Ondes progressives sinusoïdales et dispersion

Cours complet · physique des ondes (PCSI), chapitre 2 · CPGE PCSI (1re année)

Parmi toutes les ondes progressives, les ondes sinusoïdales jouent un rôle central : elles sont la brique élémentaire de tout signal périodique (analyse de Fourier) et leur étude introduit deux notions clés — la double périodicité (dans le temps et dans l'espace) et la vitesse de phase. On verra aussi que, selon le milieu, cette vitesse peut ou non dépendre de la fréquence : c'est la distinction entre milieux non dispersifs et dispersifs.

2.1 L'onde progressive sinusoïdale

Reprenons l'onde progressive $s (x, t) = f (t - x / c)$ du chapitre 1, mais avec une source sinusoïdale $s (0, t) = A cos (ω t + φ)$ . En remplaçant $t$ par $t - x / c$ :

Définition 2.1Onde progressive sinusoïdale

$s (x, t) = A cos (ω (t - \frac{x}{c}) + φ) = A cos (ω t - k x + φ)$

avec $ω$ la pulsation ( $rad / s$ ) et

$k = \frac{ω}{c} (nombre d’onde, en rad / m) .$

La quantité $Φ (x, t) = ω t - k x + φ$ est la phase de l'onde.

ImportantDouble périodicité

Une onde sinusoïdale est périodique à la fois dans le temps et dans l'espace :

à position fixée, période temporelle $T = \frac{2 π}{ω}$ (fréquence $f = 1/ T$ ) ;
à instant fixé, période spatiale $λ = \frac{2 π}{k}$ , la longueur d'onde.

Une onde sinusoïdale possède donc les deux périodicités à la fois : $λ$ si l'on parcourt l'espace, $T$ si l'on attend. Confondre les deux graphes est l'erreur la plus fréquente ; le seul garde-fou sûr est de lire l'unité de l'axe horizontal.

Proposition 2.2Relation fondamentale

En reliant les deux périodicités à la célérité :

$λ = c T = \frac{c}{f} et c = \frac{ω}{k} .$

La longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde pendant une période.

2.2 Vitesse de phase

Définition 2.3Vitesse de phase

Un point « de phase constante » ( $Φ = cte$ ) se déplace à la vitesse de phase

$v_{φ} = \frac{ω}{k} = λ f = \frac{λ}{T} .$

Dans un milieu non dispersif, $v_{φ} = c$ , indépendante de la fréquence.

Démonstration

Sur une crête, $Φ = ω t - k x + φ = cte$ . En différentiant, $ω d t - k d x = 0$ , d'où $\frac{d x}{d t} = \frac{ω}{k} = v_{φ}$ : la crête avance à cette vitesse.

2.3 Déphasage entre deux points

Méthode : Déphasage et retard

En deux points $x_{1}$ et $x_{2}$ , les signaux sont déphasés de

$ΔΦ = Φ (x_{1}, t) - Φ (x_{2}, t) = k (x_{2} - x_{1}) = \frac{2 π}{λ} Δ x = ω τ,$

où $τ = Δ x / c$ est le retard de propagation. Deux points vibrent :

en phase si $Δ x = nλ$ ( $n$ entier) ;
en opposition de phase si $Δ x = (n + \frac{1}{2}) λ$ .

2.4 Ordres de grandeur des fréquences

Domaine	Fréquence typique	Longueur d'onde
Son audible (air)	$20 Hz$ -- $20 k Hz$	$17 m$ -- $1.7 cm$
Radio FM	$\sim 100 M Hz$	$\sim 3 m$
Lumière visible	$\sim 5 \times 1 0^{14} Hz$	$400$ -- $800 nm$

Capacité numérique : Onde sinusoïdale à deux instants

On trace une onde sinusoïdale à deux instants pour voir le profil se translater de $v_{φ} Δ t$ et mesurer $λ$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A, lam, T = 1.0, 2.0, 1.0       # amplitude, longueur d'onde (m), periode (s)
k = 2 * np.pi / lam
w = 2 * np.pi / T
vphi = lam / T                  # vitesse de phase = lambda / T
x = np.linspace(0.0, 8.0, 800)
for t in (0.0, 0.25):           # deux instants
    plt.plot(x, A * np.cos(w * t - k * x), label="t = %.2f s" % t)
plt.xlabel("x (m)"); plt.ylabel("s(x, t)"); plt.legend(); plt.show()
print("vitesse de phase :", vphi, "m/s")

Entre les deux instants, le profil se décale de $v_{φ} Δ t$ sans changer de forme (milieu non dispersif).

2.5 Milieux dispersifs

Définition 2.4Milieu dispersif

Un milieu est dispersif si la vitesse de phase $v_{φ}$ dépend de la fréquence (donc de $λ$ ). Il est non dispersif si $v_{φ}$ est la même pour toutes les fréquences.

Important

Dans un milieu non dispersif, toutes les composantes sinusoïdales d'un signal avancent à la même vitesse : le signal se propage sans déformation (chapitre 1). Dans un milieu dispersif, elles avancent à des vitesses différentes : un signal non sinusoïdal se déforme au cours de la propagation.

Exemple 2.5Exemples

Non dispersifs : le vide pour la lumière, l'air pour le son (sinon la musique nous parviendrait déformée selon la distance). Dispersifs : le verre pour la lumière (un prisme sépare les couleurs car $v_{φ}$ dépend de la couleur — c'est l'origine de l'arc-en-ciel), les vagues en eau profonde.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.6 Exercices résolus

Exercice 1 : Longueur d'onde d'un son (

⋆

)

Un diapason émet un la à $f = 440 Hz$ ( $c = 340 m / s$ ). Calculer sa longueur d'onde.

Démonstration

$λ = \frac{c}{f} = \frac{340}{440} \approx 0.77 m$ . Une note grave (basse fréquence) a une longueur d'onde plus grande.

Exercice 2 : Fréquence d'une lumière (

⋆

)

Une lumière rouge a $λ = 650 nm$ dans le vide. Calculer sa fréquence.

Démonstration

$f = \frac{c}{λ} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{650 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 4.6 \times 1 0^{14} Hz$ . Les fréquences optiques sont énormes (centaines de térahertz).

Exercice 3 : Écrire l'onde (

⋆ ⋆

)

Une onde sonore de fréquence $1.0 k Hz$ se propage vers $+ x$ à $c = 340 m / s$ , d'amplitude $A$ et de phase nulle en $x = 0$ , $t = 0$ . Écrire $s (x, t)$ .

Démonstration

$ω = 2 π f = 2 π \times 1 0^{3} \approx 6.28 \times 1 0^{3} rad / s$ , $k = ω / c \approx 18.5 rad / m$ . Donc $s (x, t) = A cos (ω t - k x) = A cos (6, 28 \times 1 0^{3} t - 18, 5 x)$ .

Exercice 4 : Déphasage entre deux points (

⋆ ⋆

)

Pour l'onde précédente ( $λ = c / f = 0.34 m$ ), quel est le déphasage entre deux points distants de $Δ x = 0.085 m$ ?

Démonstration

$ΔΦ = \frac{2 π}{λ} Δ x = \frac{2 π}{0 , 34} \times 0, 085 = 2 π \times 0, 25 = \frac{π}{2}$ . Les deux points sont en quadrature (déphasage d'un quart de période, car $Δ x = λ /4$ ).

Exercice 5 : Opposition de phase (

⋆ ⋆

)

À quelles distances $Δ x$ deux points d'une onde de longueur d'onde $λ$ vibrent-ils en opposition de phase ?

Démonstration

L'opposition de phase ( $ΔΦ = π + 2 nπ$ ) correspond à $\frac{2 π}{λ} Δ x = (2 n + 1) π$ , soit $Δ x = (n + \frac{1}{2}) λ$ : un nombre demi-entier de longueurs d'onde.

Exercice 6 : Ordres de grandeur (

⋆ ⋆

)

Estimer la longueur d'onde (a) d'un son audible à $20 Hz$ , (b) d'une onde FM à $100 M Hz$ , (c) d'un rayon X à $3 \times 1 0^{18} Hz$ .

Démonstration

(a) son : $λ = 340/20 = 17 m$ . (b) FM (onde EM) : $λ = 3 \times 1 0^{8} /1 0^{8} = 3 m$ . (c) rayon X : $λ = 3 \times 1 0^{8} /3 \times 1 0^{18} = 1 \times 1 0^{- 10} m$ ( $0.1 nm$ , échelle atomique).

Exercice 7 : Dispersif ou non (

⋆ ⋆

)

Pourquoi un prisme décompose-t-il la lumière blanche, alors que le son d'un orchestre nous parvient « en ordre » à grande distance ?

Démonstration

Le verre est dispersif : $v_{φ}$ (et donc l'indice) dépend de la couleur, si bien que les composantes sont déviées différemment et se séparent. L'air est non dispersif pour le son : toutes les fréquences voyagent à la même vitesse, l'accord n'est pas déformé, quelle que soit la distance.

Exercice 8 : Mesure de la longueur d'onde (

⋆ ⋆ ⋆

)

On déplace un microphone le long de l'axe d'un haut-parleur émettant un son pur, en observant à l'oscilloscope le déphasage avec le signal d'émission. Le déphasage croît de $2 π$ chaque fois que le micro avance de $0.34 m$ . En déduire $λ$ , puis $c$ si $f = 1.0 k Hz$ .

Démonstration

Un déphasage de $2 π$ correspond à un déplacement d'une longueur d'onde : donc $λ = 0.34 m$ . La célérité est $c = λ f = 0, 34 \times 1 0^{3} = 340 m / s$ : on retrouve la vitesse du son dans l'air.

2.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Onde sinusoïdale : $s (x, t) = A cos (ω t - k x + φ)$ ; phase $Φ = ω t - k x + φ$ , nombre d'onde $k = ω / c$ .
Double périodicité : $T = 2 π / ω$ (temps), $λ = 2 π / k$ (espace) ; relation $λ = c T = c / f$ .
Vitesse de phase $v_{φ} = ω / k = λ f$ ; égale à $c$ en milieu non dispersif.
Déphasage entre deux points : $ΔΦ = \frac{2 π}{λ} Δ x = ω τ$ ; en phase si $Δ x = nλ$ , en opposition si $Δ x = (n + \frac{1}{2}) λ$ .
Milieu dispersif : $v_{φ}$ dépend de $f$ $\Rightarrow$ un signal se déforme (verre, vagues) ; non dispersif : pas de déformation (vide, air pour le son).

2.8 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Une onde a $T = 2 ms$ et $λ = 0.68 m$ . Calculer $f$ , $ω$ , $k$ et $v_{φ}$ .

( $⋆$ ) Calculer la longueur d'onde d'une onde radio à $1 G Hz$ .

( $⋆ ⋆$ ) Écrire l'onde sinusoïdale se propageant vers les $x$ décroissants de fréquence $f$ et célérité $c$ .

( $⋆ ⋆$ ) Deux points sont distants de $Δ x = 1.2 m$ sur le trajet d'une onde de $λ = 0.8 m$ . Sont-ils en phase, en opposition, ou autre ?

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que $ΔΦ = ω τ$ avec $τ = Δ x / c$ (cohérence déphasage / retard).

( $⋆ ⋆$ ) Une corde vibre à $50 Hz$ ; on mesure $λ = 0.4 m$ . Quelle est la célérité des ondes sur cette corde ?

( $⋆ ⋆$ ) Distinguer vitesse de phase et vitesse de déplacement des points du milieu (un point de la corde ne se déplace pas à $v_{φ}$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi entend-on d'abord les basses puis les aigus d'un orage lointain ? (Indice : l'air est-il parfaitement non dispersif ?)

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, superposer deux ondes de fréquences voisines et observer des battements (paquet d'ondes).

( $⋆ ⋆$ ) Une onde lumineuse passe du vide ( $λ_{0}$ ) dans le verre où sa vitesse vaut $c / n$ . Sa fréquence change-t-elle ? Sa longueur d'onde ?

( $⋆ ⋆$ ) Mesure de $λ$ par déphasage : décrire le protocole avec deux récepteurs et un oscilloscope.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Justifier qualitativement qu'un milieu dispersif élargit une impulsion brève au cours de sa propagation (étalement du signal en fibre optique).

2.9 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants relient les notions du chapitre — longueur d'onde, fréquence, vitesse de phase, dispersion — à des objets familiers : instruments de musique, four à micro-ondes, arc-en-ciel, antennes, fibres optiques, houle océanique.

Exemple 2.14Accorder une guitare aux battements (

⋆ ⋆

)

Pour accorder une corde sur un diapason qui donne le la à $f_{0} = 440 Hz$ , un musicien joue les deux sons ensemble et entend une pulsation d'intensité : le son « faiblit et reforcit » $4$ fois par seconde.

La superposition de deux sinusoïdes de fréquences voisines $f_{0}$ et $f$ produit un battement de fréquence $f_{batt} = ∣ f - f_{0} ∣$ . Quelles sont les deux fréquences possibles de la corde ?
Le musicien tend légèrement la corde (ce qui augmente sa fréquence) et le battement s'accélère. Que vaut la fréquence de la corde ? Que doit-il faire ?
Quand la corde est juste, qu'entend-on ?

Démonstration

1. $∣ f - 440∣ = 4 \Rightarrow f = 436 Hz$ ou $f = 444 Hz$ .

2. En tendant la corde, $f$ augmente ; si le battement s'accélère, c'est qu'on s'éloigne de $440 Hz$ : la corde était déjà au-dessus, à $444 Hz$ . Il faut au contraire détendre la corde pour la ramener vers $440 Hz$ .

3. Quand $f \to f_{0}$ , $f_{batt} \to 0$ : le battement disparaît, on entend un son stable. L'oreille perçoit le battement (quelques $Hz$ ) bien mieux qu'un petit écart de hauteur : c'est une méthode de mesure très sensible.

Exemple 2.15Mesurer

c

avec un four à micro-ondes (

⋆ ⋆

)

Un four à micro-ondes émet une onde électromagnétique stationnaire à $f = 2.45 G Hz$ . On retire le plateau tournant et on place une tablette de chocolat : elle fond d'abord à des points régulièrement espacés (les « ventres » de l'onde), distants de $d = 6.1 cm$ .

Les points chauds successifs sont séparés d'une demi-longueur d'onde. En déduire $λ$ .
Calculer la célérité $c = λ f$ . Que retrouve-t-on ?
Pourquoi un four ordinaire a-t-il besoin d'un plateau tournant ?

Démonstration

1. $d = λ /2 \Rightarrow λ = 2 d = 12.2 cm = 0.122 m$ .

2. $c = λ f = 0, 122 \times 2, 45 \times 1 0^{9} \approx 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ : on retrouve la vitesse de la lumière, avec un four et du chocolat !

3. Sans rotation, les aliments cuiraient seulement aux ventres (points chauds fixes) et resteraient froids aux nœuds : le plateau déplace les aliments à travers le motif stationnaire pour homogénéiser la cuisson.

Exemple 2.16Le prisme et l'arc-en-ciel (

⋆ ⋆

)

Un prisme de verre décompose la lumière blanche en un spectre coloré. L'indice du verre vaut $n (λ) = v_{φ}^{- 1} c$ et dépend de la couleur : $n_{bleu} = 1, 53$ , $n_{rouge} = 1, 51$ .

Calculer la vitesse de phase du bleu et du rouge dans ce verre.
Le verre est-il dispersif ? Quelle couleur est la plus « ralentie » ?
En une phrase, relier ce phénomène à la formation de l'arc-en-ciel.

Démonstration

1. $v_{φ} = c / n$ : bleu $= 3, 0 \times 1 0^{8} /1, 53 \approx 1.96 \times 1 0^{8} m / s$ ; rouge $= 3, 0 \times 1 0^{8} /1, 51 \approx 1.99 \times 1 0^{8} m / s$ .

2. $v_{φ}$ dépend de la couleur : le verre est dispersif. Le bleu (indice plus grand) est le plus ralenti, donc le plus dévié.

3. Dans une goutte de pluie (jouant le rôle de petit prisme), chaque couleur est déviée d'un angle différent : le Soleil blanc se sépare en un éventail coloré, l'arc-en-ciel.

Exemple 2.17La taille des antennes (

⋆ ⋆

)

Une antenne rayonne efficacement quand sa longueur est de l'ordre du quart de la longueur d'onde, $L \approx λ /4$ . ( $c = 3.0 \times 1 0^{8} m / s$ .)

Radio AM à $f = 1.0 M Hz$ : quelle longueur d'antenne idéale ?
Radio FM à $f = 100 M Hz$ , puis téléphone 4G à $f = 2.0 G Hz$ : mêmes calculs.
Expliquer pourquoi les antennes AM sont des pylônes géants alors que celle d'un téléphone tient dans le boîtier.

Démonstration

1. $λ = c / f = 3 \times 1 0^{8} /1 0^{6} = 300 m$ , donc $L \approx 75 m$ .

2. FM : $λ = 3 m$ , $L \approx 0.75 m$ . 4G : $λ = 0.15 m$ , $L \approx 3.75 cm$ .

3. La longueur d'antenne suit $λ = c / f$ : plus la fréquence est haute, plus l'antenne est courte. L'AM (basse fréquence) impose des pylônes ; les GHz du téléphone permettent une antenne de quelques centimètres.

Exemple 2.18Pourquoi les basses traversent les murs (

⋆ ⋆

)

Chez le voisin, d'une fête on n'entend que les basses (« boum-boum »), pas la mélodie aiguë. ( $c_{son} = 340 m / s$ .)

Calculer la longueur d'onde d'une basse à $80 Hz$ et d'un aigu à $8.0 k Hz$ .
Une onde contourne facilement un obstacle (porte, mur) dont la taille est petite ou comparable à sa longueur d'onde. Comparer aux dimensions d'une porte ( $\sim 1 m$ ).
Conclure sur ce qu'on entend à travers une cloison.

Démonstration

1. Basse : $λ = 340/80 \approx 4.3 m$ . Aigu : $λ = 340/8000 \approx 4.3 cm$ .

2. La basse ( $λ \approx 4 m$ ) est bien plus grande qu'une porte : elle la contourne (diffraction) et passe par le moindre interstice. L'aigu ( $λ \approx 4 cm$ ) est plus petit que les obstacles : il est bloqué/réfléchi.

3. À travers une cloison, seules survivent les grandes longueurs d'onde : les basses. (Idée de diffraction, approfondie au chapitre 3.)

Exemple 2.19La houle annonce la tempête (

⋆ ⋆ ⋆

)

En eau profonde, les vagues sont dispersives : leur vitesse de phase dépend de la période selon $v_{φ} = \frac{g T}{2 π}$ (avec $g = 9.81 m / s^{2}$ ). Une tempête éclate à $d = 2000 km$ d'une plage et engendre des vagues de toutes périodes.

Calculer la vitesse des houles de période $T_{1} = 15 s$ et $T_{2} = 10 s$ .
En déduire leur temps d'arrivée sur la plage. Laquelle arrive en premier ?
Expliquer pourquoi les surfeurs savent qu'une grosse houle « longue » annonce une tempête lointaine plusieurs heures à l'avance.

Démonstration

1. $v_{φ} = \frac{g T}{2 π}$ : pour $T_{1} = 15 s$ , $v_{1} = \frac{9 , 81 \times 15}{2 π} \approx 23.4 m / s$ ; pour $T_{2} = 10 s$ , $v_{2} \approx 15.6 m / s$ .

2. $t = d / v$ avec $d = 2.0 \times 1 0^{6} m$ : $t_{1} \approx \frac{2 , 0 \times 1 0 ^{6}}{23 , 4} \approx 8.5 \times 1 0^{4} s \approx 24 h$ ; $t_{2} \approx 1.3 \times 1 0^{5} s \approx 36 h$ . Les vagues longues ( $T_{1}$ ) arrivent en premier, $\approx 12 h$ avant.

3. La mer trie les vagues par période (dispersion) : l'arrivée d'une houle longue et régulière signale qu'une tempête lointaine s'est déjà déchaînée, bien avant les vagues courtes et le mauvais temps. La dispersion sert ici de système d'alerte.

Exemple 2.20La fibre optique limite le débit (

⋆ ⋆ ⋆

)

Dans une fibre réelle, deux longueurs d'onde voisines voyagent à des vitesses légèrement différentes (dispersion) : une impulsion lumineuse, qui contient une petite plage de longueurs d'onde, s'élargit en se propageant. Sur $L = 100 km$ , on mesure un étalement temporel $Δ τ = 2.0 ns$ par impulsion.

Pourquoi cet étalement existe-t-il dans un milieu dispersif et pas dans un milieu non dispersif ?
Deux impulsions consécutives (deux bits) ne doivent pas se chevaucher à l'arrivée. En déduire un ordre de grandeur du débit maximal (bits par seconde).
Comment, en pratique, augmenter le débit malgré la dispersion ?

Démonstration

1. En milieu non dispersif, toutes les composantes avancent à la même vitesse : l'impulsion garde sa forme. En milieu dispersif, elles se décalent les unes par rapport aux autres : l'impulsion s'étale (chapitre 1, exercice sur la conservation de forme).

2. Pour que deux bits restent séparés, l'intervalle entre eux doit dépasser $Δ τ$ : débit $≲ \frac{1}{Δ τ} = \frac{1}{2 , 0 \times 1 0 ^{- 9}} = 5 \times 1 0^{8} bit / s$ , soit $\approx 500 M bit / s$ sur $100 km$ .

3. Réduire la dispersion (fibres à dispersion décalée), utiliser des sources très monochromatiques (laser à raie fine, donc faible plage de $λ$ ), ou compenser la dispersion en bout de ligne. La dispersion fixe une limite physique au produit débit $\times$ distance.

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