Formalisme quantique et quantification de l'énergie

Cours complet · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 · CPGE MPSI (1re année)

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

La dualité onde-particule du chapitre précédent appelle un nouveau cadre : la fonction d'onde et son interprétation probabiliste. On verra qu'elle rend compte des interférences « particule par particule », qu'elle impose une limite fondamentale — l'inégalité de Heisenberg — et que, appliquée à l'atome (modèle de Bohr), elle conduit à la quantification de l'énergie. Comme le chapitre 4, ce chapitre reste qualitatif : on cherche à comprendre les idées et à manier des ordres de grandeur.

5.1 La fonction d'onde et l'interprétation probabiliste

Définition 5.1Fonction d'onde

En physique quantique, une particule n'est plus décrite par une position et une vitesse précises, mais par une fonction d'onde $ψ (x, t)$ (à valeurs complexes). L'interprétation probabiliste (Born) est :

$∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x = probabilit e ˊ de trouver la particule entre x et x + d x .$

La probabilité de la trouver quelque part valant $1$ , $\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ (condition de normalisation).

Important

$∣ ψ ∣^{2}$ est une densité de probabilité : la fonction d'onde ne décrit pas une particule « étalée », mais la probabilité de la détecter en chaque point. Une mesure donne toujours une particule localisée ; c'est sa position qui est aléatoire, distribuée selon $∣ ψ ∣^{2}$ .

5.2 Les interférences particule par particule

ImportantL'expérience cruciale

On réalise les interférences des trous d'Young en envoyant les particules (photons ou électrons) une par une. On observe :

chaque particule est détectée comme un impact ponctuel, à une position imprévisible (aspect corpusculaire) ;
en accumulant un grand nombre d'impacts, la figure d'interférences apparaît progressivement (aspect ondulatoire).

Interprétation : l'amplitude de probabilité (la fonction d'onde) passe par les deux trous et interfère avec elle-même ; $∣ ψ ∣^{2}$ donne la distribution des impacts. C'est la réconciliation onde-particule : l'onde gouverne les probabilités, la détection reste granulaire.

5.3 L'inégalité de Heisenberg spatiale

Méthode : Établissement par analogie avec la diffraction

Une particule de quantité de mouvement $p = h / λ$ qui traverse une fente de largeur $Δ x$ est diffractée (comme une onde) : elle ressort dans un cône d'angle $θ \approx \frac{λ}{Δ x}$ . Elle acquiert donc une composante transverse de quantité de mouvement

$Δ p \approx p θ \approx \frac{h}{λ} \cdot \frac{λ}{Δ x} = \frac{h}{Δ x} .$

D'où, en ordre de grandeur, l'inégalité de Heisenberg spatiale :

$Δ p Δ x ≳ ℏ ℏ = \frac{h}{2 π} .$

Important

Cette inégalité n'est pas un défaut de mesure : elle est intrinsèque. Localiser une particule dans un petit $Δ x$ implique une grande dispersion $Δ p$ de sa quantité de mouvement. Position et quantité de mouvement ne peuvent être connues simultanément avec une précision arbitraire.

5.4 La quantification de l'énergie : le modèle de Bohr

Appliquons ces idées à l'atome d'hydrogène : un électron ( $- e$ ) en orbite autour d'un proton ( $+ e$ ), soumis à l'attraction de Coulomb $F = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ (force centrale, comme la gravitation du chapitre 7 de Mécanique).

Méthode : Niveaux d'énergie par quantification du moment cinétique

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ , l'attraction est centripète :

$\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} ⟹ m v^{2} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} . (i)$

Hypothèse de Bohr : le moment cinétique orbital est quantifié,

$m v r = n ℏ, n \in N^{*} . (ii)$

En combinant (i) et (ii), on obtient le rayon des orbites permises

$r_{n} = n^{2} a_{0}, a_{0} = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m e ^{2}} \approx 0.53 \times 1 0^{- 10} m (rayon de Bohr),$

et, comme l'énergie mécanique vaut $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} = - \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} r}$ (force newtonienne, chapitre 7) :

$E_{n} = - \frac{E _{0}}{n ^{2}}, E_{0} = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} a _{0}} \approx 13.6 eV$

L'énergie est quantifiée : seules les valeurs discrètes $E_{n}$ sont permises.

iRemarqueLimites du modèle de Bohr

Le modèle reproduit correctement les niveaux d'énergie de l'hydrogène, mais sa quantification est ad hoc (postulée, non justifiée), il ne s'applique qu'aux atomes à un électron et n'explique pas la structure fine ni la chimie. La mécanique quantique complète (fonction d'onde, équation de Schrödinger) le remplace et le justifie ; le modèle de Bohr reste un outil pédagogique précieux.

Capacité numérique : Niveaux d'énergie et raies de l'hydrogène

On calcule les niveaux $E_{n} = - E_{0} / n^{2}$ et les longueurs d'onde émises lors des transitions vers $n = 2$ (série de Balmer, dans le visible).


E0 = 13.6                       # eV
for n in range(1, 6):           # niveaux d'energie
    print("n =", n, ": E =", round(-E0 / n**2, 2), "eV")

h, c, eV = 6.63e-34, 3.0e8, 1.6e-19
for n in range(3, 7):           # transitions n -> 2 (Balmer)
    dE = E0 * (1 / 2**2 - 1 / n**2) * eV    # energie du photon emis (J)
    lam = h * c / dE
    print("transition", n, "-> 2 : lambda =", round(lam * 1e9), "nm")

On retrouve les raies visibles de l'hydrogène (la transition $3 \to 2$ donne le rouge à $656 nm$ ).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Sens de

∣ ψ ∣^{2}

(

⋆

)

Que représente $∣ ψ (x) ∣^{2}$ ? Pourquoi impose-t-on $\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ ?

Démonstration

$∣ ψ (x) ∣^{2}$ est la densité de probabilité de présence : la probabilité de trouver la particule dans $[x, x + d x]$ est $∣ ψ ∣^{2} d x$ . L'intégrale sur tout l'espace vaut $1$ car la particule s'y trouve avec certitude (normalisation).

Exercice 2 : Interférences particule par particule (

⋆ ⋆

)

On envoie des électrons un par un sur des trous d'Young. Décrire ce que l'on observe au début, puis après un grand nombre d'électrons.

Démonstration

Au début : des impacts ponctuels dispersés, sans figure apparente (aspect particule). Après un grand nombre : les impacts s'accumulent et dessinent la figure d'interférences (franges), conforme à $∣ ψ ∣^{2}$ (aspect onde). Chaque électron interfère « avec lui-même » ; sa position de détection est aléatoire.

Exercice 3 : Heisenberg, électron confiné (

⋆ ⋆

)

Un électron est confiné dans un atome, $Δ x \approx 1 \times 1 0^{- 10} m$ . Estimer la dispersion $Δ p$ et l'ordre de grandeur de sa vitesse ( $ℏ \approx 1.05 \times 1 0^{- 34} Js$ ).

Démonstration

$Δ p ≳ \frac{ℏ}{Δ x} = \frac{1 , 05 \times 1 0 ^{- 34}}{1 0 ^{- 10}} \approx 1.05 \times 1 0^{- 24} kgm / s$ . La vitesse caractéristique est $Δ v \approx Δ p / m_{e} \approx \frac{1 , 05 \times 1 0 ^{- 24}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1.2 \times 1 0^{6} m / s$ : énorme, mais cohérente avec la vitesse de l'électron dans l'atome.

Exercice 4 : Pourquoi l'électron ne « tombe » pas (

⋆ ⋆

)

Utiliser l'inégalité de Heisenberg pour justifier qualitativement que l'électron ne s'effondre pas sur le noyau.

Démonstration

Si l'électron se localisait sur le noyau ( $Δ x \to 0$ ), sa dispersion en quantité de mouvement $Δ p \sim ℏ/Δ x$ exploserait, donc son énergie cinétique $\sim (Δ p)^{2} /2 m$ aussi. Il existe un rayon optimal qui minimise l'énergie totale (compromis entre énergie potentielle attractive et énergie cinétique imposée par Heisenberg) : c'est l'ordre de grandeur du rayon de Bohr. La quantique stabilise l'atome.

Exercice 5 : Énergie d'ionisation (

⋆ ⋆

)

Quelle énergie faut-il fournir pour arracher l'électron de l'atome d'hydrogène depuis son état fondamental ( $n = 1$ ) ?

Démonstration

L'état fondamental est $E_{1} = - E_{0} = - 13.6 eV$ ; l'électron libre correspond à $E_{\infty} = 0$ . L'énergie d'ionisation est $E_{\infty} - E_{1} = 13.6 eV$ .

Exercice 6 : Longueur d'onde d'une transition (

⋆ ⋆

)

Calculer la longueur d'onde du photon émis lors de la transition $n = 3 \to n = 2$ de l'hydrogène.

Démonstration

$Δ E = E_{2} - E_{3} = - E_{0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = - 13, 6 \times (- \frac{5}{36}) \approx 1.89 eV$ . Le photon émis a cette énergie : $λ = \frac{h c}{Δ E} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{1 , 89 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 656 nm$ : la raie rouge de Balmer.

Exercice 7 : Rayon d'une orbite (

⋆ ⋆

)

Donner le rayon de l'orbite $n = 2$ de l'hydrogène ( $a_{0} = 0.53 \times 1 0^{- 10} m$ ).

Démonstration

$r_{n} = n^{2} a_{0}$ , donc $r_{2} = 4 a_{0} = 4 \times 0, 53 \times 1 0^{- 10} \approx 2.1 \times 1 0^{- 10} m$ . Les orbites s'écartent comme $n^{2}$ .

Exercice 8 : Heisenberg par diffraction (

⋆ ⋆ ⋆

)

Reprendre l'établissement de $Δ p Δ x ≳ ℏ$ à partir de la diffraction par une fente, en justifiant chaque étape.

Démonstration

Une onde de matière de longueur d'onde $λ = h / p$ traversant une fente de largeur $Δ x$ subit une diffraction : le premier minimum est à $sin θ \approx λ /Δ x$ , soit un demi-cône $θ \approx λ /Δ x$ . La particule ressort donc avec une quantité de mouvement transverse $Δ p \approx p sin θ \approx (h / λ) (λ /Δ x) = h /Δ x$ . D'où $Δ p Δ x \approx h \sim ℏ$ (à un facteur numérique près). Plus la fente est étroite, plus l'étalement en impulsion est grand.

5.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Fonction d'onde $ψ$ : $∣ ψ ∣^{2}$ = densité de probabilité de présence ; $\int ∣ ψ ∣^{2} = 1$ .
Interférences particule par particule : impacts ponctuels (particule) dont l'accumulation reconstitue la figure $∣ ψ ∣^{2}$ (onde).
Inégalité de Heisenberg : $Δ p Δ x ≳ ℏ$ (établie par analogie avec la diffraction) ; limite intrinsèque, non un défaut de mesure.
Modèle de Bohr : quantification $m v r = n ℏ$ $\Rightarrow$ $r_{n} = n^{2} a_{0}$ et $E_{n} = - E_{0} / n^{2}$ , $E_{0} \approx 13.6 eV$ : énergie quantifiée.
Le modèle de Bohr est ad hoc et limité ; la mécanique quantique complète le justifie.

5.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Énergie du niveau $n = 3$ de l'hydrogène.

( $⋆$ ) Que vaut l'énergie d'un photon émis lors d'une transition $n = 2 \to n = 1$ ? Dans quel domaine spectral ?

( $⋆ ⋆$ ) Établir que les longueurs d'onde des transitions vers $n = 1$ (série de Lyman) sont dans l'ultraviolet.

( $⋆ ⋆$ ) Estimer la dispersion en vitesse d'un électron confiné dans une boîte de $1 nm$ .

( $⋆ ⋆$ ) Donner les rayons des orbites $n = 1, 2, 3$ de l'hydrogène et commenter leur espacement.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi le spectre d'émission de l'hydrogène est-il constitué de raies discrètes et non d'un continuum ?

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'inégalité de Heisenberg, estimer l'énergie cinétique minimale d'un électron confiné dans un atome.

( $⋆ ⋆$ ) Comparer l'énergie d'ionisation de l'hydrogène ( $13.6 eV$ ) à l'énergie d'un photon visible : un photon visible peut-il ioniser l'hydrogène depuis le fondamental ?

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, calculer les longueurs d'onde de la série de Lyman ( $n \to 1$ ) et vérifier qu'elles sont dans l'UV.

( $⋆ ⋆$ ) Discuter pourquoi l'inégalité de Heisenberg est sans conséquence observable pour un objet macroscopique.

( $⋆ ⋆$ ) Une particule a une fonction d'onde nulle hors d'un segment $[0, L]$ et constante dedans. Que vaut $∣ ψ ∣^{2}$ ? La normaliser.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Relier la quantification du moment cinétique de Bohr ( $m v r = n ℏ$ ) à la condition que la circonférence de l'orbite contienne un nombre entier de longueurs d'onde de de Broglie ( $2 π r = nλ$ ).

5.8 Problèmes contextualisés

La quantification de l'énergie et le formalisme quantique ne sont pas confinés aux manuels : ils gouvernent la couleur des LED, l'identification des étoiles, les écrans QLED, les horloges atomiques du GPS et la finesse des raies spectrales. Données : $h = 6.63 \times 1 0^{- 34} Js$ , $ℏ = 1.05 \times 1 0^{- 34} Js$ , $c = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ , $1 eV = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ .

Exemple 5.10La couleur d'une LED (

⋆ ⋆

)

Une LED émet un photon lorsqu'un électron franchit le « gap » d'énergie $E_{g}$ du semi-conducteur. On dispose d'une LED rouge ( $E_{g} = 1.9 eV$ ) et d'une LED bleue ( $E_{g} = 2.7 eV$ ).

Calculer la longueur d'onde émise par chaque LED.
Vérifier la cohérence avec leur couleur annoncée.
Pour obtenir du vert, faut-il un gap plus grand ou plus petit que pour le rouge ?

Démonstration

1. $λ = h c / E_{g}$ . Rouge : $λ = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{1 , 9 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 654 nm$ . Bleue : $λ \approx 460 nm$ .

2. $654 nm$ est bien dans le rouge, $460 nm$ dans le bleu : cohérent.

3. Le vert ( $\approx 530 nm$ ) est entre les deux : il faut un gap intermédiaire ( $\approx 2, 3$ eV), plus grand que le rouge. Plus le gap est grand, plus le photon est énergétique, donc bleu.

Exemple 5.11Lire la composition d'une étoile (

⋆ ⋆

)

Le spectre de la lumière d'une étoile présente des raies sombres (d'absorption) : les atomes de l'atmosphère stellaire absorbent les photons dont l'énergie correspond exactement à une transition. On observe deux raies sombres à $656 nm$ et $486 nm$ .

Calculer l'énergie (en eV) des photons absorbés.
Montrer qu'elles correspondent aux transitions $2 \to 3$ et $2 \to 4$ de l'hydrogène ( $E_{n} = - 13, 6/ n^{2}$ eV).
Que peut-on conclure sur la composition de l'étoile ?

Démonstration

1. $E = h c / λ$ : à $656 nm$ , $E \approx 1, 89$ eV ; à $486 nm$ , $E \approx 2, 55$ eV.

2. $E_{3} - E_{2} = - 13, 6 (\frac{1}{9} - \frac{1}{4}) = 1, 89$ eV (raie H $α$ ) ; $E_{4} - E_{2} = - 13, 6 (\frac{1}{16} - \frac{1}{4}) = 2, 55$ eV (raie H $β$ ). Parfait accord.

3. L'étoile contient de l'hydrogène : chaque élément possède une « signature » de raies. La spectroscopie permet ainsi de déterminer à distance la composition des astres — et, par le décalage des raies, leur vitesse.

Exemple 5.12Les boîtes quantiques des écrans QLED (

⋆ ⋆ ⋆

)

Dans un écran QLED, la lumière est émise par des nanocristaux (« boîtes quantiques ») où l'électron est confiné dans une région de taille $L$ . On modélise ses niveaux par ceux d'une particule dans une boîte, $E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m _{e} L ^{2}}$ .

Donner l'expression de l'écart $E_{2} - E_{1}$ et montrer qu'il varie comme $1/ L^{2}$ .
Pour deux boîtes de tailles $L_{1} = 4 nm$ et $L_{2} = 6 nm$ , calculer le rapport de leurs écarts d'énergie.
En déduire quelle boîte (la plus petite ou la plus grande) émet vers le bleu. Comment règle-t-on la couleur d'un pixel QLED ?

Démonstration

1. $E_{2} - E_{1} = (4 - 1) \frac{h ^{2}}{8 m _{e} L ^{2}} = \frac{3 h ^{2}}{8 m _{e} L ^{2}} \propto \frac{1}{L ^{2}}$ .

2. $\frac{Δ E _{1}}{Δ E _{2}} = (\frac{L _{2}}{L _{1}})^{2} = (\frac{6}{4})^{2} = 2, 25$ : la petite boîte a un écart $2, 25$ fois plus grand.

3. Plus grand écart $\Rightarrow$ photon plus énergétique : la petite boîte ( $L_{1}$ ) émet vers le bleu, la grande vers le rouge. On règle donc la couleur uniquement par la taille des nanocristaux — c'est tout l'intérêt des QLED. (Le gap réel s'ajoute à ce terme de confinement ; seule la tendance importe ici.)

Exemple 5.13L'horloge atomique et le GPS (

⋆ ⋆

)

La seconde est définie par la transition du césium 133, de fréquence $f = 9.19 \times 1 0^{9} Hz$ . Un récepteur GPS calcule sa position à partir du temps de vol des signaux des satellites ( $c = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ ).

Calculer l'énergie du photon associé à cette transition. Dans quel domaine d'ondes se situe-t-il ?
Pour localiser à $1 m$ près, quelle précision temporelle faut-il sur le temps de vol ?
Pourquoi une transition atomique est-elle un meilleur étalon de temps qu'un pendule ou un quartz ?

Démonstration

1. $E = h f = 6, 63 \times 1 0^{- 34} \times 9, 19 \times 1 0^{9} \approx 6.1 \times 1 0^{- 24} J \approx 3.8 \times 1 0^{- 5} eV$ : domaine des micro-ondes.

2. $δ x = c δ t \Rightarrow δ t = δ x / c = 1/ (3, 0 \times 1 0^{8}) \approx 3.3 \times 1 0^{- 9} s = 3.3 ns$ . Il faut donc dater à la nanoseconde.

3. Tous les atomes de césium sont identiques et leur transition a toujours la même fréquence (quantification de l'énergie) : c'est un étalon universel et reproductible, bien plus stable qu'un pendule ou un quartz, sensibles à la température et au vieillissement. Sans horloges atomiques, pas de GPS.

Exemple 5.14La largeur d'une raie spectrale (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un atome reste dans un état excité pendant une durée moyenne (durée de vie) $τ \approx 1.0 ns$ avant d'émettre un photon. L'inégalité de Heisenberg temps-énergie s'écrit $Δ E Δ t ≳ ℏ$ .

Estimer l'incertitude $Δ E$ sur l'énergie de l'état excité.
En déduire la « largeur naturelle » $Δ ν$ de la raie émise.
Pourquoi une raie spectrale n'est-elle jamais infiniment fine ?

Démonstration

1. $Δ E ≳ \frac{ℏ}{τ} = \frac{1 , 05 \times 1 0 ^{- 34}}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 1.05 \times 1 0^{- 25} J \approx 6.6 \times 1 0^{- 7} eV$ .

2. $E = h ν \Rightarrow Δ ν = Δ E / h = \frac{1 , 05 \times 1 0 ^{- 25}}{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}} \approx 1.6 \times 1 0^{8} Hz$ ( $\approx 160 M Hz$ ).

3. Une durée de vie finie impose, par Heisenberg, une énergie non parfaitement définie : l'état n'a pas une énergie unique mais une petite plage $Δ E$ . La raie a donc une largeur minimale incompressible (largeur naturelle), même sans aucun autre élargissement.

Exemple 5.15Le laser hélium-néon des trous d'Young (

⋆ ⋆

)

Le laser rouge utilisé pour les interférences (chapitre 3) émet à $λ = 632.8 nm$ lors d'une transition atomique du néon.

Calculer l'énergie (en eV) de cette transition.
Pourquoi cette lumière est-elle quasi monochromatique ?
En quoi est-ce indispensable pour observer des franges nettes ?

Démonstration

1. $E = h c / λ = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{632 , 8 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 3.14 \times 1 0^{- 19} J \approx 1.96 eV$ .

2. Les photons proviennent tous de la même transition entre deux niveaux d'énergie quantifiés : ils ont donc tous (à la largeur naturelle près) la même énergie, donc la même longueur d'onde.

3. Les interférences des trous d'Young exigent une seule longueur d'onde (et une cohérence élevée) : sinon les figures correspondant aux différentes couleurs se superposent et brouillent les franges (cf. lumière blanche, ch. 3). Le laser, grâce à la quantification, est la source idéale.

Exemple 5.16L'atome de Bohr comme onde stationnaire (

⋆ ⋆ ⋆

)

de Broglie a justifié la quantification de Bohr ( $m v r = n ℏ$ ) en imaginant l'électron comme une onde qui doit « se refermer » sur son orbite.

Partant de $m v r = n ℏ$ et de $λ = h / (m v)$ , montrer que la circonférence de l'orbite vaut $2 π r = nλ$ .
Interpréter : pourquoi seules certaines orbites sont-elles permises ?
Pour l'état fondamental ( $n = 1$ , $r_{1} = a_{0} = 0.53 \times 1 0^{- 10} m$ ), vérifier que la circonférence vaut exactement une longueur d'onde de de Broglie.

Démonstration

1. $m v r = n ℏ = n \frac{h}{2 π} \Rightarrow 2 π r = n \frac{h}{m v} = nλ$ (avec $λ = h / (m v)$ ).

2. L'onde associée à l'électron ne se renforce (interférence constructive sur elle-même) que si la circonférence contient un nombre entier de longueurs d'onde : c'est une onde stationnaire le long de l'orbite. Les autres orbites s'auto-détruisent par interférences destructives : d'où la quantification.

3. $n = 1$ : $2 π r_{1} = 2 π \times 0, 53 \times 1 0^{- 10} \approx 3.3 \times 1 0^{- 10} m$ . La longueur d'onde de de Broglie de l'électron sur cette orbite ( $v_{1} \approx 2.2 \times 1 0^{6} m / s$ ) vaut $λ = h / (m_{e} v_{1}) \approx 3.3 \times 1 0^{- 10} m$ : la circonférence contient bien une longueur d'onde, comme attendu pour $n = 1$ .

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices