Fonction d'onde et équation de Schrödinger

Cours complet · physique quantique (MPI), chapitre 1 · CPGE MPI (2e année)

La mécanique classique décrit une particule ponctuelle par une trajectoire $x (t)$ et une quantité de mouvement $p (t)$ déterminées à chaque instant. Les expériences du début du XX^e siècle (rayonnement du corps noir, effet photoélectrique, interférences électroniques) ont montré que cette description échoue à l'échelle atomique : la matière y manifeste un comportement à la fois corpusculaire et ondulatoire. La mécanique quantique répond à ce constat en abandonnant la notion de trajectoire au profit d'un objet nouveau, la fonction d'onde $ψ (x, t)$ , dont l'évolution est régie par l'équation de Schrödinger.

Ce premier chapitre pose les fondements du formalisme, à une dimension d'espace : nature et interprétation probabiliste (Born) de la fonction d'onde, équation d'évolution et sa linéarité, puis recherche des états stationnaires par séparation des variables. Les applications physiques concrètes – particule libre, marche et barrière de potentiel, puits confinant – font l'objet des chapitres suivants. Toute discussion sur la mesure, le spin ou la dimension trois est hors programme.

1.1 Dualité onde-corpuscule

1.1.1 Les deux relations fondamentales

L'étude du corps noir puis de l'effet photoélectrique a conduit Planck et Einstein à attribuer au rayonnement électromagnétique une structure granulaire : la lumière de pulsation $ω$ transporte son énergie par paquets, les photons, d'énergie $E = ℏ ω$ . Réciproquement, de Broglie postula en 1924 qu'à toute particule matérielle est associée une onde.

ImportantRelations de Planck-Einstein et de de Broglie

À une particule d'énergie $E$ et de quantité de mouvement $p$ sont associées une pulsation $ω$ et un vecteur d'onde $k$ tels que

$E = ℏ ω et p = ℏ k = \frac{h}{λ},$

où $h = 6.63 \times 1 0^{- 34} J . s$ est la constante de Planck et $ℏ = \frac{h}{2 π} \approx 1.05 \times 1 0^{- 34} J . s$ la constante de Planck réduite. La longueur d'onde $λ = h / p$ est la longueur d'onde de de Broglie de la particule.

Exemple 1.1Ordres de grandeur de

λ

Pour un électron ( $m = 9.11 \times 1 0^{- 31} k g$ ) d'énergie cinétique $E_{c} = 100 e V$ , avec $p = 2 m E_{c}$ ,

$λ = \frac{h}{2 m E _{c}} = \frac{6.63 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \times 9.11 \times 1 0 ^{- 31} \times 1.6 \times 1 0 ^{- 17}} \approx 1.2 \times 1 0^{- 10} m = 0.12 nm,$

comparable à la distance interatomique dans un cristal : d'où la possibilité de diffracter des électrons (Davisson-Germer, 1927). Pour une balle de tennis ( $m = 60 g$ , $v = 30 m / s$ ), $λ = h / (m v) \approx 4 \times 1 0^{- 34} m$ , totalement indécelable : le caractère ondulatoire de la matière n'est perceptible qu'à l'échelle microscopique.

1.1.2 L'expérience des fentes d'Young avec des particules

Lorsqu'on envoie des électrons un par un sur un dispositif à deux fentes, chaque particule laisse un impact ponctuel (aspect corpusculaire) sur le détecteur, mais la répartition statistique des impacts, après un grand nombre de particules, reconstitue une figure d'interférences (aspect ondulatoire). Aucune trajectoire ne peut être attribuée à la particule : c'est la manifestation la plus directe de la dualité, et elle impose de décrire la particule par une amplitude ondulatoire dont le module carré donne une probabilité.

1.2 Fonction d'onde et interprétation de Born

1.2.1 La fonction d'onde

Définition 1.2Fonction d'onde

L'état d'une particule quantique sans spin se déplaçant sur un axe $O x$ est entièrement décrit, à chaque instant $t$ , par une fonction complexe de la position, la fonction d'onde

$ψ : (x, t) ⟼ ψ (x, t) \in C .$

Elle joue le rôle d'amplitude de probabilité : elle n'est pas directement mesurable, mais son module carré possède un sens physique.

ImportantInterprétation probabiliste de Born (1926)

Le module carré de la fonction d'onde est la densité de probabilité de présence de la particule :

$ρ (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ψ^{*} (x, t) ψ (x, t) \geq 0.$

La probabilité de trouver, à l'instant $t$ , la particule dans l'intervalle $[x, x + d x]$ vaut

$d P (x, t) = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x .$

La probabilité de la trouver dans un domaine $[a, b]$ est $P (a \leq X \leq b, t) = \int_{a}^{b} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x$ .

La densité $ρ$ s'exprime en $m^{- 1}$ (à une dimension) : $∣ ψ ∣^{2} d x$ étant sans dimension, $ψ$ a la dimension de $(longueur)^{- 1/2}$ .

1.2.2 Normalisation

La particule se trouve quelque part sur l'axe : la probabilité de la trouver sur $R$ tout entier vaut $1$ . Cette certitude impose une contrainte à la fonction d'onde.

Définition 1.3Condition de normalisation

Une fonction d'onde physiquement acceptable est normalisée :

$\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x = 1 .$

Elle doit donc être de carré sommable ; en particulier $ψ (x, t) \to 0$ lorsque $x \to \pm \infty$ . Une fonction d'onde connue à un facteur près se normalise en la multipliant par une constante $A$ (réelle positive, dite constante de normalisation) choisie pour satisfaire cette égalité.

iRemarqueConservation de la norme

L'équation de Schrödinger (§ 3) garantit que si $ψ$ est normalisée à un instant, elle le reste à tout instant ultérieur : $\frac{d}{d t} \int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x = 0$ . La probabilité totale se conserve, ce qui est indispensable à l'interprétation de Born.

AttentionPhase globale non observable

La fonction d'onde $ψ$ et la fonction $e^{i α} ψ$ (avec $α$ réel constant) ont même densité $∣ ψ ∣^{2}$ : elles décrivent le même état physique. Une phase globale est sans signification ; seules les différences de phase, responsables des interférences, sont observables.

1.2.3 Valeurs moyennes

La fonction d'onde étant probabiliste, une mesure de position ne fournit pas un résultat certain mais une distribution. On lui associe des grandeurs moyennes.

Définition 1.4Position moyenne et écart quadratique

Pour une fonction d'onde normalisée, la position moyenne et sa variance sont

$⟨ x ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x ∣ ψ (x, t) ∣^{2} d x, (Δ x)^{2} = ⟨ x^{2} ⟩ - ⟨ x ⟩^{2},$

où $⟨ x^{2} ⟩ = \int_{R} x^{2} ∣ ψ ∣^{2} d x$ . L'écart-type $Δ x$ mesure l'étalement spatial du paquet, c'est-à-dire l'incertitude sur la position.

iRemarquePoint de vue « opérateur » (culture)

En formalisme quantique, une observable est représentée par un opérateur agissant sur $ψ$ : la position par la multiplication $x = x$ , la quantité de mouvement par $p = - i ℏ \partial_{x}$ . Une valeur moyenne s'écrit $⟨ A ⟩ = \int_{R} ψ^{*} A ψ d x$ . Ce point de vue, hors programme, éclaire la structure de l'équation de Schrödinger ci-dessous : on y reconnaît $p^{2} /2 m = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2}$ .

1.3 L'équation de Schrödinger

1.3.1 Énoncé

L'évolution de la fonction d'onde est postulée : elle obéit à une équation aux dérivées partielles, linéaire, du premier ordre en temps et du second ordre en espace, établie par Schrödinger en 1926. On l'admet.

ImportantÉquation de Schrödinger à une dimension

Pour une particule de masse $m$ soumise à une énergie potentielle $V (x, t)$ , la fonction d'onde vérifie

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) + V (x, t) ψ (x, t) .$

Le terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ$ est associé à l'énergie cinétique, le terme $V ψ$ à l'énergie potentielle.

iRemarqueLecture de l'équation

On peut l'écrire $i ℏ \partial_{t} ψ = H ψ$ , où $H = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} + V$ est l'opérateur hamiltonien (énergie totale). La comparaison avec $E = \frac{p ^{2}}{2 m} + V$ et les substitutions $E \to i ℏ \partial_{t}$ , $p \to - i ℏ \partial_{x}$ fournissent un moyen mnémotechnique de retrouver l'équation.

AttentionUne équation à valeurs complexes

La présence explicite de $i = - 1$ impose que $ψ$ soit complexe : ce n'est pas ici une commodité de calcul (comme la notation complexe en électrocinétique) mais une nécessité. On ne peut pas remplacer $ψ$ par sa partie réelle.

1.3.2 Terme cinétique : justification sur l'onde plane

Démonstration (Identification du terme d'énergie cinétique)

Pour une particule libre ( $V = 0$ ), essayons l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ , qui combine les relations de de Broglie ( $p = ℏ k$ ) et de Planck-Einstein ( $E = ℏ ω$ ). On calcule

$i ℏ \partial_{t} ψ = i ℏ (- iω) ψ = ℏ ω ψ = E ψ, - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} ψ = \frac{p ^{2}}{2 m} ψ .$

L'équation de Schrödinger $E ψ = \frac{p ^{2}}{2 m} ψ$ redonne l'énergie cinétique classique $E_{c} = p^{2} /2 m$ : le terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2}$ est bien le terme cinétique.

1.3.3 Linéarité et principe de superposition

ImportantPrincipe de superposition

L'équation de Schrödinger est linéaire et homogène. Par conséquent, si $ψ_{1}$ et $ψ_{2}$ en sont deux solutions, toute combinaison

$ψ = λ_{1} ψ_{1} + λ_{2} ψ_{2}, (λ_{1}, λ_{2}) \in C^{2},$

en est encore une. Une particule peut donc se trouver dans une superposition d'états.

Proposition 1.5Terme d'interférence

La densité de présence d'une superposition n'est pas la somme des densités :

$∣ ψ ∣^{2} = ∣ λ_{1} ∣^{2} ∣ ψ_{1} ∣^{2} + ∣ λ_{2} ∣^{2} ∣ ψ_{2} ∣^{2} + 2 Re (λ_{1} λ_{2}^{*} ψ_{1} ψ_{2}^{*}) .$

Le troisième terme, dit terme d'interférence, croise les deux composantes : c'est lui qui rend compte de la figure d'interférences des fentes d'Young et fait de la superposition un phénomène purement ondulatoire.

AttentionNormalisation d'une superposition

La combinaison $λ_{1} ψ_{1} + λ_{2} ψ_{2}$ n'est en général pas normalisée, même si $ψ_{1}$ et $ψ_{2}$ le sont : il faut réajuster le facteur global. Si de plus $ψ_{1}$ et $ψ_{2}$ sont orthogonales ( $\int_{R} ψ_{1}^{*} ψ_{2} d x = 0$ , cas des états stationnaires distincts d'un même puits), alors $∣ λ_{1} ∣^{2} + ∣ λ_{2} ∣^{2} = 1$ suffit à normaliser.

1.4 États stationnaires

1.4.1 Séparation des variables

On s'intéresse désormais au cas fréquent d'un potentiel indépendant du temps $V (x)$ , et l'on cherche des solutions particulières à variables séparées.

Méthode : Séparation des variables temps–espace

Pour un potentiel $V (x)$ stationnaire, on cherche une solution de la forme produit

$ψ (x, t) = φ (x) f (t) .$

On reporte dans l'équation de Schrödinger, on divise par $φ (x) f (t)$ , et l'on constate que chaque membre ne dépend que d'une seule variable : ils sont donc égaux à une même constante, homogène à une énergie, notée $E$ .

Démonstration (Obtention de l'équation stationnaire)

En injectant $ψ = φ f$ dans $i ℏ \partial_{t} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ + V ψ$ :

$i ℏ φ (x) f^{'} (t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) f (t) + V (x) φ (x) f (t) .$

On divise par $φ (x) f (t)$ :

$fonction de t i ℏ \frac{f ^{'} ( t )}{f ( t )} = fonction de x \frac{1}{φ ( x )} (- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) + V (x) φ (x)) .$

Une fonction de $t$ seul égale à une fonction de $x$ seul est nécessairement constante ; notons-la $E$ . On obtient d'une part $i ℏ f^{'} (t) = E f (t)$ , d'où

$f (t) = f (0) e^{- i E t /ℏ},$

et d'autre part l'équation portant sur $φ$ .

Définition 1.6État stationnaire et équation de Schrödinger stationnaire

Un état stationnaire d'énergie $E$ est une fonction d'onde de la forme

$ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ},$

dans laquelle la partie spatiale $φ (x)$ est solution de l'équation de Schrödinger stationnaire (ou indépendante du temps)

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) + V (x) φ (x) = E φ (x), soit H φ = E φ .$

$φ$ est une fonction propre de l'hamiltonien et $E$ l'énergie propre associée. La condition de carré sommable ( $\int_{R} ∣ φ ∣^{2} d x = 1$ ) ne sélectionne, dans de nombreux cas, qu'un ensemble discret de valeurs de $E$ : c'est l'origine de la quantification.

1.4.2 Le lien énergie – évolution temporelle

Proposition 1.7Facteur de phase temporel et relation de Planck-Einstein

Dans un état stationnaire, toute la dépendance temporelle est portée par le facteur de phase $e^{- i E t /ℏ} = e^{- iω t}$ de pulsation

$ω = \frac{E}{ℏ}, soit E = ℏ ω .$

On retrouve la relation de Planck-Einstein : l'énergie de la particule fixe la fréquence d'oscillation de sa fonction d'onde.

Important« État stationnaire » n'est pas « onde stationnaire »

Pour un état stationnaire, la densité de présence

$∣ ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2} = 1 e^{- i E t /ℏ}^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}$

est indépendante du temps : d'où le nom. Il ne faut pas confondre avec l'onde stationnaire usuelle $sin (k x) cos (ω t)$ de la physique des ondes, qui possède des nœuds fixes où le champ s'annule à tout instant. Ici, $ψ$ oscille en tout point à la même pulsation $ω$ , mais via une phase globale $e^{- iω t}$ : aucun nœud temporel, et la distribution de probabilité est figée.

1.4.3 Superposition de deux états stationnaires

Un état stationnaire est un cas particulier ; l'état général est une superposition, qui évolue.

Proposition 1.8Battement quantique

Soit une particule dans la superposition de deux états stationnaires d'énergies $E_{1} \neq = E_{2}$ :

$ψ (x, t) = \frac{1}{2} (φ_{1} (x) e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} (x) e^{- i E_{2} t /ℏ}),$

avec $φ_{1}, φ_{2}$ réelles, normalisées et orthogonales. La densité de présence

$∣ ψ (x, t) ∣^{2} = \frac{1}{2} (φ_{1}^{2} + φ_{2}^{2} + 2 φ_{1} φ_{2} cos (ω_{21} t)), ω_{21} = \frac{E _{2} - E _{1}}{ℏ},$

dépend du temps : cet état n'est pas stationnaire. La probabilité de présence, et la position moyenne $⟨ x ⟩$ , oscillent à la pulsation $ω_{21}$ fixée par la différence des énergies. C'est le mécanisme des transitions et de l'émission d'un photon de pulsation $ω_{21}$ .

1.5 Conditions aux limites et de raccordement

1.5.1 Continuité de $φ$ et $φ^{'}$

L'équation stationnaire est du second ordre : sa résolution dans un potentiel constant par morceaux exige de raccorder les solutions aux frontières entre zones.

ImportantConditions de raccordement (admises)

Aux frontières entre deux régions où $V$ prend des valeurs finies différentes, la fonction d'onde spatiale et sa dérivée première sont continues :

$φ continue et φ^{'} continue .$

La continuité de $φ$ assure celle de la densité de présence ; celle de $φ^{'}$ assure celle du courant de probabilité. Ces conditions résultent du fait que $φ^{''}$ reste borné lorsque $V$ est fini.

AttentionCas d'un potentiel infini

Là où le potentiel devient infini (mur impénétrable, parois d'un puits infini), la particule ne peut pénétrer : $φ = 0$ dans la région interdite. Seule la continuité de $φ$ est alors imposée à la frontière ( $φ$ s'y annule) ; la dérivée $φ^{'}$ y présente en général une discontinuité.

Méthode : Résolution dans un potentiel constant par morceaux

Dans une zone où $V = V_{0}$ est constant, l'équation stationnaire s'écrit $φ^{''} = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ ^{2}} φ$ . On distingue :

$E > V_{0}$ : $φ^{''} = - k^{2} φ$ avec $k = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ}$ ; solutions oscillantes $e^{\pm ik x}$ (région classiquement permise).
$E < V_{0}$ : $φ^{''} = + κ^{2} φ$ avec $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ ; solutions exponentielles $e^{\pm κ x}$ (région classiquement interdite, onde évanescente).

On écrit la solution générale dans chaque zone, puis on impose : (i) le caractère borné/sommable de $φ$ , (ii) la continuité de $φ$ et $φ^{'}$ aux frontières. Ces équations fournissent les constantes et, pour un état lié, la quantification des énergies.

Le schéma de la figure fig:zones résume la nature des solutions selon le signe de $E - V$ .

Figure : Nature des solutions de l'équation stationnaire de part et d'autre d'une frontière. Où

$E > V$ la fonction d'onde oscille ; où $E < V$ elle décroît exponentiellement (onde évanescente). Aux frontières à potentiel fini, $φ$ et $φ^{'}$ se raccordent continûment.</div>

1.6 Synthèse du chapitre

Dualité : $E = ℏ ω$ (Planck-Einstein), $p = ℏ k = h / λ$ (de Broglie). $λ$ notable seulement à l'échelle microscopique.
Fonction d'onde $ψ (x, t) \in C$ : amplitude de probabilité. Densité de présence $ρ = ∣ ψ ∣^{2}$ ( $m^{- 1}$ ), probabilité $d P = ∣ ψ ∣^{2} d x$ (Born).
Normalisation : $\int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ , conservée au cours du temps. Phase globale non observable ; valeurs moyennes $⟨ x ⟩ = \int_{R} x ∣ ψ ∣^{2} d x$ .
Équation de Schrödinger : $i ℏ \partial_{t} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ + V ψ$ . Linéaire $\Rightarrow$ superposition et interférences ; terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2}$ = énergie cinétique.
État stationnaire ( $V$ indépendant du temps) : séparation des variables $ψ = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ , avec $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ (équation stationnaire, $H φ = E φ$ ). $∣ ψ ∣^{2} = ∣ φ ∣^{2}$ indépendante du temps ; $ω = E /ℏ$ .
Stationnaire $\neq =$ onde stationnaire : pas de nœuds temporels, distribution figée. Une superposition d'états d'énergies différentes évolue à $ω_{21} = (E_{2} - E_{1}) /ℏ$ .
Raccordement : $φ$ et $φ^{'}$ continues (potentiel fini) ; $φ = 0$ et $φ^{'}$ discontinue où $V = + \infty$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

Exemple 1.9Normalisation d'un paquet gaussien

Une particule est décrite à $t = 0$ par $ψ (x) = A e^{- x^{2} / (2 σ^{2})}$ avec $σ > 0$ . Déterminer $A > 0$ , puis la densité maximale de présence.

Démonstration

La condition de normalisation s'écrit

$\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ ψ ∣^{2} d x = A^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2} / σ^{2}} d x = A^{2} σ π = 1,$

où l'on a utilisé $\int_{R} e^{- x^{2} / σ^{2}} d x = σ π$ . D'où $A = (σ π)^{- 1/2} = (π σ^{2})^{- 1/4}$ . La densité est maximale en $x = 0$ : $ρ_{m a x} = A^{2} = 1/ (σ π)$ , d'autant plus grande que le paquet est étroit.

Exemple 1.10Probabilité de présence dans un intervalle

Une fonction d'onde vaut $ψ (x) = A e^{- ∣ x ∣ / a}$ ( $a > 0$ ). Normaliser $ψ$ , puis calculer la probabilité de trouver la particule dans $[- a, a]$ .

Démonstration

Par parité, $\int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x = 2 A^{2} \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x / a} d x = 2 A^{2} \cdot \frac{a}{2} = A^{2} a = 1$ , donc $A = 1/ a$ . Ensuite

$P (- a \leq X \leq a) = 2 A^{2} \int_{0}^{a} e^{- 2 x / a} d x = 2 A^{2} \cdot \frac{a}{2} (1 - e^{- 2}) = 1 - e^{- 2} \approx 0, 86.$

La particule a environ $86 %$ de chances de se trouver à moins de $a$ de l'origine.

Exemple 1.11Homogénéité et dimension de

ψ

Retrouver la dimension de $ψ$ à une dimension d'espace, et le rôle du facteur $ℏ^{2} /2 m$ dans l'équation de Schrödinger.

Démonstration

La probabilité $∣ ψ ∣^{2} d x$ est sans dimension, donc $[∣ ψ ∣^{2}] = m^{- 1}$ et $[ψ] = m^{- 1/2}$ . Dans l'équation, $[ℏ \partial_{t} ψ] = [ℏ] [ψ] / T$ et $[\frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ] = [ℏ]^{2} [ψ] / (M L^{2})$ . L'égalité des deux impose $[ℏ] / T = [ℏ]^{2} / (M L^{2})$ , soit $[ℏ] = M L^{2} / T =$ une énergie $\times$ un temps ( $[ℏ] = J . s$ ) : cohérent avec $ℏ = 1.05 \times 1 0^{- 34} J . s$ .

Exemple 1.12L'onde plane est solution de l'équation libre

Montrer que $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ est solution de l'équation de Schrödinger libre ( $V = 0$ ) et en déduire la relation entre $ω$ et $k$ . Pourquoi cette fonction n'est-elle pas normalisable ?

Démonstration

On a $\partial_{t} ψ = - iω ψ$ et $\partial_{x}^{2} ψ = - k^{2} ψ$ . En reportant dans $i ℏ \partial_{t} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ$ :

$i ℏ (- iω) ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ ⟹ ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}, soit E = \frac{p ^{2}}{2 m} .$

Comme $∣ ψ ∣^{2} = ∣ A ∣^{2}$ est constant sur $R$ , l'intégrale $\int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x$ diverge : l'onde plane pure n'est pas de carré sommable et ne décrit pas une particule localisée (elle sert de brique élémentaire aux paquets d'ondes, étudiés au chapitre suivant).

Exemple 1.13Vérification d'un état stationnaire

On donne $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ avec $φ$ réelle. Vérifier que la densité de présence est indépendante du temps, et retrouver l'équation stationnaire à partir de l'équation complète (potentiel $V (x)$ ).

Démonstration

$∣ ψ ∣^{2} = φ (x)^{2} e^{- i E t /ℏ}^{2} = φ (x)^{2}$ : indépendant de $t$ . Ensuite $i ℏ \partial_{t} ψ = i ℏ (- i E /ℏ) φ e^{- i E t /ℏ} = E ψ$ , tandis que le second membre vaut $(- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ) e^{- i E t /ℏ}$ . En simplifiant par $e^{- i E t /ℏ}$ : $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ , l'équation de Schrödinger stationnaire.

Exemple 1.14Pulsation d'une superposition de deux niveaux

Un électron dans un dispositif confinant occupe la superposition $ψ = \frac{1}{2} (φ_{1} e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} e^{- i E_{2} t /ℏ})$ avec $E_{1} = 1.5 e V$ et $E_{2} = 6.0 e V$ . À quelle pulsation, puis fréquence, oscille la densité de présence ? Commenter.

Démonstration

La densité oscille à $ω_{21} = (E_{2} - E_{1}) /ℏ$ . Avec $E_{2} - E_{1} = 4.5 e V = 7.2 \times 1 0^{- 19} J$ ,

$ω_{21} = \frac{7.2 \times 1 0 ^{- 19}}{1.05 \times 1 0 ^{- 34}} \approx 6.9 \times 1 0^{15} r a d / s, ν = \frac{ω _{21}}{2 π} \approx 1.1 \times 1 0^{15} H z .$

Cette fréquence, dans le proche ultraviolet, est celle du photon émis lors de la transition $2 \to 1$ : $h ν = E_{2} - E_{1}$ . La superposition n'est pas stationnaire, contrairement à chaque $φ_{n} e^{- i E_{n} t /ℏ}$ pris isolément.

Exemple 1.15Continuité aux frontières : mur infini

Une particule évolue dans un potentiel nul pour $x > 0$ et infini pour $x < 0$ (mur en $x = 0$ ). Quelle condition la fonction d'onde stationnaire doit-elle vérifier en $x = 0$ ? La dérivée est-elle continue ?

Démonstration

La particule ne peut pénétrer dans la région $x < 0$ où $V = + \infty$ : $φ (x) = 0$ pour $x < 0$ . La continuité de $φ$ impose $φ (0) = 0$ . En revanche, comme le potentiel devient infini, la dérivée $φ^{'}$ n'a pas à être continue : $φ^{'} (0^{-}) = 0$ mais $φ^{'} (0^{+}) \neq = 0$ en général. Une solution du type $φ (x) = A sin (k x)$ pour $x > 0$ satisfait automatiquement $φ (0) = 0$ .

1.8 Exercices d'entraînement

Longueur d'onde de de Broglie. Calculer $λ$ pour (a) un électron d'énergie cinétique $1 e V$ , (b) un neutron thermique ( $E_{c} \sim k_{B} T$ à $300 K$ , $m = 1.67 \times 1 0^{- 27} k g$ ), (c) un grain de poussière ( $m = 1 μg$ , $v = 1 mm / s$ ). Commenter l'observabilité des effets ondulatoires.

Densité de présence exponentielle. Soit $ψ (x) = A e^{- ∣ x ∣ / a}$ . Après normalisation ( $A = 1/ a$ ), déterminer $⟨ x ⟩$ (par symétrie) et la probabilité de présence dans $[- 2 a, 2 a]$ .

Dimension de $ψ$ . À trois dimensions, $ψ (r)^{2}$ est une densité volumique de probabilité. Quelle est alors la dimension de $ψ$ ? Comparer au cas 1D.

Phase globale. Montrer explicitement que $ψ$ et $e^{i α} ψ$ ( $α$ réel constant) conduisent à la même densité et aux mêmes valeurs moyennes $⟨ x ⟩$ . En quoi une différence de phase entre deux composantes est-elle, elle, observable ?

Normalisation dépendante du temps. Vérifier que si $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ est normalisée à $t = 0$ , elle le reste à tout instant. Généraliser à une superposition de deux états stationnaires orthonormés.

Terme cinétique. À partir de la correspondance $p \to - i ℏ \partial_{x}$ , écrire l'opérateur énergie cinétique $p^{2} /2 m$ et vérifier qu'il coïncide avec le terme $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2}$ de l'équation de Schrödinger.

Superposition et interférences. Soit $ψ = \frac{1}{2} (ψ_{1} + ψ_{2})$ avec $ψ_{1}, ψ_{2}$ normalisées et orthogonales. Montrer que $ψ$ est normalisée et exprimer le terme d'interférence dans $∣ ψ ∣^{2}$ .

Séparation des variables. Reprendre la démarche de séparation pour un potentiel $V (x)$ et justifier soigneusement pourquoi la constante de séparation est réelle (indication : conservation de la norme, ou caractère borné de $f (t)$ ).

Onde plane et état stationnaire. L'onde plane libre $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ est-elle un état stationnaire ? Calculer $∣ ψ ∣^{2}$ ; discuter le sens du mot « stationnaire » dans ce cas particulier.

Battement quantique. Pour la superposition $ψ = \frac{1}{2} (φ_{1} e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} e^{- i E_{2} t /ℏ})$ , établir l'expression de $∣ ψ ∣^{2}$ donnée dans le cours et en déduire la période temporelle d'oscillation de la densité de présence en fonction de $E_{1}$ et $E_{2}$ .

Raccordement. Dans un potentiel $V = 0$ pour $x < 0$ et $V = V_{0} > E > 0$ pour $x > 0$ , écrire la forme générale de $φ$ dans chaque zone (oscillante / évanescente) et les deux équations de raccordement en $x = 0$ . On ne demande pas de résoudre.

Stationnaire vs onde stationnaire. Comparer, sur un tableau, l'onde stationnaire classique $y (x, t) = sin (k x) cos (ω t)$ et l'état stationnaire quantique $ψ (x, t) = φ (x) e^{- iω t}$ : dépendance temporelle du module carré, existence de nœuds, grandeur physique associée. Conclure sur l'origine du nom « stationnaire ».

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Fonction d'onde et équation de Schrödinger

1.1 Dualité onde-corpuscule

1.1.1 Les deux relations fondamentales

1.1.2 L'expérience des fentes d'Young avec des particules

1.2 Fonction d'onde et interprétation de Born

1.2.1 La fonction d'onde

1.2.2 Normalisation

1.2.3 Valeurs moyennes

1.3 L'équation de Schrödinger

1.3.1 Énoncé

1.3.2 Terme cinétique : justification sur l'onde plane

1.3.3 Linéarité et principe de superposition

1.4 États stationnaires

1.4.1 Séparation des variables

Méthode : Séparation des variables temps–espace

1.4.2 Le lien énergie – évolution temporelle

1.4.3 Superposition de deux états stationnaires

1.5 Conditions aux limites et de raccordement

1.5.1 Continuité de φ et φ′

Méthode : Résolution dans un potentiel constant par morceaux

1.6 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

1.8 Exercices d'entraînement

1.5.1 Continuité de $φ$ et $φ^{'}$