Bassin de chloration : pourquoi on le cloisonne

La stratégie. La « réaction » est une inactivation d'ordre 1 ; les deux modèles de réacteurs s'y appliquent tels quels, $N$ jouant le rôle d'une concentration. Le piston est un réacteur fermé qui avance : chaque tranche d'eau vit la loi intégrée $N=N_{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{-kt}$ pendant le temps $\tau$. Le RPAC, lui, se traite par un bilan algébrique ; une cascade est une répétition de ce bilan, la sortie d'une cuve étant l'entrée de la suivante.

1) Piston. Bilan sur une tranche de volume $\mathrm{d}V$ en régime stationnaire : $QN(V)-QN(V+\mathrm{d}V)-kN\mathrm{d}V=0$, soit $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}V}=-\frac{k}{Q}N$ et $N_{\mathrm{s}}=N_{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{-k\tau }$. Pour $N_{\mathrm{s}}/N_{\mathrm{e}}=10^{-3}$ : $${\tau }_{\mathrm{P}}=\frac{\ln 1000}{k}=\frac{6,908}{0,066\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}}=104,7\min ,V_{\mathrm{P}}=Q{\tau }_{\mathrm{P}}=1000\times \frac{104,7}{60}=1744{\mathrm{m}}^3.$$ Un bassin de $1750{\mathrm{m}}^3$, par exemple $50\mathrm{m}\times 10\mathrm{m}\times 3,5\mathrm{m}$ : un ouvrage courant.

2) RPAC unique. Bilan sur tout le bassin : $Q{N}_{\mathrm{e}}-Q{N}_{\mathrm{s}}-k{N}_{\mathrm{s}}V=0$, d'où $\frac{N_{\mathrm{s}}}{N_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{1+k\tau }$. Pour $10^{-3}$, il faut $k\tau =999$ : $${\tau }_{\mathrm{R}}=\frac{999}{0,066}=15136\min \approx 10,5\text{jours},V_{\mathrm{R}}=2,5\times 10^5{\mathrm{m}}^3.$$ C'est 145 fois le volume du piston : un lac. Dans un bassin parfaitement mélangé, une partie de l'eau entrée récemment ressort aussitôt ; c'est elle qui fixe l'abattement. Le RPAC est d'autant plus pénalisant que la conversion visée est forte : le rapport des volumes vaut $\frac{999}{\ln 1000}=145$ pour $99,9\%$, alors qu'il ne vaut que $1,4$ pour $50\%$.

3) Cascade de $N$ cuves. Chaque cuve a le temps de passage $\tau /N$. Le bilan de la cuve $i$ donne, comme ci-dessus, $N_i=\frac{N_{i-1}}{1+k\tau /N}$ ; en enchaînant les $N$ cuves, $$\frac{N_{\mathrm{s}}}{N_{\mathrm{e}}}={\left(1+\frac{k\tau }{N}\right)}^{-N}⟹{\tau }_N=\frac{N\left(1000^{1/N}-1\right)}{k}.$$

Quand $N\to \infty$, $\ln {\left(1+\frac{k\tau }{N}\right)}^N=N\ln \left(1+\frac{k\tau }{N}\right)\to k\tau$ : la cascade tend vers le piston. Les deux modèles idéaux sont les bornes d'une famille ; un bassin réel est entre les deux, et on le caractérise justement par un nombre de cuves équivalent.

4) Le bassin existant. $\tau =\frac{2500}{1000}\mathrm{h}=150\min$, $k\tau =9,9$. L'abattement en $\log$ vaut $N{\log }_{10}\left(1+\frac{k\tau }{N}\right)$ :

Vide, le bassin n'assure qu'un $\log$ : l'eau est très insuffisamment désinfectée, alors que son volume ($2500{\mathrm{m}}^3$) dépasse largement celui du piston idéal. Il faut le cloisonner : avec dix compartiments équivalents, on atteint tout juste $3\log$, sans marge. On ajoute donc des chicanes (on vise un comportement plus proche du piston), ou bien on augmente la concentration de chlore, ce qui augmente $k$ — au prix de sous-produits de chloration et d'un goût de l'eau. Les exploitants raisonnent exactement ainsi : le temps de contact retenu par la réglementation est corrigé par un « facteur de chicanage » qui mesure l'écart au piston.

Hypothèses à garder en tête. La concentration de chlore libre n'est pas constante en réalité : il est consommé par la matière organique de l'eau (« demande en chlore »), ce qui diminue $k$ le long du bassin. Et le modèle d'ordre 1 est une approximation de la cinétique d'inactivation.

Ce que l'exercice installe. Les deux modèles idéaux s'appliquent à tout processus d'ordre 1 dans un écoulement, chimique ou biologique. Une cascade de RPAC se traite par un bilan algébrique répété et tend vers le piston quand le nombre de cuves augmente. À forte conversion, le modèle d'écoulement domine tout : $145$ fois le volume pour un abattement de $99,9\%$. Dimensionner un ouvrage, c'est choisir un modèle ; juger un ouvrage existant, c'est encadrer son comportement entre les deux modèles idéaux.