L'analogie électromécanique : simuler une suspension

On modélise un quart de voiture par une masse $m=300\mathrm{kg}$ posée sur un ressort de raideur $k=3,0\times 10^4\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ et un amortisseur de coefficient de frottement fluide $h$ (force $-h\dot{x}$). L'écart $x$ à l'équilibre vérifie $m\ddot{x}+h\dot{x}+kx=0$ (équation de l'oscillateur mécanique amorti, établie en mécanique).

1) Écrire l'équation du RLC série pour la charge $q$ du condensateur. Établir le dictionnaire entre grandeurs électriques et mécaniques ($q$, $i$, $L$, $R$, $C$), puis celui des énergies et de la puissance dissipée.

2) Calculer ${\omega }_0$ et la fréquence propre de la suspension. Quelle valeur $h_c$ de $h$ donne le régime critique ?

3) On veut construire un simulateur électrique de cette suspension, mille fois plus rapide (${\omega }_0^{\prime }=10^4\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$), avec un condensateur $C=10\mu \mathrm{F}$. Quelle inductance faut-il ? Quelle résistance $R_c$ simule l'amortissement critique ?

4) L'amortisseur réel a $h=4,2\times 10^3\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$. Quel est le facteur de qualité de la suspension ? Quelle résistance faut-il dans le simulateur ? Quel intérêt ce réglage présente-t-il, sachant que, pour un oscillateur amorti, le temps de réponse à $5\%$ est minimal pour $Q\approx 0,7$ ?