Statique des fluides dans un référentiel galiléen

Cours · thermodynamique et statique des fluides (PCSI), chapitre 8 · CPGE PCSI (1re année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La pression dans un liquide au repos augmente avec la profondeur.

Jusqu'ici, un fluide était décrit globalement par ses variables d'état. On s'intéresse maintenant à la façon dont la pression varie d'un point à l'autre d'un fluide au repos : pourquoi la pression augmente avec la profondeur dans l'océan, décroît avec l'altitude dans l'atmosphère, et pourquoi un corps immergé subit une poussée. On établit l'équation locale de la statique des fluides, puis on l'applique aux liquides (incompressibles), à l'atmosphère (gaz parfait) et à la poussée d'Archimède. Tout se place dans un référentiel galiléen.

8.1 Forces dans un fluide au repos

Définition 8.1Forces volumiques et surfaciques

Un élément de fluide subit deux types de forces :

les forces volumiques, réparties dans le volume, comme la pesanteur : sur un volume $d τ$ de masse volumique $ρ$ , $d F_{v} = ρ g d τ$ . On définit la densité volumique de force $f_{v} = ρ g$ ;
les forces surfaciques (ou de contact), exercées à travers une surface, comme les forces de pression.

Définition 8.2Pression

En un point $M$ d'un fluide, la pression $P (M)$ (en $Pa$ ) est telle que la force pressante exercée par le fluide sur un élément de surface $d S$ de normale unitaire sortante $n$ vaut

$d F = - P d S n .$

La pression est une grandeur scalaire, toujours positive ; la force pressante est normale à la surface et dirigée du fluide vers la surface (compression).

8.2 L'équation locale de la statique des fluides

Méthode : Équivalent volumique des forces de pression

Considérons un petit pavé de fluide de côtés $d x, d y, d z$ . Sur les deux faces perpendiculaires à $O x$ , la résultante des forces de pression selon $u_{x}$ vaut

$P (x) d y d z - P (x + d x) d y d z = - \frac{\partial P}{\partial x} d x d y d z .$

En procédant de même sur les trois directions, la résultante des forces de pression sur le volume $d τ = d x d y d z$ s'écrit $- \nabla P d τ$ . La densité volumique des forces de pression est donc

$f_{p} = - \nabla P$

◆Théorème 8.3Équation locale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos dans un référentiel galiléen, soumis à la pesanteur, la somme des forces volumiques est nulle en tout point :

$- \nabla P + ρ g = 0 ⟺ \nabla P = ρ g$

En projetant sur un axe $O z$ ascendant ( $g = - g u_{z}$ ) :

$\frac{d P}{d z} = - ρ g$

Important

Deux conséquences immédiates dans un fluide au repos :

la pression ne dépend que de l'altitude $z$ (les surfaces isobares sont horizontales) ;
la pression décroît quand l'altitude augmente ( $d P / d z < 0$ ).

8.3 Fluide incompressible : loi de l'hydrostatique

Proposition 8.4Champ de pression dans un liquide

Un liquide est incompressible : $ρ = cte$ . L'intégration de $d P / d z = - ρ g$ donne, entre deux points d'altitudes $z_{1}$ et $z_{2}$ ,

$P (z_{2}) - P (z_{1}) = - ρ g (z_{2} - z_{1})$

La pression augmente de $ρ g$ par mètre de profondeur. Deux points à la même altitude d'un même fluide au repos sont à la même pression.

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