Systèmes ouverts en régime stationnaire

On note $\mathrm{d}$ la différentielle d'une fonction d'état ($\mathrm{d}U$, $\mathrm{d}S$…) et $\delta$ une quantité échangée qui dépend du chemin suivi ($\delta W$, $\delta Q$) : le premier principe infinitésimal s'écrit $\mathrm{d}(U+E)=\delta W+\delta Q$ et le second $\mathrm{d}S=\delta S_e+\delta S_c$.

En régime stationnaire, la masse contenue dans $\mathcal{V}$ est constante : le débit massique entrant égale le débit massique sortant. Pour un écoulement à une entrée et une sortie,

$$\boxed{D_{m,e}=D_{m,s}\equiv D_m}\text{soit}\frac{c_e{S}_e}{v_e}=\frac{c_s{S}_s}{v_s}.$$

La relation $cS/v=\text{cste}$ est la loi de conservation du débit. Dans une conduite de section décroissante ($S\downarrow$) et à volume massique quasi constant (liquide), la vitesse augmente ($c\uparrow$) : c'est le principe de l'ajutage. Pour un gaz, $v$ varie fortement et le raisonnement doit inclure la thermodynamique de la détente : c'est le débit volumique $D_{m}v$ qui change quand le gaz se dilate, jamais le débit massique.

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la variation entre entrée et sortie des grandeurs massiques enthalpie $h$, énergie cinétique $e_c=\frac{1}{2}{c}^2$ et énergie potentielle de pesanteur $e_p=gz$ vérifie

$$\boxed{\Delta h+\Delta e_c+\Delta e_p=w_u+q}\Delta h=h_s-h_e,\Delta e_c=\frac{1}{2}(c_s^2-c_e^2),\Delta e_p=g(z_s-z_e),$$

où $w_u$ est le travail utile massique (dit travail indiqué ou technique) reçu des parties mobiles, et $q$ le transfert thermique massique reçu de l'extérieur. Toutes ces grandeurs sont en $\mathrm{J}/\mathrm{kg}$.

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la variation d'entropie massique entre entrée et sortie s'écrit

$$\boxed{\Delta s=s_e+s_c},\Delta s=s_{\text{sortie}}-s_{\text{entreˊe}},$$

où $s_e$ est l'entropie massique échangée avec les sources par transfert thermique, et $s_c\ge 0$ l'entropie massique créée par les irréversibilités internes. Pour un transfert $q$ reçu d'un thermostat à la température $T_f$, $s_e=q/T_f$ ; plus généralement $s_e=\int \frac{\delta q}{T_{\text{front}}}$.

Attention : ici $s_e$ désigne l'entropie massique échangée, à ne pas confondre avec l'indice « entrée » utilisé partout ailleurs ($h_e$, $P_e$…).

Le diagramme $(T,s)$ porte $T$ en ordonnée et $s$ en abscisse. L'aire sous une transformation réversible y représente le transfert thermique massique $q=\int T\mathrm{d}s$ ; une évolution isentropique y est une verticale, un changement d'état isobare un palier horizontal sous la cloche. La figure ci-dessous montre la cloche de l'eau et un cycle de Carnot diphasé : deux paliers isothermes reliés par deux isentropes. Ce diagramme est au programme de PC et de PT.

L'aire du rectangle est le travail fourni sur un tour, l'aire sous le palier haut le transfert thermique reçu : on retrouve $\eta =1-T_f/T_c$.

Une tuyère est une conduite fixe ($w_u=0$), généralement adiabatique ($q\approx 0$) et horizontale ($\Delta e_p\approx 0$). Le premier principe donne

$$\Delta h+\frac{1}{2}(c_s^2-c_e^2)=0⟹c_s=\sqrt{c_e^2+2(h_e-h_s)}.$$

La détente ($h_e>h_s$) accélère le fluide : l'enthalpie est convertie en énergie cinétique. C'est le principe des propulseurs. C'est aussi le seul organe usuel où $\Delta e_c$ est le terme principal.

Turbine et compresseur sont des machines à parties mobiles, adiabatiques ($q\approx 0$), avec $\Delta e_c$ et $\Delta e_p$ négligeables. Le premier principe donne dans les deux cas

$$\boxed{w_u=\Delta h=h_s-h_e}.$$

La turbine détend le fluide ($h_s<h_e$, donc $w_u<0$ : travail fourni à l'arbre). Le compresseur comprime le fluide ($h_s>h_e$, donc $w_u>0$ : travail reçu). Le résultat vaut aussi pour un compresseur à piston : le travail du piston sur un tour, aire du diagramme de Watt, est le travail indiqué $w_u$. Le modèle idéal est isentropique ($s_c=0$) ; le rendement isentropique compare la machine réelle à ce modèle.

Le passage d'un fluide à travers une vanne ou un milieu poreux est adiabatique ($q\approx 0$), sans partie mobile ($w_u=0$), avec $\Delta e_c,\Delta e_p$ négligeables. Le premier principe impose

$$\boxed{\Delta h=0}(\text{transformation isenthalpique}).$$

Le second principe donne $\Delta s=s_c>0$ (irréversible). Pour un gaz parfait ($h$ ne dépend que de $T$), $\Delta h=0\Rightarrow \Delta T=0$ ; pour un gaz réel ou un fluide diphasé, la température varie (effet Joule--Thomson exploité dans les liquéfacteurs et machines frigorifiques ; à température ambiante, la plupart des gaz se refroidissent). Sur le diagramme $(P,h)$, le laminage est une verticale qui traverse les isothermes.

Dans un échangeur, un fluide circule sans partie mobile ($w_u=0$) et reçoit (ou cède) de la chaleur à un autre fluide à travers une paroi. Avec $\Delta e_c,\Delta e_p$ négligeables :

$$\boxed{q=\Delta h=h_s-h_e}.$$

Si les deux fluides sont thermiquement isolés de l'extérieur, la puissance thermique cédée par l'un, $D_{m,1}\left|\Delta h_1\right|$, est reçue par l'autre, $D_{m,2}\left|\Delta h_2\right|$ : $D_{m,1}\Delta h_1+D_{m,2}\Delta h_2=0$.

En multipliant les grandeurs massiques par le débit $D_m$, on obtient les puissances : puissance mécanique $P_u=D_m{w}_u$ et puissance thermique $P_{th}=D_{m}q$, en watts. C'est sous cette forme qu'on dimensionne les machines.

Sur un tour, $h$ et $s$ reviennent à leur valeur initiale. En sommant les bilans des organes :

$$\sum _{\text{organes}}(w_u+q)=0\text{et}\sum _{\text{organes}}{s}_e+\sum _{\text{organes}}{s}_c=0.$$

Avec deux sources de températures $T_c$ et $T_f$, $\sum s_e=q_c/T_c+q_f/T_f$ et $\sum s_c\ge 0$ : on retrouve l'inégalité de Clausius et les bornes de Carnot de première année, par exemple $\mathrm{COP}\le T_c/(T_c-T_f)$ pour une pompe à chaleur.

Une centrale à vapeur parcourt le cycle en sens inverse (moteur) : pompe, chaudière, turbine, condenseur. Le rendement $\eta =-\frac{w_p+w_t}{q_c}$ se lit, lui aussi, en abscisses, et reste inférieur à $1-T_f/T_c$.

Cadre. Système ouvert = volume de contrôle fixe, écoulement stationnaire unidimensionnel à une entrée / une sortie. Grandeurs massiques ($h$, $s$, $w_u$, $q$ en $\mathrm{J}/\mathrm{kg}$).

Bilan de masse. $D_{m,e}=D_{m,s}=D_m=\frac{cS}{v}$.

Premier principe industriel.

$$\Delta h+\Delta e_c+\Delta e_p=w_u+q,\Delta e_c=\frac{1}{2}(c_s^2-c_e^2),\Delta e_p=g\Delta z.$$

L'enthalpie apparaît via le travail de transvasement $Pv$. Souvent $\Delta h=w_u+q$.

Deuxième principe. $\Delta s=s_e+s_c$, $s_e=\int \frac{\delta q}{T_{\text{front}}}$, $s_c\ge 0$ (nul si réversible).

Machines (adiabatiques, $\Delta e_c,\Delta e_p$ négligés).

• Tuyère ($w_u=0$) : $c_s=\sqrt{c_e^2+2(h_e-h_s)}$.
• Turbine / compresseur : $w_u=\Delta h$ ; idéal isentropique, rendements $\eta$ (définis dans l'énoncé).
• Laminage : $\Delta h=0$ (isenthalpique, $s_c>0$).
• Échangeur ($w_u=0$) : $q=\Delta h$.

Diagramme $(P,h)$. Segments horizontaux $=\Delta h$ ($w_u$, $q$), laminage vertical ; isothermes horizontales sous la cloche, presque verticales dans le gaz parfait.

Machines réelles. $\sum (w_u+q)=0$ et $\sum s_e+\sum s_c=0$ sur un tour ; $e_f$ et COP lus en abscisses, bornés par Carnot.

Complément (hors programme MP et PSI). $(T,s)$ : aire sous une réversible $=q$.