Fonction d'onde et équation de Schrödinger

Cours · physique quantique (MPI), chapitre 1 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La fonction d'onde d'une particule et la densité de probabilité de présence, qui est le carré de son module.

La mécanique classique décrit une particule ponctuelle par une trajectoire $x (t)$ et une quantité de mouvement $p (t)$ déterminées à chaque instant. Les expériences du début du XX^e siècle (rayonnement du corps noir, effet photoélectrique, interférences électroniques) ont montré que cette description échoue à l'échelle atomique : la matière y manifeste un comportement à la fois corpusculaire et ondulatoire. La mécanique quantique répond à ce constat en abandonnant la notion de trajectoire au profit d'un objet nouveau, la fonction d'onde $ψ (x, t)$ , dont l'évolution est régie par l'équation de Schrödinger.

Ce premier chapitre pose les fondements du formalisme, à une dimension d'espace : nature et interprétation probabiliste (Born) de la fonction d'onde, équation d'évolution et sa linéarité, puis recherche des états stationnaires par séparation des variables. Les applications physiques concrètes – particule libre, marche et barrière de potentiel, puits confinant – font l'objet des chapitres suivants. Toute discussion sur la mesure, le spin ou la dimension trois est hors programme.

1.1 Dualité onde-corpuscule

1.1.1 Les deux relations fondamentales

L'étude du corps noir puis de l'effet photoélectrique a conduit Planck et Einstein à attribuer au rayonnement électromagnétique une structure granulaire : la lumière de pulsation $ω$ transporte son énergie par paquets, les photons, d'énergie $E = ℏ ω$ . Réciproquement, de Broglie postula en 1924 qu'à toute particule matérielle est associée une onde.

ImportantRelations de Planck-Einstein et de de Broglie

À une particule d'énergie $E$ et de quantité de mouvement $p$ sont associées une pulsation $ω$ et un vecteur d'onde $k$ tels que

$E = ℏ ω et p = ℏ k = \frac{h}{λ},$

où $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} J . s$ est la constante de Planck et $ℏ = \frac{h}{2 π} \approx 1, 05 \times 1 0^{- 34} J . s$ la constante de Planck réduite. La longueur d'onde $λ = h / p$ est la longueur d'onde de de Broglie de la particule.

Exemple 1.1Ordres de grandeur de

λ

Pour un électron ( $m = 9, 11 \times 1 0^{- 31} k g$ ) d'énergie cinétique $E_{c} = 100 e V$ , avec $p = 2 m E_{c}$ ,

$λ = \frac{h}{2 m E _{c}} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \times 9 , 11 \times 1 0 ^{- 31} \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 17}} \approx 1, 2 \times 1 0^{- 10} m = 0, 12 nm,$

comparable à la distance interatomique dans un cristal : d'où la possibilité de diffracter des électrons (Davisson-Germer, 1927). Pour une balle de tennis ( $m = 60 g$ , $v = 30 m / s$ ), $λ = h / (m v) \approx 4 \times 1 0^{- 34} m$ , totalement indécelable : le caractère ondulatoire de la matière n'est perceptible qu'à l'échelle microscopique.

1.1.2 L'expérience des fentes d'Young avec des particules

Lorsqu'on envoie des électrons un par un sur un dispositif à deux fentes, chaque particule laisse un impact ponctuel (aspect corpusculaire) sur le détecteur, mais la répartition statistique des impacts, après un grand nombre de particules, reconstitue une figure d'interférences (aspect ondulatoire). Aucune trajectoire ne peut être attribuée à la particule : c'est la manifestation la plus directe de la dualité, et elle impose de décrire la particule par une amplitude ondulatoire dont le module carré donne une probabilité.

1.2 Fonction d'onde et interprétation de Born

1.2.1 La fonction d'onde

Définition 1.2Fonction d'onde

L'état d'une particule quantique sans spin se déplaçant sur un axe $O x$ est entièrement décrit, à chaque instant $t$ , par une fonction complexe de la position, la fonction d'onde

$ψ : (x, t) ⟼ ψ (x, t) \in C .$

Elle joue le rôle d'amplitude de probabilité : elle n'est pas directement mesurable, mais son module carré possède un sens physique.

ImportantInterprétation probabiliste de Born (1926)

Le module carré de la fonction d'onde est la densité de probabilité de présence de la particule :

$ρ (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ψ^{*} (x, t) ψ (x, t) \geq 0.$

La probabilité de trouver, à l'instant $t$ , la particule dans l'intervalle $[x, x + d x]$ vaut

$d P (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x .$

La probabilité de la trouver dans un domaine $[a, b]$ est $P (a \leq X \leq b, t) = \int_{a}^{b} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x$ .

La densité $ρ$ s'exprime en $m^{- 1}$ (à une dimension) : $∣ ψ ∣^{2} d x$ étant sans dimension, $ψ$ a la dimension de $(longueur)^{- 1/2}$ .

1.2.2 Normalisation

La particule se trouve quelque part sur l'axe : la probabilité de la trouver sur $R$ tout entier vaut $1$ . Cette certitude impose une contrainte à la fonction d'onde.

Définition 1.3Condition de normalisation

Une fonction d'onde physiquement acceptable est normalisée :

$\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x = 1 .$

Elle doit donc être de carré sommable ; en particulier $ψ (x, t) \to 0$ lorsque $x \to \pm \infty$ . Une fonction d'onde connue à un facteur près se normalise en la multipliant par une constante $A$ (réelle positive, dite constante de normalisation) choisie pour satisfaire cette égalité.

iRemarqueConservation de la norme

L'équation de Schrödinger (§ 3) garantit que si $ψ$ est normalisée à un instant, elle le reste à tout instant ultérieur : $\frac{d}{d t} \int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x = 0$ . La probabilité totale se conserve, ce qui est indispensable à l'interprétation de Born.

AttentionPhase globale non observable

La fonction d'onde $ψ$ et la fonction $e^{i α} ψ$ (avec $α$ réel constant) ont même densité $∣ ψ ∣^{2}$ : elles décrivent le même état physique. Une phase globale est sans signification ; seules les différences de phase, responsables des interférences, sont observables.

1.2.3 Valeurs moyennes

La fonction d'onde étant probabiliste, une mesure de position ne fournit pas un résultat certain mais une distribution. On lui associe des grandeurs moyennes.

Définition 1.4Position moyenne et écart quadratique

Pour une fonction d'onde normalisée, la position moyenne et sa variance sont

$⟨ x ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x, (Δ x)^{2} = ⟨ x^{2} ⟩ - ⟨ x ⟩^{2},$

où $⟨ x^{2} ⟩ = \int_{R} x^{2} ∣ ψ ∣^{2} d x$ . L'écart-type $Δ x$ mesure l'étalement spatial du paquet, c'est-à-dire l'incertitude sur la position.

iRemarquePoint de vue « opérateur » (culture)

En formalisme quantique, une observable est représentée par un opérateur agissant sur $ψ$ : la position par la multiplication $x = x$ , la quantité de mouvement par $p = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ . Une valeur moyenne s'écrit $⟨ A ⟩ = \int_{R} ψ^{*} A ψ d x$ . Ce point de vue, hors programme, éclaire la structure de l'équation de Schrödinger ci-dessous : on y reconnaît $p^{2} /2 m = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}}$ .

1.3 L'équation de Schrödinger

1.3.1 Énoncé

L'évolution de la fonction d'onde est postulée : elle obéit à une équation aux dérivées partielles, linéaire, du premier ordre en temps et du second ordre en espace, établie par Schrödinger en 1926. On l'admet.

ImportantÉquation de Schrödinger à une dimension

Pour une particule de masse $m$ soumise à une énergie potentielle $V (x, t)$ , la fonction d'onde vérifie

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) + V (x, t) ψ (x, t) .$

Le terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}$ est associé à l'énergie cinétique, le terme $V ψ$ à l'énergie potentielle.

iRemarqueLecture de l'équation

On peut l'écrire $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = H ψ$ , où $H = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + V$ est l'opérateur hamiltonien (énergie totale). La comparaison avec $E = \frac{p ^{2}}{2 m} + V$ et les substitutions $E \to i ℏ \frac{\partial}{\partial t}$ , $p \to - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ fournissent un moyen mnémotechnique de retrouver l'équation.

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