Erreur de la méthode des trapèzes composite — exercice corrigé d'analyse numérique (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Erreur de la méthode des trapèzes composite

Équations différentielles ordinaires

Énoncé

On approche $I = \int_{a}^{b} f (x) d x$ par la méthode des trapèzes composite sur $n$ sous-intervalles de pas $h = (b - a) / n$ : $T_{n} = h [\frac{f _{0}}{2} + f_{1} + \dots + f_{n - 1} + \frac{f _{n}}{2}] .$ Sachant que l'erreur sur un sous-intervalle $[x_{i}, x_{i + 1}]$ vaut $- \frac{h ^{3}}{12} f^{''} (ξ_{i})$ , établir l'erreur globale et son ordre en $h$ .

Corrigé

Sommation des erreurs locales. L'erreur totale est $I - T_{n} = - \frac{h ^{3}}{12} i = 0 \sum n - 1 f^{''} (ξ_{i}), ξ_{i} \in [x_{i}, x_{i + 1}] .$

Moyennisation. $f^{''}$ étant continue, par le théorème des valeurs intermédiaires il existe $ξ \in [a, b]$ tel que $\frac{1}{n} \sum_{i} f^{''} (ξ_{i}) = f^{''} (ξ)$ . Donc $\sum_{i} f^{''} (ξ_{i}) = n f^{''} (ξ)$ , et avec $n = (b - a) / h$ : $I - T_{n} = - \frac{h ^{3}}{12} n f^{''} (ξ) = - \frac{( b - a )}{12} h^{2} f^{''} (ξ) .$

Conclusion. $I - T_{n} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{12} f^{''} (ξ) = O (h^{2}) .$ La méthode est d'ordre 2 : diviser $h$ par 2 (doubler $n$ ) divise l'erreur par 4. Elle est exacte pour les fonctions affines ( $f^{''} \equiv 0$ ).