Premier principe et bilans d'énergie

Cours complet · thermodynamique (MP2I), chapitre 5 · CPGE MP2I (1re année)

Travail et transfert thermique (chapitre 4) sont les deux modes d'échange d'énergie. Le premier principe en fait le bilan : il postule l'existence d'une fonction d'état, l'énergie interne $U$ , dont la variation est la somme du travail et du transfert thermique reçus. C'est la traduction thermodynamique de la conservation de l'énergie. On introduit ensuite l'enthalpie $H$ , commode pour les transformations à pression constante, et on l'applique à la calorimétrie et aux transitions de phase.

5.1 Le premier principe

◆Théorème 5.1Premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé, il existe une fonction d'état extensive $U$ (énergie interne) telle que, entre un état initial et un état final,

$Δ U = W + Q$

où $W$ et $Q$ sont le travail et le transfert thermique reçus. Entre deux états voisins : $d U = δ W + δ Q$ .

Important

$U$ est une fonction d'état : sa variation $Δ U$ ne dépend que des états initial et final, pas du chemin. En revanche $W$ et $Q$ dépendent, eux, du chemin (chapitre 4) ; c'est leur somme qui n'en dépend pas. On calcule souvent $Q = Δ U - W$ .

Proposition 5.2Transformation isochore

À volume constant, $W = 0$ , donc

$Q_{V} = Δ U .$

Pour un gaz parfait, $Δ U = n C_{V, m} Δ T$ , d'où $Q_{V} = n C_{V, m} Δ T$ . Le transfert thermique isochore mesure directement la variation d'énergie interne.

5.2 L'enthalpie

Définition 5.3Enthalpie

L'enthalpie est la fonction d'état extensive

$H = U + P V (J) .$

◆Théorème 5.4Bilan d'enthalpie pour une transformation monobare

Pour une transformation monobare avec équilibre mécanique aux extrémités ( $P_{i} = P_{f} = P_{ext}$ ),

$Δ H = Q_{P}$

le transfert thermique à pression constante est égal à la variation d'enthalpie.

Démonstration

$Δ U = W + Q_{P} = - P_{ext} Δ V + Q_{P}$ . Or $Δ H = Δ U + Δ (P V) = Δ U + P_{ext} Δ V$ (car $P_{i} = P_{f} = P_{ext}$ ). En additionnant, $Δ H = Q_{P}$ .

Définition 5.5Capacité thermique à pression constante

$C_{P} = (\frac{\partial H}{\partial T})_{P} .$

Pour un gaz parfait, $H = U + P V = U + n R T$ ne dépend que de $T$ ( $H_{m} = H_{m} (T)$ ), et

$C_{P, m} - C_{V, m} = R (relation de Mayer), γ = \frac{C _{P}}{C _{V}} .$

Pour une phase condensée, $C_{P} \approx C_{V}$ ; on cite $c_{eau} \approx 4.18 kJ / kg / K$ .

5.3 Calorimétrie et transitions de phase

Définition 5.6Enthalpie de transition de phase

Changer l'état d'un corps pur à $T$ et $P$ constantes nécessite un transfert thermique, l'enthalpie de transition (ou chaleur latente). Pour une masse $m$ : $Q = m L$ , avec $L$ la chaleur latente massique ( $J / kg$ ). Pour l'eau : $L_{fus} \approx 334 kJ / kg$ , $L_{vap} \approx 2260 kJ / kg$ .

Sur cette courbe de chauffe $T (Q)$ , les paliers correspondent aux transitions de phase : la température reste constante tandis que le système reçoit la chaleur latente $Q = m L$ ; les portions inclinées sont les échauffements « sensibles » ( $Q = m c Δ T$ ). Le palier de vaporisation est bien plus long que celui de fusion ( $L_{vap} ≫ L_{fus}$ ).

Méthode : Bilan calorimétrique

Dans un calorimètre (système isolé, évoluant à pression atmosphérique constante), la somme des variations d'enthalpie est nulle :

$i \sum Δ H_{i} = 0,$

soit, en l'absence de changement d'état, $\sum_{i} m_{i} c_{i} (T_{f} - T_{i}) = 0$ . On y ajoute les termes $m L$ pour chaque transition de phase éventuelle.

Capacité numérique : Température finale d'un mélange

On mélange dans un calorimètre parfait de l'eau chaude et de l'eau froide ; le bilan $\sum m_{i} c (T_{f} - T_{i}) = 0$ donne la température finale.


c = 4.18e3                 # capacite thermique massique de l'eau (J/kg/K)
m1, T1 = 0.30, 80.0        # eau chaude : masse (kg), temperature (deg C)
m2, T2 = 0.20, 20.0        # eau froide
# bilan : m1 c (Tf - T1) + m2 c (Tf - T2) = 0
Tf = (m1 * T1 + m2 * T2) / (m1 + m2)
print("temperature finale :", round(Tf, 1), "deg C")

La température finale est la moyenne pondérée par les masses (ici $56° C$ ) : l'énergie cédée par l'eau chaude est reçue par l'eau froide.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Premier principe (

⋆

)

Un système reçoit $W = 150 J$ de travail et cède $60 J$ de chaleur ( $Q = - 60 J$ ). Quelle est la variation de son énergie interne ?

Démonstration

$Δ U = W + Q = 150 + (- 60) = 90 J$ . L'énergie interne augmente de $90 J$ .

Exercice 2 : Chauffage isochore (

⋆

)

Une mole de gaz parfait monoatomique est chauffée à volume constant de $300$ à $350 K$ . Quel transfert thermique a-t-elle reçu ?

Démonstration

$Q_{V} = Δ U = n C_{V, m} Δ T = 1 \times \frac{3}{2} \times 8, 314 \times 50 \approx 6.2 \times 1 0^{2} J$ (le travail est nul à volume constant).

Exercice 3 : Chauffage monobare (

⋆ ⋆

)

La même mole est chauffée de $300$ à $350 K$ à pression constante. Quel transfert thermique ?

Démonstration

$Q_{P} = Δ H = n C_{P, m} Δ T$ avec $C_{P, m} = C_{V, m} + R = \frac{5}{2} R$ . Donc $Q_{P} = 1 \times \frac{5}{2} \times 8, 314 \times 50 \approx 1.0 \times 1 0^{3} J$ : plus que dans le cas isochore, car une partie sert au travail de dilatation.

Exercice 4 : Relation de Mayer (

⋆ ⋆

)

Vérifier $C_{P, m} - C_{V, m} = R$ pour un gaz parfait à partir de $H = U + n R T$ .

Démonstration

$H_{m} = U_{m} + R T$ . En dérivant par rapport à $T$ : $C_{P, m} = \frac{d H _{m}}{d T} = \frac{d U _{m}}{d T} + R = C_{V, m} + R$ . D'où $C_{P, m} - C_{V, m} = R$ .

Exercice 5 : Vaporisation (

⋆ ⋆

)

Quelle énergie faut-il pour vaporiser $0.5 kg$ d'eau à $100° C$ ( $L_{vap} = 2260 kJ / kg$ ) ?

Démonstration

$Q = m L_{vap} = 0, 5 \times 2260 = 1130 kJ \approx 1.1 MJ$ . La vaporisation est très coûteuse en énergie (bien plus que le chauffage de l'eau liquide).

Exercice 6 : Mélange calorimétrique (

⋆ ⋆

)

On verse $0.30 kg$ d'eau à $80° C$ sur $0.20 kg$ à $20° C$ (calorimètre parfait). Température finale ?

Démonstration

$\sum m_{i} c (T_{f} - T_{i}) = 0 \Rightarrow T_{f} = \frac{m _{1} T _{1} + m _{2} T _{2}}{m _{1} + m _{2}} = \frac{0 , 30 \times 80 + 0 , 20 \times 20}{0 , 50} = 56° C$ .

Exercice 7 : Faire fondre puis chauffer (

⋆ ⋆

)

Quelle énergie pour transformer $100 g$ de glace à $0° C$ en eau à $20° C$ ( $L_{fus} = 334 kJ / kg$ , $c_{eau} = 4.18 kJ / kg / K$ ) ?

Démonstration

Fusion : $Q_{1} = m L_{fus} = 0, 1 \times 334 = 33.4 kJ$ . Chauffage : $Q_{2} = m c Δ T = 0, 1 \times 4, 18 \times 20 \approx 8.4 kJ$ . Total $Q = Q_{1} + Q_{2} \approx 41.8 kJ$ . La fusion domine.

Exercice 8 :

Δ U

Δ H

d'un GP isotherme (

⋆ ⋆ ⋆

)

Que valent $Δ U$ et $Δ H$ pour une transformation isotherme d'un gaz parfait ?

Démonstration

$U$ et $H$ d'un gaz parfait ne dépendent que de $T$ (lois de Joule). À température constante, $Δ U = 0$ et $Δ H = 0$ , quelle que soit la transformation. Le premier principe donne alors $Q = - W$ : tout le travail reçu est restitué en chaleur (et inversement).

5.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Premier principe : $Δ U = W + Q$ ( $d U = δ W + δ Q$ ) ; $U$ fonction d'état extensive (alors que $W$ , $Q$ dépendent du chemin).
Isochore : $Q_{V} = Δ U$ ; GP : $Δ U = n C_{V, m} Δ T$ .
Enthalpie $H = U + P V$ ; monobare : $Q_{P} = Δ H$ ; $C_{P} = (\partial H / \partial T)_{P}$ ; GP : $H_{m} = H_{m} (T)$ , Mayer $C_{P, m} - C_{V, m} = R$ .
Transition de phase : $Q = m L$ ( $L_{fus,eau} \approx 334, L_{vap,eau} \approx 2260 kJ / kg$ ).
Calorimétrie (isolé, $P$ cste) : $\sum_{i} Δ H_{i} = 0$ .
GP isotherme : $Δ U = Δ H = 0$ , donc $Q = - W$ .

5.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un système cède $200 J$ de travail et reçoit $500 J$ de chaleur : $Δ U$ ?

( $⋆$ ) Transfert thermique pour chauffer $2 mol$ de GP diatomique de $20$ à $120° C$ à volume constant.

( $⋆ ⋆$ ) Même question à pression constante ; comparer.

( $⋆ ⋆$ ) Énergie pour vaporiser $1 kg$ d'eau initialement à $20° C$ (chauffage + vaporisation).

( $⋆ ⋆$ ) On plonge un bloc de métal chaud dans l'eau d'un calorimètre : écrire le bilan enthalpique et exprimer $T_{f}$ .

( $⋆ ⋆$ ) Justifier que $Q_{P} > Q_{V}$ pour chauffer un gaz parfait entre les mêmes températures.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi la transpiration refroidit-elle le corps ? (lien avec $L_{vap}$ )

( $⋆ ⋆$ ) Méthode des mélanges : déterminer la capacité thermique d'un calorimètre (« valeur en eau »).

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, déterminer la masse d'eau froide à $15° C$ à ajouter à $0.4 kg$ d'eau à $90° C$ pour obtenir $40° C$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pour une transformation adiabatique, que devient le premier principe ?

( $⋆ ⋆$ ) Calculer l'énergie pour transformer $50 g$ de glace à $- 10° C$ en vapeur à $100° C$ (toutes étapes).

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Détente de Joule-Gay-Lussac : un gaz parfait se détend dans le vide (parois rigides calorifugées). Montrer que sa température ne varie pas.

5.7 Problèmes contextualisés

Le bilan d'énergie et les chaleurs latentes expliquent la transpiration, le glaçon qui rafraîchit, les calories des aliments, le climat océanique, le congélateur et la bouilloire.

Exemple 5.15La transpiration (

⋆ ⋆

)

Lors d'un effort, le corps évacue une puissance thermique d'environ $P = 600 W$ en évaporant de la sueur ( $L_{vap} \approx 2.4 \times 1 0^{6} J / kg$ ).

Pourquoi l'évaporation de la sueur refroidit-elle (et non sa simple présence) ?
Quel débit de sueur (en $kg / h$ ) faut-il évaporer pour évacuer cette puissance ?
Pourquoi a-t-on plus chaud dans une ambiance humide ?

Démonstration

1. La vaporisation absorbe la chaleur latente $L_{vap}$ : cette énergie est prélevée sur la peau, qui se refroidit. C'est le changement d'état, pas la présence du liquide, qui rafraîchit.

2. Débit $= \frac{P}{L _{vap}} = \frac{600}{2 , 4 \times 1 0 ^{6}} \approx 2.5 \times 1 0^{- 4} kg / s \approx 0.9 kg / h$ (près d'un litre par heure).

3. En air humide (proche de la saturation), la sueur s'évapore mal : le mécanisme de refroidissement est bloqué, d'où la sensation de chaleur accablante.

Exemple 5.16Le glaçon qui rafraîchit (

⋆ ⋆ ⋆

)

On met un glaçon de $m_{g} = 30 g$ à $0° C$ dans un verre de $m_{e} = 200 g$ de boisson à $25° C$ ( $c = 4.18 \times 1 0^{3} J / kg / K$ , $L_{fus} = 334 \times 1 0^{3} J / kg$ , calorimètre parfait).

Écrire le bilan : fusion du glaçon, puis réchauffement de l'eau de fonte, refroidissement de la boisson.
Calculer la température finale.
Pourquoi un glaçon rafraîchit-il bien mieux que la même masse d'eau à $0° C$ ?

Démonstration

1. $fusion m_{g} L_{fus} + eau de fonte m_{g} c (T_{f} - 0) + boisson m_{e} c (T_{f} - 25) = 0$ .

2. $0, 03 \times 334000 + 0, 03 \times 4180 T_{f} + 0, 2 \times 4180 (T_{f} - 25) = 0$ : $10020 + 125, 4 T_{f} + 836 T_{f} - 20900 = 0 \Rightarrow 961, 4 T_{f} = 10880 \Rightarrow T_{f} \approx 11.3° C$ .

3. Le glaçon absorbe d'abord $m_{g} L_{fus} \approx 10 kJ$ rien que pour fondre (à température constante), avant même de se réchauffer : cette chaleur latente, prélevée sur la boisson, la refroidit bien davantage que de l'eau froide.

Exemple 5.17Les calories des aliments (

⋆ ⋆

)

Sur les emballages, l'énergie est donnée en kilocalories ( $1 k c a l = 4.18 kJ$ ), mesurée en brûlant l'aliment dans une bombe calorimétrique.

Une barre chocolatée affiche $500 k c a l$ . Convertir en joules.
Quelle masse d'eau cette énergie porterait-elle de $20$ à $100° C$ ?
Pourquoi parle-t-on de « bombe » calorimétrique (volume constant) ?

Démonstration

1. $E = 500 \times 4, 18 \times 1 0^{3} \approx 2.1 \times 1 0^{6} J$ ( $2.1 MJ$ ).

2. $m = \frac{E}{c Δ T} = \frac{2 , 1 \times 1 0 ^{6}}{4 , 18 \times 1 0 ^{3} \times 80} \approx 6.3 kg$ d'eau : une barre chauffe $6$ litres d'eau de $8 0^{\circ} C$ !

3. On brûle l'échantillon dans une enceinte rigide (volume constant) : $W = 0$ , donc le transfert thermique mesuré égale $Δ U$ (isochore : $Q_{V} = Δ U$ ).

Exemple 5.18Pourquoi la mer tempère le climat (

⋆ ⋆

)

L'eau a une capacité thermique massique élevée ( $c = 4.18 \times 1 0^{3}$ ) comparée au sol/sable ( $c \approx 800 J / kg / K$ ).

Pour une même énergie reçue par $kg$ , comparer l'élévation de température de l'eau et du sable.
En déduire pourquoi le bord de mer connaît des écarts de température jour/nuit plus faibles que le désert.
Pourquoi la mer « retient » la chaleur de l'été tard en automne ?

Démonstration

1. $Δ T = \frac{Q}{m c}$ : à $Q$ et $m$ égaux, $\frac{Δ T _{sable}}{Δ T _{eau}} = \frac{c _{eau}}{c _{sable}} \approx \frac{4180}{800} \approx 5$ : le sable chauffe (et refroidit) $\approx 5$ fois plus vite.

2. L'eau, à forte inertie thermique, varie peu : elle tempère les écarts jour/nuit du littoral, alors que le sable du désert brûle le jour et gèle la nuit.

3. Ayant emmagasiné beaucoup d'énergie l'été (grand $c$ ), la mer la restitue lentement : elle reste « chaude » bien après la fin de l'été.

Exemple 5.19Faire des glaçons (

⋆ ⋆

)

Un bac contient $m = 0.50 kg$ d'eau à $20° C$ . Le congélateur doit la refroidir à $0° C$ puis la solidifier ( $c = 4.18 \times 1 0^{3}$ , $L_{fus} = 334 \times 1 0^{3} J / kg$ ).

Calculer l'énergie totale à extraire.
Si le congélateur extrait la chaleur à $100 W$ (idéalisé), combien de temps faut-il ?
Quelle étape coûte le plus d'énergie ?

Démonstration

1. Refroidissement : $Q_{1} = m c Δ T = 0, 5 \times 4180 \times 20 \approx 41.8 kJ$ . Solidification : $Q_{2} = m L_{fus} = 0, 5 \times 334000 = 167 kJ$ . Total $\approx 209 kJ$ .

2. $t = \frac{Q}{P} = \frac{2 , 09 \times 1 0 ^{5}}{100} \approx 2090 s \approx 35 min$ (en pratique plus, à cause des pertes et du rendement).

3. La solidification ( $167 kJ$ ) coûte $4$ fois plus que le refroidissement préalable : la chaleur latente domine.

Exemple 5.20Le chauffage central à eau (

⋆ ⋆

)

Une chaudière fait circuler de l'eau chaude dans les radiateurs. L'eau cède sa chaleur en se refroidissant de $Δ T = 15 K$ ( $c = 4.18 \times 1 0^{3}$ ). On veut fournir $P = 2000 W$ à une pièce.

Relier la puissance fournie au débit massique d'eau $m ˙$ et à $Δ T$ .
Calculer le débit nécessaire (en $kg / min$ ).
Pourquoi l'eau (et non l'air) comme fluide caloporteur ?

Démonstration

1. Chaque $kg$ cède $c Δ T$ ; pour une puissance $P$ : $P = m ˙ c Δ T$ .

2. $m ˙ = \frac{P}{c Δ T} = \frac{2000}{4180 \times 15} \approx 0.032 kg / s \approx 1.9 kg / min$ .

3. L'eau a une capacité thermique massique élevée : elle transporte beaucoup d'énergie pour un faible débit, contrairement à l'air (faible $c$ et faible densité).

Exemple 5.21La bouilloire (

⋆ ⋆

)

Une bouilloire chauffe $1.5 L$ d'eau de $15$ à $100° C$ ( $c = 4.18 \times 1 0^{3}$ , $L_{vap} = 2260 \times 1 0^{3} J / kg$ ).

Calculer l'énergie pour amener l'eau à ébullition.
Calculer l'énergie qu'il faudrait pour vaporiser toute cette eau. Comparer.
Pourquoi la bouilloire s'arrête-t-elle à l'ébullition, et pourquoi laisser bouillir « à sec » est-il long et dangereux ?

Démonstration

1. $Q_{1} = m c Δ T = 1, 5 \times 4180 \times 85 \approx 533 kJ$ .

2. $Q_{2} = m L_{vap} = 1, 5 \times 2260 = 3390 kJ$ : il faut $\approx 6$ fois plus d'énergie pour vaporiser que pour chauffer jusqu'à $10 0^{\circ} C$ .

3. La bouilloire coupe à l'ébullition car continuer coûterait énormément (chaleur latente) et serait inutile. Faire bouillir à sec exige les $3390 kJ$ : c'est long, et une fois l'eau partie, la résistance surchauffe — d'où le danger.

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