Statique des fluides dans un référentiel galiléen

Cours complet · thermodynamique et statique des fluides (PCSI), chapitre 8 · CPGE PCSI (1re année)

Jusqu'ici, un fluide était décrit globalement par ses variables d'état. On s'intéresse maintenant à la façon dont la pression varie d'un point à l'autre d'un fluide au repos : pourquoi la pression augmente avec la profondeur dans l'océan, décroît avec l'altitude dans l'atmosphère, et pourquoi un corps immergé subit une poussée. On établit l'équation locale de la statique des fluides, puis on l'applique aux liquides (incompressibles), à l'atmosphère (gaz parfait) et à la poussée d'Archimède. Tout se place dans un référentiel galiléen.

8.1 Forces dans un fluide au repos

Définition 8.1Forces volumiques et surfaciques

Un élément de fluide subit deux types de forces :

les forces volumiques, réparties dans le volume, comme la pesanteur : sur un volume $d τ$ de masse volumique $ρ$ , $d F_{v} = ρ g d τ$ . On définit la densité volumique de force $f_{v} = ρ g$ ;
les forces surfaciques (ou de contact), exercées à travers une surface, comme les forces de pression.

Définition 8.2Pression

En un point $M$ d'un fluide, la pression $P (M)$ (en $Pa$ ) est telle que la force pressante exercée par le fluide sur un élément de surface $d S$ de normale unitaire sortante $n$ vaut

$d F = - P d S n .$

La pression est une grandeur scalaire, toujours positive ; la force pressante est normale à la surface et dirigée du fluide vers la surface (compression).

8.2 L'équation locale de la statique des fluides

Méthode : Équivalent volumique des forces de pression

Considérons un petit pavé de fluide de côtés $d x, d y, d z$ . Sur les deux faces perpendiculaires à $O x$ , la résultante des forces de pression selon $u_{x}$ vaut

$P (x) d y d z - P (x + d x) d y d z = - \frac{\partial P}{\partial x} d x d y d z .$

En procédant de même sur les trois directions, la résultante des forces de pression sur le volume $d τ = d x d y d z$ s'écrit $- \nabla P d τ$ . La densité volumique des forces de pression est donc

$f_{p} = - \nabla P$

◆Théorème 8.3Équation locale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos dans un référentiel galiléen, soumis à la pesanteur, la somme des forces volumiques est nulle en tout point :

$- \nabla P + ρ g = 0 ⟺ \nabla P = ρ g$

En projetant sur un axe $O z$ ascendant ( $g = - g u_{z}$ ) :

$\frac{d P}{d z} = - ρ g$

Important

Deux conséquences immédiates dans un fluide au repos :

la pression ne dépend que de l'altitude $z$ (les surfaces isobares sont horizontales) ;
la pression décroît quand l'altitude augmente ( $d P / d z < 0$ ).

8.3 Fluide incompressible : loi de l'hydrostatique

Proposition 8.4Champ de pression dans un liquide

Un liquide est incompressible : $ρ = cte$ . L'intégration de $d P / d z = - ρ g$ donne, entre deux points d'altitudes $z_{1}$ et $z_{2}$ ,

$P (z_{2}) - P (z_{1}) = - ρ g (z_{2} - z_{1})$

La pression augmente de $ρ g$ par mètre de profondeur. Deux points à la même altitude d'un même fluide au repos sont à la même pression.

iRemarqueThéorème de Pascal

Dans un liquide incompressible au repos, toute variation de pression appliquée en un point se transmet intégralement à tout le fluide : c'est le principe de la presse hydraulique et du vérin.

8.4 Atmosphère isotherme : facteur de Boltzmann

Méthode : Modèle de l'atmosphère isotherme

L'air est ici un gaz parfait de masse molaire $M$ , à température $T$ uniforme. Sa masse volumique vaut $ρ = \frac{P M}{R T}$ . En reportant dans $d P / d z = - ρ g$ :

$\frac{d P}{d z} = - \frac{M g}{R T} P ⟹ P (z) = P_{0} e^{- M g z / R T}$

La pression décroît exponentiellement avec l'altitude, sur une hauteur caractéristique

$H = \frac{R T}{M g} \approx 8 km (air, T = 288 K) .$

ImportantFacteur de Boltzmann

À l'échelle microscopique, la densité de molécules suit

$n (z) = n_{0} e^{- m g z / k_{B} T} = n_{0} e^{- E_{p} / k_{B} T},$

où $E_{p} = m g z$ est l'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule. Le terme $e^{- E_{p} / k_{B} T}$ est le facteur de Boltzmann : à l'équilibre thermique, les états de haute énergie sont d'autant moins peuplés que la température est basse. On le retrouvera dans toute la physique statistique.

Attention

L'atmosphère réelle n'est pas isotherme (la température chute d'environ $6.5 K / km$ dans la troposphère) : le modèle isotherme n'est qu'une première approximation, correcte sur quelques kilomètres.

Capacité numérique : Profil de pression atmosphérique par intégration numérique

On intègre $d P / d z = - \frac{M g}{R T} P$ par la méthode d'Euler et on compare à la solution exponentielle.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

M, g, R, T = 29e-3, 9.81, 8.314, 288.0   # air (kg/mol), SI
P0 = 1.0e5
H = R * T / (M * g)                       # hauteur caracteristique ( 8 km)

z = np.linspace(0, 30000, 300)            # 0 a 30 km
dz = z[1] - z[0]
P = np.empty_like(z); P[0] = P0
for i in range(len(z) - 1):
    P[i+1] = P[i] - (M * g / (R * T)) * P[i] * dz     # Euler explicite

plt.plot(z / 1000, P / P0, label="Euler")
plt.plot(z / 1000, np.exp(-z / H), "--", label="P0 exp(-z/H)")
plt.xlabel("z (km)"); plt.ylabel("P / P0"); plt.legend(); plt.show()
print("H =", round(H), "m  ;  P(8 km)/P0 =", round(np.exp(-8000 / H), 3))

Les deux courbes coïncident (pour $d z$ assez petit) : à $z = H \approx 8 km$ , la pression est tombée à $P_{0} / e \approx 0, 37 P_{0}$ .

8.5 La poussée d'Archimède

◆Théorème 8.5Théorème d'Archimède

Un corps de volume $V$ immergé dans un fluide au repos de masse volumique $ρ_{f}$ subit, de la part du fluide, une résultante des forces de pression, la poussée d'Archimède, opposée au poids du fluide déplacé :

$Π = - ρ_{f} V g$

Elle est verticale, dirigée vers le haut, de norme $ρ_{f} V g$ , et s'applique au centre de poussée (centre de masse du fluide déplacé).

Démonstration

Par la pensée, remplaçons le corps par du fluide identique à celui qui l'entoure. Ce « fluide fictif » est en équilibre : les forces de pression qu'exerce le reste du fluide sur sa surface (inchangées, car elles ne dépendent que de la forme de la surface et du champ de pression) équilibrent exactement son poids $ρ_{f} V g$ . La résultante des forces de pression vaut donc $- ρ_{f} V g$ , quel que soit le corps réellement présent : c'est la poussée d'Archimède.

Proposition 8.6Flottaison

Un corps de masse volumique moyenne $ρ$ et de volume $V$ flotte à la surface d'un liquide de masse volumique $ρ_{f} > ρ$ . À l'équilibre, poids et poussée se compensent, $ρ V g = ρ_{f} V_{imm} g$ , d'où la fraction immergée

$\frac{V _{imm}}{V} = \frac{ρ}{ρ _{f}} .$

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>8.6 Exercices résolus

Exercice 1 : Pression en plongée (

⋆

)

De combien augmente la pression quand un plongeur descend de $10 m$ dans l'eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ ) ?

Démonstration

$Δ P = ρ g h = 1000 \times 9, 81 \times 10 \approx 9.8 \times 1 0^{4} Pa \approx 1 bar$ . Tous les $10 m$ , la pression augmente d'environ $1$ bar : à $10 m$ le plongeur subit $\approx 2$ bar (atmosphère + eau).

Exercice 2 : Baromètre de Torricelli (

⋆ ⋆

)

Un tube renversé rempli de mercure ( $ρ = 13600 kg / m^{3}$ ) laisse une colonne de hauteur $h$ au-dessus de la cuve, le vide régnant au sommet. Relier $h$ à la pression atmosphérique et calculer $h$ pour $P_{0} = 1.013 \times 1 0^{5} Pa$ .

Démonstration

Au niveau de la cuve, la pression vaut $P_{0}$ d'un côté et $ρ g h$ (colonne de mercure, vide au-dessus) de l'autre : $P_{0} = ρ g h$ , soit $h = \frac{P _{0}}{ρ g} = \frac{1 , 013 \times 1 0 ^{5}}{13600 \times 9 , 81} \approx 0.76 m = 760 mm$ de mercure.

Exercice 3 : Tube en U (

⋆ ⋆

)

Un tube en U contient de l'eau ; on verse dans une branche une hauteur $h_{h} = 10 cm$ d'huile ( $ρ_{h} = 900 kg / m^{3}$ ). Quelle dénivellation $Δ z$ observe-t-on entre les deux surfaces d'eau ?

Démonstration

À l'interface la plus basse, l'égalité des pressions donne $ρ_{h} g h_{h} = ρ_{e} g h_{e}$ avec $h_{e}$ la hauteur d'eau équivalente : $h_{e} = \frac{ρ _{h}}{ρ _{e}} h_{h} = 0, 9 \times 10 = 9 cm$ . La dénivellation entre les deux surfaces libres est $Δ z = h_{h} - h_{e} = 1 cm$ (l'eau monte moins que l'huile versée).

Exercice 4 : Force sur un barrage (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un barrage retient de l'eau sur une hauteur $H = 40 m$ , largeur $L = 100 m$ . Calculer la force de pression exercée par l'eau (au-delà de l'atmosphère).

Démonstration

À la profondeur $z$ sous la surface, la surpression est $ρ g z$ . La force sur une bande horizontale $L d z$ vaut $ρ g z L d z$ ; en intégrant de $0$ à $H$ :

$F = \int_{0}^{H} ρ g z L d z = \frac{1}{2} ρ g L H^{2} = \frac{1}{2} \times 1000 \times 9, 81 \times 100 \times 4 0^{2} \approx 7.8 \times 1 0^{9} N .$

La résultante s'applique au tiers de la hauteur à partir du fond ( $z = 2 H /3$ sous la surface).

Exercice 5 : Pression à

8 km

(

⋆ ⋆

)

Avec le modèle isotherme ( $T = 288 K$ , $M = 29 g / mol$ ), estimer la pression au sommet de l'Everest ( $8.8 km$ ).

Démonstration

$H = \frac{R T}{M g} = \frac{8 , 314 \times 288}{0 , 029 \times 9 , 81} \approx 8.4 \times 1 0^{3} m$ . Donc $P = P_{0} e^{- 8800/8400} \approx P_{0} e^{- 1, 05} \approx 0, 35 P_{0} \approx 0.35 bar$ . L'air y est trois fois moins dense qu'au sol : d'où l'usage de l'oxygène.

Exercice 6 : Facteur de Boltzmann (

⋆ ⋆

)

À quelle altitude la densité de molécules d'air est-elle divisée par $2$ (modèle isotherme, $H = 8.4 km$ ) ?

Démonstration

$n (z) / n_{0} = e^{- z / H} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = H ln 2 \approx 8400 \times 0, 693 \approx 5.8 \times 1 0^{3} m$ : la moitié de la masse de l'atmosphère est sous $\approx 5.8 km$ .

Exercice 7 : Iceberg (

⋆ ⋆

)

Quelle fraction d'un iceberg ( $ρ_{g} = 917 kg / m^{3}$ ) émerge de l'eau de mer ( $ρ_{m} = 1025 kg / m^{3}$ ) ?

Démonstration

La fraction immergée est $\frac{V _{imm}}{V} = \frac{ρ _{g}}{ρ _{m}} = \frac{917}{1025} \approx 0, 89$ . Donc $\approx 11 %$ seulement émerge : « la partie visible de l'iceberg ».

Exercice 8 : Force ascensionnelle d'un ballon (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un ballon-sonde de volume $V = 10 m^{3}$ est gonflé d'hélium ( $ρ_{He} = 0.18 kg / m^{3}$ ) dans l'air ( $ρ_{air} = 1.2 kg / m^{3}$ ). Enveloppe et nacelle pèsent $m = 2.0 kg$ . Décolle-t-il ?

Démonstration

Poussée : $Π = ρ_{air} V g = 1, 2 \times 10 \times 9, 81 \approx 118 N$ . Poids total : $(m + ρ_{He} V) g = (2, 0 + 1, 8) \times 9, 81 \approx 37 N$ . Comme $Π > P_{tot}$ , la force ascensionnelle nette $\approx 81 N$ est positive : le ballon décolle.

8.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Forces : volumiques ( $f_{v} = ρ g$ ) et surfaciques (pression, $d F = - P d S n$ ).
Équation locale : $\nabla P = ρ g$ , soit $\frac{d P}{d z} = - ρ g$ ( $O z$ ascendant) ; isobares horizontales, $P$ décroît avec $z$ .
Liquide (incompressible) : $P (z_{2}) - P (z_{1}) = - ρ g (z_{2} - z_{1})$ (loi de l'hydrostatique, Pascal).
Atmosphère isotherme (GP) : $P (z) = P_{0} e^{- M g z / R T}$ , hauteur $H = R T / M g \approx 8 km$ ; facteur de Boltzmann $e^{- E_{p} / k_{B} T}$ .
Archimède : $Π = - ρ_{f} V g$ (opposée au poids du fluide déplacé) ; flottaison $V_{imm} / V = ρ / ρ_{f}$ .

8.8 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Pression au fond d'une piscine de $3 m$ .
( $⋆$ ) Convertir $760 mm$ de mercure en pascals et en bars.
( $⋆ ⋆$ ) Un tube en U contient eau et huile ; retrouver la dénivellation pour $20 cm$ d'huile ( $ρ_{h} = 800 kg / m^{3}$ ).
( $⋆ ⋆$ ) Établir $d P / d z = - ρ g$ par un bilan de forces sur une tranche de fluide.
( $⋆ ⋆$ ) Force de pression sur une écoutille circulaire de rayon $0.3 m$ à $50 m$ de profondeur.
( $⋆ ⋆$ ) Pression à $3 km$ d'altitude (modèle isotherme).
( $⋆ ⋆$ ) Montrer que la hauteur $H ln 2$ contient la moitié de la masse atmosphérique.
( $⋆ ⋆$ ) Fraction immergée d'un cube de glace dans l'eau douce ( $ρ_{g} = 917$ , $ρ_{e} = 1000 kg / m^{3}$ ).
( $⋆ ⋆$ ) Un ludion : expliquer qualitativement pourquoi il coule quand on presse la bouteille (lien pression / volume de gaz / poussée).
( $⋆ ⋆$ ) Poussée sur un plongeur de volume $70 L$ ; comparer à son poids ( $m = 75 kg$ ).
( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi la surpression $ρ g h$ ne dépend-elle pas de la forme du récipient (« paradoxe hydrostatique ») ?
( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir la relation $H = R T / M g$ et la calculer pour du CO $_{2}$ ( $M = 44 g / mol$ ) : commenter par rapport à l'air.

8.9 Problèmes contextualisés

Exemple 8.15Le barrage hydroélectrique (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un barrage-poids retient un lac de hauteur $H = 100 m$ et de largeur $L = 200 m$ .

Exprimer et calculer la force de pression totale de l'eau sur le barrage.
À quelle hauteur s'applique la résultante ? Pourquoi les barrages sont-ils plus épais à la base ?
La pression dépend-elle du volume d'eau retenu en amont (lac large ou étroit) ?

Démonstration

1. $F = \frac{1}{2} ρ g L H^{2} = \frac{1}{2} \times 1000 \times 9, 81 \times 200 \times 10 0^{2} \approx 9.8 \times 1 0^{10} N$ (près de $1 0^{10}$ décanewtons !).

2. La surpression croît linéairement avec la profondeur : la résultante s'applique au tiers de la hauteur depuis le fond ( $z = 2 H /3$ sous la surface). La poussée étant maximale en bas, la base doit être plus épaisse pour résister au moment de renversement.

3. Non : la pression ne dépend que de la profondeur, pas du volume en amont (paradoxe hydrostatique). Un lac étroit exerce la même pression qu'un lac immense à hauteur d'eau égale.

Exemple 8.16La montgolfière (

⋆ ⋆

)

Une montgolfière de volume $V = 2000 m^{3}$ contient de l'air chauffé. L'air extérieur est à $ρ_{0} = 1.20 kg / m^{3}$ ; l'enveloppe et la nacelle (hors air chaud) pèsent $M = 400 kg$ .

Exprimer la force ascensionnelle nette en fonction de $ρ_{0}$ , de la masse volumique $ρ_{c}$ de l'air chaud et de $V$ .
Quelle masse volumique maximale $ρ_{c}$ permet le décollage ?
À quelle température faut-il chauffer l'air (GP, $P$ et $M$ constants) ?

Démonstration

1. $F_{net} = pouss e ˊ e ρ_{0} V g - poids (M + ρ_{c} V) g = [(ρ_{0} - ρ_{c}) V - M] g$ .

2. Décollage si $F_{net} \geq 0$ : $(ρ_{0} - ρ_{c}) V \geq M$ , soit $ρ_{c} \leq ρ_{0} - \frac{M}{V} = 1, 20 - \frac{400}{2000} = 1.0 kg / m^{3}$ .

3. À pression constante, $ρT = cte$ (GP) : $T_{c} = T_{0} \frac{ρ _{0}}{ρ _{c}} = 288 \times \frac{1 , 20}{1 , 0} \approx 346 K \approx 73° C$ . Il faut chauffer l'air d'environ $60° C$ au-dessus de l'ambiante.

Exemple 8.17La plongée sous-marine (

⋆ ⋆

)

Un plongeur descend dans l'eau de mer ( $ρ = 1025 kg / m^{3}$ ).

Donner la pression absolue à $30 m$ de profondeur.
Le volume d'air des poumons ( $\approx 6 L$ en surface) évolue comment à cette profondeur (loi de Boyle-Mariotte, $T$ constante) ?
Pourquoi ne faut-il jamais remonter en bloquant sa respiration ?

Démonstration

1. $P = P_{0} + ρ g h = 1, 013 \times 1 0^{5} + 1025 \times 9, 81 \times 30 \approx 4, 0 \times 1 0^{5} Pa \approx 4 bar$ .

2. À $T$ constante, $P V = cte$ : $V = V_{0} \frac{P _{0}}{P} = 6 \times \frac{1}{4} = 1.5 L$ (comprimé $4$ fois).

3. En remontant, $P$ diminue, donc l'air se dilate : poumons bloqués, le volume quadruplerait, provoquant une surpression pulmonaire (barotraumatisme). Il faut expirer en remontant.

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