Puissances et Théorèmes Énergétiques

4.1 Énergie cinétique d'un solide et d'un système

4.2 Puissance d'une action mécanique

4.3 Théorème de l'Énergie Cinétique (TEC)

Le théorème de l'énergie cinétique ne dit rien que le PFD ne contienne déjà — il en est une conséquence. Son intérêt est ailleurs : c'est une équation scalaire, et surtout, dans un mécanisme à liaisons parfaites, les actions de liaison n'y figurent pas. Leur puissance est nulle, donc elles disparaissent du bilan.

D'où la règle de choix qui gouverne tout ce chapitre : si la question porte sur une action de liaison, il faut le PFD ; si elle porte sur une loi de mouvement — une accélération, une vitesse atteinte, un temps de démarrage —, le théorème de l'énergie cinétique donne la réponse en une équation, là où le PFD en demanderait six et un système à résoudre.

4.4 Modélisation par grandeurs équivalentes

Un moteur ne « voit » pas les solides d'une chaîne de transmission un par un : il voit une inertie unique et un couple résistant unique, ramenés à son propre arbre. Toute la modélisation consiste à calculer ces deux grandeurs équivalentes, et elle repose sur une seule idée — écrire que l'énergie cinétique de l'ensemble, ou la puissance dissipée, est la même avant et après réduction.

La conséquence est frappante et vaut d'être retenue : une inertie placée derrière un réducteur de rapport $r$ est vue par le moteur divisée par $r^2$, alors qu'un couple ne l'est que par $r$. C'est pourquoi un réducteur ne sert pas seulement à adapter la vitesse : il rend au moteur une charge que celui-ci pourrait autrement ne jamais mettre en mouvement.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.5 Exercices résolus

Exercice 4.1 : Énergie cinétique d'un cylindre roulant sans glisser

Calculer l'énergie cinétique d'un rouleau cylindrique plein de masse $m$, rayon $R$, en translation à la vitesse $V$ sur un sol plan avec roulement sans glissement.

Démonstration

Condition de RSG : $\omega =\frac{V}{R}$. $E_c=\frac{1}{2}m{V}^2+\frac{1}{2}{J}_G{\omega }^2=\frac{1}{2}m{V}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}m{R}^2\right){\left(\frac{V}{R}\right)}^2=\frac{1}{2}m{V}^2+\frac{1}{4}m{V}^2=\frac{3}{4}m{V}^2$. On peut aussi utiliser le CIR $I$ : $E_c=\frac{1}{2}{J}_I{\omega }^2=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}m{R}^2\right){\left(\frac{V}{R}\right)}^2=\frac{3}{4}m{V}^2$.

Exercice 4.2 : Équation du pendule par le TEC

Retrouver l'équation du mouvement d'un pendule pesant constitué d'une tige homogène $OA$ de masse $m$, longueur $L$, articulée en $O$.

Démonstration

Énergie cinétique : $E_c=\frac{1}{2}{J}_O{\dot{\theta }}^2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}m{L}^2\right){\dot{\theta }}^2=\frac{1}{6}m{L}^2{\dot{\theta }}^2$. Puissance du poids : $\mathcal{P}(\text{poids})=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{V}(G)=(-mg{\overrightarrow{e}}_y)\cdot \left(\frac{L}{2}\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }\right)=-mg\frac{L}{2}\dot{\theta }\sin \theta$. La liaison pivot en $O$ étant parfaite : ${\mathcal{P}}_{\text{liaison}}=0$. Par le TEC : $\frac{\mathrm{d}{E}_c}{\mathrm{d}t}={\mathcal{P}}_{\text{ext}}⟹\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }\ddot{\theta }=-mg\frac{L}{2}\dot{\theta }\sin \theta$. En simplifiant par $\dot{\theta }\ne 0$ : $\ddot{\theta }+\frac{3g}{2L}\sin \theta =0$.

Exercice 4.3 : Inertie équivalente d'un axe linéaire entraîné par vis à billes

Un servomoteur entraîne une vis à billes (pas $p_v=10\mathrm{mm}$, inertie $J_v=5\times 10^{-5}\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$, inertie du rotor moteur $J_m=2\times 10^{-4}\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$) déplaçant un chariot de masse $M=40\mathrm{kg}$. Calculer l'inertie équivalente totale $J_{\text{eq}}$ ramenée sur l'arbre moteur.

Démonstration

Relation cinématique : $V_c=\frac{p_v}{2\pi }{\dot{\theta }}_m$. $E_c=\frac{1}{2}(J_m+J_v){\dot{\theta }}_m^2+\frac{1}{2}M{V}_c^2=\frac{1}{2}\left(J_m+J_v+M{\left(\frac{p_v}{2\pi }\right)}^2\right){\dot{\theta }}_m^2$. $J_{\text{eq}}=J_m+J_v+M{\left(\frac{p_v}{2\pi }\right)}^2=2\cdot 10^{-4}+5\cdot 10^{-5}+40\times {\left(\frac{0,010}{2\pi }\right)}^2=2,5\cdot 10^{-4}+40\times (1,591\cdot 10^{-3}{)}^2=2,5\cdot 10^{-4}+1,013\cdot 10^{-4}=3,513\times 10^{-4}\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$.

Exercice 4.4 : Chariot sur plan incliné tiré par un treuil

Un treuil de rayon $R$, d'inertie $J_t$, tire une charge de masse $M$ sur un plan incliné d'un angle $\alpha$ avec un coefficient de frottement $f$. Le moteur applique un couple $C_m$. Déterminer l'accélération linéaire de la charge.

Démonstration

Inertie équivalente : $J_{\text{eq}}=J_t+M{R}^2$. Puissance extérieure : ${\mathcal{P}}_{\text{ext}}=C_m\omega -Mg\sin \alpha (R\omega )-fMg\cos \alpha (R\omega )$. Couple équivalent : $C_{\text{eq}}=C_m-MgR(\sin \alpha +f\cos \alpha )$. Par le TEC : $J_{\text{eq}}\dot{\omega }=C_{\text{eq}}⟹a=R\dot{\omega }=\frac{R(C_m-MgR(\sin \alpha +f\cos \alpha ))}{J_t+M{R}^2}$.

Exercice 4.5 : Système bielle-manivelle à inertie variable

Exprimer l'inertie équivalente $J_{\text{eq}}(\theta )$ d'un mécanisme bielle-manivelle en fonction de l'angle vilebrequin $\theta$.

Démonstration

$V_p(\theta )=r\dot{\theta }\left(\sin \theta +\frac{\lambda \sin 2\theta }{2\sqrt{1-{\lambda }^2{\sin }^2\theta }}\right)$ avec $\lambda =r/L$. $E_c=\frac{1}{2}{J}_v{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}{m}_p{V}_p^2+E_{c,\text{bielle}}⟹J_{\text{eq}}(\theta )=J_v+m_p{\left(\frac{V_p(\theta )}{\dot{\theta }}\right)}^2+J_{\text{eq,bielle}}(\theta )$. Le terme $\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}{J}_{\text{eq}}}{\mathrm{d}\theta }{\dot{\theta }}^2$ introduit un couple dynamique périodique d'ordre 2.

Exercice 4.6 : Freinage d'un volant d'inertie par frein à sabot

Un volant d'inertie de masse $m=100\mathrm{kg}$, rayon $R=0,4\mathrm{m}$, tourne à $N_0=1500\mathrm{tr}/\min$. Un frein à sabot applique un effort presseur normal $F_N=1200\mathrm{N}$ avec un coefficient de frottement $f=0,35$. Calculer le temps d'arrêt et l'énergie dissipée en chaleur.

Démonstration

$J=\frac{1}{2}m{R}^2=\frac{1}{2}\times 100\times 0,16=8,0\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$. ${\omega }_0=1500\times \frac{2\pi }{60}=157,08\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Couple résistant de freinage : $C_f=f{F}_{N}R=0,35\times 1200\times 0,4=168\mathrm{Nm}$. Par le TEC : $J\dot{\omega }=-C_f⟹t_{\text{arreˆt}}=\frac{J{\omega }_0}{C_f}=\frac{8,0\times 157,08}{168}=7,48\mathrm{s}$. Énergie thermique dissipée : $Q=E_{c,0}=\frac{1}{2}J{\omega }_0^2=\frac{1}{2}\times 8,0\times (157,08{)}^2=98,7\mathrm{kJ}$.

Exercice 4.7 : Ressort spiral et conservation de l'énergie

Un disque de moment d'inertie $J$ est rappelé par un ressort spiral de raideur de torsion $C_{\theta }$. On l'écarte d'un angle ${\theta }_0$ et on le lâche sans vitesse initiale. Exprimer la vitesse angulaire maximale.

Démonstration

Énergie mécanique conservée : $E_m=E_c+E_p=\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}{C}_{\theta }{\theta }^2=\text{cte}=\frac{1}{2}{C}_{\theta }{\theta }_0^2$. La vitesse est maximale au passage à l'équilibre $\theta =0$ : $\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}_{\text{max}}^2=\frac{1}{2}{C}_{\theta }{\theta }_0^2⟹{\dot{\theta }}_{\text{max}}={\theta }_0\sqrt{\frac{C_{\theta }}{J}}$.

Exercice 4.8 : Rendement d'un réducteur à engrenages en régime dynamique

Pour un réducteur de rapport de réduction $r={\omega }_e/{\omega }_s>1$ (même convention que la section « Modélisation par grandeurs équivalentes ») et de rendement direct $\eta$, établir l'équation du mouvement liant le couple moteur $C_m$, le couple de charge $C_r$ et l'inertie totale.

Démonstration

En régime moteur ($C_m{\dot{\theta }}_e>0$), la puissance utile transmise à la sortie est $\eta {\mathcal{P}}_e$. L'équation énergétique donne : $\left(J_e+\frac{J_s}{\eta r^2}\right){\ddot{\theta }}_e=C_m-\frac{C_r}{\eta r}$.

Exercice 4.9 : Chute d'une barre articulée (vitesse d'impact)

Une barre homogène $OA$ de masse $m$, longueur $L$, est lâchée depuis la position horizontale $\theta =0$. Déterminer sa vitesse angulaire lors du passage à la verticale $\theta =\pi /2$.

Démonstration

Variation d'énergie potentielle : $\Delta E_p=-mg\Delta y_G=-mg\frac{L}{2}$. Par conservation de l'énergie mécanique : $\Delta E_c+\Delta E_p=0⟹\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}m{L}^2\right){\omega }^2-mg\frac{L}{2}=0$. $\frac{1}{6}m{L}^2{\omega }^2=mg\frac{L}{2}⟹\omega =\sqrt{\frac{3g}{L}}$.

Exercice 4.10 : Puissance consommée par un véhicule en palier

Un véhicule de masse $M=1500\mathrm{kg}$ roule à $V=130\mathrm{km}/\mathrm{h}$ sur le plat. Les forces résistantes sont le frottement de roulement ($F_{\text{roul}}=C_{rr}Mg$ avec $C_{rr}=0,012$) et la traînée aérodynamique ($F_{\text{aeˊro}}=\frac{1}{2}\rho S{C}_x{V}^2$ avec $\rho =1,2\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, $S{C}_x=0,7\square \mathrm{m}$). Calculer la puissance mécanique nécessaire aux roues.

Démonstration

$V=\frac{130}{3,6}=36,11\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $F_{\text{roul}}=0,012\times 1500\times 9,81=176,58\mathrm{N}$. $F_{\text{aeˊro}}=\frac{1}{2}\times 1,2\times 0,7\times (36,11{)}^2=0,42\times 1304=547,7\mathrm{N}$. Effort total résistant : $F_{\text{tot}}=176,58+547,7=724,3\mathrm{N}$. Puissance utile aux roues : $\mathcal{P}=F_{\text{tot}}V=724,3\times 36,11=26154\mathrm{W}\approx 26,15\mathrm{kW}$ ($\approx 35,5\text{ch}$).

4.6 Problèmes de concours résolus

Problème 4.1 : Dimensionnement dynamique d'un ascenseur à régénération (Concours Mines-Ponts)

Une cabine d'ascenseur de masse $M_c=1200\mathrm{kg}$ transporte une charge utile $m_u=800\mathrm{kg}$ et est équilibrée par un contrepoids $M_{cp}=M_c+\frac{m_u}{2}=1600\mathrm{kg}$. La poulie motrice a un rayon $R=0,4\mathrm{m}$ et une inertie $J_p=25\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$. Le rendement de la chaîne de conversion électromécanique en fonctionnement générateur vaut ${\eta }_{\text{elec}}=0,88$ et la vitesse de descente stabilisée est $V=2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

• Exprimer l'inertie équivalente totale $J_{\text{eq}}$ ramenée sur l'arbre de la poulie.
• Calculer le couple moteur nominal pour une accélération de démarrage $a=1,2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$.
• Évaluer la puissance électrique récupérée au freinage en descente à pleine charge.

Démonstration

1. $E_c=\frac{1}{2}{J}_p{\omega }^2+\frac{1}{2}(M_c+m_u)V^2+\frac{1}{2}{M}_{cp}{V}^2$ avec $V=R\omega$. $J_{\text{eq}}=J_p+(M_c+m_u+M_{cp})R^2=25+(1200+800+1600)\times (0,4{)}^2=25+3600\times 0,16=25+576=601\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$.
2. En montée à pleine charge, le déséquilibre de gravité est $\Delta M=(M_c+m_u)-M_{cp}=2000-1600=400\mathrm{kg}$. Couple résistant statique : $C_{\text{stat}}=\Delta MgR=400\times 9,81\times 0,4=1569,6\mathrm{Nm}$. Couple dynamique d'accélération : $C_{\text{dyn}}=J_{\text{eq}}\dot{\omega }=J_{\text{eq}}\frac{a}{R}=601\times \frac{1,2}{0,4}=601\times 3=1803\mathrm{Nm}$. Couple moteur total : $C_m=C_{\text{stat}}+C_{\text{dyn}}=1569,6+1803=3372,6\mathrm{Nm}$.
3. En phase de descente à vitesse stabilisée $V=2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$, le moteur fonctionne en génératrice : ${\mathcal{P}}_{\text{regen}}={\eta }_{\text{elec}}\Delta MgV=0,88\times 400\times 9,81\times 2,5=8,63\mathrm{kW}$.

Problème 4.2 : Système de stockage d'énergie cinétique KERS (Concours Centrale-Supélec)

Un véhicule de compétition hybride intègre un volant KERS en carbone tournant jusqu'à $64000\mathrm{tr}/\min$ couplé via un variateur toroïdal à variation continue (CVT).

• Calculer la capacité de stockage d'énergie cinétique du volant ($J=0,085\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$).
• Déterminer l'équation de transfert de puissance entre le véhicule et le volant en fonction du rapport de transmission variable $r(t)={\omega }_{\text{volant}}/{\omega }_{\text{roues}}$.
• Calculer le temps de décharge complet pour fournir un boost de puissance $\mathcal{P}=60\mathrm{kW}$.

Démonstration

1. ${\omega }_{\text{max}}=64000\times \frac{2\pi }{60}=6702\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. $E_{\text{max}}=\frac{1}{2}J{\omega }_{\text{max}}^2=\frac{1}{2}\times 0,085\times (6702{)}^2\approx 1,91\mathrm{MJ}=530\mathrm{Wh}$.
2. Par le TEC appliqué au système global, la gestion du rapport $r(t)$ permet de faire varier ${\dot{\omega }}_{\text{volant}}$ tout en régulant le couple de freinage ou d'accélération aux roues.
3. Pour une restitution d'énergie de $80\%$ de $E_{\text{max}}$ ($\Delta E=0,80\times 1,91=1,528\mathrm{MJ}$) à puissance constante $\mathcal{P}=60\mathrm{kW}$ : $\Delta t=\frac{\Delta E}{\mathcal{P}}=\frac{1,528\cdot 10^6}{60\cdot 10^3}=25,47\mathrm{s}$.

Problème 4.3 : Presse mécanique à genouillère (Concours CCINP)

Une presse d'emboutissage est entraînée par un moteur asynchrone de puissance $15\mathrm{kW}$ équipé d'un volant d'inertie de masse $M_v=450\mathrm{kg}$ et rayon de giration $R_g=0,6\mathrm{m}$. L'opération de frappe dure $\Delta t=0,12\mathrm{s}$ et absorbe une énergie $W_{\text{frappe}}=18\mathrm{kJ}$. La vitesse de rotation nominale du groupe est $N_0=1500\mathrm{tr}/\min$.

• Calculer le moment d'inertie du volant.
• Évaluer la chute de vitesse du volant pendant la phase de frappe, $\Delta \omega ={\omega }_0-{\omega }_1$.
• Déterminer le temps nécessaire au moteur pour restocker l'énergie entre deux frappes.

Démonstration

1. $J=M_v{R}_g^2=450\times (0,6{)}^2=450\times 0,36=162\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$.
2. Vitesse nominale ${\omega }_0=1500\times \frac{2\pi }{60}=157,08\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. $E_{c,0}=\frac{1}{2}J{\omega }_0^2=\frac{1}{2}\times 162\times (157,08{)}^2=1,998\mathrm{MJ}$. Énergie restante : $E_{c,1}=E_{c,0}-W_{\text{frappe}}+{\mathcal{P}}_{\text{mot}}\Delta t=1,998\cdot 10^6-18000+15000\times 0,12=1,998\cdot 10^6-16200=1,9818\mathrm{MJ}$. Vitesse finale : ${\omega }_1=\sqrt{\frac{2E_{c,1}}{J}}=\sqrt{\frac{2\times 1,9818\cdot 10^6}{162}}=156,42\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, soit une variation de vitesse minime ($\Delta N\approx 6,3\mathrm{tr}/\min$).
3. Temps de recharge : $t_{\text{rec}}=\frac{W_{\text{net}}}{{\mathcal{P}}_{\text{mot}}}=\frac{16200}{15000}=1,08\mathrm{s}$.

Problème 4.4 : Énergétique d'un train à grande vitesse TGV (Concours Banque PT)

Une rame TGV de masse $M=400\mathrm{t}$ circule sur une voie en rampe à $35\text{‰}$ à la vitesse stabilisée de $V=320\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Les résistances à l'avancement sont modélisées par la formule de Davis : $R(V)=A+BV+C{V}^2$ avec $A=4,2\mathrm{kN}$, $B=0,08\mathrm{kN}/(\mathrm{m}/\mathrm{s})$, $C=0,0055\mathrm{kN}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2$.

• Calculer la force totale résistante à cette vitesse.
• Déterminer la puissance mécanique totale requise aux jantes.
• Évaluer l'énergie cinétique totale embarquée et la distance d'arrêt en freinage d'urgence sur le plat sous une décélération $a=1,1\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$.

Démonstration

1. $V=\frac{320}{3,6}=88,89\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $R(V)=4,2+0,08\times 88,89+0,0055\times (88,89{)}^2=4,2+7,11+43,46=54,77\mathrm{kN}$. Composante gravitationnelle sur la rampe : $F_p=Mg\sin \alpha \approx 400000\times 9,81\times 0,035=137,34\mathrm{kN}$. Force totale : $F_{\text{tot}}=54,77+137,34=192,11\mathrm{kN}$.
2. Puissance utile : $\mathcal{P}=F_{\text{tot}}V=192,11\cdot 10^3\times 88,89=17,08\mathrm{MW}$.
3. Énergie cinétique : $E_c=\frac{1}{2}M(1+\delta )V^2$ avec coefficient d'inertie tournante des essieux $\delta \approx 0,06$ : $E_c=\frac{1}{2}\times 400000\times 1,06\times (88,89{)}^2=1,675\mathrm{GJ}$. Distance d'arrêt : $d=\frac{V^2}{2a}=\frac{(88,89{)}^2}{2\times 1,1}=3591\mathrm{m}\approx 3,6\mathrm{km}$.

Problème 4.5 : Récupérateur d'énergie houlomotrice oscillant (Concours X / ENS)

Un flotteur houlomoteur de masse $M$ et section $S$ oscille verticalement en pilonnement sous l'action de la houle incidente de force $F_h(t)=F_0\cos (\omega t)$. Un générateur électromagnétique linéaire applique une force d'amortissement contrôlée $F_g=-c_g\dot{z}$.

• Établir l'équation différentielle du mouvement par le PFD ou le TEC.
• Calculer la puissance moyenne extraite par le générateur en régime permanent harmonique.
• Démontrer le théorème d'adaptation d'impédance fixant la valeur optimale de $c_g$ maximisant la puissance récupérée à la résonance.

Démonstration

1. $M\ddot{z}+(c_h+c_g)\dot{z}+\rho gSz=F_0\cos (\omega t)$.
2. En posant $z(t)=Z_0\cos (\omega t-\phi )$, la puissance moyenne extraite est $⟨{\mathcal{P}}_g⟩=\frac{1}{2}{c}_g{\omega }^2{Z}_0^2$. Avec $Z_0=\frac{F_0}{\sqrt{(\rho gS-M{\omega }^2{)}^2+(c_h+c_g{)}^2{\omega }^2}}$ : $⟨{\mathcal{P}}_g⟩=\frac{1}{2}\frac{c_g{\omega }^2{F}_0^2}{(\rho gS-M{\omega }^2{)}^2+(c_h+c_g{)}^2{\omega }^2}$.
3. À la résonance (${\omega }^2=\frac{\rho gS}{M}$), $⟨{\mathcal{P}}_g⟩=\frac{1}{2}\frac{c_g{F}_0^2}{(c_h+c_g{)}^2}$. En dérivant par rapport à $c_g$ : $\frac{\partial ⟨{\mathcal{P}}_g⟩}{\partial c_g}=0⟺c_g=c_h$. La puissance maximale captée vaut ${\mathcal{P}}_{\text{max}}=\frac{F_0^2}{8c_h}$ (condition d'adaptation d'impédance de capture).