Le soda qu'on ouvre

1) Un équilibre entre deux phases. Le réactif est un gaz, d'activité $P_{\mathrm{CO}{}_2}/P^{\circ }$ ; le produit est un soluté, d'activité $[\mathrm{CO}{}_2]/c^{\circ }$ : $$Q_r=\frac{[\mathrm{CO}{}_2]/c^{\circ }}{P_{\mathrm{CO}{}_2}/P^{\circ }}.$$ Deux états de référence coexistent dans le même quotient, et c'est ce qui permet de comparer une concentration à une pression. À l'équilibre, $[\mathrm{CO}{}_2]=K^{\circ }{c}^{\circ }{P}_{\mathrm{CO}{}_2}/P^{\circ }$ : la concentration dissoute est proportionnelle à la pression du gaz au-dessus du liquide. Dans la bouteille fermée, à l'équilibre : $$[\mathrm{CO}{}_2]=3,4\times 10^{-2}\times 3,5\approx 0,119\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1},\text{soit}0,119\times 44\approx 5,2\mathrm{g}{\mathrm{L}}^{-1}.$$ L'ordre de grandeur est le bon : les sodas industriels contiennent quelques grammes de gaz carbonique par litre.

2) L'ouverture. La concentration n'a pas encore changé, mais la pression de dioxyde de carbone au-dessus du liquide tombe à celle de l'air, $P=4,2\times 10^{-4}\mathrm{bar}$ : $$\frac{Q_r}{K^{\circ }}=\frac{0,119/4,2\times 10^{-4}}{3,4\times 10^{-2}}\approx 8\times 10^3.$$ $Q_r>K^{\circ }$ : la réaction évolue en sens inverse, le gaz sort de la solution — ce sont les bulles. L'équilibre avec l'air correspond à $$[\mathrm{CO}{}_2{]}_{\text{f}}=K^{\circ }{c}^{\circ }\frac{P_{\mathrm{CO}{}_2,\text{air}}}{P^{\circ }}=3,4\times 10^{-2}\times 4,2\times 10^{-4}\approx 1,4\times 10^{-5}\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}.$$ La boisson finit plate : il reste environ un dix-millième du gaz initial. Le gaz libéré vaut $n=1,5\times (0,119-1,4\times 10^{-5})\approx 0,178\mathrm{mol}$, qui occupent, sous 1,0 bar à 298 K, $$V=\frac{nRT}{P}=\frac{0,178\times 8,314\times 298}{10^5}\approx 4,4\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3=4,4\mathrm{L}.$$ Une bouteille de 1,5 L contient trois fois son volume de gaz. On comprend qu'elle mousse.

3) La bouteille à moitié bue. C'est un problème d'état final dans un système hétérogène fermé : on écrit la conservation de la matière et la condition d'équilibre, deux équations pour deux inconnues. Le dioxyde de carbone disponible vaut $n_0=0,75\times 0,119\approx 8,93\times 10^{-2}\mathrm{mol}$. À l'équilibre, sous une pression $P$ de dioxyde de carbone dans l'espace libre de volume $V_g=0,75\mathrm{L}$ : $$n_{\text{dissous}}=V_{\ell }{K}^{\circ }{c}^{\circ }\frac{P}{P^{\circ }},n_{\text{gaz}}=\frac{P{V}_g}{RT}.$$ La conservation $n_{\text{dissous}}+n_{\text{gaz}}=n_0$ est linéaire en $P$ : $$P=\frac{n_0}{V_{\ell }{K}^{\circ }{c}^{\circ }/P^{\circ }+V_g/(RT)}.$$ Numériquement, en mol par bar : $V_{\ell }{K}^{\circ }{c}^{\circ }/P^{\circ }=0,75\times 0,034=2,55\times 10^{-2}$, et $V_g/(RT)=\frac{0,75\times 10^{-3}\times 10^5}{8,314\times 298}\approx 3,03\times 10^{-2}$. D'où $P\approx \frac{8,93\times 10^{-2}}{5,58\times 10^{-2}}\approx 1,60\mathrm{bar}$, et $[\mathrm{CO}{}_2]=0,034\times 1,60\approx 0,054\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$.

La fraction du gaz qui a quitté le liquide vaut $1-0,054/0,119\approx 54\%$. Refermer la bouteille ne conserve pas le gaz : il se partage entre le liquide et l'espace libre. Le partage est presque égal parce que les deux « capacités », $2,55\times 10^{-2}$ et $3,03\times 10^{-2}\mathrm{mol}\mathrm{ba}{\mathrm{r}}^{-1}$, sont du même ordre. Presser la bouteille avant de la refermer réduit $V_g$, donc la part qui s'échappe ; à $V_g\to 0$, le liquide garderait tout son gaz.

4) Le soda frais. À 5 °C, $K^{\circ }$ est presque deux fois plus grand : le gaz est plus soluble. Pour la même concentration de $0,119\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$, la pression d'équilibre n'est plus que $0,119/0,064\approx 1,9\mathrm{bar}$ au lieu de 3,5 bar : le dégazage est moins brutal. Et le partage du 3), refait à 5 °C, ne fait perdre au liquide que 40 % de son gaz au lieu de 54 %.

Ce que l'exercice installe. Un équilibre entre phases s'écrit comme un équilibre chimique, avec un état de référence par phase. Et la méthode de tout état final d'un système fermé : une équation de conservation, une condition d'équilibre, résolues ensemble. La proportionnalité entre gaz dissous et pression, simple conséquence de $Q_r=K^{\circ }$, est la loi de Henry.