Réacteur à boucle : du piston au RPAC par le recyclage

La stratégie. Deux systèmes, deux bilans : le nœud de mélange (aucune réaction, simple conservation des débits molaires) et le tube (bilan sur une tranche, piston d'ordre 1). Le seul piège est le débit dans le tube : il vaut $(1+R)Q$, pas $Q$.

1) Sans recyclage. C'est un piston : $C_{\mathrm{s}}=C_0{\mathrm{e}}^{-k\tau }$, $X=1-{\mathrm{e}}^{-3}=0,950$.

2) Les deux bilans. Nœud : débits molaires de $A$ entrants $Q{C}_0$ et $RQ{C}_{\mathrm{s}}$, sortant $(1+R)Q{C}_1$, sans réaction : $$Q{C}_0+RQ{C}_{\mathrm{s}}=(1+R)Q{C}_1⟹C_1=\frac{C_0+R{C}_{\mathrm{s}}}{1+R}.$$ Tube : il est parcouru par le débit $(1+R)Q$ ; le bilan sur une tranche, $(1+R)Q\mathrm{d}C=-kC\mathrm{d}V$, s'intègre en $C_{\mathrm{s}}=C_1{\mathrm{e}}^{-a}$, où $a=\frac{kV}{(1+R)Q}=\frac{k\tau }{1+R}$ est le produit de $k$ par le temps d'un passage dans le tube. En éliminant $C_1$ : $$C_{\mathrm{s}}(1+R)=(C_0+R{C}_{\mathrm{s}}){\mathrm{e}}^{-a}⟹\frac{C_{\mathrm{s}}}{C_0}=\frac{{\mathrm{e}}^{-a}}{1+R-R{\mathrm{e}}^{-a}}.$$ Contrôle : pour $R=0$, on retrouve ${\mathrm{e}}^{-k\tau }$.

3) Valeurs.

4) Limite $R\to \infty$. Alors $a\to 0$ et ${\mathrm{e}}^{-a}=1-a+o(a)$. Le dénominateur devient $1+R-R(1-a+o(a))=1+Ra+Ro(a)$ ; or $Ra=\frac{k\tau R}{1+R}\to k\tau$ et $Ro(a)\to 0$ (car $Ra$ reste borné). Donc $$\frac{C_{\mathrm{s}}}{C_0}\to \frac{1}{1+k\tau }=0,250,X\to \frac{k\tau }{1+k\tau }=0,750,$$ le taux de conversion d'un RPAC de même temps de passage. Physiquement, un recyclage infini fait tourner le fluide si vite dans la boucle que la concentration y devient uniforme (chaque passage ne la change presque pas), égale à celle de la sortie : c'est la définition même du réacteur parfaitement agité. Le recyclage est un mélange : il fait passer continûment du piston ($R=0$) au RPAC ($R\to \infty$).

5) Pourquoi recycler. La puissance thermique libérée en tête de tube est proportionnelle à la vitesse $k{C}_1$, donc à $C_1$. Elle tombe à $56\%$ de sa valeur sans recyclage pour $R=1$, à $34\%$ pour $R=5$, pour une perte de conversion modeste ($0,874$ et $0,796$ au lieu de $0,950$). Le recyclage dilue le réactif frais dans du milieu déjà converti : le dégagement de chaleur est étalé le long du tube, il n'y a plus de « point chaud » en entrée. La conversion par passage tombe à $78\%$, puis $39\%$ : le tube travaille de plus en plus comme un simple échangeur parcouru par un fluide presque homogène. C'est un compromis conversion / maîtrise thermique ; on le retrouve dans la conduite thermique des réacteurs.

Ce que l'exercice installe. Associer un bilan de nœud (sans réaction) et un bilan sur une tranche, en prenant le bon débit dans chaque appareil. Piston et RPAC sont les bornes d'une même famille, et un paramètre continu (ici le recyclage, ailleurs le nombre de cuves) les relie ; un développement limité de l'exponentielle établit la limite. Le recyclage a un coût (la conversion) et un intérêt (la dilution, donc la maîtrise de la puissance libérée) : il se choisit, il ne se subit pas.