photons sont « perdus » faute d'énergie suffisante ?
Pour un photon vert ( $2, 25$ eV), quelle fraction de son énergie est au mieux convertie, le reste partant en chaleur ?

Démonstration

1. $E = h c / λ = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{550 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 3.6 \times 1 0^{- 19} J$ ( $\approx 2, 25$ eV). Flux : $N = Φ/ E = \frac{1000}{3 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 2.8 \times 1 0^{21}$ photons par seconde et par $m^{2}$ .

2. $λ_{g} = h c / E_{g} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{1 , 1 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 1130 nm$ . Les photons infrarouges ( $λ > 1130 nm$ ) n'ont pas l'énergie du gap : ils sont perdus.

3. Au mieux $E_{g}$ est récupéré ; pour un photon vert de $2, 25$ eV, la fraction utile est $\approx 1, 1/2, 25 \approx 49%$ , le reste ( $\approx 51%$ ) part en chaleur. Ces deux pertes (photons trop mous + excès thermalisé) plafonnent le rendement (limite de Shockley-Queisser).

Exemple 4.14Pourquoi les UV brûlent et pas l'infrarouge (

⋆ ⋆

)

Casser une liaison chimique de la peau (ou de l'ADN) demande typiquement une énergie de l'ordre de $3.5 eV$ par photon.

Calculer l'énergie d'un photon UV ( $300 nm$ ), visible ( $550 nm$ ) et infrarouge ( $1500 nm$ ).
Lesquels peuvent casser une liaison ? Relier au coup de soleil.
Une lampe infrarouge très puissante peut-elle « bronzer » ? Pourquoi chauffe-t-elle seulement ?

Démonstration

1. $E = h c / λ$ en eV : UV $\approx 4, 1$ eV ; visible $\approx 2, 25$ eV ; IR $\approx 0, 83$ eV.

2. Seul l'UV ( $4, 1 > 3, 5$ eV) franchit le seuil et casse des liaisons : c'est lui qui provoque coups de soleil et lésions de l'ADN. Le visible et l'IR n'en ont pas l'énergie par photon.

3. Non : même très intense, l'IR n'apporte que des photons de $0, 83$ eV, incapables de la photochimie du bronzage. L'énergie s'accumule sous forme d'agitation thermique (chaleur), pas de réactions : on chauffe sans bronzer.

Exemple 4.15Combien de photons pour voir ? (

⋆ ⋆ ⋆

)

Dans le noir, l'œil humain perçoit un éclair lumineux dès qu'environ $N = 10$ photons de longueur d'onde $λ = 507 nm$ (vert-bleu, pic de sensibilité nocturne) atteignent la rétine.

Calculer l'énergie totale de ce « plus petit éclair visible ».
Comparer à l'énergie cinétique d'un moustique de $2.5 mg$ volant à $0.10 m / s$ .
Que conclure sur la sensibilité de l'œil ?

Démonstration

1. Énergie d'un photon : $E = h c / λ = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{507 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 3.9 \times 1 0^{- 19} J$ . Pour $10$ photons : $E_{tot} \approx 3.9 \times 1 0^{- 18} J$ .

2. Moustique : $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \times 2, 5 \times 1 0^{- 6} \times (0, 10)^{2} \approx 1.3 \times 1 0^{- 8} J$ , soit $\approx 1 0^{10}$ fois plus.

3. L'œil détecte une énergie dix milliards de fois plus faible que le vol d'un moustique : il est quasiment sensible au photon unique. La nature granulaire de la lumière se manifeste alors jusque dans notre vision.

Exemple 4.16Sonder un cristal avec des neutrons (

⋆ ⋆

)

Pour cartographier les atomes d'un cristal (distances $\sim 0.2 nm$ ), on utilise des « neutrons thermiques » de vitesse $v = 2200 m / s$ ( $m_{n} = 1.67 \times 1 0^{- 27} kg$ ).

Calculer leur longueur d'onde de de Broglie.
Pourquoi cette valeur les rend-elle idéaux pour la diffraction par un cristal ?
Un électron de même vitesse aurait-il la même longueur d'onde ? Commenter le rôle de la masse.

Démonstration

1. $λ = \frac{h}{m _{n} v} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{1 , 67 \times 1 0 ^{- 27} \times 2200} \approx 1.8 \times 1 0^{- 10} m = 0.18 nm$ .

2. Cette longueur d'onde est comparable aux distances interatomiques : le cristal joue le rôle de réseau et donne une figure de diffraction nette, dont on déduit la structure (cristallographie neutronique).

3. À même vitesse, $λ = h / (m v)$ est inversement proportionnelle à la masse : l'électron ( $\approx 1800$ fois plus léger) aurait une longueur d'onde $1800$ fois plus grande. La masse fixe l'échelle où la nature ondulatoire se manifeste.

Exemple 4.17Faire interférer une molécule géante (

⋆ ⋆ ⋆

)

En 1999, des physiciens ont obtenu des interférences avec des molécules de fullerène $C_{60}$ (masse $m = 1.2 \times 1 0^{- 24} kg$ ) traversant un réseau à $v = 200 m / s$ .

Calculer la longueur d'onde de de Broglie de ces molécules.
Comparer à la taille de la molécule ( $\sim 1 nm$ ) : pourquoi l'expérience est-elle un tour de force ?
Pourquoi n'observe-t-on jamais d'interférences avec un grain de poussière, a fortiori un être humain ?

Démonstration

1. $λ = \frac{h}{m v} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{1 , 2 \times 1 0 ^{- 24} \times 200} \approx 2.8 \times 1 0^{- 12} m = 2.8 pm$ .

2. Cette longueur d'onde est $\approx 400$ fois plus petite que la molécule elle-même : il faut un réseau extrêmement fin et un contrôle exquis pour révéler un effet ondulatoire aussi ténu sur un objet aussi « gros ».

3. Pour un objet macroscopique, $p = m v$ est colossal, donc $λ$ est inconcevablement petite ; de plus, l'objet interagit sans cesse avec son environnement (décohérence), ce qui détruit la superposition ondulatoire. Le monde classique émerge ainsi du quantique.

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