Rayonnement thermique

Tout corps matériel, quelle que soit sa température, émet en permanence un rayonnement électromagnétique : c'est le rayonnement thermique. À température ambiante, ce rayonnement est essentiellement infrarouge et invisible à l'œil ; lorsqu'on porte un métal au rouge puis au blanc, il devient perceptible dans le domaine visible. Ce mode de transfert d'énergie, contrairement à la conduction et à la convection, ne nécessite aucun support matériel : c'est lui qui transporte l'énergie du Soleil jusqu'à la Terre à travers le vide interplanétaire.

L'étude complète du rayonnement thermique relève de la physique statistique et de la mécanique quantique. Conformément au programme, nous adoptons une approche descriptive : les lois de Planck, de Wien et de Stefan sont fournies et non démontrées. L'objectif est de savoir les exploiter pour analyser quantitativement des situations concrètes : température de surface d'une étoile, température d'équilibre d'une planète, effet de serre, fonctionnement d'un four ou d'une caméra thermique.

4.1 Le rayonnement d'équilibre et le corps noir

4.1.1 Rayonnement thermique et grandeurs énergétiques

Un corps chaud émet un rayonnement dont la répartition en énergie dépend de la longueur d'onde et de la température. On caractérise la puissance rayonnée par unité de surface émettrice.

4.1.2 Émission, absorption, réflexion

Lorsqu'un rayonnement de puissance incidente $P_i$ frappe un corps, il se répartit en trois parts : une fraction absorbée, une fraction réfléchie et une fraction transmise. On définit les coefficients correspondants (facteur d'absorption $a$, de réflexion $r$, de transmission $t$), sans dimension, tels que

$$a+r+t=1.$$

Chacun peut dépendre de la longueur d'onde et de la direction. Un corps opaque a $t=0$, donc $a+r=1$ : un bon absorbant est un mauvais réflecteur, et réciproquement. C'est pourquoi une surface noire mate, très absorbante, s'échauffe fortement au soleil, tandis qu'une surface métallique polie, très réfléchissante, reste plus froide.

4.1.3 Le modèle du corps noir

4.2 Les lois du rayonnement du corps noir

4.2.1 La loi de Planck

La répartition spectrale de l'exitance d'un corps noir est donnée par la loi de Planck, fournie et non exigible : on ne demande ni de la retenir ni de la démontrer, seulement d'en connaître l'allure et d'en exploiter les conséquences (lois de Wien et de Stefan) :

Chaque courbe $M_{\lambda }^{\circ }(\lambda )$ présente un maximum pour une longueur d'onde ${\lambda }_{\max }$ dépendant de $T$. La figure fig:planck montre l'allure de ces courbes pour trois températures croissantes : plus $T$ augmente, plus le maximum est élevé (le corps rayonne davantage) et plus il se déplace vers les courtes longueurs d'onde (le corps « bleuit »).

Figure : Exitance spectrale d'un corps noir (loi de Planck, tracée à l'échelle) pour

$T_1=1000K$, $T_2=1250K$ et $T_3=1500K$. Les courbes ne se croisent pas : à toute longueur d'onde, un corps noir plus chaud émet davantage. Quand $T$ croît, l'aire sous la courbe (exitance totale) croît comme $T^4$, le maximum se déplace vers les courtes longueurs d'onde (loi de Wien) et sa hauteur croît comme $T^5$ : il est $1,5^5\approx 7,6$

fois plus haut à $T_3$ qu'à $T_1$.

4.2.2 La loi du déplacement de Wien

C'est la position du maximum de la loi de Planck, mais la formule est fournie. Elle donne l'idée de la pyrométrie optique : estimer à distance, sans contact, la température d'un corps d'après la couleur de son rayonnement. En pratique, un pyromètre ou une caméra thermique mesure un flux (à une ou deux longueurs d'onde, ou dans une bande), et l'émissivité de la surface visée, définie plus loin, fausse la mesure si l'on n'en tient pas compte.

4.2.3 La loi de Stefan--Boltzmann

La dépendance en $T^4$ est très forte : doubler la température multiplie la puissance rayonnée par $2^4=16$. C'est pourquoi un four et une étoile rayonnent des puissances surfaciques radicalement différentes.

4.2.4 Corps réels : émissivité et corps gris

Un corps réel émet moins qu'un corps noir à même température. On rend compte de cet écart par un facteur correctif.

4.3 Équilibre radiatif et applications

4.3.1 Bilan radiatif d'un corps

Un corps convexe de surface $S$, gris d'émissivité $\epsilon$, à la température $T$, est placé dans une enceinte beaucoup plus grande que lui, dont les parois sont à la température $T_0$ (ou, plus généralement, dans un environnement qui rayonne comme un corps noir à $T_0$). Il émet $\epsilon \sigma S{T}^4$ ; il reçoit le rayonnement de l'environnement, $\sigma S{T}_0^4$, dont il absorbe la fraction $a=\epsilon$ (loi de Kirchhoff). Il perd donc le flux net

$$P_{\text{net}}=\epsilon \sigma S(T^4-T_0^4).$$

Les hypothèses comptent : corps convexe (il ne reçoit pas son propre rayonnement), petit devant l'enceinte (ce qu'il réfléchit ne lui revient pas), gris. Si $T>T_0$, le corps perd de l'énergie ; l'équilibre radiatif ($P_{\text{net}}=0$) est atteint pour $T=T_0$. Pour $T$ voisine de $T_0$, $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3(T-T_0)$ et $P_{\text{net}}\approx h_{r}S(T-T_0)$, avec le coefficient d'échange radiatif $h_r=4\epsilon \sigma T_0^3\approx 6W.m^{-2}.K^{-1}$ à $300K$ : à température ordinaire, le rayonnement échange autant que la convection naturelle.

Ce bilan gouverne le refroidissement nocturne des objets exposés au ciel clair. L'atmosphère, qui absorbe et émet dans l'infrarouge, rayonne vers le sol comme un corps noir à $230K$–$260K$ environ (et non comme l'espace à $3K$) : plus froid que l'air au voisinage du sol. Par nuit claire et calme, ces objets descendent sous la température de l'air (gelée blanche).

4.3.2 Température d'équilibre d'une planète

Considérons une planète sphérique de rayon $R$, d'albédo $A$ (fraction du rayonnement solaire réfléchie), recevant du Soleil un flux surfacique ${\phi }_S$ (constante solaire à sa distance orbitale). La planète intercepte le rayonnement solaire sur son disque de section $\pi R^2$, mais rayonne par toute sa surface $4\pi R^2$ comme un corps noir de température $T_e$.

Figure : Bilan radiatif d'une planète : le rayonnement solaire est intercepté sur le disque de section $\pi R^2$, l'émission thermique se fait sur toute la sphère $4\pi R^2$.

À l'équilibre, la puissance absorbée égale la puissance émise :

$$\underset{\text{absorbeˊe}}{\underbrace{\pi R^2{\phi }_S(1-A)}}=\underset{\text{eˊmise}}{\underbrace{4\pi R^2\sigma T_e^4}}⟹\boxed{T_e={\left[\frac{{\phi }_S(1-A)}{4\sigma }\right]}^{1/4}}$$

Le facteur $4$ traduit le rapport surface/section de la sphère : la planète collecte l'énergie sur un disque mais la redistribue sur toute sa surface. Ce modèle suppose un régime stationnaire, une planète qui émet comme un corps noir dans l'infrarouge et surtout une température uniforme, donc une redistribution de l'énergie reçue côté jour (rotation rapide, atmosphère, océans). Pour un astre sans atmosphère qui tourne lentement, comme la Lune, chaque point de la surface est à son propre équilibre : $390K$ environ au point subsolaire, $100K$ la nuit ; $T_e$ n'y est qu'une moyenne sans réalité physique.

L'albédo (notion du programme de PC).

L'albédo $A$ d'une planète ou d'une surface est la fraction du rayonnement solaire incident qu'elle renvoie (par réflexion ou diffusion) sans l'absorber. Il varie beaucoup d'une surface à l'autre : environ $0,06$ pour l'océan, $0,10$ à $0,15$ pour une forêt, $0,2$ à $0,3$ pour un sol nu ou un désert, $0,4$ à $0,8$ pour les nuages selon leur épaisseur, $0,8$ à $0,9$ pour la neige fraîche ; il vaut $0,30$ pour la Terre entière, dont les nuages fournissent la plus grande part. Comme $T_e\propto (1-A{)}^{1/4}$, $\frac{\mathrm{d}{T}_e}{\mathrm{d}A}=-\frac{T_e}{4(1-A)}\approx -0,9K$ par centième d'albédo pour la Terre. Cette sensibilité nourrit la rétroaction glace-albédo : un refroidissement étend la neige et la glace, l'albédo croît, la Terre absorbe moins et se refroidit davantage ; inversement, la fonte de la banquise arctique découvre un océan sombre et amplifie le réchauffement. C'est une rétroaction positive, qui amplifie toute variation de température.

4.3.3 Modèle à une couche de l'effet de serre

L'atmosphère est transparente au rayonnement visible du Soleil mais absorbe une grande part du rayonnement infrarouge émis par le sol (vapeur d'eau, CO${}_2$, CH${}_4$). On peut séparer ces deux domaines parce que les spectres solaire (${\lambda }_{\max }\approx 0,5\mu \mathrm{m}$) et terrestre (${\lambda }_{\max }\approx 10\mu \mathrm{m}$) sont pratiquement disjoints (loi de Wien). On modélise l'atmosphère par une couche unique, isotherme à la température $T_a$, transparente dans le visible et opaque dans l'infrarouge : elle absorbe tout le rayonnement infrarouge du sol et, d'après la loi de Kirchhoff, émet comme un corps noir à $T_a$, vers le haut et vers le bas. Le sol, à la température $T_s$, émet comme un corps noir ; on néglige la convection.

4.4 Synthèse du chapitre

4.5 Travaux dirigés

Exercice 1 — Pourquoi une fenêtre ouverte paraît noire : la cavité, absorbant presque parfait

Une cavité fermée a une surface intérieure totale $S$ (ouverture comprise) ; elle est percée d'une ouverture d'aire $s$, et l'on note $f=s/S$. Ses parois sont opaques ; elles absorbent la fraction $a$ du rayonnement qu'elles reçoivent (leur facteur d'absorption) et réfléchissent le reste, $1-a$, de façon diffuse. On admet que le rayonnement réfléchi par les parois se répartit sur toute la surface intérieure proportionnellement aux aires : la fraction $f$ en ressort par l'ouverture, la fraction $1-f$ retombe sur les parois. Un flux lumineux ${\Phi }_0$ entre par l'ouverture et frappe d'abord une paroi.

1) Montrer que le flux qui ressort par l'ouverture après la première réflexion vaut $(1-a)f{\Phi }_0$, puis, en suivant les réflexions successives, que le facteur de réflexion de l'ouverture (fraction de ${\Phi }_0$ qui finit par ressortir) vaut

$$r_{\text{eff}}=\frac{(1-a)f}{1-(1-a)(1-f)}.$$

En déduire son facteur d'absorption $a_{\text{eff}}=1-r_{\text{eff}}$ sous une forme simple. Examiner les cas limites $f\to 0$, $a\to 1$ et $f\to 1$.

2) La pièce vue de la rue. Une pièce de $4\mathrm{m}\times 5\mathrm{m}\times 2,5\mathrm{m}$ a une fenêtre ouverte de $1,2\mathrm{m}\times 1,5\mathrm{m}$. Calculer $f$, puis la fraction de la lumière du jour entrée par la fenêtre qui en ressort, pour des murs et un mobilier de facteur d'absorption $a=0,5$, puis pour des murs blancs, $a=0,2$. La façade claire autour de la fenêtre renvoie $60\%$ de la lumière qu'elle reçoit : conclure. Pourquoi la pupille de l'œil paraît-elle noire ?

3) Le corps noir de laboratoire. Un cylindre de cuivre oxydé intérieurement ($a=0,80$) a un diamètre intérieur de $50\mathrm{mm}$ et une profondeur de $200\mathrm{mm}$ ; il est fermé par un couvercle percé d'un orifice de $10\mathrm{mm}$ de diamètre. Calculer $f$ et $a_{\text{eff}}$. Reprendre avec une paroi moins absorbante, $a=0,5$. Qu'est-ce qui fait l'absorbant parfait : le revêtement ou la géométrie ?

4) Le cylindre est porté uniformément à $1000{}^{\circ }\mathrm{C}$. On admet la loi de Kirchhoff : une surface à l'équilibre thermique émet, rapportée au corps noir de même température, dans la proportion où elle absorbe ; l'orifice émet donc $a_{\text{eff}}\sigma T^4$. Calculer la longueur d'onde du maximum d'émission ; dans quel domaine est-elle ? L'orifice paraît pourtant rouge sombre : pourquoi ? Calculer l'exitance du corps noir à cette température et la puissance rayonnée par l'orifice.

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. On suit le flux réflexion après réflexion : à chaque passage sur les parois, il perd la fraction $a$ ; de ce qui est réfléchi, la fraction $f$ s'échappe. On obtient une série géométrique.

1) Le facteur de réflexion de l'ouverture. Au premier impact, la paroi absorbe $a{\Phi }_0$ et réfléchit $(1-a){\Phi }_0$ ; de ce flux réfléchi, la fraction $f$ sort : $(1-a)f{\Phi }_0$. La fraction $1-f$, soit $(1-a)(1-f){\Phi }_0$, retombe sur les parois et subit le même sort : après le deuxième impact, il sort $(1-a)f{\Phi }_0\times (1-a)(1-f)$, et ainsi de suite. Avec $q=(1-a)(1-f)<1$, le flux total qui ressort est

$$(1-a)f{\Phi }_0\left(1+q+q^2+\cdots \right)=\frac{(1-a)f{\Phi }_0}{1-q},$$

d'où $r_{\text{eff}}=\frac{(1-a)f}{1-(1-a)(1-f)}$. Le facteur d'absorption se simplifie, car $1-(1-a)(1-f)-(1-a)f=1-(1-a)=a$ :

$$a_{\text{eff}}=1-r_{\text{eff}}=\frac{a}{1-(1-a)(1-f)}=\frac{a}{a+(1-a)f}.$$

Cas limites. $f\to 0$ : $a_{\text{eff}}\to 1$ quel que soit $a$ : une petite ouverture dans une grande cavité est un absorbant parfait, c'est la réalisation du corps noir du cours. $a\to 1$ : des parois noires suffisent. $f\to 1$ : $a_{\text{eff}}\to a$, on retrouve la paroi seule. Toujours $a⩽a_{\text{eff}}⩽1$. Hypothèses : la répartition « au prorata des aires » est exacte pour une cavité sphérique à parois parfaitement diffusantes, approchée ailleurs ; le premier impact a lieu sur une paroi (le faisceau ne ressort pas directement).

2) La fenêtre. Surface intérieure : $S=2(4\times 5+4\times 2,5+5\times 2,5)=85{\mathrm{m}}^2$ ; fenêtre $s=1,8{\mathrm{m}}^2$, d'où $f=0,0212$.

• $a=0,5$ : $r_{\text{eff}}=\frac{0,5\times 0,0212}{1-0,5\times 0,9788}=0,0207$, soit $2,1\%$ ;
• $a=0,2$ : $r_{\text{eff}}=\frac{0,8\times 0,0212}{1-0,8\times 0,9788}=0,0781$, soit $7,8\%$.

La façade renvoie $60\%$ : la fenêtre est 8 à 29 fois plus sombre qu'elle, même quand la pièce est peinte en blanc. La lumière entrée rebondit de nombreuses fois avant de retrouver la sortie, et perd à chaque rebond une partie de son énergie. La pupille est l'ouverture d'une cavité, le globe oculaire, aux parois très absorbantes : elle est noire pour la même raison.

3) Le corps noir de laboratoire. Surface intérieure, couvercle compris : $S=\pi \times 0,050\times 0,200+2\times \pi \times 0,025^2=3,53\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ ; orifice $s=\pi \times 0,005^2=7,85\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$ ; $f=2,22\times 10^{-3}$.

• $a=0,80$ : $a_{\text{eff}}=\frac{0,80}{0,80+0,20\times 2,22\times 10^{-3}}=0,99944$ ;
• $a=0,5$ : $a_{\text{eff}}=\frac{0,5}{0,5+0,5\times 2,22\times 10^{-3}}=0,9978$.

Quand la paroi passe de $0,80$ à $0,5$, l'orifice passe de $0,9994$ à $0,998$ : c'est la géométrie, un petit $f$, qui fait l'absorbant parfait ; le revêtement ne fait que gagner une décimale. La figure trace $a_{\text{eff}}$ en fonction de $f$.

4) Le four à $1000{}^{\circ }\mathrm{C}$. $T=1273\mathrm{K}$. Wien : ${\lambda }_{\max }=\frac{2900\mu \mathrm{m}\mathrm{K}}{1273\mathrm{K}}=2,28\mu \mathrm{m}$, dans l'infrarouge proche. L'œil ne voit que la queue du spectre aux courtes longueurs d'onde : la fraction émise au-dessous de $0,8\mu \mathrm{m}$ (soit $\lambda T\approx 1000\mu \mathrm{m}\mathrm{K}$) est de l'ordre de $3\times 10^{-4}$, et elle se concentre dans le rouge, d'où la couleur « rouge sombre » des métaux à cette température. Exitance du corps noir : $M^{\circ }=\sigma T^4=5,67\times 10^{-8}\times 1273^4=1,49\times 10^5\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$. Par la loi de Kirchhoff, l'orifice émet $a_{\text{eff}}{M}^{\circ }s=0,9994\times 1,49\times 10^5\times 7,85\times 10^{-5}=11,7\mathrm{W}$, à $0,06\%$ près ce qu'émettrait un corps noir idéal de même aire. C'est l'étalon sur lequel on règle les pyromètres et les caméras thermiques étudiés plus loin.

Ce que l'exercice installe. Un corps noir se fabrique : une petite ouverture dans une cavité isotherme absorbe la fraction $a_{\text{eff}}=\frac{a}{a+(1-a)f}$, voisine de 1 dès que $f\ll a$, quel que soit le revêtement. Une série géométrique suffit à sommer les réflexions. La loi de Kirchhoff transforme un absorbant parfait en émetteur parfait ; Wien et Stefan donnent alors la couleur et la puissance.