Conditionnement et amplification d'erreur — exercice corrigé d'analyse numérique (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Conditionnement et amplification d'erreur

Différences finies (EDP)

Énoncé

Soit $A$ inversible et le système $A x = b$ . On note $κ_{2} (A) = ∥ A ∥_{2} ∥ A^{- 1} ∥_{2}$ .

Exprimer $κ_{2} (A)$ à l'aide des valeurs singulières de $A$ .
On perturbe le second membre : $A (x + δ x) = b + δ b$ . Majorer l'erreur relative $\frac{∥ δ x ∥}{∥ x ∥}$ .
Application : $A = (10 0 1 0^{- 3})$ . Calculer $κ_{2} (A)$ et commenter.

Corrigé

1. En norme 2, $∥ A ∥_{2} = σ_{m a x}$ et $∥ A^{- 1} ∥_{2} = 1/ σ_{m i n}$ , où les $σ$ sont les valeurs singulières. Donc $κ_{2} (A) = \frac{σ _{m a x} ( A )}{σ _{m i n} ( A )} \geq 1.$

2. De $A δ x = δ b$ on tire $δ x = A^{- 1} δ b$ , donc $∥ δ x ∥ \leq ∥ A^{- 1} ∥ ∥ δ b ∥$ . Par ailleurs $∥ b ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ x ∥$ , soit $\frac{1}{∥ x ∥} \leq \frac{∥ A ∥}{∥ b ∥}$ . En multipliant : $\frac{∥ δ x ∥}{∥ x ∥} \leq κ_{2} (A) ∥ A ∥ ∥ A^{- 1} ∥ \frac{∥ δ b ∥}{∥ b ∥} .$ Le conditionnement est le facteur d'amplification de l'erreur relative.

3. $A$ est diagonale : $σ_{m a x} = 1$ , $σ_{m i n} = 1 0^{- 3}$ , donc $κ_{2} (A) = \frac{1}{1 0 ^{- 3}} = 1000.$ Une erreur relative de $1 0^{- 6}$ sur $b$ peut devenir $1 0^{- 3}$ sur $x$ : la matrice est mal conditionnée, l'écart d'échelle entre les deux directions amplifie le bruit.