Le système thermodynamique : descriptions et variables d'état

Cours complet · thermodynamique (MP2I), chapitre 1 · CPGE MP2I (1re année)

La thermodynamique étudie les systèmes formés d'un très grand nombre de particules — un litre d'air en contient environ $1 0^{22}$ . Décrire le mouvement de chacune est impossible et inutile : on adopte une description macroscopique, à l'aide de quelques variables d'état (pression, température, volume…). Ce premier chapitre installe ce vocabulaire : les échelles de description, la notion de système, et les grandeurs qui caractérisent un état d'équilibre.

1.1 Les échelles de description

Définition 1.1Trois échelles

échelle microscopique : celle des atomes et molécules ( $\sim 1 0^{- 10} m$ ) ;
échelle macroscopique : celle de l'expérimentateur ( $≳ 1 0^{- 3} m$ ) ;
échelle mésoscopique : intermédiaire, assez petite pour être ponctuelle à l'échelle macroscopique, mais assez grande pour contenir un très grand nombre de molécules.

ImportantNécessité de l'échelle mésoscopique

C'est à l'échelle mésoscopique que l'on peut définir des grandeurs locales (masse volumique, pression, température) comme des moyennes sur les nombreuses molécules présentes : ces moyennes sont stables (les fluctuations sont négligeables) tout en variant continûment d'un point à l'autre à l'échelle macroscopique.

Définition 1.2Libre parcours moyen

Le libre parcours moyen $ℓ$ est la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs. Dans l'air, dans les conditions usuelles, $ℓ \sim 1 0^{- 7} m$ ( $\approx 0.1 μ m$ ) : très grand devant la taille d'une molécule, très petit devant les dimensions macroscopiques.

1.2 États microscopique et macroscopique

Définition 1.3Micro-état, macro-état

L'état microscopique est la donnée des positions et vitesses de toutes les molécules ( $\sim 1 0^{23}$ paramètres) : inaccessible. L'état macroscopique est décrit par un petit nombre de variables ( $P$ , $V$ , $T$ , quantité de matière $n$ …). Un même macro-état correspond à un nombre gigantesque de micro-états.

1.3 Le système thermodynamique

Définition 1.4Système et types d'échanges

Le système est la portion de matière étudiée ; le reste est l'extérieur. Selon ce qu'il échange avec l'extérieur :

ouvert : échange matière et énergie ;
fermé : échange de l'énergie, pas de matière ;
isolé : n'échange ni matière ni énergie.

1.4 Variables d'état et équilibre

Définition 1.5Variables extensives et intensives

Une variable d'état est extensive si elle est proportionnelle à la quantité de matière (volume $V$ , quantité $n$ , masse, énergie interne $U$ , entropie $S$ ), intensive si elle en est indépendante (pression $P$ , température $T$ , masse volumique $ρ$ ). Le quotient de deux grandeurs extensives est intensif (ex. volume massique $v = V / m$ ).

Définition 1.6Équilibre thermodynamique, équation d'état

Un système est à l'équilibre thermodynamique si ses variables d'état sont uniformes et constantes dans le temps (équilibres mécanique et thermique, aucun flux macroscopique). À l'équilibre, les variables sont liées par une équation d'état $f (P, V, T, n) = 0$ (par exemple $P V = n R T$ pour le gaz parfait, chapitre 2).

1.5 Pression et température

Définition 1.7Pression

La pression $P$ est la force pressante exercée par unité de surface : $P = F / S$ , en pascals ( $Pa = N / m^{2}$ ). À l'équilibre mécanique, les pressions de part et d'autre d'une paroi mobile s'équilibrent (éventuellement corrigées du poids). Ordre de grandeur : pression atmosphérique $P_{atm} \approx 1.0 \times 1 0^{5} Pa = 1 bar$ .

Définition 1.8Température

La température $T$ mesure l'agitation thermique. À l'équilibre thermique, deux corps en contact atteignent la même température. On la mesure en kelvins : $T (K) = θ (^{\circ} C) + 273, 15$ ; $T = 0$ est le zéro absolu.

Méthode : Pression par équilibre mécanique d'un piston

Pour un gaz enfermé sous un piston de section $S$ et de masse $m$ , surmonté de l'atmosphère : l'équilibre des forces sur le piston donne $P_{gaz} S = P_{atm} S + m g$ , soit

$P_{gaz} = P_{atm} + \frac{m g}{S} .$

Capacité numérique : Pression sous un piston chargé

On calcule la pression du gaz selon la masse posée sur le piston (équilibre mécanique).


Patm = 1.013e5     # pression atmospherique (Pa)
g = 9.81           # m/s^2
S = 1.0e-3         # section du piston (m^2)

for m in (0.0, 1.0, 5.0, 10.0):       # masse posee sur le piston (kg)
    P = Patm + m * g / S              # equilibre mecanique du piston
    print("m =", m, "kg -> P_gaz =", round(P / 1e5, 3), "bar")

Chaque kilogramme ajouté augmente la pression de $m g / S$ ; ici $g / S \approx 1 0^{4} Pa / kg$ , soit $\approx 0.1 bar$ par kilogramme.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.6 Exercices résolus

Exercice 1 : Extensif ou intensif ? (

⋆

)

Classer : volume, température, masse, pression, masse volumique, énergie interne.

Démonstration

Extensives : volume, masse, énergie interne (proportionnelles à la quantité de matière). Intensives : température, pression, masse volumique (indépendantes de la taille du système).

Exercice 2 : Conversion de température (

⋆

)

Convertir $2 5^{\circ} C$ en kelvins, et $0 K$ en degrés Celsius.

Démonstration

$T = 25 + 273, 15 = 298.15 K$ . $0 K = 0 - 273, 15 = - 273, 1 5^{\circ} C$ (zéro absolu).

Exercice 3 : Pression sous un piston (

⋆ ⋆

)

Un gaz est enfermé sous un piston de section $S = 20 c m^{2}$ et de masse $m = 2.0 kg$ ( $P_{atm} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ ). Calculer la pression du gaz.

Démonstration

$S = 20 \times 1 0^{- 4} m^{2} = 2.0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ . $P_{gaz} = P_{atm} + \frac{m g}{S} = 1, 0 \times 1 0^{5} + \frac{2 , 0 \times 9 , 81}{2 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1, 0 \times 1 0^{5} + 9, 8 \times 1 0^{3} \approx 1.1 \times 1 0^{5} Pa$ .

Exercice 4 : Type de système (

⋆ ⋆

)

Classer (ouvert / fermé / isolé) : (a) une casserole d'eau bouillante sans couvercle ; (b) une bouteille fermée ; (c) un thermos idéal.

Démonstration

(a) ouvert (vapeur s'échappe : matière + énergie). (b) fermé (échange de chaleur à travers les parois, pas de matière). (c) isolé (idéalement, ni matière ni énergie).

Exercice 5 : Échelle mésoscopique (

⋆ ⋆

)

Pourquoi ne peut-on pas définir la « pression en un point mathématique » d'un gaz, mais bien la pression à l'échelle mésoscopique ?

Démonstration

En un point mathématique, il n'y a soit aucune molécule, soit une seule : aucune moyenne stable n'est définissable. À l'échelle mésoscopique, un petit volume contient un grand nombre de molécules : la moyenne de leurs actions définit une pression stable, qui varie continûment à l'échelle macroscopique.

Exercice 6 : Volume molaire d'un gaz (

⋆ ⋆

)

Estimer le volume occupé par une mole de gaz dans les conditions usuelles ( $P = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ , $T = 273 K$ , $R = 8.314 J / K / mol$ ).

Démonstration

$V_{m} = \frac{R T}{P} = \frac{8 , 314 \times 273}{1 , 0 \times 1 0 ^{5}} \approx 2.27 \times 1 0^{- 2} m^{3} \approx 22.7 L$ . (On retient $\approx 22.4 L / mol$ aux conditions normales $0^{\circ} C$ , $1 atm$ .) À comparer au volume massique de l'eau liquide, $\approx 1 0^{- 3} m^{3} / kg$ : un gaz est $\sim 1 0^{3}$ fois moins dense.

Exercice 7 : Manomètre (

⋆ ⋆

)

Un manomètre à liquide indique une dénivellation $h$ entre les deux branches. Comment relie-t-on $h$ à la différence de pression mesurée ?

Démonstration

L'équilibre mécanique de la colonne de liquide (masse volumique $ρ$ ) donne $Δ P = ρ g h$ . Une dénivellation mesure donc directement une différence de pression (principe du baromètre et du manomètre).

Exercice 8 : Piston entre deux gaz (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un cylindre horizontal fermé est séparé en deux compartiments par un piston mobile sans frottement. À l'équilibre mécanique, que peut-on dire des pressions ? Et si le cylindre est vertical ?

Démonstration

Horizontal : le piston (sans frottement) est en équilibre si les forces pressantes se compensent, donc $P_{1} = P_{2}$ (le poids du piston est perpendiculaire au mouvement, sans effet). Vertical : le poids du piston intervient ; le gaz du bas supporte le piston, d'où $P_{bas} = P_{haut} + \frac{m _{piston} g}{S}$ .

1.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Trois échelles : micro (atomes), méso (moyennes locales stables, nécessaire pour définir $P$ , $T$ , $ρ$ ), macro. Libre parcours moyen $ℓ \sim 1 0^{- 7} m$ dans l'air.
Macro-état : peu de variables ( $P, V, T, n$ ) ; un macro-état $\equiv$ énormément de micro-états.
Système : ouvert (matière + énergie), fermé (énergie), isolé (rien).
Variables extensives ( $V, n, U, S$ ) / intensives ( $P, T, ρ$ ) ; équation d'état $f (P, V, T, n) = 0$ .
Pression $P = F / S$ (Pa) ; équilibre mécanique du piston $P_{gaz} = P_{atm} + m g / S$ . Température en kelvins, $T = θ + 273, 15$ ; équilibre thermique $\Rightarrow$ même $T$ .

1.8 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Convertir en kelvins : $- 4 0^{\circ} C$ , $10 0^{\circ} C$ , $3 7^{\circ} C$ .

( $⋆$ ) La masse volumique est-elle extensive ou intensive ? Et la quantité de matière ?

( $⋆$ ) Donner trois exemples de systèmes fermés de la vie courante.

( $⋆ ⋆$ ) Un piston de section $50 c m^{2}$ retient un gaz ; on pose une masse de $5 kg$ dessus. Variation de pression du gaz ?

( $⋆ ⋆$ ) Estimer le nombre de molécules dans $1 L$ d'air aux conditions usuelles.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi la pression est-elle une grandeur intensive alors que la force pressante est extensive (proportionnelle à la surface) ?

( $⋆ ⋆$ ) Un plongeur descend à $10 m$ sous l'eau : de combien augmente la pression ( $ρ_{eau} = 1000 kg / m^{3}$ ) ?

( $⋆ ⋆$ ) Justifier qu'un gaz occupe tout le volume offert, alors qu'un liquide a un volume propre (à l'échelle microscopique).

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, déterminer la masse à poser pour porter la pression du gaz à $2 bar$ .

( $⋆ ⋆$ ) Deux corps de températures différentes sont mis en contact : décrire qualitativement l'évolution jusqu'à l'équilibre thermique.

( $⋆ ⋆$ ) Le libre parcours moyen augmente-t-il ou diminue-t-il quand on raréfie le gaz (vide) ? Conséquence pour l'isolation thermique (bouteille thermos) ?

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Dans un cylindre vertical, un gaz est surmonté d'un piston puis d'un second gaz. Écrire les conditions d'équilibre mécanique des deux compartiments.

1.9 Problèmes contextualisés

Les notions de pression, de température et d'équilibre se mesurent partout : plongée, baromètre, cocotte-minute, vérin, thermos. Les problèmes suivants les mettent en situation.

Exemple 1.17La pression en plongée (

⋆ ⋆

)

Sous l'eau, la pression augmente avec la profondeur ( $ρ_{eau} = 1000 kg / m^{3}$ , $g = 9.81 m / s^{2}$ , $P_{atm} = 1.0 bar$ ).

La pression hydrostatique vérifie $Δ P = ρ g h$ . Calculer l'augmentation de pression à $h = 10 m$ .
Quelle est la pression absolue subie par un plongeur à $30 m$ ?
Pourquoi les tympans « font mal » dès quelques mètres, alors qu'on ne sent rien en montant de quelques mètres en altitude ?

Démonstration

1. $Δ P = ρ g h = 1000 \times 9, 81 \times 10 \approx 9.8 \times 1 0^{4} Pa \approx 1.0 bar$ : l'eau ajoute environ $1$ bar tous les $10 m$ .

2. $P = P_{atm} + ρ g h = 1, 0 + 3 \times 1, 0 = 4.0 bar$ (à $30 m$ , on subit $4$ fois la pression de surface).

3. L'eau est $\approx 800$ fois plus dense que l'air : la même dénivellation crée une variation de pression $\approx 800$ fois plus grande dans l'eau. Quelques mètres d'eau $\approx$ plusieurs kilomètres d'air.

Exemple 1.18Le baromètre de Torricelli (

⋆ ⋆

)

Torricelli renverse un tube rempli de mercure ( $ρ_{Hg} = 13600 kg / m^{3}$ ) dans une cuve : le mercure descend jusqu'à une hauteur $h$ , l'espace au-dessus étant vide.

L'équilibre donne $P_{atm} = ρ_{Hg} g h$ . Calculer $h$ pour $P_{atm} = 1.013 \times 1 0^{5} Pa$ .
Avec de l'eau au lieu du mercure, quelle hauteur faudrait-il ? Conclure sur le choix du mercure.
En altitude, la colonne monte-t-elle ou descend-elle ?

Démonstration

1. $h = \frac{P _{atm}}{ρ _{Hg} g} = \frac{1 , 013 \times 1 0 ^{5}}{13600 \times 9 , 81} \approx 0.76 m = 760 mm$ (d'où le « $760 mm$ de mercure »).

2. Avec l'eau : $h = \frac{1 , 013 \times 1 0 ^{5}}{1000 \times 9 , 81} \approx 10.3 m$ : un tube de plus de $10 m$ ! Le mercure, très dense, donne un instrument compact.

3. En altitude, $P_{atm}$ diminue : la colonne descend. Le baromètre mesure ainsi l'altitude (altimètre).

Exemple 1.19La cocotte-minute (

⋆ ⋆

)

Une cocotte-minute est fermée par une soupape : une masse $m$ posée sur un orifice de section $s = 1.0 \times 1 0^{- 5} m^{2}$ ne se soulève que lorsque la pression interne dépasse un seuil ( $P_{atm} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ ).

Écrire la pression maximale atteinte à l'intérieur en fonction de $m$ .
Quelle masse de soupape pour une pression interne de $1.7 bar$ ?
Pourquoi cela permet-il de « cuire plus vite » ? (le lien précis avec l'ébullition est vu au chapitre 3)

Démonstration

1. La soupape se soulève quand la force pressante équilibre son poids : $P_{max} = P_{atm} + \frac{m g}{s}$ .

2. $\frac{m g}{s} = P - P_{atm} = 0, 7 \times 1 0^{5}$ , d'où $m = \frac{0 , 7 \times 1 0 ^{5} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 5}}{9 , 81} \approx 71 g$ .

3. La surpression élève la température d'ébullition de l'eau (chapitre 3) : les aliments cuisent à $\approx 12 0^{\circ} C$ au lieu de $10 0^{\circ} C$ , donc bien plus vite.

Exemple 1.20Le vérin hydraulique (

⋆ ⋆

)

Un cric hydraulique relie un petit piston (section $S_{1} = 2.0 c m^{2}$ ) à un grand piston ( $S_{2} = 200 c m^{2}$ ) par un liquide. On appuie sur le petit avec une force $F_{1} = 100 N$ .

La pression étant la même dans tout le liquide (grandeur intensive), exprimer la force $F_{2}$ soulevée par le grand piston.
Calculer $F_{2}$ . Quelle masse peut-on soulever ?
Où passe « l'énergie gratuite » ? (penser à la course des pistons)

Démonstration

1. $P = \frac{F _{1}}{S _{1}} = \frac{F _{2}}{S _{2}} \Rightarrow F_{2} = F_{1} \frac{S _{2}}{S _{1}}$ .

2. $F_{2} = 100 \times \frac{200}{2 , 0} = 1.0 \times 1 0^{4} N$ , soit le poids d'une masse $\approx 1.0 \times 1 0^{3} kg$ (une tonne) !

3. Aucune énergie gratuite : pour élever le grand piston de $h_{2}$ , le petit parcourt $h_{1} = h_{2} S_{2} / S_{1}$ , soit $100$ fois plus. Le travail $F_{1} h_{1} = F_{2} h_{2}$ est conservé ; on échange force contre déplacement.

Exemple 1.21Combien de molécules dans une pièce ? (

⋆ ⋆

)

On veut justifier la description « mésoscopique ». Données : $P = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ , $T = 293 K$ , $k_{B} = 1.38 \times 1 0^{- 23} J / K$ .

Le nombre de molécules dans un volume $V$ vérifie $N = \frac{P V}{k _{B} T}$ . Calculer $N$ pour $V = 1 L$ .
Calculer $N$ pour un cube mésoscopique de côté $1 μ m$ .
En quoi ces nombres justifient-ils de définir une pression « locale » ?

Démonstration

1. $N = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{5} \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 38 \times 1 0 ^{- 23} \times 293} \approx 2.5 \times 1 0^{22}$ molécules par litre.

2. $V = (1 0^{- 6})^{3} = 1 0^{- 18} m^{3}$ : $N = \frac{1 0 ^{5} \times 1 0 ^{- 18}}{1 , 38 \times 1 0 ^{- 23} \times 293} \approx 2.5 \times 1 0^{7}$ , soit $\approx 25$ millions de molécules.

3. Même un cube d'un micromètre contient des dizaines de millions de molécules : la moyenne de leurs chocs définit une pression stable (fluctuations négligeables), tout en restant « ponctuelle » à notre échelle.

Exemple 1.22Celsius, Kelvin et le zéro absolu (

⋆

)

Trois échelles coexistent ; en thermodynamique, seule l'échelle absolue (kelvin) convient aux lois des gaz.

Convertir $2 0^{\circ} C$ , $- 19 6^{\circ} C$ (azote liquide) et $10 0^{\circ} C$ en kelvins.
Pourquoi une température en degrés Celsius ne peut-elle pas figurer directement dans $P V = n R T$ ?
Que signifie physiquement $T = 0 K$ ?

Démonstration

1. $2 0^{\circ} C = 293.15 K$ ; $- 19 6^{\circ} C = 77.15 K$ ; $10 0^{\circ} C = 373.15 K$ .

2. $P V = n R T$ exige une grandeur proportionnelle à l'agitation : à $0^{\circ} C$ le gaz a encore du volume, alors qu'un $T$ nul devrait l'annuler. Seule l'échelle absolue (nulle au zéro absolu) rend la loi correcte.

3. Le zéro absolu est la limite où l'agitation thermique est minimale (mouvement résiduel quantique seulement) : on ne peut pas l'atteindre.

Exemple 1.23Pourquoi le thermos isole (

⋆ ⋆

)

La paroi d'un thermos est une double paroi entre lesquelles on a fait le vide.

Quand on raréfie un gaz, le libre parcours moyen $ℓ$ augmente-t-il ou diminue-t-il ?
Pourquoi le vide supprime-t-il la conduction et la convection thermiques ?
Quel mode de transfert subsiste, et comment le limite-t-on (parois argentées) ?

Démonstration

1. En raréfiant, il reste moins de molécules : les chocs sont plus rares, donc $ℓ$ augmente (il peut atteindre la taille du récipient).

2. Conduction et convection nécessitent des molécules pour transporter l'énergie de proche en proche ; sans molécules (vide), ces deux modes sont quasiment supprimés.

3. Il reste le rayonnement (transfert par ondes électromagnétiques) : on le limite en argentant les parois, qui réfléchissent le rayonnement thermique au lieu de l'absorber.

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