Systèmes ouverts en régime stationnaire

Cours complet · thermodynamique (MP), chapitre 1 · CPGE MP (2e année)

En première année, la thermodynamique a été construite pour des systèmes fermés : une quantité de matière fixée échange du travail et de la chaleur avec l'extérieur, et l'on écrit les deux principes sous la forme $Δ U = W + Q$ et $Δ S = S_{e ˊ ch} + S_{cr e ˊ e ˊ e}$ . Or la plupart des machines industrielles (turbines, compresseurs, tuyères de fusée, détendeurs, échangeurs, réacteurs) fonctionnent en écoulement continu : un fluide entre en permanence par une section, le traverse et ressort par une autre. Le système pertinent n'est plus une masse de fluide identifiée, mais une région fixe de l'espace, le volume de contrôle, à travers laquelle la matière transite.

Ce chapitre prolonge le chapitre « Machines thermiques » de PCSI en adaptant les deux principes à ces systèmes ouverts en régime stationnaire, dans le cas d'un écoulement unidimensionnel à une entrée et une sortie. On établira les deux relations centrales du programme,

$Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q et Δ s = s_{e} + s_{c},$

formulées en grandeurs massiques, puis on les exploitera sur diagrammes $(T, s)$ et $(P, h)$ pour analyser tuyère, turbine, compresseur, laminage et échangeur.

iRemarqueNotations

d

δ

On note $d$ la différentielle d'une fonction d'état ( $d U$ , $d S$ …) et $δ$ une quantité échangée qui dépend du chemin suivi ( $δ W$ , $δ Q$ ) : le premier principe infinitésimal s'écrit $d (U + E) = δ W + δ Q$ et le second $d S = δ S_{e} + δ S_{c}$ .

1.1 Volume de contrôle et débit massique

Définition 1.1Système ouvert et volume de contrôle

Un système ouvert est un système délimité par une surface géométrique fixe, la surface de contrôle $Σ$ , enfermant un volume de contrôle $V$ , et à travers laquelle de la matière peut entrer et sortir. On raisonne ici sur une conduite munie d'une section d'entrée $S_{e}$ et d'une section de sortie $S_{s}$ , l'écoulement y étant supposé unidimensionnel (grandeurs uniformes sur chaque section).

Figure : Volume de contrôle

V

d'un système ouvert à une entrée et une sortie. Le fluide y reçoit le transfert thermique massique

q

et le travail utile massique

w_{u}

(parties mobiles).

Définition 1.2Débit massique

Le débit massique $D_{m}$ à travers une section $S$ est la masse de fluide traversant $S$ par unité de temps :

$D_{m} = ρ c S (kg / s),$

où $ρ$ est la masse volumique, $c$ la vitesse du fluide (normale à $S$ ) et $S$ l'aire de la section. Avec le volume massique $v = 1/ ρ$ , on écrit aussi $D_{m} = c S / v$ .

Définition 1.3Régime stationnaire

Le régime stationnaire (ou permanent) est le régime dans lequel toutes les grandeurs locales à l'intérieur de $V$ sont indépendantes du temps : la masse, l'énergie et l'entropie contenues dans $V$ ne varient pas, bien que de la matière et de l'énergie transitent en permanence.

1.2 Bilan de masse

◆Théorème 1.4Conservation du débit

En régime stationnaire, la masse contenue dans $V$ est constante : le débit massique entrant égale le débit massique sortant. Pour un écoulement à une entrée et une sortie,

$D_{m, e} = D_{m, s} \equiv D_{m} soit \frac{c _{e} S _{e}}{v _{e}} = \frac{c _{s} S _{s}}{v _{s}} .$

Démonstration (Démonstration)

Soit $m (t)$ la masse instantanée contenue dans $V$ . Entre $t$ et $t + d t$ , il entre $δ m_{e} = D_{m, e} d t$ et il sort $δ m_{s} = D_{m, s} d t$ . Le bilan de masse s'écrit $d m = δ m_{e} - δ m_{s} = (D_{m, e} - D_{m, s}) d t$ . En régime stationnaire $d m / d t = 0$ , d'où l'égalité des débits.

iRemarque

La relation $c S / v = cste$ est la loi de conservation du débit. Dans une conduite de section décroissante ( $S ↓$ ) et à volume massique quasi constant (liquide), la vitesse augmente ( $c ↑$ ) : c'est le principe de l'ajutage. Pour un gaz, $v$ varie fortement et le raisonnement doit inclure la thermodynamique de la détente.

1.3 Premier principe industriel

Le cœur du chapitre est l'adaptation du premier principe à l'écoulement ouvert. La difficulté par rapport au système fermé est que le fluide qui entre pousse le fluide déjà présent, et est lui-même poussé par le fluide en amont : ce travail des forces de pression aux frontières mobiles fait naturellement apparaître l'enthalpie.

1.3.1 Travail de transvasement et apparition de l'enthalpie

Méthode : Système fermé équivalent

Pour appliquer le premier principe des systèmes fermés (connu de PCSI), on suit une masse $δ m$ de fluide, de son entrée à sa sortie, en la considérant comme un système fermé qui se déplace. À l'entrée, la pression amont $P_{e}$ pousse cette masse sur un volume $δ V_{e} = v_{e} δ m$ , fournissant le travail $+ P_{e} v_{e} δ m$ . À la sortie, le fluide en aval s'oppose sur $δ V_{s} = v_{s} δ m$ , coûtant $- P_{s} v_{s} δ m$ . Ce travail de transvasement $P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}$ (par unité de masse) se combine à l'énergie interne pour reconstituer l'enthalpie massique $h = u + P v$ .

Figure : Système fermé équivalent : la masse

δ m

est poussée à l'entrée par la

pression amont ( $+ P_{e} v_{e} δ m$ ) et repoussée à la sortie par le fluide aval ( $- P_{s} v_{s} δ m$ ). En régime stationnaire, le contenu de $V$ est inchangé entre $t$ et $t + d t$ : tout se passe comme si $δ m$ passait de l'entrée à la sortie.</div>

◆Théorème 1.5Premier principe industriel (par unité de masse)

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la variation entre entrée et sortie des grandeurs massiques enthalpie $h$ , énergie cinétique $e_{c} = \frac{1}{2} c^{2}$ et énergie potentielle de pesanteur $e_{p} = g z$ vérifie

$Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q Δ h = h_{s} - h_{e}, Δ e_{c} = \frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}), Δ e_{p} = g (z_{s} - z_{e}),$

où $w_{u}$ est le travail utile massique (dit travail indiqué ou technique) reçu des parties mobiles, et $q$ le transfert thermique massique reçu de l'extérieur. Toutes ces grandeurs sont en $J / kg$ .

Démonstration (Démonstration)

On isole le système fermé $Σ^{⋆}$ constitué, à l'instant $t$ , du fluide dans $V$ plus la petite masse $δ m$ prête à entrer ; à $t + d t$ , c'est le fluide dans $V$ plus la masse $δ m$ qui vient de sortir. Comme le régime est stationnaire, le contenu de $V$ est inchangé : la variation d'énergie de $Σ^{⋆}$ se réduit à celle de la masse $δ m$ transférée de l'entrée à la sortie,

$d E = [(u_{s} + \frac{1}{2} c_{s}^{2} + g z_{s}) - (u_{e} + \frac{1}{2} c_{e}^{2} + g z_{e})] δ m .$

Le premier principe pour le système fermé $Σ^{⋆}$ s'écrit $d E = δ W + δ Q$ , où $δ W$ regroupe le travail utile $w_{u} δ m$ (parties mobiles) et le travail des forces de pression aux sections d'entrée / sortie $(P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}) δ m$ , et $δ Q = q δ m$ . En divisant par $δ m$ :

$Δ u + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + (P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}) + q .$

On fait passer le travail de transvasement à gauche : $Δ u + (P_{s} v_{s} - P_{e} v_{e}) = Δ (u + P v) = Δ h$ . D'où $Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q$ .

ImportantConventions et simplifications usuelles

Signes : $w_{u} > 0$ et $q > 0$ sont reçus par le fluide (convention thermodynamique).
Négligences fréquentes : sauf pour les tuyères, on néglige souvent $Δ e_{c}$ (vitesses modérées) et presque toujours $Δ e_{p}$ (gaz). La relation se réduit alors à $Δ h = w_{u} + q$ .
Travail utile : $w_{u}$ n'existe que s'il y a une pièce mobile traversée par le fluide (aubes de turbine, piston de compresseur). Une conduite, une vanne, un échangeur passif ont $w_{u} = 0$ .

1.4 Deuxième principe pour un système ouvert

◆Théorème 1.6Bilan d'entropie massique

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la variation d'entropie massique entre entrée et sortie s'écrit

$Δ s = s_{e} + s_{c}, Δ s = s_{sortie} - s_{entr e ˊ e},$

où $s_{e}$ est l'entropie massique échangée avec les sources par transfert thermique, et $s_{c} \geq 0$ l'entropie massique créée par les irréversibilités internes. Pour un transfert $q$ reçu d'un thermostat à la température $T_{f}$ , $s_{e} = q / T_{f}$ ; plus généralement $s_{e} = \int \frac{δ q}{T _{front}}$ .

Attention : ici $s_{e}$ désigne l'entropie massique échangée, à ne pas confondre avec l'indice « entrée » utilisé partout ailleurs ( $h_{e}$ , $P_{e}$ …).

Démonstration (Démonstration)

On reprend le système fermé mobile $δ m$ . Le second principe pour un système fermé donne $d S = δ S_{e ˊ ch} + δ S_{c}$ avec $δ S_{e ˊ ch} = δ Q / T_{front}$ et $δ S_{c} \geq 0$ . En régime stationnaire, l'entropie contenue dans $V$ est constante, donc $d S = (s_{sortie} - s_{entr e ˊ e}) δ m$ ne provient que du transfert de $δ m$ de l'entrée vers la sortie. En divisant par $δ m$ , on obtient $Δ s = s_{e} + s_{c}$ avec $s_{e} = q / T_{front}$ et $s_{c} \geq 0$ .

ImportantÉcoulements idéaux

Réversible : $s_{c} = 0$ , alors $Δ s = s_{e}$ .
Adiabatique : $q = 0$ et $s_{e} = 0$ , alors $Δ s = s_{c} \geq 0$ : l'écoulement est au mieux isentropique.
Adiabatique réversible = isentropique : $Δ s = 0$ . C'est le modèle de référence de la turbine et du compresseur idéaux.
Laminage (détente à travers une vanne) : adiabatique mais fortement irréversible, $s_{c} > 0$ .

1.5 Diagrammes thermodynamiques

L'exploitation pratique des deux principes se fait graphiquement sur deux diagrammes normalisés, où les transformations et les échanges se lisent directement.

Définition 1.7Diagramme entropique

(T, s)

et diagramme des frigoristes

(P, h)

Le diagramme $(T, s)$ porte $T$ en ordonnée et $s$ en abscisse. L'aire sous une transformation réversible y représente le transfert thermique massique $q = \int T d s$ . La courbe de saturation (cloche) sépare liquide, mélange liquide-vapeur et vapeur.
Le diagramme $(P, h)$ (dit « diagramme des frigoristes » ; le diagramme de Mollier proprement dit est le diagramme $(h, s)$ ) porte $ln P$ en ordonnée et $h$ en abscisse. Les segments horizontaux se lisent en variation d'enthalpie $Δ h$ , donc directement en $w_{u}$ ou $q$ . Le laminage y est une verticale ( $Δ h = 0$ ).

Figure : À gauche, diagramme entropique

(T, s)

avec cloche de saturation et cycle moteur. À droite, diagramme

(P, h)

des frigoristes : le laminage isenthalpique y est une verticale.

1.6 Applications aux machines

1.6.1 Tuyère : conversion d'enthalpie en énergie cinétique

Proposition 1.8Tuyère

Une tuyère est une conduite fixe ( $w_{u} = 0$ ), généralement adiabatique ( $q \approx 0$ ) et horizontale ( $Δ e_{p} \approx 0$ ). Le premier principe donne

$Δ h + \frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}) = 0 ⟹ c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s}) .$

La détente ( $h_{e} > h_{s}$ ) accélère le fluide : l'enthalpie est convertie en énergie cinétique. C'est le principe des propulseurs.

1.6.2 Turbine et compresseur

Figure : Turbine (détente motrice,

w_{u} < 0

) et compresseur (compression,

w_{u} > 0

). Adiabatiques et à

Δ e_{c}, Δ e_{p}

négligés, tous deux vérifient

w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e}

Proposition 1.9Turbine et compresseur adiabatiques

Turbine et compresseur sont des machines à parties mobiles, adiabatiques ( $q \approx 0$ ), avec $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ négligeables. Le premier principe donne dans les deux cas

$w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e} .$

La turbine détend le fluide ( $h_{s} < h_{e}$ , donc $w_{u} < 0$ : travail fourni à l'arbre). Le compresseur comprime le fluide ( $h_{s} > h_{e}$ , donc $w_{u} > 0$ : travail reçu). Le modèle idéal est isentropique ( $s_{c} = 0$ ) ; le rendement isentropique compare la machine réelle à ce modèle.

Définition 1.10Rendements isentropiques

(complément hors programme, mais fourni tel quel dans les sujets de concours) En notant $s$ l'état réel de sortie et $s_{i s}$ l'état isentropique (même $P_{s}$ , $Δ s = 0$ ) :

$η_{turbine} = \frac{h _{e} - h _{s}}{h _{e} - h _{s, i s}} \leq 1, η_{compresseur} = \frac{h _{s, i s} - h _{e}}{h _{s} - h _{e}} \leq 1.$

Le travail réel est toujours moins favorable que l'idéal à cause de $s_{c} > 0$ .

1.6.3 Détendeur : laminage isenthalpique

Figure : Détendeur (laminage) : conduite fixe, adiabatique. La détente à travers l'obstacle est isenthalpique mais irréversible (

s_{c} > 0

Proposition 1.11Laminage / détente de Joule--Thomson

Le passage d'un fluide à travers une vanne ou un milieu poreux est adiabatique ( $q \approx 0$ ), sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ), avec $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligeables. Le premier principe impose

$Δ h = 0 (transformation isenthalpique) .$

Le second principe donne $Δ s = s_{c} > 0$ (irréversible). Pour un gaz parfait ( $h$ ne dépend que de $T$ ), $Δ h = 0 \Rightarrow Δ T = 0$ ; pour un gaz réel ou un fluide diphasé, la température varie (effet Joule--Thomson exploité dans les liquéfacteurs et machines frigorifiques).

1.6.4 Échangeur thermique

Proposition 1.12Échangeur

Dans un échangeur, un fluide circule sans partie mobile ( $w_{u} = 0$ ) et reçoit (ou cède) de la chaleur à un autre fluide à travers une paroi. Avec $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligeables :

$q = Δ h = h_{s} - h_{e} .$

Si les deux fluides sont thermiquement isolés de l'extérieur, la puissance thermique cédée par l'un, $D_{m, 1} ∣ Δ h_{1} ∣$ , est reçue par l'autre, $D_{m, 2} ∣ Δ h_{2} ∣$ : $D_{m, 1} Δ h_{1} + D_{m, 2} Δ h_{2} = 0$ .

iRemarquePuissances

En multipliant les grandeurs massiques par le débit $D_{m}$ , on obtient les puissances : puissance mécanique $P_{u} = D_{m} w_{u}$ et puissance thermique $P_{t h} = D_{m} q$ , en watts. C'est sous cette forme qu'on dimensionne les machines.

Figure : Installation motrice à vapeur : chaque organe est un système ouvert en régime

stationnaire ( $Δ h = w_{u} + q$ pour chacun). Sur le cycle complet, l'enthalpie revient à sa valeur initiale, d'où $\sum (w_{u} + q) = 0$ (voir exercice 7).</div>

1.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Cadre. Système ouvert = volume de contrôle fixe, écoulement stationnaire unidimensionnel à une entrée / une sortie. Grandeurs massiques ( $h$ , $s$ , $w_{u}$ , $q$ en $J / kg$ ).

Bilan de masse. $D_{m, e} = D_{m, s} = D_{m} = \frac{c S}{v}$ .

Premier principe industriel.

$Δ h + Δ e_{c} + Δ e_{p} = w_{u} + q, Δ e_{c} = \frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}), Δ e_{p} = g Δ z .$

L'enthalpie apparaît via le travail de transvasement $P v$ . Souvent $Δ h = w_{u} + q$ .

Deuxième principe. $Δ s = s_{e} + s_{c}$ , $s_{e} = \int \frac{δ q}{T _{front}}$ , $s_{c} \geq 0$ (nul si réversible).

Machines (adiabatiques, $Δ e_{c}, Δ e_{p}$ négligés).

Tuyère ( $w_{u} = 0$ ) : $c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s})$ .
Turbine / compresseur : $w_{u} = Δ h$ ; idéal isentropique, rendements $η$ .
Laminage : $Δ h = 0$ (isenthalpique, $s_{c} > 0$ ).
Échangeur ( $w_{u} = 0$ ) : $q = Δ h$ .

Diagrammes. $(T, s)$ : aire $= q$ réversible ; $(P, h)$ : segments horizontaux $= Δ h$ , laminage vertical.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.8 Exercices résolus

Exercice 1 : conservation du débit (

⋆

)

De l'eau liquide ( $v = 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3} / kg$ ) entre dans un tuyau de section $S_{e} = 20 c m^{2}$ à la vitesse $c_{e} = 2.0 m / s$ . La section se réduit à $S_{s} = 5.0 c m^{2}$ . Calculer le débit massique et la vitesse de sortie.

Démonstration

Débit : $D_{m} = c_{e} S_{e} / v = \frac{2 , 0 \times 20 \cdot 1 0 ^{- 4}}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 4.0 kg / s$ . Le liquide étant incompressible, $v$ est constant, donc $c_{s} = c_{e} S_{e} / S_{s} = 2, 0 \times 20/5, 0 = 8.0 m / s$ .

Exercice 2 : tuyère adiabatique (

⋆

)

De l'air entre dans une tuyère adiabatique avec $h_{e} = 300 kJ / kg$ et $c_{e} = 30 m / s$ , et ressort avec $h_{s} = 250 kJ / kg$ . Déterminer la vitesse de sortie.

Démonstration

Tuyère : $w_{u} = 0$ , $q = 0$ , $Δ e_{p} \approx 0$ . Donc $\frac{1}{2} (c_{s}^{2} - c_{e}^{2}) = h_{e} - h_{s}$ , soit

$c_{s} = c_{e}^{2} + 2 (h_{e} - h_{s}) = 3 0^{2} + 2 \times 50 \cdot 1 0^{3} = 900 + 1 0^{5} \approx 318 m / s .$

La détente de $50 kJ / kg$ accélère fortement le fluide (l'énergie cinétique d'entrée est négligeable devant $Δ h$ ).

Exercice 3 : turbine à vapeur (

⋆ ⋆

)

De la vapeur d'eau se détend dans une turbine adiabatique de $h_{e} = 3200 kJ / kg$ à $h_{s} = 2400 kJ / kg$ , avec un débit $D_{m} = 15 kg / s$ . Calculer le travail utile massique et la puissance mécanique fournie.

Démonstration

Turbine adiabatique : $w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e} = 2400 - 3200 = - 800 kJ / kg$ (fluide qui cède du travail). La puissance mécanique fournie à l'arbre est

$∣ P_{u} ∣ = D_{m} ∣ w_{u} ∣ = 15 \times 800 \cdot 1 0^{3} = 1.2 \times 1 0^{7} W = 12 MW .$

Exercice 4 : compresseur et rendement isentropique (

⋆ ⋆

)

Un compresseur adiabatique aspire un gaz à $h_{e} = 290 kJ / kg$ . La compression isentropique idéale conduirait à $h_{s, i s} = 450 kJ / kg$ . Le rendement isentropique vaut $η = 0, 80$ . Déterminer le travail utile réel.

Démonstration

Travail idéal : $w_{u, i s} = h_{s, i s} - h_{e} = 450 - 290 = 160 kJ / kg$ . Le rendement du compresseur étant $η = w_{u, i s} / w_{u}$ , le travail réel est plus grand :

$w_{u} = \frac{w _{u, i s}}{η} = \frac{160}{0 , 80} = 200 kJ / kg .$

L'irréversibilité ( $s_{c} > 0$ ) coûte $40 kJ / kg$ supplémentaires.

Exercice 5 : laminage d'un gaz parfait (

⋆

)

Du diazote, gaz parfait, traverse une vanne de détente, de $P_{e} = 10 bar$ à $P_{s} = 2 bar$ , de manière adiabatique. Que vaut $Δ T$ ? Estimer l'entropie créée massique sachant $c_{p} = 1040 J / kg / K$ et $r = 297 J / kg / K$ .

Démonstration

Laminage : $Δ h = 0$ . Pour un gaz parfait $d h = c_{p} d T$ , donc $Δ T = 0$ : la température de sortie égale celle d'entrée ( $T_{s} = T_{e}$ ) — sans que la transformation soit une isotherme quasi-statique. L'entropie créée se calcule par $Δ s = c_{p} ln \frac{T _{s}}{T _{e}} - r ln \frac{P _{s}}{P _{e}}$ avec $T_{s} = T_{e}$ :

$s_{c} = Δ s = - r ln \frac{P _{s}}{P _{e}} = - 297 ln \frac{2}{10} = 297 ln 5 \approx 478 J / kg / K > 0.$

Le laminage est bien irréversible.

Exercice 6 : échangeur à contre-courant (

⋆ ⋆

)

Dans un échangeur, un débit $D_{m, 1} = 2.0 kg / s$ d'eau chaude passe de $h_{1}^{e} = 420 kJ / kg$ à $h_{1}^{s} = 250 kJ / kg$ . Elle réchauffe un débit $D_{m, 2} = 3.0 kg / s$ d'eau froide entrant à $h_{2}^{e} = 80 kJ / kg$ . L'ensemble est calorifugé. Déterminer $h_{2}^{s}$ .

Démonstration

Chaque fluide vérifie $q = Δ h$ ( $w_{u} = 0$ ). Le calorifugeage global impose que la puissance cédée par le fluide 1 soit reçue par le fluide 2 :

$D_{m, 1} (h_{1}^{e} - h_{1}^{s}) = D_{m, 2} (h_{2}^{s} - h_{2}^{e}) .$

Numériquement $2, 0 \times (420 - 250) = 340 kW = 3, 0 \times (h_{2}^{s} - 80)$ , d'où $h_{2}^{s} - 80 = 340/3 \approx 113$ et $h_{2}^{s} \approx 193 kJ / kg$ .

Exercice 7 : cycle moteur simple (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un fluide parcourt un cycle : (1 $\to$ 2) compression $w_{12} = + 5 kJ / kg$ , (2 $\to$ 3) chauffage isobare $q_{23} = + 300 kJ / kg$ , (3 $\to$ 4) détente en turbine $w_{34} = - 200 kJ / kg$ , (4 $\to$ 1) refroidissement isobare. Chaque étape est un système ouvert. Déterminer $q_{41}$ et le rendement thermodynamique.

Démonstration

Sur un cycle, l'enthalpie revient à sa valeur initiale : $\sum Δ h = 0$ . Or pour chaque organe $Δ h = w_{u} + q$ , donc $\sum (w_{u} + q) = 0$ :

$5 + 300 + (- 200) + q_{41} = 0 \Rightarrow q_{41} = - 105 kJ / kg .$

Travail utile net : $w_{n e t} = w_{12} + w_{34} = 5 - 200 = - 195 kJ / kg$ (fourni). Rendement :

$η = \frac{∣ w _{n e t} ∣}{q _{fourni}} = \frac{195}{300} = 0, 65.$

On vérifie $∣ w_{n e t} ∣ = q_{23} + q_{41} = 300 - 105 = 195 kJ / kg$ : cohérent.

1.9 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) De l'air ( $v = 0.80 m^{3} / kg$ ) circule à $D_{m} = 0.50 kg / s$ dans une conduite de section $S = 10 c m^{2}$ . Calculer la vitesse d'écoulement.
( $⋆$ ) Une tuyère adiabatique horizontale reçoit de la vapeur à $h_{e} = 2800 kJ / kg$ , $c_{e} \approx 0$ , et la détend jusqu'à $h_{s} = 2600 kJ / kg$ . Calculer $c_{s}$ .
( $⋆$ ) Justifier qu'une vanne de laminage ne peut pas produire de travail utile, et rappeler la relation vérifiée par l'enthalpie.
( $⋆ ⋆$ ) Un compresseur adiabatique élève l'enthalpie de l'air de $300 kJ / kg$ à $480 kJ / kg$ pour $D_{m} = 0.20 kg / s$ . Calculer $w_{u}$ et la puissance mécanique minimale du moteur.
( $⋆ ⋆$ ) Une turbine réelle a un rendement isentropique de $0, 85$ . La détente idéale ferait chuter $h$ de $3100$ à $2300 kJ / kg$ . Déterminer $h_{s}$ réel et le travail utile réel.
( $⋆ ⋆$ ) Un gaz parfait ( $c_{p} = 1000 J / kg / K$ , $r = 287 J / kg / K$ ) est laminé de $8 bar$ à $1 bar$ . Calculer $Δ T$ et l'entropie créée massique.
( $⋆ ⋆$ ) Dans un échangeur calorifugé, $1.5 kg / s$ de fluide chaud cèdent $200 kJ / kg$ . Le fluide froid ( $D_{m} = 2.5 kg / s$ ) entre à $h = 100 kJ / kg$ . Trouver son enthalpie de sortie.
( $⋆ ⋆$ ) Retrouver, à partir du système fermé mobile, la relation $Δ h = w_{u} + q$ en explicitant le travail de transvasement $P_{e} v_{e} - P_{s} v_{s}$ .
( $⋆ ⋆$ ) Sur un diagramme $(T, s)$ , une transformation réversible relie l'état $A (T_{A}, s_{A})$ à $B (T_{B}, s_{B})$ . Exprimer graphiquement le transfert thermique massique reçu et indiquer le signe de $q$ selon le sens de parcours.
( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Une turbine adiabatique traite de la vapeur avec $c_{e} = 60 m / s$ et $c_{s} = 160 m / s$ , $h_{e} = 3300$ , $h_{s} = 2500 kJ / kg$ . En ne négligeant pas $Δ e_{c}$ , calculer $w_{u}$ et estimer l'erreur relative commise en le négligeant.
( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Un cycle de réfrigération comporte un compresseur ( $w_{u} = + 40 kJ / kg$ ), un condenseur ( $q = - 160 kJ / kg$ ), un détendeur (laminage) et un évaporateur. Déterminer la chaleur massique prélevée à la source froide et l'efficacité frigorifique $e = q_{froid} / w_{u}$ .
( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Montrer que pour un écoulement adiabatique réversible d'un gaz parfait dans une machine, $w_{u} = Δ h = c_{p} Δ T$ , et exprimer $w_{u}$ en fonction du rapport de pression $P_{s} / P_{e}$ à l'aide de la loi de Laplace $T P^{(1 - γ) / γ} = cste$ .

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