Signaux physiques et ondes progressives

Cours complet · physique des ondes (MPSI), chapitre 1 · CPGE MPSI (1re année)

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Un son qui se propage dans l'air, une vague à la surface de l'eau, une impulsion le long d'une corde, un signal électrique dans un câble, la lumière d'une étoile : dans tous ces cas, une grandeur physique — un signal — créée en un endroit se propage de proche en proche vers les régions voisines. C'est le phénomène d'onde.

Ce premier chapitre pose le vocabulaire (signal, célérité, retard) et le modèle de l'onde progressive dans un milieu non dispersif : une perturbation qui se déplace sans se déformer à une vitesse $c$ . On apprendra à écrire un signal sous la forme $f (t - x / c)$ et à passer du point de vue « temporel » (en un point fixe) au point de vue « spatial » (à un instant donné). Les ondes sinusoïdales et les interférences feront l'objet des chapitres suivants.

1.1 Les signaux physiques

Définition 1.1Signal

Un signal est une grandeur physique dont la variation transporte une information. Il dépend en général du temps $t$ et de la position $x$ : on le note $s (x, t)$ . Quelques exemples :

signal acoustique : la surpression $p (x, t)$ par rapport à la pression atmosphérique (ou le déplacement des molécules d'air) ;
signal électrique : une tension $u (t)$ ou une intensité $i (t)$ ;
signal électromagnétique : le champ électrique $E (x, t)$ (lumière, ondes radio).

iRemarque

On rencontrera surtout le signal sinusoïdal $s (t) = A cos (ω t + φ)$ , brique élémentaire à partir de laquelle tout signal périodique se décompose (analyse de Fourier, vue en électricité). Ses caractéristiques (amplitude, période, fréquence, pulsation) et sa propagation sont étudiées en détail au chapitre 2.

1.2 Propagation : l'onde progressive

Lorsqu'on perturbe un milieu en un point, la perturbation ne reste pas sur place : elle gagne les points voisins avec un certain retard, car l'information met un temps fini à se propager.

Définition 1.2Onde progressive non dispersive

Dans un milieu illimité, non dispersif et transparent, une perturbation se propage sans déformation à une vitesse constante $c$ appelée célérité (en $m / s$ ). Un signal se propageant dans le sens des $x$ croissants s'écrit

$s (x, t) = f (t - \frac{x}{c}) = F (x - c t)$

et, dans le sens des $x$ décroissants, $s (x, t) = g (t + \frac{x}{c}) = G (x + c t)$ .

Le même profil, les deux sens de propagation. Entre $t_{0}$ (trait plein) et $t_{0} + Δ t$ (pointillés), la bosse a glissé de $c Δ t$ sans changer ni de forme ni de hauteur : seul le signe devant $x / c$ dit de quel côté elle part.

ImportantInterprétation du retard

Le signal observé à l'abscisse $x$ est identique à celui observé en $x = 0$ , mais retardé de la durée

$τ = \frac{x}{c} (retard de propagation),$

le temps que l'onde mette à parcourir la distance $x$ à la vitesse $c$ . C'est tout le sens de l'écriture $s (x, t) = s (0, t - x / c)$ : « ce qui se passe en $x$ à l'instant $t$ est ce qui s'est passé en $0$ à l'instant antérieur $t - x / c$ ».

Exemple 1.3Quelques célérités

Son dans l'air : $c \approx 340 m / s$ ; son dans l'eau : $\approx 1500 m / s$ ; onde électromagnétique dans le vide : $c = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ . La célérité dépend du milieu, pas (dans un milieu non dispersif) de la forme du signal.

Les célérités ne se comparent qu'en échelle logarithmique : six décades séparent le son de la lumière. C'est ce facteur $\approx 1 0^{6}$ qui autorise, sur quelques kilomètres, à traiter la lumière comme instantanée et à mettre tout le retard observé sur le compte du son.

iRemarqueOrdres de grandeur de fréquences

Selon le domaine, les fréquences des signaux couvrent des échelles très différentes :

acoustique : audible $20 Hz$ à $20 k Hz$ ; infrasons $< 20 Hz$ , ultrasons $> 20 k Hz$ (sonar $\sim 40 k Hz$ ) ;
mécanique / sismique : vibrations et séismes de $\sim 0.01 Hz$ à quelques $Hz$ , jusqu'au $k Hz$ pour des structures ;
électromagnétique : radio $1 0^{5}$ à $1 0^{9} Hz$ ( $k Hz$ – $G Hz$ ), lumière visible $\sim 5 \times 1 0^{14} Hz$ , rayons X $\sim 1 0^{18} Hz$ .

1.3 Évolution temporelle et spatiale

Un signal $s (x, t)$ dépend de deux variables ; on peut donc en figer une et observer l'autre.

Méthode : Deux points de vue

À position fixée $x_{0}$ : on observe $s (x_{0}, t)$ en fonction du temps — c'est un chronogramme (ce que voit un capteur immobile, oscilloscope, micro).
À instant fixé $t_{0}$ : on observe $s (x, t_{0})$ en fonction de l'espace — c'est une photographie (un instantané de l'onde le long de l'axe).

Connaissant une photographie à $t_{0}$ , le sens et la célérité, la photographie à $t_{0} + Δ t$ s'obtient en translatant le profil de $c Δ t$ (vers $+ x$ si l'onde va vers les $x$ croissants).

Un seul signal, deux graphes que l'on confond volontiers : à gauche l'axe porte des mètres, à droite des secondes. Le front raide est en tête, du côté où l'onde avance ; c'est donc lui qui atteint le capteur en premier, et il ouvre le chronogramme en $t_{1}$ . Le chronogramme est ainsi le profil renversé : ce qui est à droite dans l'espace est à gauche dans le temps.

La même photographie à deux instants : le profil est simplement translaté de $c Δ t$ , sans s'élargir ni s'affaisser. C'est la définition même d'un milieu non dispersif — toute la propagation tient dans ce glissement.

Méthode : Mesurer une célérité avec deux capteurs

Deux capteurs immobiles en $x_{1}$ et $x_{2} > x_{1}$ enregistrent le même signal, mais le second le voit retardé de $Δ τ = \frac{x _{2} - x _{1}}{c}$ . En mesurant ce décalage entre les deux chronogrammes et la distance $x_{2} - x_{1}$ , on en déduit la célérité :

$c = \frac{x _{2} - x _{1}}{Δ τ}$

C'est le principe de toute mesure de vitesse d'onde par « temps de vol » (deux micros pour le son, deux stations pour un séisme, etc.).

Deux capteurs immobiles enregistrent le même signal, à ceci près que le second le voit plus tard, de $Δ τ = (x_{2} - x_{1}) / c$ . Mesurer ce décalage et la distance qui sépare les capteurs suffit à remonter à la célérité : c'est toute la méthode du « temps de vol ».

Capacité numérique : Visualiser une onde progressive

On trace une perturbation $f (x - c t)$ à plusieurs instants pour voir le profil se translater sans se déformer.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c = 2.0                        # celerite (m/s)
x = np.linspace(-2.0, 12.0, 800)

def f(u):                      # profil initial : une bosse
    return np.exp(-(u - 1.0)**2)

for t in (0.0, 1.0, 2.0, 3.0):     # plusieurs instants
    plt.plot(x, f(x - c * t), label="t = %.0f s" % t)
plt.xlabel("x (m)"); plt.ylabel("s(x, t)"); plt.legend(); plt.show()

La bosse se déplace de $c Δ t$ entre deux instants, sans changer de forme : c'est la signature d'un milieu non dispersif.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Identifier le signal (

⋆

)

Pour chacun, préciser la grandeur physique qui varie : (a) un son ; (b) la tension à la sortie d'un microphone ; (c) une onde radio.

Démonstration

(a) la surpression de l'air (ou le déplacement des molécules) ; (b) une tension électrique $u (t)$ ; (c) un champ électromagnétique ( $E$ , $B$ ). Le microphone réalise précisément la conversion (a) $\to$ (b).

Exercice 2 : Retard de propagation (

⋆

)

Un éclair est aperçu, puis le tonnerre est entendu $6 s$ plus tard. À quelle distance est tombée la foudre ( $c_{son} = 340 m / s$ , lumière quasi instantanée) ?

Démonstration

La lumière arrive quasi immédiatement ; le son met $τ = 6 s$ . La distance est $d = c_{son} τ = 340 \times 6 \approx 2.0 \times 1 0^{3} m$ , soit environ $2 km$ (règle approximative : $1 km$ toutes les trois secondes).

Exercice 3 : Écrire la dépendance en

x

(

⋆ ⋆

)

En $x = 0$ , un capteur enregistre $s (0, t) = s_{0} e^{- t^{2} / τ^{2}}$ . L'onde se propage vers les $x$ croissants à la célérité $c$ . Donner $s (x, t)$ .

Démonstration

Le signal en $x$ est celui de $x = 0$ retardé de $x / c$ : on remplace $t$ par $t - x / c$ :

$s (x, t) = s_{0} exp (- \frac{( t - x / c ) ^{2}}{τ ^{2}}) .$

Exercice 4 : Sens de propagation (

⋆ ⋆

)

Deux signaux sont décrits par $s_{1} (x, t) = A e^{- (x - c t)^{2}}$ et $s_{2} (x, t) = A e^{- (x + c t)^{2}}$ . Indiquer leur sens de propagation.

Démonstration

$s_{1}$ dépend de $x - c t$ : à $t$ croissant, le profil reste identique pour $x - c t = cte$ , donc $x$ croît : propagation vers les $x$ croissants. $s_{2}$ dépend de $x + c t$ : propagation vers les $x$ décroissants.

Exercice 5 : Photographie et chronogramme (

⋆ ⋆

)

On dispose de la photographie d'une onde à $t_{0}$ (un pic centré en $x = 3$ m) et l'on sait qu'elle se propage vers les $x$ croissants à $c = 2 m / s$ . Où est le pic à $t_{0} + 2 s$ ? Quand un capteur placé en $x = 9$ m le détecte-t-il ?

Démonstration

Le pic se translate de $c Δ t = 2 \times 2 = 4 m$ : il sera en $x = 7$ m. Pour atteindre $x = 9$ m depuis $x = 3$ m, il parcourt $6 m$ , soit un délai $6/2 = 3 s$ après $t_{0}$ : le capteur le détecte à $t_{0} + 3 s$ .

Exercice 6 : Deux microphones (

⋆ ⋆

)

Deux micros alignés avec une source sonore sont distants de $d = 1.7 m$ . Le second reçoit le son $5 ms$ après le premier. En déduire la célérité du son.

Démonstration

$c = \frac{d}{Δ t} = \frac{1 , 7}{5 \times 1 0 ^{- 3}} = 340 m / s$ : on retrouve la célérité du son dans l'air. C'est une méthode de mesure directe.

Exercice 7 : Profil translaté (

⋆ ⋆

)

Une corde porte à $t = 0$ le profil triangulaire non nul seulement sur $[0, 2]$ m, maximal en $x = 1$ m. L'onde va vers $+ x$ à $c = 3 m / s$ . Décrire le profil à $t = 1 s$ .

Démonstration

Le profil est inchangé en forme, simplement décalé de $c t = 3 m$ : il est non nul sur $[3, 5]$ m, maximal en $x = 4$ m. (Milieu non dispersif : aucune déformation.)

Exercice 8 : Mesure par écho (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un sonar émet une impulsion vers le fond et reçoit son écho $0.4 s$ plus tard ( $c_{eau} = 1500 m / s$ ). Quelle est la profondeur ?

Démonstration

Le son fait l'aller-retour pendant $Δ t = 0.4 s$ , donc parcourt $2 H = c_{eau} Δ t$ . La profondeur est

$H = \frac{c _{eau} Δ t}{2} = \frac{1500 \times 0 , 4}{2} = 300 m .$

1.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Un signal $s (x, t)$ est une grandeur physique (surpression acoustique, tension électrique, champ électromagnétique).
Onde progressive non dispersive : propagation sans déformation à la célérité $c$ . Vers $+ x$ : $s (x, t) = f (t - x / c) = F (x - c t)$ ; vers $- x$ : $g (t + x / c) = G (x + c t)$ .
Retard de propagation : $τ = x / c$ ; $s (x, t) = s (0, t - x / c)$ .
Deux points de vue : chronogramme (position fixée, fonction du temps) et photographie (instant fixé, fonction de l'espace) ; passage à $t_{0} + Δ t$ par translation de $c Δ t$ .
Ordres de grandeur : $c_{son,air} \approx 340 m / s$ , $c_{lumi e ˋ re} = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ .

1.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Citer la grandeur physique qui se propage pour : une vague, une onde sismique, un signal dans une fibre optique.

( $⋆$ ) Combien de temps met la lumière du Soleil ( $d = 1.5 \times 1 0^{11} m$ ) pour nous parvenir ?

( $⋆$ ) Un signal $s (0, t)$ rectangulaire (créneau) est émis en $x = 0$ . Écrire $s (x, t)$ pour une propagation vers $+ x$ à célérité $c$ .

( $⋆ ⋆$ ) Une onde s'écrit $s (x, t) = \frac{A}{1 + ( x - c t ) ^{2}}$ . Tracer qualitativement la photographie à $t = 0$ et le chronogramme en $x = 0$ .

( $⋆ ⋆$ ) Deux capteurs en $x_{1}$ et $x_{2} > x_{1}$ enregistrent le même signal. Exprimer le décalage temporel entre les deux chronogrammes.

( $⋆ ⋆$ ) Une onde va vers les $x$ décroissants à $c = 5 m / s$ ; sa photographie à $t = 0$ a un pic en $x = 10$ m. Où est le pic à $t = 1 s$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que toute fonction de la forme $f (x - c t)$ vérifie $\frac{\partial s}{\partial t} = - c \frac{\partial s}{\partial x}$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un séisme : les ondes P ( $6 km / s$ ) et S ( $3.5 km / s$ ) partent ensemble. Une station les reçoit à $20 s$ d'écart. À quelle distance est l'épicentre ?

( $⋆ ⋆$ ) Justifier pourquoi, dans un milieu non dispersif, la forme du signal est conservée au cours de la propagation.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Un radar émet une onde EM vers un avion et reçoit l'écho $120 μ s$ plus tard. Donner la distance de l'avion.

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, modifier le code pour faire propager l'onde vers les $x$ décroissants et superposer les deux sens.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Deux impulsions identiques se propagent en sens opposés sur une corde et se croisent. Décrire qualitativement ce que l'on observe à l'instant du croisement (anticipation des interférences, chapitre 3).

1.7 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : on y mesure des distances et des vitesses uniquement à partir de temps de propagation. C'est le principe de tous les systèmes de télémétrie (sonar, radar, échographie, GPS, sismologie).

Exemple 1.12L'orage qui approche (

⋆ ⋆

)

Pendant un orage, vous comptez le délai entre l'éclair et le tonnerre pour trois coups de foudre successifs, espacés d'environ une minute : $9 s$ , puis $6 s$ , puis $3 s$ . On prend $c_{son} = 340 m / s$ et on néglige le temps de trajet de la lumière.

Justifier que la lumière peut être considérée comme instantanée devant le son (comparer les célérités sur une distance de quelques $km$ ).
Calculer la distance de chaque coup de foudre.
L'orage s'approche-t-il ou s'éloigne-t-il ? Estimer sa vitesse de déplacement.
Justifier la règle pratique : « divise le nombre de secondes par 3 pour avoir la distance en $km$ ».

L'éclair arrive en $\approx 10 μ s$ , le tonnerre en quelques secondes : le délai entre les deux est une mesure de distance, et la lumière ne sert que de coup de départ. Les trois coups successifs passent de $3.1 km$ à $1.0 km$ : l'orage vient droit sur l'observateur.

Démonstration

1. Sur $d = 3 km$ , la lumière met $d / c = 3000/ (3, 0 \times 1 0^{8}) = 1 \times 1 0^{- 5} s = 10 μ s$ , totalement négligeable devant les secondes mesurées : on attribue tout le retard au son.

2. $d = c_{son} τ$ : pour $9 s$ , $d_{1} = 340 \times 9 \approx 3.1 \times 1 0^{3} m \approx 3.1 km$ ; pour $6 s$ , $d_{2} \approx 2.0 km$ ; pour $3 s$ , $d_{3} \approx 1.0 km$ .

3. Les distances diminuent : l'orage s'approche. En une minute il se rapproche d'environ $d_{1} - d_{2} \approx 1.1 km$ , soit une vitesse de l'ordre de $1100/60 \approx 18 m / s$ ( $\approx 65 km / h$ ).

4. $d = c_{son} τ \approx 340 τ$ . En $km$ : $d \approx 0, 34 τ \approx τ /3$ . Compter trois secondes par kilomètre revient à mesurer un temps de vol.

Exemple 1.13Le sonar et le profil des fonds (

⋆ ⋆

)

Un navire océanographique sonde les fonds avec un sonar qui émet de brèves impulsions ultrasonores vers le bas et chronomètre leur écho ( $c_{eau} = 1500 m / s$ ).

En un premier point, l'écho revient $0.40 s$ après l'émission. Quelle est la profondeur ?
Le navire avance ; un peu plus loin l'écho revient au bout de $0.12 s$ . Le fond remonte-t-il ou descend-il ?
Entre les deux points l'écho vient en réalité d'un banc de poissons situé à $30 m$ sous la surface. Quel serait alors le temps d'écho ?

Le sondeur ne mesure pas $H$ mais le temps d'un aller-retour : la durée lue correspond à $2 H$ . Oublier ce facteur $2$ revient à annoncer une profondeur double — c'est l'erreur classique de tous les problèmes d'écho, sonar, radar ou échographie.

Démonstration

1. L'impulsion fait l'aller-retour : $2 H = c_{eau} Δ t$ , d'où $H = \frac{c _{eau} Δ t}{2} = \frac{1500 \times 0 , 40}{2} = 300 m$ .

2. Même formule : $H^{'} = \frac{1500 \times 0 , 12}{2} = 90 m$ . La profondeur a diminué : le fond remonte (haut-fond).

3. Pour une cible à $H^{''} = 30 m$ : $Δ t^{''} = \frac{2 H ^{''}}{c _{eau}} = \frac{60}{1500} = 0.04 s = 40 ms$ . L'écho « poissons » arrive bien avant l'écho du fond : on les distingue sur l'enregistrement. C'est ainsi qu'un sondeur détecte simultanément les bancs et le relief.

Exemple 1.14Localiser un séisme (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un séisme émet au même instant deux types d'ondes : les ondes P (compression, rapides, $c_{P} = 6.0 km / s$ ) et les ondes S (cisaillement, lentes, $c_{S} = 3.5 km / s$ ). Une station sismique reçoit l'onde S $8.0 s$ après l'onde P.

Pourquoi la station enregistre-t-elle deux « bouffées » distinctes alors que le séisme est unique ?
Exprimer le décalage $Δ t$ en fonction de la distance $d$ à l'épicentre, puis calculer $d$ .
Une seule station donne la distance mais pas la direction. Comment trois stations permettent-elles de localiser l'épicentre ?

Un séisme unique, deux arrivées : parties ensemble, les ondes P (rapides) devancent les ondes S (lentes) d'un écart $Δ t$ qui grandit avec la distance parcourue. La station lit donc sa propre distance à l'épicentre sur un simple chronomètre — mais pas la direction.

Démonstration

1. Les deux ondes partent ensemble mais voyagent à des célérités différentes : sur la même distance $d$ , la plus lente arrive en retard. Le décalage croît avec la distance — c'est un « chronomètre » naturel.

2. Temps de trajet : $t_{P} = d / c_{P}$ et $t_{S} = d / c_{S}$ . Donc

$Δ t = t_{S} - t_{P} = d (\frac{1}{c _{S}} - \frac{1}{c _{P}}) .$

On en tire $d = \frac{Δ t}{\frac{1}{c _{S}} - \frac{1}{c _{P}}} = \frac{8 , 0}{\frac{1}{3 , 5} - \frac{1}{6 , 0}} \approx \frac{8 , 0}{0 , 119} \approx 67 km$ .

3. Chaque station fournit un rayon : l'épicentre est sur un cercle centré sur la station. Deux cercles se coupent en deux points, le troisième lève l'ambiguïté : c'est la triangulation, exactement le principe du GPS (avec des temps de vol d'ondes électromagnétiques).

Exemple 1.15Le radar de poursuite (

⋆ ⋆

)

Un radar émet une onde électromagnétique ( $c = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ ) vers un avion et reçoit l'écho $120 μ s$ plus tard.

À quelle distance se trouve l'avion ?
Dix secondes plus tard, le temps d'écho n'est plus que de $100 μ s$ . De combien l'avion s'est-il rapproché ? En déduire sa vitesse radiale (composante vers le radar).
Pourquoi un radar utilise-t-il des ondes EM plutôt que du son ?

Démonstration

1. Aller-retour : $d = \frac{c Δ t}{2} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8} \times 120 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 1.8 \times 1 0^{4} m = 18 km$ .

2. Nouvelle distance : $d^{'} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8} \times 100 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 1.5 \times 1 0^{4} m = 15 km$ . L'avion s'est rapproché de $3 km$ en $10 s$ , soit une vitesse radiale $v = 3000/10 = 300 m / s$ ( $\approx 1080 km / h$ ).

3. Le son ne se propage pas dans le vide et serait $1 0^{6}$ fois trop lent (échos de plusieurs minutes) : à $18 km$ , le son mettrait près d'une minute aller-retour. Les ondes EM, rapides et propagées dans l'air comme dans le vide, donnent une mesure quasi instantanée.

Exemple 1.16Le radar de recul d'une voiture (

⋆ ⋆

)

Un capteur de stationnement émet des salves d'ultrasons à $40 k Hz$ et mesure l'écho sur les obstacles ( $c_{son} = 340 m / s$ ).

Un mur renvoie l'écho $12 ms$ après l'émission. À quelle distance est-il ?
Chaque salve dure $1 ms$ . En déduire une distance minimale en-dessous de laquelle l'écho « se confond » avec l'émission (zone aveugle).
Le système répète la mesure 20 fois par seconde. Est-ce compatible avec une portée de $3 m$ ?

Démonstration

1. $d = \frac{c _{son} Δ t}{2} = \frac{340 \times 12 \times 1 0 ^{- 3}}{2} = 2.0 m$ .

2. Tant que la salve n'est pas finie ( $1 ms$ ), l'écho qui revient se superpose à l'émission. La distance minimale correspond à $Δ t_{m i n} = 1 ms$ : $d_{m i n} = \frac{340 \times 1 0 ^{- 3}}{2} \approx 0.17 m$ . En-deçà de $\approx 17 cm$ , le capteur est « aveugle ».

3. À $3 m$ , l'écho revient en $Δ t = 2 d / c = 6/340 \approx 18 ms$ . Une mesure toutes les $50 ms$ (20 Hz) laisse largement le temps à l'écho de revenir : compatible.

Exemple 1.17La latence d'une fibre optique (

⋆ ⋆

)

Dans une fibre optique, la lumière n'avance pas à $c$ mais à $v = c / n$ avec un indice $n \approx 1, 5$ . On relie Paris à New-York par une fibre de longueur $L = 6000 km$ .

Calculer la vitesse de la lumière dans la fibre.
En déduire le temps de trajet aller, puis le temps aller-retour (« ping »).
Ce délai peut-il descendre sous $20 ms$ avec cette fibre ? Commenter pour les jeux en ligne et la finance.

Démonstration

1. $v = \frac{c}{n} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{1 , 5} = 2.0 \times 1 0^{8} m / s$ .

2. Aller : $t = \frac{L}{v} = \frac{6 , 0 \times 1 0 ^{6}}{2 , 0 \times 1 0 ^{8}} = 0.030 s = 30 ms$ . Aller-retour : $\approx 60 ms$ .

3. Non : même à la vitesse maximale dans la fibre, le ping ne peut pas descendre sous $\approx 60 ms$ — c'est une limite physique, pas technologique. D'où la latence incompressible des jeux intercontinentaux et la course des sociétés financières à raccourcir les liaisons (câbles plus directs).

Exemple 1.18Localisation par deux microphones (

⋆ ⋆ ⋆

)

Deux microphones $M_{1}$ et $M_{2}$ sont alignés et distants de $D = 3.0 m$ . Une source sonore brève (un claquement) est captée par $M_{1}$ puis par $M_{2}$ avec un retard $Δ t = 5.0 ms$ ( $c_{son} = 340 m / s$ ).

La source est très éloignée et dans l'axe des deux micros, du côté de $M_{1}$ . Vérifier la cohérence de $Δ t$ avec $D$ .
La source est en réalité légèrement de côté. Montrer que la différence de distance $δ = d_{2} - d_{1}$ vaut $c_{son} Δ t$ et la calculer.
Expliquer pourquoi un seul couple de micros ne donne pas la position exacte, mais une ligne de positions possibles. (On admet que l'ensemble des points tels que $d_{2} - d_{1}$ est constant est une hyperbole de foyers $M_{1}, M_{2}$ .)

Le son atteint $M_{1}$ le premier : la source est donc du côté de $M_{1}$ , et $d_{2} > d_{1}$ . Le retard ne mesure pas la position mais la seule différence de chemin $δ = d_{2} - d_{1} = c Δ t$ (segment épais, reporté à l'arc de rayon $d_{1}$ ). Tous les points de l'hyperbole en pointillés donnent exactement le même retard : il faut un troisième micro pour trancher.

Démonstration

1. Si la source est dans l'axe, loin du côté de $M_{1}$ , l'onde parcourt exactement $D$ de plus pour atteindre $M_{2}$ : le retard maximal possible est $Δ t_{m a x} = D / c_{son} = 3, 0/340 \approx 8.8 ms$ . La valeur mesurée $5.0 ms$ est inférieure : c'est cohérent (la source n'est pas tout à fait dans l'axe).

2. Les deux micros captent le même front d'onde ; le retard vient de la différence de chemin : $δ = d_{2} - d_{1} = c_{son} Δ t = 340 \times 5, 0 \times 1 0^{- 3} = 1.7 m$ .

3. Tous les points vérifiant $d_{2} - d_{1} = 1.7 m$ conviennent : ils forment une hyperbole de foyers $M_{1}$ et $M_{2}$ . Un seul couple de micros contraint donc la source à une courbe ; il faut un troisième micro (un second couple, donc une seconde hyperbole) pour intersecter et localiser la source. C'est le principe de la localisation acoustique (et du système GPS, en 3D).

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