Un budget publicitaire — exercice corrigé d'algorithmique (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Un budget publicitaire

Répartition optimale d'une ressource · niveau 1 (application)

Énoncé

Une start-up dispose de $4$ unités de budget (une unité vaut $10000$ euros) à répartir entre la radio, l'affichage et le web. Le nombre de clients attendus (en centaines) est :

	$1$	$2$	$3$	$4$
radio ( $0$ )	3	5	6	6
affichage ( $1$ )	2	5	7	8
web ( $2$ )	4	6	7	7

Calculer à la main les tableaux $M$ et $A$ .
En déduire une répartition optimale du budget.
Quel nombre de clients donne le glouton du gain marginal ?

Corrigé

$M [0]$ est nul. $M [1]$ recopie la ligne de la radio (gains croissants) : $M [1] = [0, 3, 5, 6, 6]$ , $A [1] = [0, 1, 2, 3, 3]$ . Pour la ligne $2$ , par exemple $m (2, 4) = max {0 + 6, 2 + 6, 5 + 5, 7 + 3, 8 + 0} = 10$ , atteint d'abord pour $2$ unités d'affichage. Puis $m (3, 4) = max {0 + 10, 4 + 8, 6 + 5, 7 + 3, 7 + 0} = 12$ avec une unité sur le web.


M[3] = [0, 4, 7, 9, 12]   A[3] = [0, 1, 1, 1, 1]
M[2] = [0, 3, 5, 8, 10]   A[2] = [0, 0, 0, 2, 2]
M[1] = [0, 3, 5, 6, 6]   A[1] = [0, 1, 2, 3, 3]
M[0] = [0, 0, 0, 0, 0]   A[0] = [0, 0, 0, 0, 0]

$a (3, 4) = 1$ : une unité pour le web ; reste $3$ unités, $a (2, 3) = 2$ : deux unités pour l'affichage ; reste $1$ unité, $a (1, 1) = 1$ : une unité pour la radio. Clients attendus : $3 + 5 + 4 = 12$ centaines.
Le glouton prend d'abord le web ( $+ 4$ ), puis la radio ( $+ 3$ ), puis hésite entre radio, affichage et web ( $+ 2$ chacun) et prend la radio, enfin l'affichage ( $+ 2$ , à égalité avec le web) : il obtient $5 + 2 + 4 = 11$ centaines. Il ne voit pas que la deuxième unité d'affichage rapporte $3$ : les gains de l'affichage ne sont pas concaves.