Diffusion thermique

Cours complet · thermodynamique : transferts thermiques (MPI), chapitre 1 · CPGE MPI (2e année)

Lorsqu'un corps présente des inhomogénéités de température, l'agitation thermique se transmet spontanément des régions chaudes vers les régions froides, sans déplacement macroscopique de matière : c'est le transfert thermique par conduction, ou diffusion thermique. Ce mode de transport, formellement analogue à la diffusion de particules, obéit à une loi phénoménologique linéaire (loi de Fourier, 1822) et conduit à une équation aux dérivées partielles irréversible : l'équation de la chaleur. Nous établissons dans ce chapitre le bilan local d'énergie interne, la loi de Fourier et l'équation de diffusion ; nous en tirons, en régime stationnaire, la notion de résistance thermique, calquée sur la loi d'Ohm, qui permet de traiter les transferts au travers de parois composites. Nous introduisons enfin la loi de Newton du transfert conducto-convectif, condition aux limites à l'interface entre un solide et un fluide. Conformément au programme, la mise en équations est menée dans les solides ; les résultats s'étendent aux fluides en l'absence de convection.

1.1 Vecteur densité de flux thermique

1.1.1 Modes de transfert thermique

On distingue trois modes de transfert de l'énergie thermique :

la conduction : transmission de proche en proche de l'agitation thermique, sans transport de matière ; c'est l'objet de ce chapitre ;
la convection : transport d'énergie par déplacement macroscopique d'un fluide ;
le rayonnement : transport par ondes électromagnétiques, ne nécessitant aucun support matériel (chapitre suivant).

1.1.2 Définition du vecteur densité de flux

Définition 1.1Vecteur densité de flux thermique

Le transfert thermique par conduction est décrit par un champ vectoriel, le vecteur densité de flux thermique $j_{Q} (M, t)$ , tel que la puissance thermique $d Φ$ traversant un élément de surface orientée $d S$ dans le sens de $d S$ vaut

$d Φ = j_{Q} \cdot d S .$

Le flux thermique au travers d'une surface $S$ orientée est

$Φ = \iint_{S} j_{Q} \cdot d S,$

homogène à une puissance et exprimé en watts. La norme de $j_{Q}$ s'exprime en $W / m^{2}$ .

iRemarque

Le vecteur $j_{Q}$ pointe dans le sens du transfert thermique, c'est-à-dire des zones chaudes vers les zones froides. Le flux $Φ$ à travers une surface fermée orientée vers l'extérieur compte positivement l'énergie qui sort du volume.

1.2 Bilan local d'énergie interne

1.2.1 Premier principe pour un système fermé au repos

Considérons un milieu solide immobile, de masse volumique $ρ$ et de capacité thermique massique $c$ , siège éventuel d'une puissance volumique de sources internes $p_{v}$ (effet Joule, réaction chimique, radioactivité). Pour un système fermé au repos, l'énergie interne massique $u$ ne varie que par transfert thermique : le travail des forces de pression est nul (solide indéformable). On admet la relation $d u = c d T$ .

Méthode : Bilan d'énergie interne à une dimension

Isolons la tranche de solide comprise entre les abscisses $x$ et $x + d x$ , de section $S$ constante, en géométrie cartésienne. Pendant $d t$ , le premier principe appliqué au système fermé de volume $S d x$ s'écrit

$d U ρ S d x c \frac{\partial T}{\partial t} d t = transfert conductif [Φ (x) - Φ (x + d x)] d t + sources p_{v} S d x d t .$

Avec $Φ (x) = j_{Q} (x) S$ et $Φ (x + d x) = Φ (x) + \frac{\partial Φ}{\partial x} d x$ , on obtient l'équation locale du premier principe :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{Q}}{\partial x} + p_{v}$

Proposition 1.2Bilan local en géométrie quelconque

En dimension supérieure, le bilan local d'énergie interne s'écrit à l'aide de l'opérateur divergence :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - div j_{Q} + p_{v} .$

En géométrie cylindrique à symétrie radiale, $div j_{Q} = \frac{1}{r} \frac{\partial ( r j _{Q} )}{\partial r}$ ; en géométrie sphérique à symétrie radiale, $div j_{Q} = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{Q} )}{\partial r}$ (expressions fournies).

iRemarque

Cette équation traduit la conservation de l'énergie : la variation locale d'énergie interne provient de ce que le flux entrant l'emporte sur le flux sortant (terme $- div j_{Q}$ ), augmentée de la production interne $p_{v}$ .

1.3 Loi de Fourier et équation de la chaleur

1.3.1 Loi de Fourier

Définition 1.3Loi de Fourier

Dans un milieu isotrope, le vecteur densité de flux thermique est proportionnel et opposé au gradient de température :

$j_{Q} = - λ grad T$

où $λ > 0$ est la conductivité thermique du matériau, exprimée en $W / m / K$ . Le signe moins traduit le second principe : l'énergie migre spontanément du chaud vers le froid.

ImportantOrdres de grandeur de

λ

Quelques valeurs usuelles à retenir :

Matériau	$λ$ ( $W / m / K$ )
Air (immobile)	$\approx 0, 025$
Eau liquide	$\approx 0, 6$
Béton, verre	$\approx 1$
Acier	$\approx 15$ à $50$
Cuivre, argent	$\approx 400$

Les métaux, bons conducteurs électriques, sont aussi bons conducteurs thermiques (les électrons libres transportent l'énergie) ; l'air immobile est au contraire un excellent isolant, principe des matériaux alvéolaires.

1.3.2 Équation de la diffusion thermique

◆Théorème 1.4Équation de la chaleur

En reportant la loi de Fourier $j_{Q} = - λ grad T$ dans le bilan local $ρ c \partial_{t} T = - div j_{Q} + p_{v}$ , avec $λ$ uniforme, et sachant que $div (grad T) = Δ T$ , on obtient l'équation de la diffusion thermique :

$\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} Δ T + \frac{p _{v}}{ρ c}, D_{th} = \frac{λ}{ρ c},$

où $D_{th}$ est la diffusivité thermique, en $m^{2} / s$ . En l'absence de source ( $p_{v} = 0$ ) et à une dimension : $\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ .

Démonstration (Démonstration)

Le bilan local s'écrit $ρ c \partial_{t} T = - div j_{Q} + p_{v}$ . On y injecte $j_{Q} = - λ grad T$ , d'où $div j_{Q} = - λ div (grad T) = - λ Δ T$ . Il vient $ρ c \partial_{t} T = λ Δ T + p_{v}$ , soit après division par $ρ c$ le résultat annoncé, avec $D_{th} = λ / (ρ c)$ . $□$

ImportantIrréversibilité et analyse en ordres de grandeur

L'équation de la chaleur n'est pas invariante par renversement du temps ( $t \to - t$ change le signe du membre de gauche mais pas celui de droite) : la diffusion est un phénomène irréversible. L'analyse dimensionnelle $\frac{1}{τ} \sim \frac{D _{th}}{L ^{2}}$ relie l'échelle de temps $τ$ à l'échelle spatiale $L$ :

$L \sim D_{th} τ$

Le temps de diffusion croît comme le carré de la distance : doubler l'épaisseur d'une paroi quadruple son temps de réponse thermique.

1.4 Régime stationnaire et résistance thermique

1.4.1 Profil de température dans un mur

Proposition 1.5Profil linéaire à une dimension

En régime stationnaire ( $\partial_{t} T = 0$ ), sans source interne, l'équation de la chaleur à une dimension se réduit à $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = 0$ : le champ de température est affine en $x$ . Le flux thermique $Φ = j_{Q} S$ est alors uniforme le long du mur (conservation du flux en l'absence de source).

Figure : Profil de température affine dans un mur en régime stationnaire

( $T_{1} > T_{2}$ ). Le flux thermique s'écoule du chaud vers le froid.</div>

1.4.2 Définition de la résistance thermique

Définition 1.6Résistance thermique

Par analogie avec l'électrocinétique, où le courant $I$ traverse une résistance $R$ soumise à une différence de potentiel $U = R I$ , on définit la résistance thermique $R_{th}$ d'un système traversé par un flux $Φ$ entre deux faces aux températures $T_{1}$ et $T_{2}$ :

$T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$

Correspondances : température $T \leftrightarrow$ potentiel $V$ ; flux thermique $Φ \leftrightarrow$ intensité $I$ ; résistance thermique $R_{th} \leftrightarrow$ résistance $R$ . L'unité de $R_{th}$ est le $K / W$ .

Méthode : Résistance d'un mur plan

Dans le mur ci-dessus, le profil affine donne $j_{Q} = - λ \frac{d T}{d x} = λ \frac{T _{1} - T _{2}}{e}$ , d'où $Φ = j_{Q} S = λ S \frac{T _{1} - T _{2}}{e}$ . En identifiant à $T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$ :

$R_{th} = \frac{e}{λ S}$

La résistance croît avec l'épaisseur, décroît avec la section et la conductivité, exactement comme $R = \frac{ℓ}{γ S}$ en électrocinétique ( $γ$ conductivité électrique).

Figure : Analogie électrique : le mur se comporte comme une résistance

$R_{th} = e / (λ S)$ parcourue par le flux $Φ$ .</div>

1.4.3 Associations de résistances thermiques

Proposition 1.7Association série et parallèle

Les lois d'association sont identiques à celles de l'électrocinétique :

En série (murs empilés, même flux $Φ$ les traversant tous) :

$R_{th}^{tot} = i \sum R_{th, i} .$

En parallèle (murs côte à côte, même écart $T_{1} - T_{2}$ ) :

$\frac{1}{R _{th}^{tot}} = i \sum \frac{1}{R _{th, i}} .$

Figure : Deux murs en série : les résistances thermiques s'ajoutent car le même

flux $Φ$ traverse successivement les deux couches.</div>

1.5 Conditions aux limites et transfert conducto-convectif

1.5.1 Conditions aux limites usuelles

La résolution de l'équation de la chaleur requiert des conditions aux limites, qui peuvent être : une température imposée sur une face (contact avec un thermostat), un flux imposé (paroi chauffée par effet Joule), une paroi calorifugée ( $j_{Q} \cdot n = 0$ ), ou la continuité du flux à l'interface entre deux solides.

1.5.2 Loi de Newton du transfert conducto-convectif

Définition 1.8Loi de Newton

À l'interface entre un solide de température de surface $T_{s}$ et un fluide en mouvement de température $T_{f}$ (loin de la paroi), le transfert conducto-convectif est décrit par la loi phénoménologique de Newton : la densité de flux thermique cédée par le solide au fluide vaut

$j_{Q} = h (T_{s} - T_{f})$

où $h$ est le coefficient de transfert conducto-convectif, ou coefficient de Newton, exprimé en $W / m^{2} / K$ .

Figure : Transfert conducto-convectif à l'interface solide--fluide : la loi de

Newton relie la densité de flux à l'écart de température.</div>

Proposition 1.9Résistance thermique de convection

La loi de Newton s'interprète comme une résistance thermique de surface. Le flux échangé sur une surface $S$ est $Φ = h S (T_{s} - T_{f})$ , d'où

$R_{th}^{conv} = \frac{1}{h S} .$

Cette résistance s'associe en série avec les résistances conductives de la paroi : c'est le principe du calcul d'isolation d'un double vitrage, où une lame d'air d'épaisseur bien choisie ajoute une forte résistance.

1.5.3 L'ailette de refroidissement

Méthode : Bilan sur une ailette

Une ailette est une tige conductrice (section $S$ , périmètre $p$ , conductivité $λ$ ) fixée sur un corps chaud et baignée par un fluide à $T_{f}$ , destinée à augmenter la surface d'échange. En régime stationnaire, le bilan sur la tranche $[x, x + d x]$ combine conduction axiale et pertes latérales de Newton :

$λ S \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = h p (T - T_{f}) .$

En posant $θ = T - T_{f}$ et $δ = \frac{λ S}{h p}$ , il vient $\frac{d ^{2} θ}{d x ^{2}} = \frac{θ}{δ ^{2}}$ , dont la solution décroissante est $θ (x) = θ_{0} e^{- x / δ}$ pour une ailette longue. La longueur caractéristique $δ$ mesure la portée thermique de l'ailette.

1.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Flux thermique : $d Φ = j_{Q} \cdot d S$ , $Φ = \iint_{S} j_{Q} \cdot d S$ (en $W$ ), $j_{Q}$ en $W / m^{2}$ .
Bilan local (premier principe) : $ρ c \partial_{t} T = - div j_{Q} + p_{v}$ ; à 1D cartésien $ρ c \partial_{t} T = - \partial_{x} j_{Q} + p_{v}$ .
Loi de Fourier : $j_{Q} = - λ grad T$ , $λ$ en $W / m / K$ (air $\sim 0, 025$ , eau $\sim 0, 6$ , métaux $\sim 1 0^{2}$ – $1 0^{3}$ ).
Équation de la chaleur : $\partial_{t} T = D_{th} Δ T + \frac{p _{v}}{ρ c}$ , diffusivité $D_{th} = \frac{λ}{ρ c}$ en $m^{2} / s$ ; irréversible ; échelles $L \sim D_{th} τ$ .
Régime stationnaire 1D : profil de $T$ affine, flux uniforme.
Résistance thermique : $T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$ (en $K / W$ ) ; mur $R_{th} = \frac{e}{λ S}$ ; série $\sum R_{i}$ , parallèle $(\sum 1/ R_{i})^{- 1}$ .
Conducto-convection (Newton) : $j_{Q} = h (T_{s} - T_{f})$ , $h$ en $W / m^{2} / K$ , $R_{th}^{conv} = \frac{1}{h S}$ .

Capacité numérique : Équation de la chaleur par différences finies

On résout l'équation de diffusion thermique 1D $\partial_{t} T = D \partial_{xx} T$ sur une barre $[0, L]$ par la méthode d'Euler explicite : on discrétise l'espace ( $x_{i} = i Δ x$ ) et le temps ( $t_{n} = n Δ t$ ), et l'on approche la dérivée seconde par le schéma centré $\partial_{xx} T \approx \frac{T _{i + 1} - 2 T _{i} + T _{i - 1}}{Δ x ^{2}}$ . Le schéma d'avancement s'écrit

$T_{i}^{n + 1} = T_{i}^{n} + \frac{D Δ t}{Δ x ^{2}} (T_{i + 1}^{n} - 2 T_{i}^{n} + T_{i - 1}^{n}) .$

Il est stable sous la condition de Courant $\frac{D Δ t}{Δ x ^{2}} \leq \frac{1}{2}$ . On impose ici les températures aux bords (conditions de Dirichlet).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- Parametres physiques et numeriques ---
L  = 1.0          # longueur de la barre (m)
D  = 1.0e-4       # diffusivite thermique (m^2/s)
Nx = 51           # nombre de points d'espace
dx = L / (Nx - 1)
r  = 0.4          # nombre de Fourier r = D*dt/dx^2 : doit rester <= 0.5
dt = r * dx**2 / D
Nt = 4000         # nombre de pas de temps

x = np.linspace(0, L, Nx)

# --- Condition initiale : barre a 20 C, pic chaud au centre ---
T = 20.0 * np.ones(Nx)
T[Nx // 2] = 100.0

# --- Conditions aux limites de Dirichlet ---
T[0], T[-1] = 20.0, 20.0

# --- Boucle temporelle (Euler explicite) ---
assert r <= 0.5, "Schema instable : reduire dt ou augmenter dx"
profils = [T.copy()]
for n in range(Nt):
    Tn = T.copy()
    T[1:-1] = Tn[1:-1] + r * (Tn[2:] - 2 * Tn[1:-1] + Tn[:-2])
    T[0], T[-1] = 20.0, 20.0          # on maintient les bords
    if n % 800 == 0:
        profils.append(T.copy())

# --- Trace de l'evolution du profil T(x, t) ---
for k, p in enumerate(profils):
    plt.plot(x, p, label=f"t = {k * 800 * dt:.2f} s")
plt.xlabel("x (m)")
plt.ylabel("Temperature (C)")
plt.title("Diffusion thermique 1D - Euler explicite")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

On observe l'étalement progressif du pic de température et le retour vers le profil stationnaire uniforme imposé par les bords. Augmenter $r$ au-delà de $0, 5$ fait diverger la solution : la condition de stabilité est impérative.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

Exemple 1.10Flux à travers un mur

Un mur de brique d'épaisseur $e = 20 cm$ , de surface $S = 15 m^{2}$ et de conductivité $λ = 0.8 W / m / K$ sépare un intérieur à $20° C$ d'un extérieur à $5° C$ . Calculer la résistance thermique du mur et le flux thermique perdu.

Démonstration

La résistance vaut $R_{th} = \frac{e}{λ S} = \frac{0 , 20}{0 , 8 \times 15} = 1.67 \times 1 0^{- 2} K / W$ . Le flux perdu est $Φ = \frac{T _{1} - T _{2}}{R _{th}} = \frac{15}{1 , 67 \times 1 0 ^{- 2}} \approx 900 W$ . L'écart de température se mesure indifféremment en kelvins ou en degrés Celsius.

Exemple 1.11Double vitrage

Un double vitrage est formé de deux plaques de verre ( $e_{v} = 4 mm$ , $λ_{v} = 1.0 W / m / K$ ) séparées par une lame d'air ( $e_{a} = 16 mm$ , $λ_{a} = 0.025 W / m / K$ ), de surface $S = 2 m^{2}$ . Comparer sa résistance à celle d'un simple vitrage de $4 mm$ .

Démonstration

Les trois couches sont en série. Pour le verre : $R_{v} = \frac{4 \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 0 \times 2} = 2.0 \times 1 0^{- 3} K / W$ . Pour l'air : $R_{a} = \frac{16 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 025 \times 2} = 0.32 K / W$ . Total : $R_{th} = 2 R_{v} + R_{a} = 2 \times 2, 0 \times 1 0^{- 3} + 0, 32 \approx 0.324 K / W$ . Le simple vitrage a $R = R_{v} = 2.0 \times 1 0^{- 3} K / W$ . Le double vitrage est environ $160$ fois plus résistant : c'est la lame d'air, très isolante, qui domine entièrement le résultat.

Exemple 1.12Mur composite en parallèle

Un mur de surface totale $S = 10 m^{2}$ comporte une fenêtre de $S_{2} = 2 m^{2}$ ( $R_{2} = 5 \times 1 0^{- 3} K / W$ ) insérée dans une paroi pleine de $S_{1} = 8 m^{2}$ ( $R_{1} = 5 \times 1 0^{- 2} K / W$ ). Déterminer la résistance équivalente.

Démonstration

Les deux portions subissent le même écart de température : elles sont en parallèle. $\frac{1}{R _{th}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} = \frac{1}{0 , 05} + \frac{1}{0 , 005} = 20 + 200 = 220 W / K$ , d'où $R_{th} \approx 4.5 \times 1 0^{- 3} K / W$ . La fenêtre, bien que petite, impose l'essentiel des pertes : c'est le point faible thermique.

Exemple 1.13Temps de diffusion

La diffusivité de l'acier est $D_{th} \approx 1.2 \times 1 0^{- 5} m^{2} / s$ . Estimer le temps de mise en régime thermique d'une barre de longueur $L = 10 cm$ .

Démonstration

On utilise $τ \sim \frac{L ^{2}}{D _{th}} = \frac{( 0 , 10 ) ^{2}}{1 , 2 \times 1 0 ^{- 5}} \approx 833 s$ , soit environ $14$ minutes. La croissance en $L^{2}$ explique qu'une barre deux fois plus longue mette quatre fois plus de temps.

Exemple 1.14Paroi avec convection

Un mur ( $e = 25 cm$ , $λ = 1.0 W / m / K$ , $S = 1 m^{2}$ ) échange par convection sur sa face extérieure avec un coefficient $h = 10 W / m^{2} / K$ . Calculer la résistance totale entre la face intérieure et l'air extérieur.

Démonstration

Conduction : $R_{cond} = \frac{e}{λ S} = \frac{0 , 25}{1 , 0 \times 1} = 0.25 K / W$ . Convection : $R_{conv} = \frac{1}{h S} = \frac{1}{10 \times 1} = 0.10 K / W$ . En série : $R_{th} = 0, 25 + 0, 10 = 0.35 K / W$ . La couche limite convective ajoute ici près de $30 %$ de résistance supplémentaire.

Exemple 1.15Conduction dans un tuyau cylindrique

Une canalisation cylindrique (rayons interne $R_{1}$ et externe $R_{2}$ , longueur $ℓ$ , conductivité $λ$ ) transporte un fluide chaud. Établir sa résistance thermique en régime stationnaire sans source.

Démonstration

La conservation du flux impose $Φ = - λ (2 π r ℓ) \frac{d T}{d r}$ constant. En séparant : $\frac{d T}{d r} = - \frac{Φ}{2 π λ ℓ} \frac{1}{r}$ , d'où par intégration de $R_{1}$ à $R_{2}$ : $T_{1} - T_{2} = \frac{Φ}{2 π λ ℓ} ln \frac{R _{2}}{R _{1}}$ . On identifie

$R_{th} = \frac{ln ( R _{2} / R _{1} )}{2 π λ ℓ} .$

Le profil de température est ici logarithmique, et non affine, à cause de la géométrie cylindrique.

Exemple 1.16Barreau chauffé par effet Joule

Un barreau conducteur de section $S$ , de conductivité thermique $λ$ , calorifugé latéralement et maintenu à $T_{0}$ à ses deux extrémités ( $x = 0$ et $x = L$ ), dissipe une puissance volumique uniforme $p_{v}$ . Déterminer le profil stationnaire $T (x)$ et la température maximale.

Démonstration

En régime stationnaire avec source, l'équation se réduit à $λ \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} + p_{v} = 0$ , soit $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = - \frac{p _{v}}{λ}$ . En intégrant deux fois et en imposant $T (0) = T (L) = T_{0}$ :

$T (x) = T_{0} + \frac{p _{v}}{2 λ} x (L - x) .$

Le profil est parabolique, maximal au centre $x = L /2$ : $T_{m a x} = T_{0} + \frac{p _{v} L ^{2}}{8 λ}$ .

1.8 Exercices d'entraînement

Homogénéité. Vérifier par analyse dimensionnelle que $D_{th} = λ / (ρ c)$ s'exprime bien en $m^{2} / s$ .

Ordre de grandeur. La diffusivité de l'eau vaut $D_{th} \approx 1.4 \times 1 0^{- 7} m^{2} / s$ . Estimer la profondeur atteinte par une variation thermique de surface en une journée.

Mur simple. Un mur de béton ( $λ = 1.0 W / m / K$ , $e = 30 cm$ , $S = 20 m^{2}$ ) sépare deux milieux à $18° C$ et $2° C$ . Calculer $R_{th}$ et le flux perdu.

Isolation. On double le mur précédent d'une couche de laine de verre ( $λ^{'} = 0.04 W / m / K$ , $e^{'} = 10 cm$ ). Calculer la nouvelle résistance et le facteur de réduction du flux.

Association parallèle. Deux matériaux de résistances $R_{1} = 0.2 K / W$ et $R_{2} = 0.05 K / W$ occupent côte à côte la même paroi. Donner la résistance équivalente.

Profil affine. Dans un mur en régime stationnaire, on mesure $T (0) = 40° C$ et $T (e) = 10° C$ avec $e = 5 cm$ . Donner l'expression de $T (x)$ et la valeur de $d T / d x$ .

Convection. Une plaque chaude à $80° C$ , de surface $S = 0.5 m^{2}$ , est refroidie par un courant d'air à $20° C$ avec $h = 25 W / m^{2} / K$ . Calculer la puissance évacuée.

Double vitrage. Reprendre l'exemple du double vitrage en ajoutant deux résistances de convection ( $h = 10 W / m^{2} / K$ de chaque côté) et comparer à la seule résistance des couches solides.

Tuyau. Un tube d'acier ( $λ = 50 W / m / K$ , $R_{1} = 2 cm$ , $R_{2} = 2.5 cm$ , $ℓ = 10 m$ ) transporte de la vapeur. Calculer sa résistance thermique et le flux si l'écart interne-externe vaut $60° C$ .

Source interne. Une plaque d'épaisseur $2 a$ dissipe $p_{v}$ uniforme, ses deux faces étant maintenues à $T_{0}$ . Établir $T (x)$ (origine au centre) et la position du maximum.

Ailette. Une ailette d'aluminium ( $λ = 200 W / m / K$ ) de section carrée $5 mm \times 5 mm$ échange avec $h = 15 W / m^{2} / K$ . Calculer la longueur caractéristique $δ = λ S / (h p)$ .

Régime transitoire (numérique). Reprendre le code de la capacité numérique en imposant $T (0) = 100° C$ , $T (L) = 0° C$ et une condition initiale uniforme à $0° C$ . Vérifier la convergence vers le profil affine stationnaire et estimer le temps de mise en régime.

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