Signaux périodiques et filtrage linéaire

Cours · traitement du signal et logique (MPI), chapitre 1 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un signal créneau et la somme partielle de sa série de Fourier, qui l'approche.

L'électronique linéaire repose sur une idée d'une puissance redoutable : un signal, aussi complexe soit-il, pourvu qu'il soit périodique, se décompose en une somme de sinusoïdes. Cette décomposition — la série de Fourier — transforme l'étude d'un signal quelconque en l'étude d'un catalogue de sinusoïdes, son spectre. Or les circuits linéaires (résistances, bobines, condensateurs) traitent chaque sinusoïde de manière indépendante et prévisible, caractérisée par une unique fonction de transfert. Filtrer un signal, c'est donc modifier son spectre : atténuer certaines fréquences, en conserver d'autres. Ce chapitre articule ces deux volets — analyse spectrale et filtrage — puis les réunit dans une même question centrale du programme de MPI : comment un filtre linéaire agit-il sur un signal périodique ?

On suppose acquises la notion d'impédance complexe, la valeur moyenne et la valeur efficace, le diagramme de Bode d'un filtre du premier ordre et l'action d'une fonction de transfert donnée sur un signal périodique, vues en MP2I. Ce qui n'y figure pas est présenté ici : la formule de Parseval, le passe-bas du second ordre, les comportements moyenneur, intégrateur et dérivateur. L'objectif est ici de raisonner dans le domaine fréquentiel : penser un signal comme un spectre, un filtre comme un gabarit.

1.1 Signaux périodiques et décomposition spectrale

1.1.1 Valeur moyenne et valeur efficace

Définition 1.1Signal périodique

Un signal $s$ est périodique de période $T$ s'il existe $T > 0$ tel que $s (t + T) = s (t)$ pour tout $t$ . La plus petite valeur de $T$ est la période, $f = 1/ T$ la fréquence (en $H z$ ) et $ω = 2 π f = 2 π / T$ la pulsation (en $r a d / s$ ).

Définition 1.2Valeur moyenne et valeur efficace

La valeur moyenne (ou composante continue) d'un signal $T$ -périodique est

$⟨ s ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) d t .$

La valeur efficace (ou RMS, root mean square) est la racine de la moyenne du carré :

$S_{eff} = ⟨ s^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t)^{2} d t .$

La valeur efficace mesure l'énergie transportée par le signal : une tension de valeur efficace $S_{eff}$ dissipe dans une résistance $R$ la même puissance moyenne $S_{eff}^{2} / R$ qu'une tension continue de même valeur. Pour une sinusoïde $s (t) = S_{m} cos (ω t + φ)$ , on retrouve les résultats fondamentaux :

$⟨ s ⟩ = 0, S_{eff} = \frac{S _{m}}{2} .$

iRemarque

La valeur efficace « vraie » (True RMS) intègre le carré du signal réel. Un multimètre bon marché, lui, mesure souvent la valeur redressée moyenne calibrée pour une sinusoïde : il se trompe sur un signal non sinusoïdal (créneau, triangle). D'où l'intérêt des multimètres True RMS en électronique.

1.1.2 Série de Fourier d'un signal périodique

◆Théorème 1.3Décomposition en série de Fourier

Tout signal $s$ $T$ -périodique « physiquement raisonnable » (continu et à dérivée continue par morceaux) se décompose en une somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de $f = 1/ T$ :

$s (t) = a_{0} + n = 1 \sum + \infty [a_{n} cos (nω t) + b_{n} sin (nω t)], ω = \frac{2 π}{T},$

avec les coefficients de Fourier

$a_{0} = ⟨ s ⟩, a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) cos (nω t) d t, b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) sin (nω t) d t .$

De façon équivalente, en regroupant chaque couple $(a_{n}, b_{n})$ en une seule sinusoïde d'amplitude $c_{n}$ et de phase $φ_{n}$ :

$s (t) = c_{0} + n = 1 \sum + \infty c_{n} cos (nω t + φ_{n}),$

avec

$c_{0} = a_{0}, c_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}, cos φ_{n} = \frac{a _{n}}{c _{n}}, sin φ_{n} = - \frac{b _{n}}{c _{n}} .$

iRemarque

La relation $tan φ_{n} = - b_{n} / a_{n}$ ne fixe $φ_{n}$ qu'à $π$ près : c'est le signe de $a_{n}$ (celui de $cos φ_{n}$ ) qui tranche. En un point de discontinuité du signal (front d'un créneau), la série converge vers la demi-somme des limites à gauche et à droite ; au voisinage du saut, toute somme partielle présente un dépassement d'environ $9 %$ du saut, qui ne disparaît pas quand on ajoute des harmoniques (phénomène de Gibbs).

Définition 1.4Fondamental, harmoniques

Le terme de rang $n = 1$ , de fréquence $f$ , est le fondamental. Le terme de rang $n \geq 2$ , de fréquence $n f$ , est l'harmonique de rang $n$ . Le terme $c_{0} = ⟨ s ⟩$ est la composante continue.

Important

Un signal périodique de fréquence $f$ ne contient que des fréquences multiples de $f$ . Réciproquement, tout ce qui apparaît dans le spectre d'un signal $T$ -périodique se situe aux fréquences $0, f, 2 f, 3 f, \dots$ Le spectre est donc discret (raies), à la différence du spectre continu d'un signal non périodique.

Proposition 1.5Parité et symétries

Les symétries du signal annulent la moitié des coefficients :

si $s$ est paire ( $s (- t) = s (t)$ ), alors tous les $b_{n} = 0$ (développement en cosinus) ;
si $s$ est impaire ( $s (- t) = - s (t)$ ), alors $a_{0} = 0$ et tous les $a_{n} = 0$ (développement en sinus) ;
si $s$ possède la symétrie de glissement $s (t + T /2) = - s (t)$ (dite alternance), alors seuls les harmoniques de rang impair sont présents ( $a_{2 p} = b_{2 p} = 0$ ).

Ces règles permettent souvent de prévoir la structure d'un spectre sans aucun calcul. Un créneau symétrique, par exemple, ne contient que des harmoniques impairs.

Proposition 1.6Formule de Parseval

La valeur efficace d'un signal se calcule à partir de son spectre : le carré de la valeur efficace est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses composantes (les termes croisés sont de moyenne nulle),

$S_{eff}^{2} = ⟨ s^{2} ⟩ = c_{0}^{2} + n = 1 \sum + \infty \frac{c _{n}^{2}}{2} = a_{0}^{2} + n = 1 \sum + \infty \frac{a _{n}^{2} + b _{n}^{2}}{2} .$

1.1.3 Spectre d'amplitude et de phase

Définition 1.7Spectre

Le spectre d'amplitude est le graphe des amplitudes $c_{n}$ en fonction de la fréquence $n f$ : c'est une suite de raies. Le spectre de phase donne les phases $φ_{n}$ . Amplitude et phase caractérisent entièrement le signal ; deux signaux de même spectre d'amplitude mais de phases différentes ont des allures temporelles distinctes.

La figure ci-dessous représente le spectre d'amplitude d'un signal en créneau symétrique d'amplitude $E$ , dont on montre plus loin que $c_{n} = \frac{4 E}{nπ}$ pour $n$ impair et $c_{n} = 0$ pour $n$ pair.

iRemarque

La décroissance des amplitudes renseigne sur la « douceur » du signal. Un créneau (discontinu) décroît en $1/ n$ ; un signal triangulaire (continu, à dérivée discontinue) décroît en $1/ n^{2}$ , plus vite. Plus un signal est régulier, plus son spectre est concentré sur les basses fréquences.

Exemple 1.8Spectre d'un signal en créneau

Calculer les coefficients de Fourier du créneau impair d'amplitude $E$ , valant $+ E$ sur $] 0, T /2 [$ et $- E$ sur $] T /2, T [$ .

Démonstration

Le signal est impair : $a_{0} = 0$ et $a_{n} = 0$ . Il possède de plus la symétrie d'alternance, donc seuls les rangs impairs subsistent. On calcule

$b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) sin (nω t) d t = \frac{2}{T} [\int_{0}^{T /2} E sin (nω t) d t - \int_{T /2}^{T} E sin (nω t) d t] .$

Avec $ω = 2 π / T$ , une primitive de $sin (nω t)$ est $- cos (nω t) / (nω)$ . Le calcul donne

$b_{n} = \frac{2 E}{nπ} [1 - cos (nπ)] = \frac{2 E}{nπ} [1 - (- 1)^{n}] = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4 E}{nπ} 0 n impair, n pair .$

Le signal s'écrit donc

$s (t) = \frac{4 E}{π} [sin (ω t) + \frac{1}{3} sin (3 ω t) + \frac{1}{5} sin (5 ω t) + \dots],$

en accord avec le spectre en $1/ n$ tracé ci-dessus. On vérifie Parseval : $\sum_{n impair} \frac{1}{2} (\frac{4 E}{nπ})^{2} = \frac{8 E ^{2}}{π ^{2}} \sum_{p \geq 0} \frac{1}{( 2 p + 1 ) ^{2}} = \frac{8 E ^{2}}{π ^{2}} \cdot \frac{π ^{2}}{8} = E^{2} = S_{eff}^{2}$ , valeur exacte pour un créneau.

1.2 Filtrage linéaire : fonction de transfert

1.2.1 Fonction de transfert harmonique

On considère un système linéaire (association de résistances, bobines et condensateurs) recevant en entrée une tension sinusoïdale $e (t) = E_{m} cos (ω t)$ et délivrant en sortie une tension $s (t) = S_{m} cos (ω t + φ)$ de même pulsation. On note $e$ et $s$ les grandeurs complexes associées.

Définition 1.9Fonction de transfert

La fonction de transfert (ou transmittance) du système est le rapport des amplitudes complexes de sortie et d'entrée :

$H (j ω) = \frac{s}{e} = H (ω) e^{j φ (ω)} .$

Son module $H (ω) = ∣ H ∣$ est le gain (rapport des amplitudes $S_{m} / E_{m}$ ), son argument $φ (ω)$ est le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée.

Important

La fonction de transfert n'a de sens que pour un système linéaire et en régime sinusoïdal forcé établi. Sa connaissance suffit à prévoir l'action du filtre sur n'importe quelle sinusoïde d'entrée : il suffit d'y remplacer $ω$ par la pulsation considérée.

1.2.2 Diagramme de Bode

Comme le gain et la fréquence couvrent plusieurs ordres de grandeur, on les représente en échelles logarithmiques.

Définition 1.10Gain en décibels, diagramme de Bode

Le gain en décibels est

$G_{dB} (ω) = 20 lo g_{10} H (ω) .$

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes tracées en fonction de $lo g_{10} ω$ (ou de $lo g_{10} f$ ) :

le diagramme de gain : $G_{dB}$ en fonction de $lo g_{10} ω$ ;
le diagramme de phase : $φ$ en fonction de $lo g_{10} ω$ .

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