Géométrie et Cinématique des Mécanismes

Cours complet · sciences industrielles (MPSI), chapitre 6 · CPGE MPSI (1re année)

6.1 Repérage, bases et dérivation vectorielle

Toute l'étude cinématique repose sur un choix : celui des paramètres qui situent chaque solide par rapport au précédent. On associe un repère à chaque solide, et l'on relie les repères voisins par les paramètres que la liaison laisse libres — un angle pour un pivot, une longueur pour une glissière.

La difficulté n'est pas d'écrire les vecteurs, mais de les dériver : un vecteur fixe dans un repère mobile varie pour l'observateur du repère fixe. D'où la règle qui gouverne tout le chapitre — la dérivée d'un même vecteur diffère selon le repère où on la calcule, et les deux dérivées sont reliées par le vecteur rotation. La figure de calcul, tracée dans le plan de la rotation, est l'outil qui évite les erreurs de signe : elle donne les projections des vecteurs de base d'un repère sur ceux de l'autre, sans avoir à les imaginer dans l'espace.

La modélisation géométrique et cinématique des chaînes de solides indéformables repose sur la définition de repères orthonormés directs $R_{i} = (O_{i}, x_{i}, y_{i}, z_{i})$ attachés à chaque solide $S_{i}$ .

Figure : Figure de changement de base plane

(x_{0}, y_{0}) \to (x_{1}, y_{1})

avec l'angle

θ

◆Théorème 6.1Formule de dérivation vectorielle dans une base mobile (Bour)

Pour tout vecteur $u (t)$ et deux repères $R_{0}$ et $R_{1}$ :

$(\frac{d u}{d t})_{R_{0}} = (\frac{d u}{d t})_{R_{1}} + Ω (R_{1} / R_{0}) \land u$

où $Ω (R_{1} / R_{0})$ est le vecteur taux de rotation instantané de $R_{1}$ par rapport à $R_{0}$ .

6.2 Le torseur cinématique et formule du champ des vitesses (Varignon)

Le champ des vitesses d'un solide indéformable n'est pas quelconque : la distance entre deux de ses points ne varie pas, ce qui contraint entièrement le champ. Il suffit donc de connaître la vitesse en un point et le vecteur rotation pour connaître la vitesse en tout point — deux vecteurs, six nombres, qui forment le torseur cinématique.

La formule du champ des vitesses, dite formule de Varignon, transporte l'information d'un point à l'autre. Elle entraîne l'équiprojectivité : les projections de $V (A)$ et de $V (B)$ sur la droite $(A B)$ sont égales — sans quoi les deux points s'éloigneraient ou se rapprocheraient, et le solide ne serait pas indéformable. C'est la traduction géométrique de la rigidité, et un moyen commode de vérifier un calcul.

Méthode : Formule de Willis pour un train épicycloïdal

Dans un train épicycloïdal, le porte-satellites tourne : le rapport des vitesses ne se lit plus directement. On se ramène au cas connu en observant le train depuis le porte-satellites, où il redevient un train ordinaire. En notant $λ$ la raison basique, calculée comme pour un train ordinaire à partir des nombres de dents :

$λ = \frac{ω _{1/ ps}}{ω _{3/ ps}} = \frac{ω _{1} - ω _{ps}}{ω _{3} - ω _{ps}} = (- 1)^{n} \frac{produit des nombres de dents des roues men e ˊ es}{produit des nombres de dents des roues menantes}$

Cette relation lie trois vitesses : il faut donc en imposer une — bloquer la couronne, bloquer le planétaire, ou entraîner le porte-satellites — pour que le train ait un rapport de réduction déterminé. C'est ce degré de liberté supplémentaire qui fait des trains épicycloïdaux des différentiels et des boîtes automatiques.

Les architectures industrielles superposent plusieurs de ces trains sur un même axe pour obtenir plusieurs rapports avec un seul jeu de roues : le train de Ravigneaux, commun aux boîtes automatiques, associe deux planétaires et deux étages de satellites autour d'un porte-satellites unique. On le traite comme deux trains épicycloïdaux couplés, en écrivant la relation de Willis pour chacun, puis en imposant les blocages que le rapport sélectionné réalise.

Définition 6.2Torseur cinématique

Le torseur cinématique caractérisant le mouvement du solide indéformable $S_{i}$ par rapport au repère de référence $R_{0}$ est défini en tout point $A$ par :

${T (S_{i} / R_{0})} = {Ω (S_{i} / R_{0}) V (A \in S_{i} / R_{0})}_{A}$

◆Théorème 6.3Formule de transport du champ des vitesses (Varignon)

Pour tous points $A$ et $B$ appartenant au solide indéformable $S_{i}$ :

$V (B \in S_{i} / R_{0}) = V (A \in S_{i} / R_{0}) + Ω (S_{i} / R_{0}) \land A B$

Figure : Schéma cinématique du mécanisme bielle-manivelle

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.3 Exercices résolus

Exercice 1 : Dérivation vectorielle et formule de Bour (

⋆

)

Soit une base mobile $B_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{0})$ en rotation d'angle $θ (t)$ autour de $z_{0}$ par rapport à $B_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . Calculer la dérivée du vecteur $u (t) = r (t) x_{1} (t)$ par rapport au repère $R_{0}$ .

Démonstration

Vecteur taux de rotation : $Ω (R_{1} / R_{0}) = θ ˙ z_{0}$ . Par la formule de Bour :

$(\frac{d u}{d t})_{R_{0}} = (\frac{d ( r x _{1} )}{d t})_{R_{1}} + Ω (R_{1} / R_{0}) \land u = r ˙ x_{1} + (θ ˙ z_{0}) \land (r x_{1}) = r ˙ x_{1} + r θ ˙ y_{1}$

Exercice 2 : Vitesse et accélération en coordonnées polaires (

⋆

)

Un point $M$ est repéré dans le plan par $O M = r (t) u_{r} (θ (t))$ .

Exprimer le vecteur vitesse $V (M / R_{0})$ .
Exprimer le vecteur accélération $a (M / R_{0})$ .

Démonstration

1. $V (M / R_{0}) = (\frac{d O M}{d t})_{R_{0}} = r ˙ u_{r} + r θ ˙ u_{θ}$ .

2. En dérivant une seconde fois :

$a (M / R_{0}) = \frac{d}{d t} (r ˙ u_{r} + r θ ˙ u_{θ}) = (r ¨ - r θ ˙^{2}) u_{r} + (r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙) u_{θ}$

Exercice 3 : Application de la formule de Varignon (

⋆

)

Un solide $S$ est en rotation autour d'un axe fixe $(O, z_{0})$ avec $Ω (S / R_{0}) = ω z_{0}$ . Soit $A$ un point tel que $O A = R x_{1}$ et $B$ tel que $A B = L y_{1}$ . Calculer $V (A \in S / R_{0})$ et $V (B \in S / R_{0})$ par Varignon.

Démonstration

Comme $O$ est sur l'axe fixe, $V (O \in S / R_{0}) = 0$ .

$V (A \in S / R_{0}) = V (O) + Ω \land O A = (ω z_{0}) \land (R x_{1}) = R ω y_{1}$ .
$V (B \in S / R_{0}) = V (A) + Ω \land A B = R ω y_{1} + (ω z_{0}) \land (L y_{1}) = - L ω x_{1} + R ω y_{1}$ .

Exercice 4 : Torseur cinématique d'une liaison pivot (

⋆

)

Écrire au centre de liaison $O$ le torseur cinématique d'une liaison pivot d'axe $(O, z_{0})$ entre un solide $S_{1}$ et le bâti $S_{0}$ .

Démonstration

La liaison pivot bloque les 3 translations et 2 rotations, ne laissant libre que la rotation d'axe $(O, z_{0})$ :

${T (S_{1} / S_{0})} = {θ ˙ z_{0} 0}_{O} = ⎩ ⎨ ⎧ 00 θ ˙ 000 ⎭ ⎬ ⎫_{(O, B_{0})}$

Exercice 5 : Centre Instantané de Rotation (CIR) d'une échelle glissante (

⋆ ⋆

)

Une échelle $A B$ de longueur $L$ glisse avec son extrémité $A$ sur l'axe vertical $(O, y_{0})$ ( $O A = y_{A} y_{0}$ ) et son extrémité $B$ sur l'axe horizontal $(O, x_{0})$ ( $O B = x_{B} x_{0}$ ). Déterminer géométriquement et analytiquement les coordonnées du CIR $I$ de l'échelle par rapport au bâti.

Démonstration

1. Construction géométrique : $V (A \in A B / R_{0})$ est vertical : la perpendiculaire à cette vitesse en $A$ est la droite horizontale $(A y)$ . $V (B \in A B / R_{0})$ est horizontal : la perpendiculaire en $B$ est la droite verticale $(B x)$ . Le CIR $I$ est l'intersection de ces deux perpendiculaires : $O I = x_{B} x_{0} + y_{A} y_{0}$ .

2. Propriété : Comme $x_{B}^{2} + y_{A}^{2} = L^{2}$ , on a $O I = L = constante$ . Le CIR décrit dans le repère fixe un arc de cercle de centre $O$ et de rayon $L$ .

Exercice 6 : Cinématique du système vis-écrou (

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)

Une vis $1$ à filet unique à droite de pas $p = 4 mm / tr$ tourne à $N_{1} = 1500 tr/min$ par rapport à un écrou fixe $0$ . Calculer la vitesse de translation axiale $V_{1/0}$ en $m/s$ et en $mm/s$ .

Démonstration

Relation cinématique fondamentale du système vis-écrou :

$V_{1/0} = \frac{p}{2 π} ω_{1/0} = p \cdot n_{1/0}$

avec $n_{1/0} = \frac{1500}{60} = 25 tr/s$ .

$V_{1/0} = 4 mm \times 25 s^{- 1} = 100 mm / s = 0, 10 m / s$

Exercice 7 : Accélération de Coriolis dans un manège tournant (

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)

Un enfant marche à vitesse constante $v_{r} = 1, 5 m / s$ vers la périphérie radiale d'un manège tournant à $ω_{0} = 2, 0 rad / s$ autour d'un axe vertical $z_{0}$ . Calculer le vecteur accélération de Coriolis subie par l'enfant.

Démonstration

Formule de l'accélération de Coriolis :

$a_{c} = 2 Ω (R_{man e ˋ ge} / R_{0}) \land V_{r} = 2 (ω_{0} z_{0}) \land (v_{r} u_{r}) = 2 ω_{0} v_{r} u_{θ}$

Numériquement :

$a_{c} = 2 \times 2, 0 \times 1, 5 = 6, 0 m / s^{2}$

Exercice 8 : Fermeture cinématique vectorielle d'un parallélogramme (

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)

Un mécanisme 4 barres articulé $A B C D$ a des longueurs égales deux à deux ( $A B = C D = L$ , $B C = A D = D$ ). Montrer par fermeture cinématique que $Ω (B C / R_{0}) = 0$ (mouvement de translation circulaire).

Démonstration

La direction du segment $B C$ reste constamment parallèle à $A D$ (bâti fixe) : $B C (t) = D x_{0} = vecteur constant dans R_{0}$ . Sa dérivée temporelle est nulle $⟹ Ω (B C / R_{0}) = 0$ . Le solide $B C$ est animé d'un mouvement de translation circulaire.

Exercice 9 : Définition et cinématique des angles d'Euler (

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)

Définir les 3 rotations successives d'Euler $(ψ, θ, φ)$ et exprimer le vecteur rotation instantané $Ω (S / R_{0})$ .

Démonstration

Les 3 angles d'Euler décrivent l'orientation d'un solide dans l'espace par 3 rotations élémentaires :

Précession $ψ$ autour de $z_{0}$ : $R_{0} (O, x_{0}, y_{0}, z_{0}) \to R^{'} (O, u, v, z_{0})$ avec $u$ ligne des nœuds.
Nutation $θ$ autour de la ligne des nœuds $u$ : $R^{'} (O, u, v, z_{0}) \to R^{''} (O, u, w, z_{s})$ .
Rotation propre $φ$ autour de l'axe de révolution du solide $z_{s}$ : $R^{''} (O, u, w, z_{s}) \to R_{s} (O, x_{s}, y_{s}, z_{s})$ .

Le vecteur rotation instantané est la somme des 3 vecteurs vitesse angulaire :

$Ω (S / R_{0}) = ψ ˙ z_{0} + θ ˙ u + φ ˙ z_{s}$

Exercice 10 : Formule de Willis sur un train épicycloïdal simple (

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)

Un train épicycloïdal plan comprend un planétaire solaire central 1 ( $Z_{1} = 20$ dents), des satellites 2 ( $Z_{2} = 30$ dents), une couronne extérieure fixe 3 ( $Z_{3} = 80$ dents) et un porte-satellite $P S$ . Calculer le rapport de réduction global $r = \frac{ω _{P S}}{ω _{1}}$ .

Démonstration

Formule de Willis avec blocage fictif du porte-satellite $P S$ :

$\frac{ω _{3/0} - ω _{P S /0}}{ω _{1/0} - ω _{P S /0}} = (- 1)^{1} \frac{Z _{1}}{Z _{3}} = - \frac{Z _{1}}{Z _{3}}$

Comme la couronne 3 est fixe par rapport au bâti ( $ω_{3/0} = 0$ ) :

$r = \frac{ω _{P S}}{ω _{1}} = \frac{Z _{1}}{Z _{1} + Z _{3}} = \frac{20}{20 + 80} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} = 0, 20$

6.4 Problèmes contextualisés

Exemple 6.14Problème 1 : Mécanisme bielle-manivelle de moteur thermique haute vitesse (

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)

Un moteur de course tourne à $N = 9000 tr/min$ ( $ω = 942, 5 rad / s$ ). Le rayon de manivelle est $R = 45 mm$ et la longueur de bielle est $L = 135 mm$ ( $λ = R / L = 1/3$ ).

Exprimer la position du piston $x (t) = R (1 - cos θ) + L (1 - 1 - λ^{2} sin^{2} θ)$ en fonction de $θ = ω t$ .
Déterminer par développement limité à l'ordre 2 en $λ$ l'expression de l'accélération du piston $γ (t)$ .
Calculer l'accélération maximale subie par le piston au Point Mort Haut (PMH, $θ = 0$ ) en $m/s^{2}$ et en nombre de $g$ .

Démonstration

1. $x (θ) = R (1 - cos θ) + L (1 - 1 - λ^{2} sin^{2} θ)$ .

2. DL au 1er ordre en $λ^{2}$ :

$x (t) \approx R [1 - cos (ω t) + \frac{λ}{4} (1 - cos (2 ω t))] ⟹ γ (t) = x ¨ (t) = R ω^{2} [cos (ω t) + λ cos (2 ω t)]$

3. Au PMH ( $θ = 0$ ) :

$γ_{max} = R ω^{2} (1 + λ) = 0, 045 \times (942, 5)^{2} \times \frac{4}{3} \approx 53298 m / s^{2} \approx 5433 g$

Important

Ce que ça nous apprend. L'accélération d'un piston à haut régime dépasse $5000 g$ au PMH : les efforts d'inertie alternatifs constituent la contrainte dimensionnante majeure des bielles et coussinets.

Exemple 6.15Problème 2 : Robot manipulateur plan 2R SCARA (

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)

Un robot SCARA comprend deux bras de longueurs $L_{1} = 0, 40 m$ et $L_{2} = 0, 30 m$ articulés en pivot d'angles $θ_{1} (t)$ et $θ_{2} (t)$ .

Exprimer le vecteur position $O E$ de l'effecteur dans la base fixe $B_{0}$ .
Établir la matrice Jacobienne $J (θ_{1}, θ_{2})$ reliant la vitesse $V (E / R_{0})$ aux vitesses articulaires $(θ ˙_{1}, θ ˙_{2})$ .
Déterminer les configurations de singularité cinématique du robot.

Démonstration

1. $O E = (L_{1} cos θ_{1} + L_{2} cos (θ_{1} + θ_{2})) x_{0} + (L_{1} sin θ_{1} + L_{2} sin (θ_{1} + θ_{2})) y_{0}$ .

2. Matrice Jacobienne :

$J (θ_{1}, θ_{2}) = (- L_{1} sin θ_{1} - L_{2} sin (θ_{1} + θ_{2}) L_{1} cos θ_{1} + L_{2} cos (θ_{1} + θ_{2}) - L_{2} sin (θ_{1} + θ_{2}) L_{2} cos (θ_{1} + θ_{2}))$

3. $det (J) = L_{1} L_{2} sin θ_{2} = 0 ⟹ θ_{2} = 0 ou π$ (bras complètement tendu ou replié).

Important

Ce que ça nous apprend. Aux frontières singulières du volume de travail ( $sin θ_{2} = 0$ ), la matrice Jacobienne perd son inversibilité : le robot ne peut plus générer de vitesse dans la direction radiale quelle que soit la consigne articulaire.

Exemple 6.16Problème 3 : Mécanisme d'essuie-glace à 4 barres articulé (

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)

Un système d'essuie-glace transforme la rotation continue d'un moteur en oscillation alternative d'un balai d'angle $β (t) \in [- 4 5^{\circ}, + 4 5^{\circ}]$ . Calculer la vitesse angulaire du balai au point de rebroussement ( $β = \pm 4 5^{\circ}$ ).

Démonstration

Aux points extrêmes d'inversion du balai (rebroussement), $β (t)$ atteint un extremum local : sa dérivée temporelle est rigoureusement nulle : $β ˙_{rebroussement} = 0 rad / s$ .

Important

Ce que ça nous apprend. L'inversion de mouvement d'un balai d'essuie-glace impose une vitesse nulle et une accélération maximale : c'est à cet instant précis que le risque de décollement aérodynamique à haute vitesse est le plus critique.

Exemple 6.17Problème 4 : Suspension à la Cardan 3 axes et phénomène de blocage (Gimbal Lock) (

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)

Une plateforme inertielle à 3 cardans orientable en lacet $ψ$ , tangage $θ$ et roulis $φ$ stabilise une caméra gyrostabilisée. Montrer que lorsque l'angle de tangage atteint $θ = 90°$ , le système perd un degré de liberté angulaire (Gimbal Lock).

Démonstration

Pour $θ = 9 0^{\circ}$ , l'axe de rotation du roulis $x_{c}$ vient s'aligner parallèlement avec l'axe initial du lacet $z_{0}$ . Les angles $ψ$ et $φ$ agissent désormais autour du même axe physique : le système perd un degré de liberté d'orientation dans l'espace (phénomène de Gimbal Lock).

Important

Ce que ça nous apprend. Le blocage de cardan est le défaut intrinsèque des angles de Cardan (lacet, tangage, roulis) à $θ = \pm 9 0^{\circ}$ ; les angles d'Euler au sens strict (précession, nutation, rotation propre) ont le même défaut pour une nutation nulle ( $θ = 0$ ou $π$ ). Il est résolu dans les systèmes de navigation modernes par l'utilisation des quaternions unitaires.

Exemple 6.18Problème 5 : Cinématique de rétraction de train d'atterrissage d'avion (

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)

Un vérin hydraulique déploie la jambe de train articulée en pivot sur la structure de l'aile d'un avion de ligne. Pour une vitesse de tige $L ˙_{v} = 0, 08 m / s$ et un bras de levier instantané $d = 0, 25 m$ , calculer la vitesse angulaire de basculement du train.

Démonstration

Relation cinématique : $L ˙_{v} = θ ˙ \cdot d ⟹ θ ˙ = \frac{L ˙ _{v}}{d} = \frac{0 , 08 m / s}{0 , 25 m} = 0, 32 rad / s \approx 18, 3°/ s$ .

Important

Ce que ça nous apprend. La cinématique de vérin met en évidence la variation du bras de levier efficace $d (θ)$ au cours du cycle de rétraction, qui conditionne la pression hydraulique requise.

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